SIFAT-SIFAT LOGARITMA

(1)

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami defi nisi logaritma.

2. Dapat menentukan nilai logaritma dengan menggunakan tabel logaritma. 3. Memahami sifat-sifat logaritma.

4. Dapat mengaplikasikan sifat-sifat logaritma dalam penyelesaian masalah.

A. Defi nisi Logaritma

Logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan. Secara umum, logaritma didefi nisikan sebagai berikut.

Misalkan a, b, c ∈ R, a > 0, a ≠ 1, dan c > 0, berlaku a_{log c = b jika dan hanya jika a}b_{= c.}

ab_{= c ↔}a_{log c = b}

a disebut basis (0 < a < 1 atau a > 1) c disebut numerus (c > 0)

b disebut hasil logaritma

matematika PEMINATAN

K

e

l

a

s X

(2)

2 Contoh Soal 1

Ubahlah bentuk eksponen berikut ke dalam bentuk logaritma! a. 32_{= 9} b. 25_{= 32} c. _{5 =}1 5 1 − d. 1 2 = 1 8 3     e. 50_{= 1} Pembahasan:

Berdasarkan definisi logaritma, ab_{= c ↔}a_{log c = b, diperoleh:}

a. 32_{= 9 ↔}3_{log 9 = 2} b. 25_{= 32 ↔}2_{log 32 = 5} c. 5 =1 5 log 1 5= 1 1 5 − _↔ ₋ d. 1 2 = 1 8 log 1 8= 3 3 1 2     ↔ e. 50_{= 1 ↔}5_{log 1 = 0} Catatan penting:

Hasil logaritma adalah pangkat dari basis

Contoh Soal 2

Tentukan nilai logaritma berikut! a. 2_{log 8} b. 3_{log 81} c. 4_log1 16 d. 6_{log 1} e. 13_{log 9}

(3)

3

Pembahasan:

a. Misal 2_{log 8 = x.}

2_{log 8 = x ↔ 2}x_{= 8}

2x_{= 2}3 _{x = 3}

Jadi, 2_{log 8 = 3.}

b. Misal 3_{log 81 = x.}

3_{log 81 = x ↔ 3}x_{= 81} 3x_{= 3}4 x = 4 Jadi, 3_{log 81 = 4.} c. Misal 4_log1 16 = y.

4_log1 16 = y ↔ 4 y_{= 1} 16 4y_{= 4}–2 y= –2 Jadi, 4_log1 16 = –2. d. Misal 6_{log 1 = p.}

6_{log 1 = p ↔ 6}p_{= 1} 6p_{= 6}0 p = 0 Jadi, 6_{log 1 = 0.} e. Misal 1 3_{log 9 = x.}

1 3_{log 9 =} 1 3 = 9 x x ↔     3 = 3 = 2 = 2 2 − − − x x x Jadi, 1 3_{log 9 = –2.}

(4)

4

Catatan penting:

1. Basis 10 biasanya tidak dituliskan. Jadi, 10_{log x = log x.}

2. Menentukan nilai logaritma tidak selalu kembali kepada definisi logaritma.

Contoh Soal 3

Tentukan nilai logaritma berikut! a. log 100 b. log 1 10 c. 2_log1 5 4+ log 125 Pembahasan: a. log 100 = 10_{log 100}

= 10_{log 10}2 pangkat basis

= 2 Jadi, log 100 = 2. b. log 1 10 = log 10 10 −12 pangkat basis = 1 2 − Jadi, log 1 10 = 1 2 − . c. 2_log1 5 2 -2 5 23

4+ log 125 = log2 + log 5

= 2 +3 2 = 1 2 − − Jadi, 2_log1 5 4+ log 125 = 1 2 −

(5)

5 B. Tabel Logaritma

Logaritma dapat digunakan untuk memudahkan operasi perkalian. Perhatikan contoh berikut.

10.000 × 10.000.000 = 100.000.000.000 104_{× 10}7_{= 10}11

Hasil perkalian tersebut diperoleh dengan menjumlahkan banyak angka nol pada masing-masing bilangan. Dari sinilah muncul sebuah ide bagaimana cara mengubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan, karena operasi penjumlahan lebih mudah diselesaikan. Berdasarkan ide tersebut, John Napier berhasil menyusun tabel logaritma dengan basis 10. Tabel ini dapat digunakan untuk memudahkan proses perkalian.

Gambar 1. Contoh Tabel Logaritma

Misalkan kita ingin menentukan hasil perkalian 1,35 × 2,17 dengan tabel logaritma. Mula-mula, tentukan nilai-nilai pada tabel logaritma yang berkorespondensi dengan nilai tersebut.

(6)

6

Berdasarkan tabel logaritma pada Gambar 2, 1,35 berkorespondensi dengan 0,1303 dan 2,17 berkorespondensi dengan 0,3365. Dengan demikian, diperoleh:

1,35 × 2,17 ≡ 0,1303 + 0,3365 ≡ 0,4668

Selanjutnya, tentukan nilai pada tabel logaritma yang berkorespondensi dengan nilai tersebut. Berdasarkan tabel logaritma pada Gambar 3 berikut ini, 0,4668 berkorespondensi dengan 2,93.

Gambar 3. Contoh Tabel Logaritma

Jadi, nilai 1,35 × 2,17 ≈ 2,93.

Contoh Soal 4

Tentukan nilai logaritma berikut! a. log 2

b. log 3 c. log 11

Pembahasan:

Berdasarkan tabel logaritma, diperoleh: a. log 2 = 0,3010

(7)

7

b. log 3 = 0,4771 c. log 11 = 1,0414

C. Sifat-Sifat Logaritma

Sifat 1: a_{log xy =}a_{log x +}a_{log y}

Pembuktian:

Misal a_{log x = m → a}m _{= x atau x = a}m

a n n a a m n a m n a y n a y y a xy a a a a log = = atau = log = log . = log . = log → aa m + n x y terbukti m+n a a = = log + log

(

)

_{pangkat basis}

_{Contoh Soal 5}

Misal 2_{log 3 = m,}2_{log 5 = n, dan}2_{log 7 = p. Tentukan nilai:}

a. 2_{log 15}

b. 2_{log 21}

c. 2_{log 105}

Pembahasan:

Berdasarkan sifat 1, a_{log xy =}a_{log x +}a_{log y, diperoleh:}

a. 2_{log 15 =}2_{log (3 × 5)} = 2_{log 3 +}2_{log 5} = m + n Jadi, 2_{log 15 = m + n.} b. 2_{log 21 =}2_{log (3 × 7)} = 2_{log 3 +}2_{log 7} = m + p Jadi, 2_{log 21 = m + p.} c. 2_{log 105 =}2_{log (3 × 5 × 7)}

= 2_{log 3 +}2_{log 5 +}2_{log 7}

= m + n + p Jadi, 2_{log 105 = m + n + p.}

(8)

8 Contoh Soal 6

Sederhanakan bentuk berikut!

3 2 3 5 4 3 2 5 2 4 log a bc + log pq r p qr ab c Pembahasan:

Berdasarkan sifat 1, a_{log xy =}a_{log x +}a_{log y, diperoleh:}

3 2 3 5 4 3 2 5 2 4 3 2 3 2 5 5 4 2

log + log = log .

. a bc pq r p qr ab c a bc p qr pq r ab c44 3 4 = log . . a.p.r q b c Jadi, 3 2 3 5 4 3 2 5 2 4 3 4

log + log = log

. . a bc pq r p qr ab c a.p.r q b c Sifat 2: a x a a y x y

log = log − log Pembuktian: Misal a_{log x = m ↔ x = a}m a_{log y = n ↔ y = a}n

Contoh Soal 7

Nilai log 2 = 0,3010. Tanpa menggunakan tabel logaritma, hitunglah nilai log 5!

Pembahasan:

Berdasarkan sifat 2, a x a a

y x y

log = log − log , diperoleh:

a a m n a m n a a x y a a a m n x y terbukti log = log = log = = log log − − −

(

)

_{pangkat basis}

(9)

9

log 5 = log 10 2 = log 10 log 2 = 1 0,3010 = 0,6990 − − Jadi, nilai log 5 = 0,6990.

Contoh Soal 8

Tentukan nilai berikut!

3_{log 12 +}3_{log 63 –}3_{log 4 –}3_{log 7}

Pembahasan:

Berdasarkan sifat 1 dan 2, diperoleh:

3 3 3 3 3 3 3

log 12 + log 63 log 4 log 7 = log 12 63 4 7 = log 27 = log 3 − − × × 33 = 3 _{pangkat basis} Jadi, 3_{log 12 +}3_{log 63 –}3_{log 4 –}3_{log 7 = 3.}

Sifat 3. a_{log x}m_{= m}a_{log x}

Pembuktian: Misal a_{log x = y → x = a}y a m a y m a my a x a a my m x terbukti log = log = log = log =

( )

(

)

_{pangkat basis}

Contoh Soal 9

Jika 2_{log 3 = m dan}2_{log 5 = n , nilai dari}3 2 5

log 1 15 = ....

(10)

10

Pembahasan:

Berdasarkan sifat 3, a_{log x}m_{= m}a_{log x, diperoleh:}

• 2_{log 3 = m} ⇔ ⇔ ⇔ 2 21 2 2 log 3 = 1 2 log 3 = log 3 = 2 m m m • 2_{log 5 = n}3 ⇔ ⇔ ⇔ 2 31 2 2 log 5 = 1 3 log 5 = log 5 = 3 n n n

Dengan demikian, diperoleh:

2 5 2 1₅ 2 2 2 log 1 15= log 15 1 5 log 5 3 = 1 5 log 5 + log 3 = 1 5 3 = − − × − −

(

)

(

)

nn+ 2m

(

)

Jadi, 2 5 log 1 15 = 1 5 3 + 2 −

(

n m

)

.

Contoh Soal 10

Sederhanakan bentuk berikut! 5log + 4log 1

2log

x y− z

Pembahasan:

Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh: 5log + 4log 1

2log = log + log log = log 5 4 12 5 4 x y z x y z x y z − −

(11)

11

Jadi, 5log + 4log 1

2log = log . 5 4 x y z x y z − Sifat 4. a p p x x a log = log log Pembuktian: Misal a_{log x = y → x = a}y ay_{= x} p y p p p p p a p a x y a x y x a x x log = log log = log = log log log = log ⇔ ⇔ ⇔ _pp a log

(

terbukti

)

Contoh Soal 11

Jika 2_{log 3 = m,}3_{log 5 = n, tentukan nilai dari}6_{log 15!}

Pembahasan:

Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:

6 3 3 3 3 3 3 3 log15 = log 15 log 6 = log 5 3 log 3 2 = log 5 + log 3 lo × ×

(

)

(

)

gg 3 + log 2 = +1 1+ 1 = + +1 3 n m mn m m Jadi, 6_{log 15 =} + +1 mn m m .

(12)

12

Catatan penting: a b b b b b a a log = log log = 1 log

Contoh Soal 12

Perhatikan bentuk logaritma berikut. 1+ log 2 2 log 4= log 3 3 − a _b

Nilai dari a dan b berturut-turut adalah ....

Pembahasan:

Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh: 1+ log 2

2 log 4= log log 3 + log 2 log 9 log 4= log

3 3 3 3 3 3 − ⇔ − ⇔ a a b b 33 3 9 4 log 6 log 9 4 = log log 6 = log a a b b ⇔ Jadi, nilai a =9 4 dan b = 6.

Contoh Soal 13

Nilai dari 4_{log 3 .}3_{log 5.}25_{log 16 = ....}

Pembahasan:

4log 3. log 5. log 16 =3 25 _{log 4}log 3.log 5_{log 3}.log 16_{log 25} = llog 5 log 5 . log 4 log 4 = log 5 2 . log 5. 2 . log 4 log 4 = 1 2 2

(13)

13

Sifat turunan dari sifat 4: a_{log b .}b_{log c =}a_{log c}

Contoh Soal 14

Jika 2_{log 5 = m, nilai dari} 2_{log 25 = ....}

Pembahasan:

2 2 2 2 2 2 12 2 log 25 = log 25 log 2 = log 5 log 2 = log 5₁ 2 = 4 2. m Jadi, 2_{log 25 = 4m .}

Sifat turunan dari sifat 4: a m a

n b m n b log = log Sifat 5. aalog b_{= b} Pembuktian: Misal aalog b_{= x} a b a a a a a a a x b a x b x b x a log = log log . log = log log = log = log ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x b aa b b = = terbukti log

(

)

(14)

14 Contoh Soal 15

Tentukan nilai dari 24log 9_!

Pembahasan:

2 = 2 = 2 = 2 = 3 4 22 2 2 2 log 9 log 3 2 2 log 3 log 3 Jadi, 24log 9 _{= 3.}