SKRIPSI
Diajukan untuk menempuh Ujian Sarjana pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Padjadjaran
TAMARA PUTRI ANDINI 140110130087
UNIVERSITAS PADJADJARAN
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
ii NPM : 140110130087
Jatinangor, Februari 2017
Menyetujui,
Pembimbing Utama Pembimbing Pendamping
Prof. Dr. Budi Nurani Ruchjana, MS Iin Irianingsih, Dra., M.Stat.
NIP 19631223 198803 2 001 NIP 19620305 198703 2 002
Mengetahui,
Ketua Prodi S-1 Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Padjadjaran
Dr. Ema Carnia, M.Si.
iii
yang datar, tidak menguap, tidak meresap, dan tidak mengalir, Kelembaban udara
adalah jumlah kandungan uap air yang ada dalam udara. Data curah hujan
merupakan data yang berpola musiman sehingga membentuk model deret waktu.
Pada skripsi ini, analisis deret waktu digunakan untuk memodelkan data deret
waktu curah hujan dan kelembaban. Model Autoregressive Exogenous (ARX) adalah model yang menyatakan pengamatan pada waktu sekarang dipengaruhi
waktu sebelumnya dan dipengaruhi oleh faktor eksogen pada waktu sekarang.
Dalam penelitian ini, dikaji model ARX untuk memodelkan data curah
hujan sebagai faktor endogen serta sejauh mana faktor eksogen khususnya
kelembaban udara memengaruhi faktor endogennya dengan bantuan software R. Identifikasi orde AR terhadap data curah hujan di beberapa lokasi provinsi Jawa
Barat menunjukkan orde AR(3) dari tiga lokasi pengamatan. Estimasi parameter
model ARX(3) menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS). Hasil
ramalan pada penelitian ini untuk ketiga lokasi digunakan model ARX(3) dengan
dihasilkan MAPE lebih dari 10%, namun model ARX diharapkan dapat menjadi
alternatif dalam peramalan curah hujan di wilayah Jawa Barat.
iv
evaporate, not flow, and impermeable. Humidity is the amount of water vapor in the air. Rainfall data is a sea sonal data thus forming a time series model. In this resea rch, time series analysis is used for rainfall and humidity data modeling. Autoregressive Exogenous (ARX) model state that value at the present time is affected by value at earlier times and affected by exogenous factor at the present time.
In this resea rch, ARX model is studied for rainfall and humidity data modeling by processing the data using R softwa re, with rainfall as endogenous factor and humidity as exogenous factor. AR model identification of the rainfall data at several locations in West Java is indicates the model order AR(3) for three locations. Parameters estimation for ARX(3) model is using Ordinary Least Square (OLS) method. Foreca st results for three locations generate MAPE value more than 10%, yet ARX model can be one alternative for rainfall forecasting in West Java.
v
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat,
karunia dan pertolongan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul “PENAKSIRAN PARAMETER MODEL AUTOREGRESSIVE
EXOGENOUS DENGAN METODE ORDINARY LEAST SQUARE”.
Skripsi ini diajukan untuk memenuhi salah satu syarat dalam menempuh
ujian sidang sarjana pada Prodi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran.
Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada Ibu
Prof. Dr. Budi Nurani Ruchjana, MS selaku pembimbing utama penulis dan Ibu
Iin Irianingsih, Dra., M.Stat. selaku pembimbing pendamping yang telah
meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan serta masukan-masukan yang
sangat berharga kepada penulis pada saat penyusunan skripsi ini. Selain itu,
penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
memberikan bantuan, terutama kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Sudrajat, MS, selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Padjadjaran.
2. Bapak Prof. Dr. Asep K. Supriatna, MS, selaku Ketua Departemen
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
vi
4. Seluruh staf dosen dan Tata Usaha Departemen Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran.
5. Ibu Badrulfalah, Dra. MS, selaku dosen wali penulis.
6. Bapak Sony Surya Nurcahya, Ibu Regina Purba, dan Tania Putri Andari
selaku keluarga penulis yang selalu memotivasi dan mendoakan penulis.
7. Teman-teman mahasiswa Departemen Matematika FMIPA Unpad
terutama 2013, sahabat seperjuangan (Della, Novi, Kukuh, Cyntia, Ninis,
Ieva, dan Belda), Aktuaria 2013, BS, dan Mathcapela yang telah mengisi
hari-hari di kampus.
8. Rizki Nadiari yang selalu memotivasi, mendukung, dan memberi masukan
untuk penulis dalam menyelesaikan skripsi.
9. Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu, yang telah
memberikan motivasi kepada penulis.
Penulis terbuka atas segala kritik dan saran yang membangun. Penulis
berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat khususnya bagi pengembangan ilmu
vii
1.2 Identifikasi Masalah ... 2
1.3 Batasan Masalah ... 3
1.4 Maksud dan Tujuan Penelitian ... 3
1.5 Kegunaan Penelitian ... 4
1.6 Metodologi Penelitian ... 4
1.7 Sistematika Penulisan ... 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 7
2.1 Analisis Deret Waktu ... 7
2.2 ACF dan PACF ... 8
2.3 Kestasioneran Data ... 9
2.4 ADF Test ... 10
2.5 Metode Ordinary Least Square ... 11
2.6 Model AR(1) ... 12
2.6.1 Penaksiran Model AR(1) dengan Metode OLS ... 14
2.7 Model ARX(1) ... 15
2.7.1 Penaksiran Model ARX(1) dengan Metode OLS ... 16
2.8 (Q-Q) Plot ... 18
viii
3.1 Data Penelitian ... 22
3.2 Variabel Penelitian ... 22
3.3 Tahapan Analisis Data ... 23
3.4 Prosedur Penggunaan Sofware R untuk Identifikasi Model ARX ... 26
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 27
4.1 Data Curah Hujan dan Kelembaban ... 27
4.2 Penaksiran Parameter Model AR ... 27
4.2.1 Plotting Data Curah Hujan ... 27
4.2.2 Identifikasi Model AR ... 30
4.2.3 Penaksiran Parameter Model AR(3) ... 32
4.2.4 Kestasioneran ... 35
4.3 Variabel Eksogen ... 35
4.4 Penaksiran Parameter Model ARX(3) Lokasi Indramayu ... 37
4.5 Penaksiran Parameter Model ARX(3) Lokasi Bandung ... 38
4.6 Penaksiran Parameter Model ARX(3) Lokasi Tasikmalaya ... 39
4.7 Checking Diagnostic... 40
ix
Tabel 4.1 Nilai Statistik Deskriptif dari Data 5 Lokasi ... 29
Tabel 4.2 Nilai Estimasi Parameter Model AR(3) Lokasi Indramayu ... 33
Tabel 4.3 Nilai Estimasi Parameter Model AR(3) Lokasi Bandung ... 33
Tabel 4.4 Nilai Estimasi Parameter Model AR(3) Lokasi Tasikmalaya ... 33
Tabel 4.5 Uji ADF Data Curah Hujan pada 5 Lokasi ... 35
Tabel 4.6 Nilai Statistik Deskriptif dari Data Kelembaban ... 36
Tabel 4.7 Nilai Estimasi Parameter Model ARX(3) Lokasi Indramayu ... 37
Tabel 4.8 Nilai Estimasi Parameter Model ARX(3) Lokasi Bandung ... 38
Tabel 4.9 Nilai Estimasi Parameter Model ARX(3) Lokasi Tasikmalaya .... 39
Tabel 4.10 Perbandingan �� dan �̂� untuk 3 Lokasi ... 41
Tabel 4.11 Nilai MAPE untuk 3 Lokasi ... 42
x
Gambar 2.1 Kenormalan Residual Melalui Q-Q Plot ... 18
Gambar 3.1 Tahapan Analisis Data ... 25
Gambar 4.1 Plot Data Curah Hujan Indramayu ... 28
Gambar 4.2 Plot Data Curah Hujan Bandung ... 28
Gambar 4.3 Plot Data Curah Hujan Bogor ... 28
Gambar 4.4 Plot Data Curah Hujan Sumedang ... 29
Gambar 4.5 Plot Data Curah Hujan Tasikmalaya ... 29
Gambar 4.6 ACF dan PACF Data Curah Hujan Indramayu ... 30
Gambar 4.7 ACF dan PACF Data Curah Hujan Bandung ... 31
Gambar 4.8 ACF dan PACF Data Curah Hujan Bogor ... 31
Gambar 4.9 ACF dan PACF Data Curah Hujan Sumedang ... 31
Gambar 4.10 ACF dan PACF Data Curah Hujan Tasikmalaya ... 32
Gambar 4.11 Plot Data Kelembaban ... 36
xi
Lampiran 1. Data Curah Hujan di 5 Lokasi ... 47
Lampiran 2. Data Curah Hujan Bulan Basah di 5 Lokasi ... 58
Lampiran 3. Data Kelembaban di Jawa Barat ... 61
Lampiran 4. Data Kelembaban Bulan Basah di Jawa Barat ... 72
Lampiran 5. Script R Identifikasi Model AR ... 75
1 1.1 Latar Belakang Masalah
Analisis deret waktu univariat merupakan bagian dari proses stokastik.
Proses stokastik adalah barisan variabel acak yang diberi urutan atau indeks
{��| � = , ± , ± , ± , … }, dengan �� adalah variabel acak untuk setiap waktu t
dan t merupakan tahun, bulan, minggu, hari, jam, atau waktu lainnya tergantung
situasi (Cryer, 2008). Model Autoregressive (AR) adalah suatu model deret waktu univariat yang menggambarkan pengamatan suatu variabel yang dipengaruhi
variabel itu sendiri pada periode sebelumnya untuk data stasioner. Model
Autoregressive Exogenous (ARX) merupakan pengembangan dari model AR, namun pada model ARX nilai pengamatan saat ini dipengaruhi atau bergantung
pada nilai-nilai pengamatan waktu-waktu sebelumnya serta dipengaruhi oleh
faktor luar yaitu variabel eksogen.
Pada skripsi ini, analisis deret waktu digunakan untuk memodelkan data
deret waktu curah hujan dan kelembaban. Data curah hujan merupakan data yang
berpola musiman sehingga membentuk model deret waktu. Curah hujan yang
terjadi di wilayah Indonesia terdiri dari tiga pola yaitu: monsunal, ekuatorial dan
lokal. Pola monsunal memiliki grafik curah hujan yang bersifat unimodal dengan
satu puncak musim hujan dalam setahun yang terjadi pada bulan Desember hingga
yang datar, tidak menguap, tidak meresap, dan tidak mengalir, sedangkan
kelembaban udara adalah jumlah kandungan uap air yang ada dalam udara.
Penulis akan memodelkannya dengan menggunakan model ARX dengan data
curah hujan sebagai faktor endogen dan data kelembaban sebagai faktor eksogen.
Model AR dan ARX telah digunakan pada penelitian sebelumnya yang
dilakukan oleh Dany Aryanto (2014) yaitu untuk meneliti perbandingan model
AR dan ARX pada data Indeks Harga Saham Gabungan dan kurs Rupiah terhadap
Dolar Amerika. Telah diketahui dari penelitian tersebut bahwa model ARX adalah
model terbaik untuk memodelkan data IHSG dan kurs Rupiah terhadap Dolar
Amerika.
Model ARX termasuk ke dalam model linier sehingga salah satu metode
penaksiran parameter model yang dapat digunakan adalah Metode Ordinary Least Square (OLS). Pada skripsi ini, penulis ingin mengetahui bagaimana menaksir parameter model ARX dengan OLS dan bagaimana penerapannya pada data curah
hujan dan kelembaban.
1.2 Identifikasi Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan, masalah yang akan
diteliti adalah:
2. Bagaimana penerapan model ARX pada data curah hujan dengan
penambahan variabel eksogen kelembaban?
1.3 Batasan Masalah
Pada penelitian ini penulis membatasi masalah yang akan dibahas agar
jelas dan terarah, yaitu:
1. Model yang digunakan dalam skripsi ini adalah model Autoregressive Exogenous (ARX).
2. Penaksiran parameter model menggunakan Metode Ordinary Least Squa re
(OLS).
3. Kriteria galat pada model ARX menggunakan MAPE.
4. Pada penelitian ini softwa re yang digunakan adalah Microsoft Excel 2010 dan R versi 3.1.1.
1.4 Maksud dan Tujuan Penelitian
Maksud penelitian ini adalah untuk mengaplikasikan model ARX dengan
OLS pada data curah hujan dan kelembaban.
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Menaksir parameter model ARX dengan OLS.
2. Menerapkan model ARX pada data curah hujan dengan penambahan
1.5 Kegunaan Penelitian
Kegunaan penelitian ini adalah:
1. Bagi penulis, skripsi ini dapat menerapkan ilmu yang sudah diperoleh
pada masa perkuliahan mengenai analisis deret waktu.
2. Bagi pembaca, skripsi ini dapat menjadi referensi untuk penelitian
selanjutnya mengenai penaksiran parameter model ARX dan
penerapannya pada data curah hujan dengan penambahan variabel eksogen
kelembaban.
1.6 Metodologi Penelitian
Prosedur yang digunakan dalam penelitian ini yaitu:
1. Studi Literatur
Bentuk penelitian yang dilakukan penulis adalah dengan mempelajari
teori-teori dasar yang dapat menunjang penulisan skripsi ini, seperti: analisis deret
waktu, Autocorrelation Function (ACF), Partia l Autocorrelation Function
(PACF), kestasioneran, proses stokastik, Augmented Dickey Fuller Test,
2. Studi Eksperimental
Data curah hujan dan kelembaban yang didapat akan diolah menggunakan
software R dengan mengaplikasikan teori yang telah dipelajari pada studi
literatur untuk melakukan penaksiran model.
1.7 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan yang penulis gunakan dalam skripsi ini adalah
sebagai berikut:
BAB I. PENDAHULUAN. Bab ini membahas hal-hal yang mendasari
dan melatarbelakangi penelitian ini, identifikasi masalah, pembatasan masalah,
maksud dan tujuan penelitian, kegunaan penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA. Bab ini menjelaskan teori dan konsep
dasar dari analisis deret waktu seperti: analisis deret waktu, Autocorrelation Function (ACF), Pa rtial Autocorrelation Function (PACF), kestasioneran, proses stokastik, Augmented Dickey Fuller Test, Ordinary Least Square (OLS), Q-Q Plot, dan model Autoregressive Exogenous (ARX).
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN. Bab ini membahas mengenai
data dan langkah-langkah untuk mengestimasi parameter model.
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN. Bab ini membahas tentang
pengolahan data curah hujan dan kelembaban dengan menggunakan model ARX
BAB V. SIMPULAN DAN SARAN. Bab ini berisi tentang simpulan dari
penelitian telah dilakukan serta saran yang berisi tentang rekomendasi untuk
7
Pada bab ini dijelaskan teori-teori yang mendukung untuk menaksir
parameter model Autoregressive Exogenous (ARX) dan menerapkannya pada data curah hujan dan kelembaban.
2.1 Analisis Deret Waktu
Analisis deret waktu adalah analisis yang memodelkan serangkaian data
pengamatan yang terjadi berdasarkan indeks waktu secara berurutan dengan
interval tetap. Analisis deret waktu merupakan salah satu prosedur statistika yang
diterapkan untuk meramalkan keadaan yang akan terjadi sebagai pertimbangan
untuk mengambil keputusan. Analisis deret waktu univariat merupakan bagian
dari proses stokastik. Proses stokastik adalah barisan variabel acak yang diberi
urutan atau indeks {��| � = , ± , ± , ± , … }, dengan �� adalah variabel acak untuk setiap waktu t dan t merupakan tahun, bulan, minggu, hari, jam, atau waktu
lainnya tergantung situasi (Cryer, 2008).
Dalam analisis deret waktu terdapat beberapa jenis model, yaitu model
deret waktu stasioner, model deret waktu non-stasioner, dan model deret waktu
heteroskedastik. Model deret waktu yang paling sering digunakan adalah model
2.2 Fungsi Autokorelasi (ACF) dan Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)
Dalam analisis deret waktu, fungsi autokovariansi, fungsi autokorelasi,
dan fungsi autokorelasi parsial digunakan untuk menentukan model apa yang akan
digunakan untuk pemodelan deret waktu (Wei, 2006). Koefisien autokorelasi
artinya adalah hubungan antara data pada waktu t dengan data pada waktu t+ k
yang memiliki selisih waktu k (lag-k).
Jika {��} merupakan suatu proses stasioner dengan �� = �
Sifat-sifat fungsi autokovariansi � pada proses stasioner adalah sebagai berikut:
1. = � ��
2. | �| ≤
3. � = −� untuk semua k
Sedangkan sifat fungsi autokorelasi � pada proses stasioner adalah sebagai berikut:
2. | �| ≤
3. � = −� untuk semua k
Berdasarkan sifat-sifatnya dapat dilihat bahwa fungsi autokovariansi dan
fungsi autokorelasi adalah fungsi genap. Pada deret waktu stasioner, autokorelasi
parsial pada lag ke k digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara keadaan �� dan ��−� dengan tidak mempertimbangkan pengaruh dari ��− , ��− , …, dan ��−�. Partial Autocorrelation Function (PACF) didefinisikan sebagai berikut:
��� = ��, ��+�|��+ , ��+ , … , ��+�− (2.2) ��� adalah koefisien korelasi dalam distribusi bivariat, ��, ��+� yang
bersyarat ��+ , ��+ , … , ��+�− (Wei, 2006).
Jika {��} adalah deret waktu yang berdistribusi normal, maka fungsi autokorelasi parsial (PACF) antara �� dan ��+� akan sama dengan autokorelasi
biasa antara ��− �̂� dan ��+� − �̂�+� , yang dinotasikan � yaitu (Wei, 2006):
� = � �[ �− ̂� �+�− ̂�+� ] √� � �− ̂� � � �+�− ̂�+�
2.3 Kestasioneran Data
Data stasioner artinya data tidak terjadinya pertumbuhan dan penurunan
pola. Data dikatakan stasioner apabila pola data tersebut berada pada
kesetimbangan di sekitar nilai rata-rata dan konstan selama waktu tertentu.
Suatu proses stokastik {��, � ∈ �} dikatakan stasioner lemah jika: 1. Rataan : �� = � konstan
3. Variansi : � = ��− � = ��+ − � = � �� adalah hingga. (Wei, 2006).
Secara visual, kestasioneran data dalam mean dapat dilihat dari plot data deret waktu dan plot ACF data untuk masing-masing variabel secara univariat. Plot
deret waktu yang berfluktuansi dengan ragam yang konstan disekitar rataan yang
konstan menunjukkan bahwa deret waktu tersebut stasioner, sedangkan plot deret
waktu yang tidak berfluktuansi mengindikasikan bahwa data deret waktu tidak
stasioner.
Jika korelogram ACF dari data membentuk pola cut-off (memotong garis) atau
tails off (turun secara cepat membentuk sinosaidal), maka data diperkirakan stasioner. Sedangkan jika ACF membentuk tails off secara lambat, maka data dapat diindikasikan sebagai data tidak stasioner (Wei, 2006).
2.4 Augmented Dickey Fuller Test
Augmented Dickey Fuller (ADF) test adalah uji statistik untuk mengetahui data adalah stasioner atau tidak stasioner. Uji statistik ADF digunakan pada
bilangan negatif. Jika lebih negatif, maka kuat menolak hipotesis yang terdapat
unit root artinya data tidak stasioner. Terdapat unit root ketika koefisien parameter � adalah bernilai satu. Unit root dapat dinyatakan sebagai = � − .
Δ� � = + � � − + ∑� Δ� � − � + + �
�= (2.3) Digunakan hipotesis seperti yang diterapkan oleh (Mulyaningsih, T.,
2015) sebagai berikut:
� : ≠ , data stasioner
Statistik uji yang digunakan adalah:
� = ̂ . ( ̂)
dengan
̂: nilai dugaan
. ( ̂): simpangan baku dari
Jika � hitung adalah kurang daripada nilai kritis pada tabel uji Dickey-Fuller, maka tolak � yang artinya data stasioner.
2.5 Metode Ordinary Least Square
Metode Ordinary Least Square (OLS) merupakan salah satu penaksir parameter untuk model linear secara umum. Analisis regresi adalah metode
statistik yang paling sering digunakan dalam analisis data (Wei, 2006). Akibatnya,
estimasi metode OLS berkembang untuk model regresi standar, juga bisa menjadi
metode yang paling sering digunakan sebagai prosedur estimasi dalam statistik.
Perhatikan model persamaan linear berikut:
= �� + (2.4)
dengan ~ , � .
Taksiran parameter model linear diatas dapat diselesaikan dengan metode
OLS dengan cara mengalikan kedua ruas dengan �′ sehingga diperoleh:
�′ = �′��
�′� − �′ = �′� − �′�� �′� − �′ = �
2.6 Model AR(1)
Model Autoregressive (AR) adalah model deret waktu univariat yang menyatakan bahwa nilai pengamatan pada waktu saat ini dipengaruhi atau
bergantung pada nilai pengamatan pada waktu-waktu sebelumnya. Nilai pada
waktu ke � disebut �� yang diregresikan dengan nilai-nilai sebelumnya pada dirinya sendiri ditambah dengan white noise pada lag ke-p dinamakan model AR(p).
Autoregressive mewakili sebuah proses, jika hanya ada sebuah bilangan hingga tak nol yang dinotasikan dengan , maka = � , = � , =
� ,…, = � , dan � = untuk � > , maka proses ini dikatakan model
autoregressive orde p, yang dinotasikan dengan AR(p). Model dinaytakan dengan persamaan sebagai berikut (Wei, 2006):
�� = � ��− + � ��− + ⋯ + � ��− + � (2.5)
dengan asumsi:
��
~ , �
dengan:
�� : variabel acak pada waktu �
� : parameter model AR pada lag ke-p
� merupakan error dari model yang diasumsikan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan nilai varians konstan � .
Jika pada persamaan (2.5) nilai p=1 maka model menjadi: ��= ���− + �
Jika model AR(1) dibentuk dengan menggunakan operator backshift maka persamaannya menjadi:
�� = � ��+ �
atau
��− � �� = �
�� − � = �
Proses AR(1) dikatakan stasioner apabila akar-akar polinom dari � =
− � = terletak di luar lingkaran satuan (Wei, 2006). Oleh karena itu,
�� − � = �
dengan � = − � = ,
maka
� ��= �
dan akar dari � = ,
� =
� =
2.6.1 Penaksiran Model AR(1) dengan Metode OLS
Model autoregressive orde satu AR(1) adalah turunan dari model AR(p) dimana AR(1) adalah model deret waktu yang menyatakan bahwa pengamatan
pada waktu � dipengaruhi oleh satu waktu sebelumnya � − , model AR(1) ditulis
sebagai berikut:
OLS. Model AR(1) dinyatakan sebagai berikut:
�= ��− ���− Misalkan M adalah fungsi �dikuadratkan,
= � = ��− ���−
Untuk mendapatkan error yang minimum, turunan pertama � terhadap � harus sama dengan 0:
��− ��− ���− =
�̂ =∑�= ��∑�= ��− ∑�= ��−
Nilai �̂ bernilai konstan pada model AR(1) dengan nilai variansi model adalah:
� �� = �̂ � ��− + � �
� = � � + �
� = − ��
Nilai � harus berhingga dan terletak diantara − < � < , hal ini merupakan
syarat agar deret waktu bersifat stasioner (Wei, 2006).
2.7 Model ARX(1)
ARX adalah model deret waktu univariat yang menyatakan bahwa nilai
pengamatan pada waktu saat ini dipengaruhi atau bergantung oleh nilai pada
waktu-waktu sebelumnya serta dipengaruhi oleh faktor luar yaitu variabel
eksogen. Model ARX merupakan pengembangan dari model AR namun pada
model ARX terdapat dua variabel yaitu variabel endogen dan variabel eksogen.
Variabel eksogen adalah variabel yang memiliki pengaruh terhadap variabel yang
lain, namun tidak dipengaruhi oleh variabel lain dalam model. Model ARX(1)
dapat ditulis sebagai berikut (Qin, P., Nishii, R., Nakagawa, T., Nakamoto, T.,
2010):
��= ���− + ���+ � (2.7)
dengan:
��− : variabel acak endogen pada waktu t-1 �� : variabel acak eksogen pada waktu t
� : parameter variabel endogen model ARX(1)
� : parameter variabel eksogen model ARX(1)
� : error pada model ARX(1)
� merupakan error dari model yang diasumsikan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan nilai varians konstan � .
2.7.1 Penaksiran Model ARX(1) dengan Metode OLS
Model ARX(1) merupakan pengembangan dari model AR(1). Oleh karena
itu, langkah untuk mngestimasi model ARX(1) tidak jauh berbeda dengan model
AR(1). Berikut uraian pengestimasian parameter model ARX(1) dengan
menggunakan metode OLS:
1. Model ARX(1) sebagai berikut:
��= ���− + ���+ � (2.8)
dengan asumsi � ��
~ , �
2. Dari persamaan (2.8) bentuk � menjadi �= ��− ���− − ��� (2.9) 3. Persamaan (2.9) dikuadratkan kedua ruas dan dimisalkan dengan
= � = ��− ���− − ��� (2.10)
4. Turunkan persamaan (2.10) terhadap �
��
��= − ��− ��− ���− − ��� (2.11)
��
��= − �� ��− ���− − ��� (2.12)
6. Untuk meminimumkan error pada model maka turunan pertama persamaan (2.11) dan (2.12) harus sama dengan nol:
Untuk � = , , … , maka didapat
�̂ = ∑ �� � �− − �� �− ��� �− ��− �� �− �� �− �=
�̂ = ∑ − �− �� � �− + �− ��� �− ��− �� �− �� �−
�=
2.8 (Q-Q) Plot
Cek diagnostik model dilakukan untuk mengetahui apakah asumsi residual sudah
terpenuhi dengan melihat quantile-quantile (Q-Q) plot. Apabila residual model
berada pada garis normalnya maka residual tidak berkorelasi, dan memiliki
rata-rata nol dan varians konstan. Gambar berikut merupakan contoh kenormalan
residual melalui Q-Q plot:
Sumber: https://en.wikipedia.org/wiki/Q%E2%80%93Q_plot
Gambar 2.1 Kenormalan Residual Melalui Q-Q Plot
2.9 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) merupakan persentase dari rata-rata mutlak error pada tiap periode dibagi dengan nilai aktual pada periode
ketepatan dugaan model. MAPE dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut
(Wei, 2006):
MAPE = ∑ | �− ̂�
� |
�= (2.16)
�� merupakan data ramalan pada periode � dan adalah banyaknya periode
waktu.
2.10 Curah Hujan
Berdasarkan distribusi data rata-rata curah hujan bulanan, umumnya
wilayah Indonesia dibagi menjadi 3 (tiga) pola hujan, yaitu:
1. Pola hujan monsun, yang wilayahnya memiliki perbedaan yang jelas antara
periode musim hujan dan periode musim kemarau kemudian dikelompokan dalam
Zona Musim (ZOM), tipe curah hujan yang bersifat unimodial (satu puncak
musim hujan, Desember-Januari-Februari musim hujan, Juni-Juli-Agustus musim
kemarau).
2. Pola hujan equatorial, yang wilayahnya memiliki distribusi hujan bulanan
bimodial dengan dua puncak musim hujan maksimum dan hampir sepanjang
tahun masuk dalam kriteria musim hujan. Pola ekuatorial dicirikan oleh tipe curah
hujan dengan bentuk bimodial (dua puncak hujan) yang biasanya terjadi sekitar
bulan Maret dan Oktober atau pada saat terjadi ekinoks.
3. Pola hujan lokal, yang wilayahnya memiliki distribusi hujan bulanan kebalikan
dengan pola monsun. Pola lokal dicirikan oleh bentuk pola hujan unimodial (satu
Curah hujan di Indonesia beragam menurut waktu dan tempat
(http://repository.ipb.ac.id/handle/123456789/60623?show=full). Keragaman
curah hujan dipengaruhi oleh unsur-unsur cuaca lainnya, salah satunya adalah
kelembaban. Keterkaitan curah hujan dengan unsur cuaca lain tercermin dari
siklus hidrologi yang berpengaruh terhadap kehidupan manusia. Kelembaban
udara memiliki peranan penting pada siklus hidrologi yaitu dalam pembentukan
dan pertumbuhan awan yang berkaitan dengan kejadian hujan.
2.11 Kelembaban
Kelembaban udara adalah jumlah kandungan uap air yang ada dalam
udara. Banyaknya uap air di atmosfer antara 0-5% adalah tidak konstan. Jika
kadar uap air naik, maka akan menyebabkan energi potensial naik, sehingga dapat
mengakibatkan turunnya hujan.
Kandungan uap air di udara berubah-ubah bergantung pada suhu, semakin
tinggi suhu maka semakin banyak kandungan uap airnya. Alat pengukur
kelembaban udara adalah higrometer (http://dataonline.bmkg.go.id/webfaq).
Kelembaban udara ada 2 jenis sebagai berikut:
1. Kelembaban mutlak (absolut) yaitu bilangan yang menunjukkan
jumlah uap air dalam satuan gram pada satu meter kubik udara.
2. Kelembaban relatif (nisbi), yaitu angka dalam persen yang
menunjukkan perbandingan antara banyaknya uap air yang dikandung
udara pada suhu tertentu dan jumlah uap air maksimum yang dapat
Kelembaban relatif dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
= �� × %
Keterangan:
: kelembaban relatif.
� : uap air yang dikandung udara pada temperatur tertentu.
22
Pada bab ini akan dibahas data penelitian, variabel penelitian, dan
langkah-langkah yang digunakan untuk mengestimasi parameter model ARX.
3.1 Data Penelitian
Data dalam penelitian ini adalah data sekunder yaitu data curah hujan dan
data kelembaban di beberapa lokasi pada provinsi Jawa Barat. Data curah hujan
dan data kelembaban tersebut diperoleh dari PSTA LAPAN Bandung. Data yang
digunakan adalah data bulanan pada musim hujan menurut pola hujan monsun
yaitu setiap bulan basah yang diantaranya adalah Desember, Januari, dan Februari
dari tahun 1981 hingga 2015. Jumlah data yang digunakan dalam penelitian ini
adalah masing 102 data curah hujan dan data kelembaban pada
masing-masing lokasi.
3.2 Variabel Penelitian
Variabel yang digunakan dalam penelitian ini terdiri:
�� = Nilai curah hujan sebagai variabel endogen pada waktu �
3.3 Tahapan Analisis Data
Tahap 1: Pengumpulan Data
Tahap ini merupakan tahap mencari dan mengumpulkan data deret waktu.
Data yang dibutuhkan yaitu data curah hujan dan data kelembaban di
beberapa lokasi pada provinsi Jawa Barat. Data yang digunakan
merupakan data sekunder yang didapat dari LAPAN Bandung. Model
yang digunakan adalah model ARX yang mengharuskan data bersifat
stasioner.
Tahap 2: Identifikasi Model
Pada tahap ini dilakukan pengidentifikasian model dengan menggunakan
plot ACF dan PACF. Jika plot ACF menurun secara eksponensial mulai
pada lag pertama dan plot PACF siginfikan pada lag ke-p, maka model yang digunakan adalah model AR(p). Dalam penelitian ini, plot PACF signifikan pada lag ke-3.
Tahap 3: Menaksir parameter model AR(3)
Setelah dilakukan plot ACF dan PACF dapat diketahui bahwa model yang
akan digunakan adalah model AR(3). Oleh karena itu, untuk tahapan
selanjutnya adalah mengestimasi parameter model AR(3) dengan
menggunakan metode OLS. Parameter yang harus diestimasi dalam model
AR(3) yaitu � , � , � .
Tahap 4: Menentukan kestasioneran data
Kestasioneran data ditentukan dengan Augmented Dickey Fuller (ADF)
lebih kecil dari nilai kritis dengan derajat kepercayaan 0,95 maka dapat
disimpulkan data sudah stasioner.
Tahap 5: Menambahkan variabel eksogen pada model AR(3)
Setelah diketahui bahwa data yang dimodelkan AR(3) merupakan data
stasioner maka tahap selanjutnya menambahkan variabel eksogen ke
dalam model AR(3) sehingga model berubah menjadi model ARX(3).
Tahap 6: Menaksir parameter model ARX(3)
Model ARX(3) ditaksir dengan menggunakan metode OLS. Parameter
yang harus ditaksir yaitu � , � , � , �.
Tahap 7: Checking diagnostic
Setelah berhasil menaksir nilai-nilai parameter dari model ARX(3),
selanjutnya perlu dilakukan cek diagnostik untuk mengetahui apakah
model yang didapat sudah baik atau belum yaitu apabila asumsi residual
sudah terpenuhi dengan melihat quantile-quantile (Q-Q) plot. Apabila
residual model berada pada garis normalnya maka residual tidak
berkorelasi, dan memiliki rata-rata nol dan varians konstan. Lalu dihitung
pula Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dari perbandingan data aktual in-sample dengan data taksiran.
Tahap 8: Peramalan
Dari model yang sudah didapat dari penaksiran parameter, dapat dihitung
Start
Penaksiran Parameter Model AR dengan OLS
Data Curah Hujan
Identifikasi Model AR dengan Plot ACF dan
PACF
Model AR
Kestasioneran
tidak ya
Selesai Tambahkan Variabel Eksogen pada Model AR
Penaksiran Parameter Model ARX dengan OLS
Model ARX
Check Diagnostic
Peramalan
Untuk mempermudah dalam analisis data, selanjutnya dibuat tahapan
analisis yang disajikan dalam bentuk diagram pada Gambar 3.2 sebagai berikut:
3.4 Prosedur Penggunaan Software R untuk Identifikasi Model ARX
Perangkat lunak R dapat membantu dalam menentukan statistik deskriptif
data, penentuan plot data deret waktu, estimasi parameter model ARX, dan nilai
data peramalan. Langkah-langkah penggunaan perangkat lunak R dalam
mengidentifikasi model ARX adalah sebagai berikut:
1. Buka perangkat lunak R versi 3.1.1.
2. Input data
Data yang digunakan adalah data dari Microsoft Excel, sehingga diperlukan
importdata dengan mengubah ekstensi file menjadi “.csv”. Lalu ketik pada R:
3. Statistika deskriptif data
4. Analisis deret waktu
Plot data deret waktu, plot autokorelasi (ACF) dan autokorelasi parsial (PACF),
27
Bab ini membahas tentang pengolahan data curah hujan dengan penambahan
variabel eksogen kelembaban menggunakan model ARX.
4.1 Data Curah Hujan dan Kelembaban
Data yang digunakan adalah data bulanan pada musim hujan menurut pola
hujan monsun yaitu setiap bulan Desember, Januari, dan Februari dari tahun 1981
hingga 2015. Jumlah data yang digunakan dalam penelitian ini adalah masing-masing
102 data curah hujan dan data kelembaban pada setiap lokasi. Data curah hujan akan
digunakan sebagai variabel endogen dan data kelembaban sebagai variabel eksogen
pada model ARX. Data curah hujan dan kelembaban dapat dilihat di Lampiran.
4.2 Penaksiran Parameter Model AR
4.2.1 Plotting Data Curah Hujan
Gambar 4.1 hingga 4.5 memperlihatkan grafik data curah hujan
Gambar 4.1 Plot Data Curah Hujan Indramayu
Gambar 4.3 Plot Data Curah Hujan Bogor
Gambar 4.4 Plot Data Curah Hujan Sumedang
Gambar 4.5 Plot Data Curah Hujan Tasikmalaya
Tabel 4.1 menyajikan nilai statistika deskriptif dari data curah hujan pada
kelima lokasi yang terdiri dari rataan, variansi, maksimum, median, dan minimum.
Tabel 4.1 Nilai Statistika Deskriptif dari Data Curah Hujan di 5 Lokasi
Indramayu 298 mm 9030,108 mm2 683,7 mm 288,7 mm 89,51 mm
Bandung 224,1 mm 4380,837 mm2 504,7 mm 219,1 mm 103,3 mm
Bogor 388,1 mm 13642,9 mm2 943,8 mm 368,4 mm 161,6 mm
Sumedang 386,6 mm 8988,661 mm2 784,1 mm 383,1 mm 142,4 mm
Tasikmalaya 333,9 mm 12159,33 mm2 864 mm 323,2 mm 111 mm
4.2.2 Identifikasi Model AR
Selanjutnya data curah hujan diidentifikasi dengan melihat plot ACF dan plot
PACFnya. Gambar 4.6 hingga 4.10 memperlihatkan korelogram dari data curah hujan
pada kelima lokasi.
Gambar 4.7 Plot ACF dan PACF Data Curah Hujan Bandung
Gambar 4.9 Plot ACF dan PACF Data Curah Hujan Sumedang
Gambar 4.10 Plot ACF dan PACF Data Curah Hujan Tasikmalaya
Berdasarkan gambar di atas, dapat terlihat bahwa ACF menurun secara
eksponensial dan pada PACF data signifikan pada lag ke-3 untuk lokasi Indramayu,
Bandung, dan Tasikmalaya sehingga data tersebut dapat dimodelkan dengan
menggunakan model AR(3) yang dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut:
�� = � ��− + � ��− + � ��− + �
dengan � adalah parameter AR(3) dari data curah hujan. Sedangkan pada lokasi
Bogor dan Sumedang, data curah hujan tidak cocok dengan model ARX.
4.2.3 Penaksiran Parameter Model AR(3)
Setelah diketahui bahwa model yang digunakan adalah model AR(3) maka
langkah selanjutnya adalah menaksir parameter model AR(3). Penaksiran parameter
model AR(3) menggunakan bantuan software R dengan metode Ordinary Least
Square. Tabel 4.2, Tabel 4.3, dan Tabel 4.4 menunjukkan nilai taksiran dari model AR(3) untuk ketiga lokasi.
Tabel 4.2 Nilai Taksiran Parameter Model AR(3) untuk Lokasi Indramayu
Model � � �
AR(3) 0,2970 0,1458 0,5308
Tabel 4.3 Nilai Taksiran Parameter Model AR(3) untuk Lokasi Bandung
Model � � �
AR(3) 0,2278 0,2084 0,5433
Tabel 4.4 Nilai Taksiran Parameter Model AR(3) untuk Lokasi Tasikmalaya
Model � � �
AR(3) 0,2321 0,1827 0,5627
Untuk lokasi Indramayu, pada Tabel 4.2 diperoleh nilai taksiran dari
parameter � = , , � = , dan � = , . Jadi persamaan (4.1) dapat
ditulis menjadi:
Dari model tersebut, nilai curah hujan pada satu waktu dipengaruhi oleh satu
waktu sebelumnya sebesar , , dua waktu sebelumnya sebesar , dan tiga
waktu sebelumnya sebesar , .
Untuk lokasi Bandung, pada Tabel 4.3 diperoleh nilai taksiran dari parameter
� = , , � = , dan � = , . Jadi persamaan (4.1) dapat ditulis
menjadi:
�̂ = ,� ��− + , ��− + , ��−
Dari model tersebut, nilai curah hujan pada satu waktu dipengaruhi oleh satu
waktu sebelumnya sebesar , , dua waktu sebelumnya sebesar , dan tiga
waktu sebelumnya sebesar , .
Untuk lokasi Tasikmalaya, pada Tabel 4.4 diperoleh nilai taksiran dari
parameter � = , , � = , dan � = , . Jadi persamaan (4.1) dapat
ditulis menjadi:
�̂ = ,� ��− + , ��− + , ��−
Dari model tersebut, nilai curah hujan pada satu waktu dipengaruhi oleh satu
waktu sebelumnya sebesar , , dua waktu sebelumnya sebesar , dan tiga
waktu sebelumnya sebesar , .
(4.3)
4.2.4 Kestasioneran
Uji Augmented Dickey Fuller (ADF) digunakan untuk menentukan kestasioneran data. Tabel 4.5 menunjukkan hasil uji ADF yang didapat dengan
bantuan software R:
Tabel 4.5 Uji ADF Data Curah Hujan pada 5 Lokasi
Lokasi ADF Orde Lag p-value
Indramayu -4,7831 4 0,01
Bandung -3,8871 4 0,02
Tasikmalaya -4,0364 4 0,01
Berdasarkan uji ADF, terlihat bahwa untuk data curah hujan di Indramayu,
Bandung, dan Tasikmalaya diperoleh nilai ADF di setiap lokasi lebih kecil dari nilai
kritis yaitu -1,645 dengan derajat kepercayaan 0,95 sehingga dapat disimpulkan data
sudah stasioner.
4.3 Variabel Eksogen
Setelah model AR(3) didapat maka selanjutnya model tersebut akan
ditambahkan dengan variabel eksogen yaitu data kelembaban sehingga model
berubah menjadi model ARX(3) yaitu sebagai berikut:
�� = � ��− + � ��− + � ��− + ���+ �
dengan � adalah parameter AR(3) dari data curah hujan dan � adalah parameter dari
variabel eksogen kelembaban. Data kelembaban dapat dilihat di Lampiran 4. Gambar
4.7 memperlihatkan grafik data kelembaban sebanyak 102 data.
Gambar 4.11 Plot Data Kelembaban
Tabel 4.6 menyajikan nilai statistika deskriptif dari data curah hujan pada
kelima lokasi yang terdiri dari rataan, variansi, maksimum, median, dan minimum.
Tabel 4.6 Nilai Statistika Deskriptif dari Data Kelembaban di Jawa Barat
Rataan Variansi Maksimum Median Minimum
Pada penaksiran parameter model ARX, metode yang digunakan sama dengan
penaksiran parameter model AR. Perbedaannya adalah parameter yang ditaksir yaitu
� dan �.
4.4 Penaksiran Parameter Model ARX(3) untuk Lokasi Indramayu
Berikut nilai taksiran parameter � dan � yang didapat dengan bantuan
software R:
Tabel 4.7 Nilai Taksiran Parameter Model ARX(3) untuk Lokasi Indramayu
Model � � � �
ARX(3) -0,0319 -0,1574 0,2084 3,4747
Dari Tabel 4.7 didapat nilai taksiran parameter model ARX(3) yaitu
� = − , , � = − , , � = , , dan � = , sehingga model
ARX(3) dapat ditulis menjadi:
�̂ = − ,� ��− − , ��− + , ��− + , ��
Dari model tersebut, nilai curah hujan di lokasi Indramayu pada satu waktu
dipengaruhi oleh nilai curah hujan pada satu waktu sebelumnya sebesar -0,0319, dua
waktu sebelumnya sebesar -0,1574, tiga waktu sebelumnya sebesar 0,2084 dan
4.5 Penaksiran Parameter Model ARX(3) untuk Lokasi Bandung
Berikut nilai taksiran parameter � dan � yang didapat dengan bantuan
software R:
Tabel 4.8 Nilai Taksiran Parameter Model ARX(3) untuk Lokasi Bandung
Model � � � �
ARX(3) -0,0584 -0,0711 0,2387 2,6331
Dari Tabel 4.8 didapat nilai taksiran parameter model ARX(3) yaitu
� = − , , � = − , , � = , , dan � = , sehingga model
ARX(3) dapat ditulis menjadi:
�̂ = − ,� ��− − , ��− + , ��− + , ��
Dari model tersebut, nilai curah hujan di lokasi Bandung pada satu waktu
dipengaruhi oleh nilai curah hujan pada satu waktu sebelumnya sebesar -0,0584, dua
waktu sebelumnya sebesar -0,0711, tiga waktu sebelumnya sebesar 0,2387 dan
4.6 Penaksiran Parameter Model ARX(3) untuk Lokasi Tasikmalaya
Berikut nilai taksiran parameter � dan � yang didapat dengan bantuan
software R:
Tabel 4.9 Nilai Taksiran Parameter Model ARX(3) untuk Lokasi Tasikmalaya
Model � � � �
ARX(3) -0,053 -0,0825 0,2647 3,8837
Dari Tabel 4.9 didapat nilai taksiran parameter model ARX(3) yaitu
� = − , , � = − , , � = , , dan � = , sehingga model
ARX(3) dapat ditulis menjadi:
�̂ = − ,� ��− − , ��− + , ��− + , ��
Dari model tersebut, nilai curah hujan di lokasi Tasikmalaya pada satu waktu
dipengaruhi oleh nilai curah hujan pada satu waktu sebelumnya sebesar -0,053, dua
waktu sebelumnya sebesar -0,0825, tiga waktu sebelumnya sebesar 0,264 dan
variabel eksogen yaitu nilai kelembaban pada waktu tersebut sebesar 3,8837.
4.7 Checking Diagnostic
Model dikatakan layak digunakan apabila residual data bersifat normal atau
Q-Q plot (quantile-quantile plot). Gambar 4.8 menunjukkan Q-Q Plot model ARX(3) untuk ketiga lokasi yang sudah didapat dengan bantuan software R:
Gambar 4.12 Kenormalan Residual Melalui (Q-Q) Plot
Gambar 4.12 menunjukkan bahwa berdasarkan kenormalan Q-Q plot, residual
data prediksi adalah normal pada ketiga lokasi karena terletak di sekitar garis
normalnya. Residual data bersifat normal sehingga model sudah layak digunakan.
Nilai MAPE pada data in-sample digunakan untuk melihat bagaimana ketepatan ramalan dalam suatu pemodelan. Sedangkan ketepatan ramalan dapat
Lokasi Indramayu
dilihat dari MAPE antara nilai ramalan yang dibandingkan dengan nilai aktual pada
data out-sample. Perbandingan nilai aktual (��) dan nilai ramalan (�̂�) curah hujan di ketiga lokasi dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 4.10 Perbandingan �� dan �̂� untuk Lokasi Indramayu, Bandung, Tasikmalaya
Waktu
Indramayu Bandung Tasikmalaya
�� �̂� �� �̂� �� �̂�
Jan 2010 371,4963 336,082 230,1423 261,934 283,1389 389,55
Feb 2010 284,7902 327,186 242,3369 245,57 302,1643 370,23
Des 2010 240,7751 265,82 228,7502 241,512 428,1644 370,45
Jan 2011 358,6133 327,69 196,3444 253,794 233,1346 365,75
Feb 2011 207,4751 310,609 121,3158 257,9 235,5483 368,28
Des 2011 286,6815 291,149 280,3582 263,95 367,3596 421,441
Jan 2012 308,5687 338,012 168,5135 253,05 315,4457 363,79
Feb 2012 236,0243 293,14 165,7552 230,21 205,284 356,08
Des 2012 328,7466 311,157 324,8996 278,29 525,2095 404,04
Jan 2013 565,2444 325,499 333,1516 243,495 371,5808 383,909
Feb 2013 233,5737 276,915 165,3197 222,45 305,2331 323,83
Des 2013 358,6109 280,05 408,5109 277,58 469,1769 436,402
Jan 2014 683,7448 379,501 349,4264 278,75 412,877 394,69
Des 2014 317,971 268,89 315,2579 294,19 537,4351 418,67
Jan 2015 243,9553 391,599 211,4773 281,28 263,3574 395,19
Feb 2015 333,0592 311,72 265,4593 255,75 369,0569 381,06
Dari tabel di atas, didapat perhitungan nilai MAPE berdasarkan rumus
persamaan (2.16) yang ditunjukkan pada tabel berikut:
Tabel 4.11 Nilai Mean Percentage Error (MAPE) untuk 3 Lokasi
Masing-masing lokasi diperoleh nilai MAPE yang sedikit lebih dari 10%.
Namun, model ARX(3) dapat dijadikan salah satu alternatif model bagi instansi
terkait dalam meramalkan curah hujan pada fenomena musim hujan pada pola hujan
monsun (Desember, Januari, Februari).
Lokasi MAPE
Indramayu 21,07%
Bandung 26,07%
4.8 Peramalan
Berdasarkan model ARX(3) yang sudah diperoleh pada persamaan (4.6),
(4.7), dan (4.8), didapat nilai ramalan curah hujan di Indramayu, Bandung, dan
Tasikmalaya. Nilai ramalan yang diperoleh dengan bantuan Microsoft Excel 2010 dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 4.12 Nilai Ramalan Curah Hujan di Indramayu, Bandung, dan Tasikmalaya
Waktu
Indramayu Bandung Tasikmalaya
�� �̂� �� �̂� �� �̂�
Des 2015 200,262 327,3 261,565 279,67 383,29 447,52
Jan 2016 224,54 285,7 170,77 238,93 256,805 347,27
Feb 2016 376,507 333,05 234,84 263,8 405,58 390,37
MAPE antara nilai ramalan yang dibandingkan dengan nilai aktual pada data
outsample untuk lokasi Indramayu, Bandung dan Tasikmalaya berturut-turut adalah 33%, 19,7% dan 18,5%. Pencilan pada data curah hujan dan kelembaban pada
penelitian ini merupakan salah satu penyebab nilai MAPE yang masih cukup besar.
Model ARX(3) dapat menjadi alternatif dalam peramalan curah hujan di wilayah
44
Bab ini berisi tentang simpulan dari penelitian telah dilakukan serta saran
yang berisi tentang rekomendasi untuk penelitian selanjutnya.
5.1 Simpulan
Model Autoregressive Exogenous (ARX) merupakan pengembangan dari
model Autoregressive (AR) yang didalamnya terdapat dua macam variabel yaitu
variabel endogen dan eksogen. Penelitian ini menerapkan model ARX untuk data
curah hujan pada beberapa lokasi di Jawa Barat dengan penambahan variabel eksogen
kelembaban. Penaksiran parameter model ARX dapat dilakukan dengan metode OLS
yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat error data curah hujan di ketiga lokasi.
Penerapan model ARX pada data curah hujan dengan penambahan variabel
eksogen berupa kelembaban di tiga lokasi menghasilkan model ARX(3) di setiap
lokasi. Taksiran parameter pada setiap lokasi memiliki pola yang mirip karena
5.2 Saran
1. Pada penelitian ini, metode yang digunakan adalah metode ordinary least square dengan error model diasumsikan berdistribusi normal. Diharapkan pada penelitian selanjutnya penaksiran dapat dilakukan dengan metode
lainnya.
2. Nilai curah hujan dan kelembaban pada satu lokasi tidak hanya dipengaruhi
oleh lokasi itu sendiri, namun dapat dipengaruhi oleh lokasi lainnya. Untuk
itu, data curah hujan dan kelembaban dapat diolah menggunakan model
46
Cryer, J. D. and Chan, K. S. 2008. Time Series Analysis with Application in R. Second Edition, Springer Science Business Media. New York.
Mulyaningsih, T. 2015. Model Generalized Space Time Autoregressive Integrated untuk Peramalan Indeks Harga Konsumen Beberapa Kota di Jawa Tengah. Tesis tidak diterbitkan. Bandung: Program Pendidikan Magister Program Studi Statistika Terapan Konsentrasi Statistika Sosial Universitas
Padjadjaran.
Qin, P., Nishii, R., Nakagawa, T., Nakamoto, T. 2010. ARX models for time-
varying systems estimated by recursive penalized weighted least squares
method. Journal of Math-for-Industry, 2(2010A-11) , pp.109-114.
Wei, W. W. S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods.
Second Edition. Pearson Education, Inc. Bonston.
http://repository.ipb.ac.id/handle/123456789/60623?show=full, (diakses pada
tanggal 18 Oktober 2016)
http://dataonline.bmkg.go.id/webfaq, (diakses pada tanggal 18 Oktober 2016)
https://en.wikipedia.org/wiki/Q%E2%80%93Q_plot, (diakses tanggal 23
47 dan Tasikmalaya Tahun 1981-2016
Indramayu Bandung Bogor Sumedang Tasikmalaya
Jan-81 449,6888 169,7386 400,8757 318,5892 217,1342
Feb-81 273,3076 128,6025 237,2021 314,6597 269,2363
Mar-81 182,8083 198,4676 409,5478 322,1106 355,1538
Apr-81 180,1852 285,5571 311,8856 273,9432 318,7105
May-81 140,1142 174,8098 294,7982 151,1945 286,1058
Jun-81 58,71053 85,21762 360,2556 124,1111 307,1824
Jul-81 66,28584 96,5918 394,8495 69,72798 420,9388
Aug-81 32,70264 59,91289 262,958 64,82272 138,5536
Sep-81 37,2148 195,1709 442,6366 108,2294 258,6955
Oct-81 47,53798 150,9522 463,2859 98,72014 356,2068
Nov-81 196,9789 198,7984 371,4644 407,8738 509,7831
Dec-81 231,8431 171,3153 411,3325 350,6041 407,9084
Jan-82 403,9746 220,1657 356,6829 478,1797 411,764
Feb-82 266,3359 156,1697 263,7678 342,1651 276,5538
Mar-82 253,2437 235,9393 213,7379 464,6717 375,9681
Apr-82 175,4839 281,4711 372,5348 277,2275 251,0496
May-82 31,3227 85,82883 405,3134 31,59304 71,43799
Jun-82 88,63052 75,23264 167,5188 69,59772 69,8617
Jul-82 24,60567 53,62476 129,3781 23,50839 101,3763
Aug-82 6,533133 26,2964 126,7032 11,18855 17,66677
Sep-82 4,089641 52,31473 114,6894 20,53092 56,93111
Oct-82 23,5037 72,47096 247,1063 42,97539 72,44495
Nov-82 39,79287 73,26491 265,6976 111,5639 77,76644
Dec-82 149,2445 251,2004 341,5428 315,791 292,4286
Jan-83 280,6226 169,6734 294,5995 354,1548 244,4707
Feb-83 312,9423 234,5165 369,4248 404,8623 341,4599
Mar-83 229,7021 254,9085 426,6897 416,0726 310,2341
Apr-83 202,924 362,697 394,9202 319,9181 288,4504
May-83 253,2579 272,5998 293,5602 329,775 550,6899
Jun-83 44,59399 53,2239 118,5481 62,7389 75,83659
Jul-83 76,4289 65,74628 273,1517 69,14709 150,1374
Sep-83 4,390177 33,23481 106,1214 17,64936 30,19376
Oct-83 148,0139 341,5379 748,6178 254,0038 790,7213
Nov-83 144,8736 231,5179 368,0413 356,0487 595,959
Dec-83 141,4675 156,5584 368,6897 306,6954 305,1089
Jan-84 378,3505 246,0564 448,7858 383,1285 240,8018
Feb-84 288,4548 213,7916 323,6356 417,5913 322,2598
Mar-84 229,9803 213,5518 355,2815 433,9027 354,5595
Apr-84 211,7958 262,9267 399,3854 308,0288 365,8299
May-84 219,371 190,4708 451,0952 225,1326 313,2597
Jun-84 52,26586 35,45801 55,37031 59,11318 69,66199
Jul-84 60,31287 53,99621 191,9359 53,38625 163,6889
Aug-84 64,26759 106,79 356,5873 83,19367 133,8977
Sep-84 49,84611 216,6229 590,1908 164,0956 443,023
Oct-84 116,7135 213,86 375,5076 209,1464 535,6519
Nov-84 184,0882 236,7592 372,4684 289,891 470,5868
Dec-84 262,2382 218,0401 303,623 305,0557 306,7791
Jan-85 301,6331 233,2578 353,5784 532,0737 290,1681
Feb-85 193,0724 167,7871 314,9104 316,7224 240,6371
Mar-85 168,2276 188,4998 281,0092 383,537 313,6844
Apr-85 227,488 253,4566 408,6591 310,4005 308,4195
May-85 85,5238 209,2515 424,7491 165,3994 223,6718
Jun-85 185,9853 148,5723 295,8099 173,0437 188,5935
Jul-85 106,5341 112,2842 479,2672 114,0373 256,9419
Aug-85 39,12173 43,37666 189,1159 49,12326 77,45571
Sep-85 19,31386 93,26862 491,4241 53,52922 90,54512
Oct-85 96,97301 238,785 381,3368 228,03 629,9058
Nov-85 123,1645 158,9954 333,1071 229,9804 339,7393
Dec-85 228,8573 236,4603 347,6032 388,7406 351,4762
Jan-86 297,4634 148,4184 379,2672 299,3583 231,27
Feb-86 216,5055 161,435 300,336 280,2353 218,5024
Mar-86 228,2549 267 336,2983 457,7169 521,402
Apr-86 212,9245 286,8996 428,9242 358,2287 296,3746
May-86 69,78586 94,38002 255,7739 120,7323 184,9673
Jun-86 76,47691 90,35873 288,9455 86,50712 427,2763
Jul-86 75,09818 69,38158 266,8995 95,71486 377,4228
Aug-86 46,63 87,1592 376,9078 44,6921 79,77406
Sep-86 21,2058 134,843 423,8857 73,15966 493,5973
Oct-86 120,3589 197,5793 354,7075 182,0293 560,2187
Nov-86 241,9086 248,0584 535,5251 362,8908 532,9775
Dec-86 244,9147 222,9066 452,0552 330,0106 445,4218
Feb-87 328,7093 183,177 346,3469 423,5722 372,379
Mar-87 205,9837 232,1548 393,7768 324,2948 248,324
Apr-87 133,6202 166,6841 445,0638 160,7335 145,3274
May-87 93,20184 266,6147 442,2664 199,4791 138,5354
Jun-87 48,70429 76,42477 186,1048 69,41367 61,7693
Jul-87 40,47243 42,51953 107,7744 35,49967 234,1124
Aug-87 10,63427 34,05626 103,232 34,04551 24,09616
Sep-87 7,913973 91,95583 194,1192 44,67406 49,46062
Oct-87 40,98384 93,20174 405,9433 77,93957 65,96631
Nov-87 119,5498 217,7703 430,9363 292,9965 373,1394
Dec-87 279,9818 169,739 298,3862 420,5638 580,705
Jan-88 365,5974 258,9838 372,0798 455,8906 431,3101
Feb-88 221,8238 161,977 341,3979 274,4583 192,9597
Mar-88 240,8535 264,4731 424,7139 437,49 359,591
Apr-88 68,04065 155,2167 348,4054 111,571 129,2619
May-88 99,02525 175,9744 475,2103 154,0447 271,0145
Jun-88 105,0332 47,36981 135,8447 127,4474 269,8604
Jul-88 26,80224 24,67265 87,22118 23,98784 57,20933
Aug-88 31,25777 35,27071 206,409 36,18077 45,63567
Sep-88 7,092482 27,06017 130,6251 33,39526 71,09184
Oct-88 83,60594 155,9956 463,5233 161,6644 526,1506
Nov-88 207,9606 164,2127 319,6925 346,9013 505,2741
Dec-88 377,9627 254,9359 332,2962 512,643 390,6299
Jan-89 266,4042 268,6632 440,0547 428,2369 374,4709
Feb-89 351,8981 195,4487 400,4852 389,3184 355,7385
Mar-89 205,3477 223,3538 287,4919 433,6507 308,3723
Apr-89 251,2121 290,8901 329,6726 387,6182 250,7422
May-89 169,5165 374,3643 495,9945 284,6443 374,391
Jun-89 228,8002 231,2643 328,635 158,5003 350,1032
Jul-89 114,6199 129,1515 224,2576 123,3977 241,425
Aug-89 47,03177 74,23698 224,425 55,01559 150,7292
Sep-89 8,226744 41,05709 214,3405 27,93777 57,17612
Oct-89 76,06051 120,4724 282,8713 123,1141 191,863
Nov-89 187,8465 221,579 335,5735 374,8547 283,2717
Dec-89 280,1651 297,2774 478,731 405,5899 421,9568
Jan-90 348,9236 212,4329 368,4269 383,0037 299,5008
Feb-90 187,8463 121,3903 239,4232 256,987 210,7464
Mar-90 168,3215 94,30221 200,0479 223,7006 264,0237
Apr-90 186,823 290,0322 589,9263 295,5959 343,1567
May-90 112,314 173,2001 278,1088 233,281 252,84
Jul-90 50,48276 49,31942 116,8065 44,03109 124,5959
Aug-90 34,3259 102,6483 350,0374 94,80592 195,913
Sep-90 5,275342 36,51262 153,437 17,15198 55,27013
Oct-90 29,44405 61,236 269,9403 59,30523 99,15192
Nov-90 152,587 193,5287 319,8882 246,0707 439,5848
Dec-90 335,1601 342,4013 432,0863 498,722 571,6881
Jan-91 344,7988 278,136 372,6683 514,3707 467,0087
Feb-91 320,7003 175,7446 380,564 341,3475 291,3991
Mar-91 241,0125 239,7477 485,7273 420,8474 383,8119
Apr-91 239,6412 320,4727 540,8925 376,3932 362,9319
May-91 79,63273 69,44092 130,3998 61,20884 124,8354
Jun-91 16,82657 15,38719 44,25211 36,37247 64,3391
Jul-91 25,77847 24,59219 57,35915 22,92841 58,26352
Aug-91 5,775353 24,6161 35,54275 18,03702 20,41277
Sep-91 3,655096 33,08137 115,9952 16,53186 43,37837
Oct-91 12,97257 21,45524 113,8685 17,43066 40,77038
Nov-91 176,068 245,1527 447,086 271,7321 311,0057
Dec-91 307,5907 274,6836 509,6341 416,0271 480,8673
Jan-92 245,3266 229,6523 400,1152 384,2149 313,4458
Feb-92 287,354 217,6827 404,5696 392,627 324,7004
Mar-92 195,8749 191,7597 330,3045 321,8102 287,8706
Apr-92 205,8365 279,6453 391,4502 335,2942 300,0936
May-92 217,611 311,0833 683,5073 445,6291 379,1589
Jun-92 96,77426 77,58689 89,48078 96,12765 147,678
Jul-92 44,66838 42,80071 141,9895 41,92651 210,3764
Aug-92 58,59787 160,0093 558,6582 148,5792 346,4911
Sep-92 24,38499 112,5635 319,953 54,32104 200,8716
Oct-92 159,5683 348,6935 690,5402 245,8815 790,0852
Nov-92 191,2032 208,0977 469,588 281,2308 372,5323
Dec-92 297,9744 285,7406 548,349 421,0584 426,0978
Jan-93 354,4755 196,7846 375,2668 358,6066 275,3443
Feb-93 196,5668 139,5286 306,4594 242,2099 201,4506
Mar-93 216,9962 184,5479 358,9652 395,2078 337,5826
Apr-93 219,2852 323,2517 603,7144 325,4164 339,4568
May-93 178,1609 199,3959 325,2675 207,9518 322,5112
Jun-93 196,0892 121,1946 249,0723 188,6999 243,3437
Jul-93 53,85404 52,84543 106,9999 56,52002 113,1376
Aug-93 31,62176 63,51586 307,5386 83,4172 54,78986
Sep-93 5,505106 56,90025 179,8078 25,64981 65,48399
Oct-93 56,06911 97,59092 511,3941 122,2972 156,1818
Dec-93 265,4994 373,1293 493,8834 538,4401 579,0525
Jan-94 384,8454 242,8253 408,0693 437,63 328,5724
Feb-94 343,8921 268,1584 494,5297 479,1079 418,2568
Mar-94 298,3895 294,5166 472,1743 574,7678 613,6938
Apr-94 153,2351 187,9925 356,9942 176,0141 195,8627
May-94 91,52127 206,5152 541,6983 137,1192 197,027
Jun-94 21,20014 22,07391 68,20123 31,85369 29,65206
Jul-94 14,71985 14,23413 29,84798 13,4797 35,17202
Aug-94 19,71347 57,43245 123,2263 51,67191 89,86772
Sep-94 3,878693 32,3208 86,25319 18,09571 47,09384
Oct-94 18,28691 51,74215 166,5816 32,35443 64,82511
Nov-94 59,08475 110,3478 286,396 125,3423 125,7833
Dec-94 188,5395 175,7172 305,5715 292,7502 236,7073
Jan-95 269,8505 168,7209 322,8081 319,4983 275,2881
Feb-95 199,8664 125,5666 200,4321 228,1219 214,1684
Mar-95 212,924 183,6536 300,2864 390,5378 322,103
Apr-95 168,5748 255,0314 365,5105 272,6454 245,7204
May-95 161,0216 191,8155 308,4086 291,7285 227,5793
Jun-95 209,6252 134,2447 476,1103 222,8361 376,0578
Jul-95 92,13752 73,29305 283,8712 71,66933 92,66203
Aug-95 6,61557 16,58882 46,51279 11,19373 17,43463
Sep-95 10,84369 72,96553 250,7575 40,37638 109,3123
Oct-95 140,9837 208,2108 569,602 195,8678 847,1605
Nov-95 174,422 265,229 427,9142 339,8242 522,3933
Dec-95 225,8035 224,2375 267,2698 372,2601 323,6295
Jan-96 498,8243 276,3304 476,3593 459,6857 321,3023
Feb-96 276,2734 173,0768 365,1958 317,7381 320,4211
Mar-96 242,8735 164,2632 237,1601 407,0853 264,2103
Apr-96 250,6478 368,1716 570,2866 320,0725 276,7062
May-96 31,48009 29,63917 172,0791 31,53761 134,6596
Jun-96 50,65531 68,88071 133,9249 83,84709 67,38918
Jul-96 28,76397 37,48591 68,50876 40,92621 66,96622
Aug-96 36,78428 47,07547 271,0715 66,77043 118,8295
Sep-96 10,59993 70,11621 355,531 34,94967 105,737
Oct-96 256,9799 472,4128 850,6183 477,3936 1343,103
Nov-96 91,01784 169,7321 352,8576 243,0797 296,2232
Dec-96 174,0534 193,3124 336,5695 341,8005 275,3845
Jan-97 195,8358 134,638 302,4568 229,1136 162,7293
Feb-97 415,0162 309,0485 779,5745 517,756 363,2573
Mar-97 198,8719 178,488 218,9793 256,459 216,9722
May-97 49,2235 96,16526 322,2527 115,1616 145,708
Jun-97 26,37764 17,28734 32,22511 33,57096 54,32101
Jul-97 29,79663 31,54052 82,03159 27,17157 74,22125
Aug-97 7,196832 19,47548 79,92215 13,04287 24,92303
Sep-97 3,118992 22,37111 64,03793 13,98801 34,52791
Oct-97 9,062401 26,37712 84,81232 15,79804 32,14542
Nov-97 70,57199 182,7318 564,7794 206,5331 216,6841
Dec-97 158,347 202,3831 313,1152 344,4088 250,6363
Jan-98 89,51358 103,348 206,7038 142,3907 110,9606
Feb-98 282,5183 210,5691 382,5067 413,5319 362,9193
Mar-98 189,8035 260,4842 395,8538 374,6783 446,7169
Apr-98 146,89 175,7872 358,1578 206,5789 208,4445
May-98 185,1639 242,4405 518,3135 247,6956 261,0525
Jun-98 117,0903 130,1065 352,3001 169,4455 275,1361
Jul-98 119,531 115,0826 274,7382 122,7088 418,9402
Aug-98 68,27585 79,03653 291,4038 85,70358 247,0692
Sep-98 18,07328 76,26471 207,7871 53,33404 109,2777
Oct-98 108,4332 251,2585 375,8896 224,9926 741,6031
Nov-98 240,1286 271,9035 466,4706 354,3891 433,6595
Dec-98 223,1604 275,7717 305,6542 375,7153 436,5368
Jan-99 464,592 270,572 458,8227 492,2947 409,9106
Feb-99 285,668 180,2979 310,883 337,6975 247,7954
Mar-99 247,0865 288,6146 396,6201 533,5009 486,7304
Apr-99 136,3448 228,559 329,2798 269,9029 216,1277
May-99 120,2521 151,9417 173,537 135,3497 143,7737
Jun-99 75,68126 46,11108 125,4218 70,18759 46,73354
Jul-99 57,84134 40,17795 121,4593 42,63126 124,731
Aug-99 20,50776 21,90819 50,37099 26,79698 20,94744
Sep-99 3,449132 23,49781 111,2175 14,62306 32,04015
Oct-99 103,7204 291,6342 652,7307 293,0215 745,4141
Nov-99 178,2204 230,0215 369,1989 329,9981 345,6328
Dec-99 293,8792 241,9419 345,0131 403,1939 469,6591
Jan-00 392,185 238,9377 455,5365 390,1741 354,5366
Feb-00 210,0959 180,4279 365,2633 285,939 291,7343
Mar-00 196,7592 190,1896 247,6564 378,772 339,756
Apr-00 246,6133 385,6523 523,6016 436,3989 384,3496
May-00 145,081 280,7057 475,7781 279,1593 280,1639
Jun-00 182,3734 100,2592 171,0695 163,6131 154,1224
Jul-00 36,44289 36,5076 122,4256 48,11865 98,62694
Aug-00 29,79446 43,34523 194,0754 30,70476 70,05348
