DISTRIBUTOR - PENGECER DENGAN MULTI - PRODUK DAN KENDALA TINGKAT LAYANAN
Mikiyana Ramadani, Nughthoh Arfawi Kurdhi, dan Sutrima Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Penelitian terhadap manajemen persediaan beberapa tahun belakangan men-gunakan waktu tunggu sebagai variabel keputusan. Penelitian tersebut dilakukan pada suatu model persediaan dengan satu produk dan dua pihak rantai pemasok. Pada ar-tikel ini membahas tentang model persediaan dengan multi-produk dan tiga pihak rantai pemasok, yaitu produsen, distributor dan pengecer. Model persediaan yang baik akan diperoleh dari hasil integrasi antara model persediaan produsen, model persediaan dis-tributor dan model persediaan pengecer. Model persediaan terintegrasi pada artikel ini menggunakan multi - produk dan kendala tingkat layanan. Kendala tingkat layanan merupakan tingkat kepuasan pelanggan yang dapat dilihat dari biaya pengurangan wak-tu wak-tunggunya. Pengurangan wakwak-tu wak-tunggu ini berbanding lurus dengan berkurangnya biaya pemesanan. Tujuan penelitian ini adalah menentukan penyelesaian optimal untuk model persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer yang dapat meminimumkan total biaya persediaan dengan menggunakan kondisi Karush-Kuhn-Tucker.
Kata Kunci: model persediaan terintegrasi, multi-produk, kendali waktu tunggu, kendala tingkat layanan, kondisi Karush-Kuhn-Tucker.
1. Pendahuluan
Persediaan merupakan sejumlah bahan atau barang yang disediakan oleh pe-rusahaan, baik berupa barang jadi, bahan mentah, maupun barang dalam proses yang disediakan untuk menjaga kelancaran operasi perusahaan guna memenuhi per-mintaan konsumen setiap waktu. Persediaan dengan model terintegrasi pertama kali digagas oleh Goyal, dengan mengintegrasi model produsen dan distributor sehingga menghasilkan model yang dapat meminimumkan total biaya persediaan. Pada be-berapa tahun terakhir banyak peneliti yang tertarik untuk mengembangkan model terintegrasi, seperti Ouyang [1] yang meneliti tentang model persediaan terintegrasi pemasok-pengecer dan kendali waktu tunggu dengan permintaan waktu tunggunya berdistribusi normal dan distribusi tidak diketahui(free distribution). Pada tahun 2011, Sahraeian dan Koosha [2] meneliti tentang tiga pihak rantai pemasok dengan kendali waktu tunggu yang terdiri dari produsen, distributor dan pengecer.
Pengecer merupakan pihak dimana konsumen dapat memperoleh berbagai macam barang kebutuhan sehari-hari, jika pengecer tidak memiliki persediaan barang yang tersisa(stockout ), maka terjadilah shortage yang berarti pemenuhan konsumen akan barang tersebut tidak dapat dipenuhi saat itu juga. Jika konsumen memilih untuk menunggu(backorder ) maka pengecer akan menghubungi distributor untuk kemu-dian distributor memesan kepada produsen. Ketika produsen memiliki persediaan barang yang cukup maka akan langsung dikirim, jika tidak maka produsen akan memproduksi barang tersebut dengan waktu tunggu tertentu. Waktu tunggu dalam hal ini terdiri atas waktu untuk penerimaan barang mentah, waktu persiapan pro-duksi set-up, waktu proses dan waktu transportasi. Waktu tunggu dapat disingkat dengan crashing cost yang dalam hal ini akan dibebankan kepada pengecer. Apa-bila konsumen tidak mau melakukan backorder, akan terjadi kehilangan peluang penjualan(lost of sales) sampai kehilangan pelanggan(lost of customers), maka dari
itu diperlukan adanya suatu perbaikan manajemen persediaan, dimana mencari titik optimasi tentang berapa jumlah barang yang dipesan dan kapan pemesanan tersebut dilakukan.
Taleizadeh [3] pada tahun 2010 meneliti tentang model multi-produk sistem pro-duksi mesin tunggal dengan tingkat propro-duksi stokastik diabaikan, backorder parsial, dan kendala tingkat layanan. Tingkat layanan merupakan ukuran tingkat kepuasan pelanggan dan dapat dilihat dari biaya pengurangan waktu tunggu, dimana semakin banyak pengurangan waktu tunggunya maka kebutuhan konsumen akan semakin cepat terpenuhi.
Pada penelitian ini dikembangkan model dari Sahraeian dan Koosha [2] yaitu model persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer dengan multi-produk, digabungkan dengan penelitian Ouyang [1] yaitu permintaan selama waktu tunggu berdistribusi normal dan berdistribusi tidak diketahui, dan menggunakan kendala tingkat layanan untuk multi-produk dari penelitian Taleizadeh [3]. Selanjutnya di-tentukan penyelesaian optimal untuk meminimumkan biaya total persediaan dari model yang telah diperoleh kemudian menginterpretasikan hasilnya.
2. Asumsi Model Persediaan Terintegrasi
Pengembangan model persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer dengan multi -produk dan kendala tingkat layanan dibentuk beberapa asumsi yang mengacu pada Sahraeian dan Koosha [2], Ye dan Xu [4] serta Ouyang [1].
(1) Tiga pihak rantai pemasok terdiri atas produsen, distributor, dan pengecer. (2) Persediaan dikontrol secara berkelanjutan dan penambahan dilakukan ketika tingkat persediaan mencapai titik pemesanan kembali atau reorder point (r). (3) Reorder point (r) =ekspektasi permintaan saat waktu tunggu + persediaan pengaman. Permintaan X saat waktu tunggu Li diasumsikan berdistribusi
normal dengan mean DiLi dan standar deviasinya σi √
Li, sehingga ri = DiLi + kσi
√
Li, dengan k adalah faktor pengamannya.
(4) Shortage diperbolehkan dan backorder sepenuhnya
(5) Produsen memproduksi produk sebanyak miQi dengan laju produksi
ter-batas Pi(Pi > Di) dan dikirim sebanyak Qi kepada distributor sejumlah mi,
dengan Di merupakan suatu demand atau permintaan.
(6) Waktu tunggu dapat dikendalikan dengan menambah crashing cost. Waktu tunggu memiliki n komponen saling bebas. Komponen waktu tunggu ke-i dari pengecer memiliki durasi minimum aidan durasi normal bi, dan crashing cost per satuan waktu ci dimana c1 ≤ c2 ≤ . . . ≤ cn. Reduksi waktu tunggu
haruslah menjadi komponen pertama (karena memiliki crashing cost yang minimum), dan komponen kedua dan selanjutnya. Jika dimisalkan L0 =
∑n
j=1bj dan Li adalah lamanya waktu tunggu dengan komponen 1, 2, . . . , i
disingkat dengan durasi minimumnya, maka Li diekspresikan sebagai Li =
∑n j=1aj + ∑n j=i+1bj = ∑n j=1bj − ∑i j=1(bj − aj) = L0 − ∑i j=1(bj − aj), i = 1, 2, . . . , n. Crashing cost waktu tunggu, per-siklus adalah R(Li) = ci(Li−1− Li) +
∑i−1
j=1cj(bj − aj), ∀i dengan Lϵ(Li, Li−1).
(7) Biaya tambahan akan dikenakan pada pengecer jika terdapat permintaan
(8) Biaya transportasi diabaikan.
3. Sistem Operasi Persediaan
Konsumen melakukan permintaan tahunan untuk produk ke-i (Di) unit barang.
Pengecer menerima permintaan konsumen dengan melakukan pemesanan untuk pro-duk ke-i (Qi) unit barang pada distributor, kemudian distributor melakukan
per-mintaan pada produsen. Produsen memproduksi barang sebanyak Qi dengan
ke-mampuan produksi sebesar Pidalam satu siklus produksi yang kemudian dikirimkan
kepada pengecer melalui distributor dalam mi kali pengiriman. Waktu yang
dibu-tuhkan oleh pengecer dari awal pemesanan sampai barang tersebut sampai disebut waktu tunggu (lead time). Waktu tunggu dapat disingkat dengan menambahkan biaya pengurangan waktu tunggu (crashing cost ). Jika terjadi permintaan berlebih saat waktu tunggu, maka akan menyebabkan shortage cost dimana konsumen dapat menunggu dengan melakukan backorder atau tidak, yang mengakibatkan terjadinya
lost sale bahkan lost of customer. Permintaan yang terjadi selama waktu tunggu
akan berdistribusi normal dan berdistribusi tidak diketahui. 4. Formulasi Model
Pada bagian ini dijelaskan formulasi model persediaan, yaitu model persedia-an produsen, model persediapersedia-an distributor, model persediapersedia-an pengecer, dpersedia-an model persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer.
4.1. Model Persediaan Produsen. Produsen memiliki tingkat produksi untuk produk ke-i adalah sebesar Pi per tahun dengan Pi > Di dan mengeluarkan
bi-aya persiapan sebesar Si. Biaya penyimpanan produsen per tahun sebesar h ′ i per
unit barang. Total biaya persediaan produsen per tahun adalah jumlahan dari bi-aya persiapan, bibi-aya penyimpanan dan bibi-aya pengurangan waktu tunggu (crashing
cost ).
4.2. Model Persediaan Distributor. Distributor mengeluarkan biaya pemesanan sebesar A′i, biaya penyimpanan distributor per tahun sebesar h′′i per unit barang. Persediaan rata-rata untuk distributor diasumsikan sama dengan produsen, sehingga total biaya persediaan distributor per tahun adalah jumlahan dari biaya pemesanan, biaya penyimpanan dan biaya pengurangan waktu tunggu (crashing cost ).
4.3. Model Persediaan Pengecer. Ekspektasi jumlah permintaan karena keku-rangan persediaan berdistribusi normal adalah E(X − r) = σi
√
Liψ(k), dengan ψ(k) = ϕ(k)− k[1 − Φ(k)], ϕ dan Φ berturut-turut adalah probability density func-tion (pdf ) dan cumulative distribufunc-tion funcfunc-tion (CDF ) normal standar.
Ekspek-tasi jumlah permintaan karena kekurangan persediaan berdistribusi tidak diketahui adalah E(X− r) ≤ 12[√σiLi+ (r− DiLi)2− (r − DiLi)] dengan ri = DiLi+ kσiLi
maka E(X − r) ≤ 12(√1 + k2 − k)σ
i √
Li. β merupakan persentase jumlah
per-mintaan yang mengalami backorder, sehingga ekspektasi jumlah perper-mintaan sela-ma waktu tunggu berdistribusi norsela-mal saat backorder adalah βσi
√
Liψ(k) sehingga
saat terjadi lostsales ekspektasinya adalah (1− β)σi √
Liψ(k) dan ekspektasi
jum-lah permintaan selama waktu tunggu berdistribusi tidak diketahui saat backorder adalah βσi
√ Li12(
√
(1− β)σi √
Li12( √
1 + k2− k). Biaya kekurangan persediaan per siklus dengan
per-mintaan selama waktu tunggu berdistribusi normal adalah (πi+γi(1−β))σi √
Liψ(k)
dan permintaan selama waktu tunggu berdistribusi tidak diketahui adalah (πi + γi(1− β))σi
√ Li12(
√
1 + k2− k). Total biaya persediaan pengecer per tahun adalah
jumlahan dari biaya pemesanan, biaya penyimpanan, biaya kekurangan persediaan (shortage), dan biaya pengurangan waktu tunggu (crashing cost ).
4.4. Model Persediaan Terintegrasi Produsen-Distributor-Pengecer. Total biaya persediaan terintegrasi produsen - distributor - pengecer per siklus produksi adalah total semua biaya yang ditanggung oleh produsen, distributor dan pengecer per siklus produksi
a. Total biaya persediaan terintegrasi per tahun dengan waktu tunggu selama permintaan berdistribusi normal adalah meminimumkan
J T CtotalN = n ∑ i=1 [(DiSi miQi + h′iQi 2 [mi(1− Di Pi )− 1 + 2Di Pi ] +θDiR(Li) Qi ) + (DiA ′ i miQi + h′′imiQi 2 + θ′DiR(Li) Qi ) + (Di Qi Ai+ hi[ Qi 2 + kσi √ Li+ (1− β)σi √ Liψ(k)] + θ′′DiR(Li) Qi +Di Qi [πi+ γi(1− β)]σi √ Liψ(k))] (4.1)
terhadap kendala ∑ni=1σi √
Liψ(k)
Qi ≤ α, dengan α adalah proporsi permintaan
yang tidak terpenuhi untuk produk ke-i dan 1− α adalah tingkat layanan. b. Total biaya persediaan terintegrasi per tahun dengan waktu tunggu selama
permintaan berdistribusi tidak diketahui adalah meminimumkan
J T CtotalU = n ∑ i=1 [(DiSi miQi + h′iQi 2 [mi(1− Di Pi )− 1 + 2Di Pi ] + θDiR(Li) Qi ) + (DiA ′ i miQi + h′′i miQi 2 + θ′DiR(Li) Qi ) + (Di Qi Ai+ hi[ Qi 2 + kσi √ Li+ (1− β)σi √ Li 1 2( √ 1 + k2− k)] + θ′′DiRi(Li) Qi + Di Qi [πi+ γi(1− β)]σi √ Li 1 2( √ 1 + k2− k))] (4.2)
terhadap kendala∑ni=1
1 2σi √ Li( √ 1+k2−k) Qi ≤ α. 5. Penyelesaian Optimal
5.1. Penyelesaian dengan Permintaan Selama Waktu Tunggu Berdistribusi Normal. Total penyelesaian optimum diperoleh dengan mencari penyelesaian opti-mum dari variabel Qi, k, Li, dan mi. Nilai Li optimal (L∗i) dicari dengan menurunkan
persamaan (4.1) terhadap Li, ∂ 2J T C totalN(Qi,k,Li,mi) ∂L2 i =∑ni=1[−hi( kσi 4L3/2i + (1−β)σiψ(k) 4L3/2i )− Di(πi+(1−β)γi)σiψ(k) 4L3/2i Qi ] < 0. Jika R(Li) = ci(Li−1− Li) + ∑i−1 j=1cj(bj− aj) maka ∂R(L∂Lii) = −ci dan ∂2R(L i) ∂L2
fungsi konkaf terhadap Li pada interval [Li−1, Li]. Dalam mencari nilai mi
op-timum (m∗i), pada persamaan (4.1) diturunkan terhadap mi, sehingga diketahui ∂2J T C totalN(Qi,k,Li,mi) ∂m2 i = ∑ni=1[2DiSi m3 iQi + 2DiA′i m3
iQi] ≥ 0 merupakan suatu fungsi konveks,
sehingga agar diperoleh nilai m yang optimal(m∗i), maka harus memenuhi
J T CtotalN(m∗i)≤ JT CtotalN(m∗i − 1) dan JT CtotalN(m∗i)≤ JT CtotalN(m∗i + 1).
Karena terdapat satu kendala berarti terdapat 21 = 2 macam nilai λ. Hasil turunan fungsi Lagrange terhadap Qi adalah
Qi = v u u t2[Di(Ai+ R(Li) + Si+A′i mi + [πi+ γi(1− β)]σi √ Liψ(k)− λ(12σi √ Liψ(k)] hi+ h′i(mi(1− DPi i)− 1 + 2Di Pi ) + h ′′ imi (5.1) Hasil turunan fungsi Lagrange untuk mencari k dengan λ = 0 adalah
Φ(k) = 1− n ∑ i=1 hi Di Qi[πi+ γi(1− β)] + hi(1− β) (5.2) sedangkan hasil turunan fungsi Lagrange untuk mencari k dengan λ ̸= 0 adalah
ψ(k) = α Σn i=1 σi √ Li Qi (5.3) dan untuk mencari nilai λ-nya adalah
λ = ∑n i=1 Di Qi[πi+ (1− β)]σi √ Li(1− Φ(k)) − hiσi √ Li+ hi(1− β)σi √ Li(1− Φ(k)) ∑n i=1 σi√Li(1−Φ(k)) Qi (5.4) Algoritme berikut digunakan untuk menentukan nilai optimal Qi, k, Li, mi
Algoritme 5.1
(1) Menetapkan nilai mj = 1
(2) Untuk setiap Lij dengan j = 1, 2, . . . , J , mulai kj = 0, gunakan langkah
berikut
(a) Mengambil nilai awal λ = 0 atau λ̸= 0 (misal diambil sebarang λ positif = 0.01), ϕ(kj) = 0.39894 dan Φ(kj) = 0.5.
(b) Menentukan nilai ψ(kj), kemudian substitusikan nilai ψ(kj) pada
per-samaan (5.1) agar diperoleh nilai Qij
(c) Untuk λ = 0 gunakan nilai Qij pada persamaan (5.2) agar diperoleh
nilai Φ(kj) dan untuk λ ̸= 0 masukan nilai Qij pada persamaan (5.3)
sehingga diperoleh nilai ψ(kj)
(d) Untuk λ = 0 ulangi langkah (a, b, c) hingga tidak ada perubahan pada nilai Qij dan kj, untuk λ ̸= 0 lakukan pengecekan nilai ψ(kij) dari tabel
Silver-Peterson sehingga diperoleh nilai kj, ϕ(kj), dan Φ(kj)
(e) Mencari nilai λ optimal dengan memasukan nilai Qij ke persamaan (5.4).
(f) Untuk λ ̸= 0 ulangi langkah (a, b, c, e) hingga tidak ada perubahan pada nilai Qij dan kj
(4) Nilai terkecil dari J T CtotalN merupakan nilai optimal untuk mi
(5) Tentukan mi = mi+ 1 dan lakukan langkah b− d untuk menentukan nilai J T CtotalN
(6) Jika hasilnya kurang dari hasil perhitungan sebelumnya, maka lakukan lagi langkah (5) sampai mencapai nilai global minimum dari keseluruhan J T CtotalN,
jika sudah lanjut ke langkah (7)
(7) Nilai untuk (Q∗ij, kj∗, L∗ij, m∗i) adalah nilai optimum dengan nilai J T CtotalN
minimum.
5.2. Penyelesaian dengan Permintaan Selama Waktu Tunggu Berdistribusi Tidak Diketahui. Total penyelesaian optimum diperoleh dengan mencari penye-lesaian optimum dari variabel Qi, k, Li, dan mi. Nilai Li optimal (L∗i) dicari dengan
menurunkan persamaan (4.2) terhadap Li, ∂2J T C totalU(Qi,k,Li,mi) ∂L2 i = ∑n i=1[−hi( kσi 4L3/2i ) + (1−β)σi( √ 1+k2−k) 8L3/2i − Di(πi+γi(1−β))σi( √ 1+k2−k) 8L3/2i Qi ] < 0. Jika R(Li) = ci(Li−1−Li)+ ∑i−1 j=1cj(bj− aj) maka ∂R(L∂Li) i = −ci dan ∂2R(L i) ∂L2 i
= 0. Dengan demikian diketahui bahwa fungsi merupakan fungsi konkaf terhadap Li pada interval [Li−1, Li]. Dalam mencari nilai mi optimum (m∗i), pada persamaan (4.2) diturunkan terhadap mi, sehingga
dike-tahui ∂2J T CtotalU(Qi,k,Li,mi) ∂m2 i = ∑ni=1[2DiSi m3 iQi + 2DiA′i m3
iQi] ≥ 0 merupakan suatu fungsi
kon-veks, sehingga agar diperoleh nilai m yang optimal(m∗i). Karena terdapat satu kendala berarti terdapat 21 = 2 macam nilai λ. Hasil turunan fungsi Lagrange terhadap Qi adalah Qi= v u u t2[Di(Ai+ R(Li) + Si+A′i mi + [πi+ γi(1− β)]σi √ Li12( √ 1 + k2− k)) − λ(1 2σi √ Li( √ 1 + k2− k))] hi+ h′i(mi(1−DPii)− 1 +2DPii) + h′′imi (5.5) Hasil turunan fungsi Lagrange untuk mencari k dengan λ = 0 adalah
k √ 1 + k2 = 1 + −2∑n i=1hiσi √ Li ∑n i=1 Di Qi[πi+ γi(1− β)]σi √ Li+ hi(1− β)σi √ Li (5.6) sedangkan hasil turunan fungsi Lagrange untuk mencari k dengan λ ̸= 0 adalah
√ 1 + k2− k = ∑ 2α n i=1 σi√Li Qi (5.7) dan untuk mencari nilai λ-nya adalah
λ = ∑n i=1 f Di(πi+γi(1−β))σi√Li 2Qi + hiσi √ Li+ h2i(1− β)(√1+kk 2 − 1)σi √ Li ∑n i=1 f σi√Li 2Qi (5.8) dengan f = (√ k
1+k2 − 1) Algoritme berikut digunakan untuk menentukan nilai
opti-mal Qi, k, Li, mi Algoritme 5.2
(1) Menetapkan nilai mi = 1
(2) Untuk setiap Lij dengan j = 1, 2, . . . , J gunakan langkah berikut
(a) Mengambil nilai kj = 0 atau λ = 0 atau λ̸= 0 (misal diambil sebarang λ positif = 0.01)
(b) Menghitung Qij menggunakan persamaan (5.5)
(c) Agar memperoleh nilai kij; maka untuk λ = 0 gunakan nilai Qij pada
persamaan (5.6) dan untuk λ ̸= 0 gunakan nilai Qij pada persamaan
(5.7)
(d) Memasukan nilai Qij ke persamaan (5.8)
(e) Menghitung nilai J T CtotalU(Qij, kj, Lij, mi)
Mengulangi langkah (a) - (e) hingga tidak ada perubahan pada nilai Qij dan kj
(3) Tentukan minijJ T CtotalU(Qij, kj, Lij, mi).
Jika J T CtotalU(Q∗ij, k∗j, L∗ij, mi) =minijJ T CtotalU(Qij, kj, Lij, mi) maka (Q∗ij, kj∗, L∗ij)
merupakan penyelesaian optimal untuk mi tetap
(4) Menentukan mi = mi+ 1 dan melakukan langkah b− c untuk menentukan
nilai J T CtotalU(Q∗ij, k∗j, L∗ij, m∗i)
(5) Jika J T CtotalU(Q∗ij, kj∗, L∗ij, mi) ≤ JT CtotalU(Q∗ij−1, kj−1∗ , L∗ij−1, mi − 1) maka
kembali ke langkah (d), jika tidak maka ke langkah (f)
(6) Himpunan J T CtotalU(Q∗ij, kj∗, L∗ij, m∗i) = J T CtotalU(Q∗ij−1, kj∗−1, L∗ij−1, mi − 1)
maka (Q∗ij, k∗j, L∗ij, m∗i) adalah penyelesaian optimalnya.
6. Penerapan
Penerapan model persediaan pada sub bab ini diambil dari Sahraeian dan Koosha [2] dipadukan dengan Ye dan Xu [4]. Diketahui : D1 ≈ N(500, 82), P1 =
1800, A1 = 150, A ′ 1 = 150, S1 = 1300, S2 = 1500, D2 ≈ N(600, 82), P2 = 2000, A2 = 200, A′2 = 150, h1 = 30, h2 = 20, h ′ 1 = 20, h ′ 2 = 15, h ′′ 1 = 25, h ′′ 2 = 18, π1 = 45, π2 = 50, β = 0.5, γ1 = γ2 = 150, α = 0.5
Dengan menerapkan algoritme 5.1 diperoleh penyelesaian optimal dari total biaya persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer per tahun untuk λ = 0 pada J T CN adalah sebesar 20806.2 dengan m∗ = 2, L∗ = 4, Q∗1 = 98.5793, Q∗2 =
139.276, k∗ = 1.37489 dengan titik pemesanan kembali(reorder point ) r1 = 2022.
dan r2 = 2419.25. untuk λ̸= 0 pada JT CN adalah sebesar 22830.4 dengan m∗ = 2,
Tabel 1. Biaya Optimal Permintaan Berdistribusi Normal(λ = 0 dan λ̸= 0)
λ m1 = m2 L1 = L2 Q1 Q2 k J T CN 0 2 8 99.0291 139.647 1.37282 21314.2 0 2 6 98.5733 139.179 1.37507 21037. 0 2 4 98.5793 139.276 1.37489 20806.2∗ 0 2 3 99.8891 140.892 1.36809 20905.6 54580.8 2 8 95.2515 139.185 0.747896 23010.9 55871.8 2 6 95.1408 139.181 0.663597 22877.9 57434.7 2 4 95.5373 139.807 0.536277 22830.4∗ 58384.4 2 3 97.0673 141.726 0.433782 23046.1
L∗ = 4, Q∗1 = 95.5373, Q∗2 = 139.807, k∗ = 0.536277 dengan titik pemesanan kembali(reorder point ) r1 = 2008.58 dan r2 = 2407.51.
Dengan menerapkan algoritme 5.2 sehingga diperoleh penyelesaian optimal dari total biaya persediaan terintegrasi produsen-distributor-pengecer per tahun untuk
Q∗2 = 248.632, k∗ = 1.60286 dengan titik pemesanan kembali(reorder point ) r1 =
2025.65 dan r2 = 2422.44.
Tabel 2. Biaya Optimal Permintaan Berdistribusi Tidak Diketahui(λ = 0 dan λ̸= 0)
λ m1 = m2 L1 = L2 Q1 Q2 k J T CU 0 1 8 181.431 253.362 1.58107 23531.7 0 1 6 179.182 250.885 1.59212 23062.1 0 1 4 177.008 248.552 1.60286 22554.8∗ 0 1 3 176.921 248.632 1.60299 22382.6 26490.1 2 8 104.454 147.404 1.61225 24044.9 35292.4 2 6 101.807 145.103 1.39229 23618.4 44578.4 2 4 99.6482 143.441 1.09715 23285.5∗ 54458.5 2 3 99.8792 144.209 0.889621 23362.1
untuk λ ̸= 0 pada JT CU adalah sebesar 23285.5 dengan m∗ = 1, L∗ = 4, Q∗1 =
99.6482, Q∗2 = 144.209, k∗ = 0.889621 dengan titik pemesanan kembali(reorder
point ) r1 = 2025.65 dan r2 = 2422.44.
7. Kesimpulan
(1) Model persediaan terintegrasi J T CN dinyatakan pada persamaan (4.1) dan
persamaan (4.2).
(2) Penyelesaian optimal berdasarkan model persediaan terintegrasi adalah (Q∗, k∗danλ∗) yaitu pada Persamaan (5.1), (5.2), (5.3), (5.5), (5.6), (5.3), (5.4) dan(5.8).
(3) Berdasarkan penerapan, total biaya persediaan dapat diminimumkan dengan menggunakan kondisi Karush Kuhn-Tucker dan nilai λ = 0 sehingga biaya persediaan terintegrasi yang diperoleh adalah 20806.2 dengan banyaknya pe-sanan adalah Q∗1 = 98.5793 = 99 unit dan Q∗2 = 139.276 = 139 unit dan titik pemesanan kembali pada r1 = 2022. = 2022 unit dan r2 = 2419.25 = 2419
unit.
Daftar Pustaka
1. Ouyang, L.Y., Wu, K.S., and Ho, C.H., Integrated Vendor-Buyer Coperative Models with
Sto-chastic Demand In Controllable Lead Time, International Journal of Production Economics 92
(2004), 255–266.
2. Sahraeian, R., and Koosha, M., A Cost Allocation Model for Optimizing The Inventory of A
Supply Chain with Controllable Lead Time, Journal of American Science 7 (2011), 216–222.
3. Taleizadeh, A. A., Niaki, S. T. A., Najafi, A. A., Multiproduct Single-Machine Production System
with Stochastic Scrapped Production Rate, Partial Backordering and Service Level Constraint,
Journal of Computational and Applied Mathematics 223 (2010), 1834–1849.
4. Ye, F., and Xu, X., Cost Allocation Model for Optimizing Supply Chain Inventory with
