IRISAN KERUCUT
Irisan Kerucut dalam matematika merupakan lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua dimensi, dimana kurva tersebut terbentuk dari irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Terdapat 4 macam irisan kerucut, yaitu lingkaran, parabola, elips serta hiperbola.
DEFINISI
Lingkaran
Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik-titik tertentu.
Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r) Luas lingkaran = π.r2 (r = jari-jari)
Contoh gambar:
Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 2
PARABOLA
Parabola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik-titik dan sebuah garis tertentu.
Titik itu disebut fokus/titik api (F)
Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah
Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut sumbu simetri parabola Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola
Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum → tegak lurus dengan sumbu simetri
Contoh gambar:
1) (y – yp)2 = 4p( x – xp )
2) garis arah direktris ( x – xp ) = ± p
x y
F
Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = –1
1) (y – yp)2 = -4p( x – xp )
2) garis arah direktris ( x – xp ) = ± p
x
y
F
Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1
1) (x – xp)2 = 4p( y – yp )
2) garis arah direktris ( y – yp ) = ± p
x
y
F
Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, -1), dan garis arah y = 1
1) (x – xp)2 = -4p( y – yp )
x y
F
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG Parabola 1) Horizontal (y – yp)2 = 4p( x – xp ) y – yp = m( x – xp ) + 𝒎𝒑 2) vertikal (x – xp)2 = 4p( y – yp ) y – yp = m( x – xp ) – pm ELIPS
1) Elips merupakan tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik-titik tertentu tetap.
2) Jumlah jarak itu = 2a (sb mayor) atau 2b (sb minor)
3) Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F1 dan F2 adalah 2c
4) a2 = b2 + c2
5) fokus (F) = p ± c
6) garis arah x - xp = ± a2 / c 7) garis arah y - yp = ± a2 / c 8) Latus Rektum = 2b2/a 9) Esentrisitas (e) = c/a
10) Contoh gambar: 𝑥2 𝑎2+ 𝑦2 𝑏2 = 1 x y F1 F2
Elips horisontal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), fokus (3, 0), (–3, 0), dan garis arah x = ±25/3
𝑥2 𝑏2+ 𝑦2 𝑎2 = 1 x y F1 F2
Elips vertikal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (√2, 0), (–√2, 0), (0, 2), (0, –2), fokus (0,√2), (0, –√2), dan garis arah y = ±2√2/3 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
ELIPS
Sejajar // y = mx + c dgn Pusat P(xp,yp) gradien
(m) 𝑥2 𝑎2−𝑦 2 𝑏2= 1 (y - yp) = m(x - xp) ± a2m2 +b2 HIPERBOLA
1) Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap
2) Selisih jarak itu = 2a (untuk elips
horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal) 3) Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) →
jarak antara F1 dan F2 adalah 2c
4) c2 = a2 + b2 5) fokus (F) = p ± c 6) garis arah x - xp = ± a2 / c 7) garis arah y - yp = ± a2 / c 8) asymtot ( y – yp ) = ± b/a(x – xp) 9) Latus Rektum = 2b2/a 10) Esentrisitas (e) = c/a
(2) Hiperbola merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1
Garis yang melalui titik-titik F1 dan F2 disebut
sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata
Titik tengah F1 dan F2 disebut pusat hiperbola
(P)
Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak hiperbola
Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua titik tersebut = Latus Rectum
Contoh gambar:
Hiperbola horisontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus (√6, 0), (–√6, 0), dan asimtot y = ± ½√2 x 𝑥2 𝑎2− 𝑦2 𝑏2 = 1 x y F1 F2 asymtoot
Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0, √6), (0, –√6), dan asimtot y = ± ½√2 x 𝑦2 𝑎2− 𝑥2 𝑏2 = 1 x y F1 F2 asymtoot
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG Hiperbola
Sejajar // y = mx + c dgn Pusat P(xp,yp) gradien
m 𝑥2 𝑎2−𝑦 2 𝑏2= 1 (y - yp) = m(x - xp) ± a2m2 −b2 𝑦2 𝑎2−𝑥 2 𝑏2= 1 (y - yp) = m(x - xp) ±
b
2−
a
2m
2dalam hal ini m merupakan gradien.
PERSAMAAN
Perhatikan beberapa Tips berikut ini : Cara membedakan persamaan-persamaan irisan kerucut:
Pada persamaan Lingkaran: koefisien x2 dan
y2 sama
Pada persamaan Parabola: hanya salah satu yang bentuknya kuadrat (x2 saja atau y2 saja)
Pada persamaan Elips: koefisien x2 dan y2
bertanda sama (sama positif atau sama-sama negatif)
Pada persamaan Hiperbola: koefisien x2 dan
y2 berbeda tanda (salah satu positif, yang lain
negatif) Contoh: 3x2 + 3y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Lingkaran 3x2 + 3y + 6x = 5 → Persamaan Parabola 3x2 + y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Elips 3x2 – 3y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Hiperbola
KEDUDUKAN TITIK TERHADAP
IRISAN KERUCUT
Dalam mencari kedudukan titik terhadap irisan kerucut dapat menggunakan cara sebagai berikut :
Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0
→ Jika hasil ruas kiri < 0 → titik berada di dalam irisan kerucut
→ Jika hasil ruas kiri = 0 → titik berada tepat pada irisan kerucut tersebut
→ Jika hasil ruas kanan > 0 → titik berada di luar irisan kerucut
Contoh:
Tentukanlah kedudukan titik (5, –1) terhadap elips dengan persamaan 3x2 + y2 + 6x + y = 5?
Penyelesaian :
3x2 + y2 + 6x + y – 5 = 0
Ruas kiri: 3.52 + (–1)2 + 6.5 + (–1) – 5 = 75 + 1
+ 30 – 1 – 5 =100
→ 100 > 0, jadi titik (5, –1) berada di luar elips tersebut
KEDUDUKAN GARIS TERHADAP IRISAN
KERUCUT
Dalam mencari kedudukan garis terhadap irisan kerucut dapat digunakan cara berikut ini.
Persamaan garis dijadikan persamaan x = … atau y = …
Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan kerucut, sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat. Hitung nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut (Ingat! D = b2 – 4.a.c)
→ Jika D < 0 → garis berada di luar irisan kerucut
→ Jika D = 0 → garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik
→ Jika D > 0 → garis memotong irisan kerucut di 2 titik
Contoh:
Tentukanlah kedudukan garis x + 2y = 4 terhadap parabola dengan persamaan 3x2 +
3y + 6x = 5 Penyelesaian : Garis: x = 4 – 2y
3(4 – 2y)2 + 3y + 6(4 – 2y) – 5 = 0
3(16 – 16y + 4y2) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
48 – 48y + 12y2 + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
12y2 – 57y + 67 = 0
D = b2 – 4.a.c = (–57)2 – 4.12.67 = 33
Karena D > 0 maka garis x + 2y = 4 memotong parabola tersebut
Persamaan garis singgung pada
titik (x
1, y
1)
Dalam menyelesaikan persamaan garis singgung ini selalu gunakanlah sistem bagi adil, dimana
(…)2 menjadi (…).(…)
(…) menjadi ½ (…) + ½ (…)
Pada salah satu (…) titik ke persamaan hasil bagi adil akan dimasukkan koordinat titik yang diketahui
Jika titik terletak pada irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis singgung Jika titik terletak di luar irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis polar
Kemudian potongkan garis polar dengan irisan kerucut untuk mendapatkan 2 titik potong Selanjutnya masukkan kedua titik potong itu ke dalam persamaan hasil bagi adil untuk mendapatkan 2 buah persamaan garis singgung
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut :
Contoh 1:
Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x = 13 pada titik (2, 1)?
Jawab :
(2, 1) terletak pada lingkaran (22 + 12 + 4.2 =
13)
Persamaan bagi adil: x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9
Masukkan (2, 1) sebagai x1 dan y1:
2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9
LINGKARAN
1. Pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² -2x + 6y + 1 = 0 berturut-turut adalah ...
A. (1, -3) dan 3
B. (-2, 6) dan 3
C. (-2, 6) dan 4
D. (2, -6) dan 3
E. (2, 6) dan 5
2. Lingkaran dengan persamaan 4x² + 4y² - ax + 8y - 24 = 0 melalui titik (1,-1), maka jari-jari lingkaran tersebut adalah ...
A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 E. 7
3. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(2,-3) dan menyinggung garis g = 3x - 4y + 7 = 0 adalah ... A. x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 B. x² + y² + 2x - 6y + 12 = 0 C. x² + y² + 4x - 6y - 12 = 0 D.
x² + y² + 4x + 6y + 12 = 0
E.x² + y² - 2x + 6y - 12 = 0
4. Lingkaran x2 + y2 A. (4, -6) + 8x + 2ay + 16 = 0 menyinggung sumbu-sumbu koordinat. Pusat lingkaran tersebut…B. (-4, 6)
C. (4, -4)
D. (-4, 4)
E. (4, 4)
5. Persamaan lingkaran yang berpusat di garis x = 4 dan menyinggung garis y = x adalah … .
A. 3x2 + 3y2 B. 3x – 12x – 8y + 12 = 0 2 + 3y2 C. 3x + 12x – 8y – 12 = 0 2 + 3y2 D. 3x – 12x + 8y – 16 = 0 2 + 3y2 E. 3x – 12x + 16y – 12 = 0 2 + 3y2 - 24x – 6y – 27 = 0 6. EBT-SMA-96-20
Jari-jari lingkaran pada gambar di bawah adalah … A. √3 B. 3 C. √13 D. 3√3 E. √37 7. EBT-SMA-86-30
Persamaan lingkaran dengan pusat (3 , 4) dan berjari- jari 6 adalah …
A. x2 + y2 – 6x + 8y – 11 = 0 B. x2 + y2 – 8x – 6y – 11 = 0 C. x2 + y2 – 6x – 8y – 11 = 0 D. x2 + y2 + 8x – 6y – 11 = 0 E. x2 + y2 – 8x + 6y – 11 = 0
8. Persamaan lingkaran yang berpusat di 0 dinyatakan dengan y² = a - x². Nilai a adalah salah satu akar persamaan x² - 3x - 4 = 0. Jari-jari lingkaran itu adalah ...
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
9. Lingkaran yang berpusat di P(–1, –3) dan menyinggung sumbu y adalah x2 + y2 + 2x + py + q = 0. Nilai dari p2 + q2 A. 115 =… . B. 116 C. 117 D. 118 E. 136
10. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x - 4y - 4 = 0, sert a menyinggung sumbu X negatif dan sumbu Y negatif adalah ... A. x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0 B. x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0 C. x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0 D. x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 E. x² + y² - 2x - 2y + 4 = 0
11. Lingkaran x2 + y2
Nilai dari a + b + c = … .
– 2x – 6y + 6 = 0 berpusat di P(a, b) dan berjari-jari R = c.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8
12. Diketahui dua buah lingkaran yang menyinggung sumbu y dan garis y = 31x 3.
Bila pusat kedua lingkaran terletak pada y =
3 maka jarak titik pusat kedua lingkaran itu adalah … . A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 3 5 E. 5
13. Jika pusat lingkaran x2 + y2
A. 1
– 4px + qy + 12 = 0 adalah T(2, -3), maka jari-jarinya adalah ... .
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
14. Lingkaran x2 + y2 – 2ax + b = 0 berjari-jari 2 dan garis y = x menyinggung lingkaran di P. Maka nilai dari a2
A. 8 + b = … . B. 10 C. 12 D. 14 E. 16 15. Lingkaran x2 + y2 = 9 dan x2 + y2 A. – 8x + 7 = 0 saling berpotongan di titik A dan B, maka panjang AB adalah … 3 8 B. 4 5 C. 2 5 D. 2 2 E. 2 16. EBT-SMA-02-26
Titik (a, b) adalah pusat lingkaran
x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Jadi 2a + b = … A. 0 B. 2 C. 3 D. –1 E. –2 17. EBT-SMA-95-20
Persamaan lingkaran dengan pusat (–1,3) dan menyinggung sumbu y adalah ……
A. x2 + y2 – 2x + 6y + 9 = 0 B. x2 + y2 – 2x – 6y + 9 = 0 C. x2 + y2 + 2x – 6y – 9 = 0 D. x2 + y2 + 2x – 6y + 9 = 0 E. x2 + y2 + 2x – 6y + 11 = 0 18. EBT-SMA-99-34
Diketahui lingkaran x2 + y2 + 8x + 2py + 9 = 0 mempunyai jari-jari 4 dan menyinggung sumbu Y. Pusat lingkaran tersebut sama dengan … A. (4, –6) B. (–4, 6) C. (–4, –6) D. (–4, –3) E. (4, 3) 19. UN-SMA-06-13
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x – y – 2 = 0 serta menyinggung sumbu X positif dan sumbu Y negatif adalah … A. x2 + y2 – x + y – 1 = 0 B. x2 + y2 – x – y – 1 = 0 C. x2 + y2 + 2x – 2y – 1 = 0 D. x2 + y2 – 2x + 2y – 1 = 0 E. x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0 20. EBT-SMA-93-26
Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 – Ax – 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Nilai A yang memenuhi adalah…
A. 8 dan 8 B. 6 dan 6 C. 5 dan 5 D. 4 dan 4 E. 2 dan 2 21. EBT-SMA-92-18
Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 + ax + 6y – 87 = 0 melalui titik (–6 , 3), maka pusat lingkaran itu adalah…
A. (2 , –3) B. (3 , –2) C. (2 , 3) D. (3 , 2) E. (–2 , –3) 22. EBT-SMA-91-20
Lingkaran dengan persamaan
4x2 + 4y2 – ax + 8y – 24 = 0 melalui titik (1 , –1) , maka jari-jari lingkaran tersebut adalah …
A. 2 B. 4 C. √2
D. 2√34 E. 2√46
23. Pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 2x + 6y + 1 = 0 berturut-turut adalah … A. (–2 , 6) dan 4 B. (2 , –6) dan 4 C. (–1 , 3) dan 3 D. (1 , –3) dan 3 E. (–2 , 6) dan 3
24. Enam pipa air masing – masing berdiameter d cm diikat dengan tali. Panjang tali terpendek yang diperlukan adalah … .
A. d
(
3+π)
B. d(
6+π)
C. 3(
d+π)
D. 6(
d+π)
E. d(
d+π)
25. Luas segi delapan beraturan yang mempunyai diameter lingkaran luar 10 cm adalah … cm A. 200 2 2 B. 50 2 C. 25 2 D. 3 4 25 E. 2 4 25
26. Persamaan lingakran yang berpusat di titik P(6, 2) dan menyinggung garis 3x + 4y – 6 = 0 adalah … . A. x2 + y2 B. x – 6x – 2y – 20 = 0 2 + y2 C. x – 6x – 2y + 24 = 0 2 + y2 D. x + 8x + 6y = 0 2 + y2 E. x – 6x – 24 = 0 2 + y2 – 6x – 2y + 20 = 0
27. Titik A(2, –3) dan B(–4, 7) adalah ujung-ujung diameter lingkaran. Jari-jari lingkaran itu adalah … . A. 34 B. 32 C. 30 D. 28 E. 26
28. Lingkaran yang berjari-jari 5, melalui O(0, 0) dan titik pusat terletak pada garis x – y + 1 = 0. Pusat lingkaran itu adalah … .
A. (4, 3)
B. (4, –3)
C. (–4, –3)
D. (–3, 4)
E. (–2, 3)
29. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2
A.
= 25 di titik (–3, 4) memotong sumbu x di titik … .
(
−325,0)
B.(
253 ,0)
C.(
0, 254)
D.(
0, −425)
E. (0, 0)30. Persamaan garis singgung lingkaran (x+1)2 + (y-2)2 A. 3x + 4y = 30 = 25 di titik (2, -2) adalah... . B. 3x + 4y = 14 C. 3x – 4y = 14 D. 3x – 3y = 30 E. 4x + 3y = 30
31. Persamaan garis singgung melalui titik (9, 0) pada lingkaran x2 + y2 A. 2x + y = 36 adalah … . 5= 18 B. x 5 + 2y = 18 C. x 5 + 2y = -18 D. 2x + y 5 = -18 E. 2x - y 5 = 18 32. UN-SMA-06-11
Salah satu persamaan garis singgung
lingkaran x2 + y2 – 5x + 15 y – 12 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah …
A. 2x + 9y – 19 = 0 B. 2x + 9y – 13 = 0 C. 4x + 9y – 19 = 0 D. 6x + 2y – 13 = 0 E. 6x + 2y – 19 = 0 33. UN-SMA-07-07
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 2)2 + (y + 1)2 = 13 di titik yang berabsis –1 adalah...
A. 3x – 2y – 3 = 0 B. 3x – 2y – 5 = 0 C. 3x + 2y – 9 = 0 D. 3x + 2y + 9 = 0 E. 3x + 2y + 5 = 0 34. UN-SMA-05-23
Persamaan garis singgung lingkaran
x2 + y2 – 6x + 2y – 15 = 0 pada titik (7, 2)
adalah … A. 2x – 7y = 0
B. 4x +7y – 38 = 0 C. 7x + 2y – 53 = 0 D. 4x + 3y – 53 = 0 E. 4x + 3y – 34 = 0
35. Salah satu garis singgung yang bersudut 120o terhadap sumbu x positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7,6) dan (1, –2) adalah … A. y = –x√3 + 4√3 + 12 B. y = –x√3 – 4√3 + 8 C. y = –x√3 + 4√3 – 4 D. y = –x√3 – 4√3 – 8 E. y = –x√3 + 4√3+ 22 36. EBT-SMA-94-21
Salah satu persamaan garis singgung yang ditarik dari ti-tik A(0,10) ke lingkaran yang persamaannya x2 + y2 = 10 adalah …… A. y = 10x + 3 B. y = 10x – 3 C. y = 3x – 10 D. y = – 3x – 10 E. y = – 3x + 10 37. EBT-SMA-01-32
Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0,0) pada lingkaran (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5 adalah … A. x – y = 0 B. 11x + y = 0 C. 2x + 11y = 0 D. 11x – y = 0 E. 11x – 2y = 0 38. EBT-SMA-00-32
Garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (–3,4) menyinggung lingkaran dengan pusat (10,5) dan jari- jari r. Nilai r = … A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 11 39. EBT-SMA-97-17
Persamaan garis singgung melalui titik (9,0) pada lingkaran x2 + y2 = 36 adalah … A. 2x + y√5 = 18 dan 2x – y√5 = 18 B. 2x + y√5 = 18 dan –2x – y√5 = 18 C. 2x + y√5 = –18 dan –2x – y√5 = –18 D. x√5 + 2y = 18 dan x√5 – 2y = 18
E. x√5 + 2y = –18 dan x√5 – 2y = –18
40. Persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 2)2 A. x + 3y – 1 = 0 = 10 di titik (2, 1) adalah … . B. x – 3y + 1 = 0 C. 3x – y + 1 = 0 D. 3x + y + 1 = 0 E. 3x – y – 1 = 0
41. Persamaan garis singgung lingkaran : (x + 2)2 + (y – 3)2
A. 4x + 3y – 3 = 0
= 36 yang tegak lurus garis 3x + 4y = 5 adalah … .
B. 4x – 3y – 11 = 0
C. 4x – 3y + 29 = 0
D. 4x – 3y + 31 = 0
E. 4x – 3y + 47 = 0
42. Dari titik P(5, –2) dibuat garis singgung pada lingkaran x2 + y2
A.
+ 6x – 4y – 7 = 0 dan menyinggung di titik R. Jarak ruas garis PR = … . 15 2 B. 2 14 C. 2 13 D. 2 12 E. 2 10
43. Garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 di titik (3, 1) menyinggung lingkaran (x – 4)2 + (y – 3)2 A. = p. Nilai p = … . 2 5 B. 23 C. 12 5 D. 21 10 E. 15 10
44. Garis singgung lingkaran (x + 4)2 + (y + 3)2 = 10 di titik (–1, –2) menyinggung lingkaran x2+y2 A. = k, nilai k adalah … . 5 2 B. 3 1 1 C. 2 1 1 D. 2 E. 2 1 2
45. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2
A. 3x + 4y = 36
= 25 yang dapat ditarik dari P (8, 3) adalah … .
B. 4x + 3y = 41
C. 5x + 3y = 49
D. 6x + 4y = 60
46. Garis singgung lingkaran x2 + y2 A. (1, 0) – 4x – 6y – 4 = 0 di A (1, -1) memotong sumbu x di … . B. (-1, 0) C. (-2, 0) D. (-3, 0) E. (-4, 0)
47. Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² - 2x - 6y - 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah ... A. 4x - y - 18 = 0 B. 4x - y + 4 = 0 C. 4x - y + 10 = 0 D. 4x + y - 4 = 0 E. 4x + y - 15 = 0
48. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 2)² + (y + 1)² = 13 di titik yang berabsis -1 adalah ... A. 3x - 2y - 3 = 0 B. 3x - 2y - 5 = 0 C. 3x + 2y - 9 = 0 D. 3x + 2y + 9 = 0 E. 3x + 2y + 5 = 0
49. Persamaan gradien garis singgung lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 A. – = 5 di titik P(1, 3) mempunyai gradien … . 2 1 B. –41 C. 4 1 D. 2 1 E. 1
50. Persamaan garis singgung pada lingkaran: x2 + y2 A. y = 2x – 10 – 4x + 2y = 0 yang sejajar garis y = 2x – 6 adalah ... . B. y = -2x + 4 C. y = -x + 3 D. y = x + 1 E. y = 2x PARABOLA 51. EBT-SMA-00-33
Himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik (1, 2) dan garis x = –1 adalah … A. y2 – 4y – 4x + 8 = 0 B. y2 – 4y – 4x + 4 = 0 C. x2 – 4x – 4y + 4 = 0 D. x2 – 2x – 4y + 8 = 0 E. x2 – 2x – 4y + 18 = 0
52. Panjang Latus Rektum parabol 2x2 A. 8 + 2x – 24y + 74 = 0 adalah... B. 12 C. 16 D. 20 E. 24 53. EBT-SMA-91-21
Parabola dengan persamaan (y – 6)2 = 4(x – 2), persa- maan direktriknya adalah …
A. x = –2 B. x = –1 C. x = 1 D. x = 2 E. x = 3 54. EBT-SMA-93-30
Koordinat titik fokus parabola dengan persamaan (x + 2)2 = –8 (y – 3) adalah …… A. (0 , 3) B. (– 2 , 1) C. (– 2 , 5) D. (2 , – 5) E. (2 , 5) 55. EBT-SMA-92-19
Persamaan parabola dengan titik puncak (1 , – 2) dan fo-kus (5 , –2) adalah …
A. y2 + 4y – 16x – 12 = 0 B. y2 - 4y – 16x + 20 = 0 C. y2 - 4y – 16x – 12 = 0 D. y2 + 4y – 16x + 20 = 0 E. y2 + 4y + 16x + 20 = 0
56. Fokus dan direktris parabola: y2 A. (1, 0) dan x = -1 = 4x adalah … . B. (-1, 0) dan x = 1 C. (2, 0) dan x = -2 D. (-2, 0) dan x = 2 E. (½ , 0) dan x = -1
57. Parabola dengan puncak P (2, 4) dan berfokus di (5, 4) persamaannya adalah … . A. (y – 5)2 B. (y – 4) = 12 (x – 2) 2 C. (y – 4) = 6 (x – 2) 2 D. (y – 2) = 12 (x – 2) 2 E. (y – 2) = 3 (x – 2) 2 = 6 (x – 2)
58. EBT-SMA-94-24
Persamaan parabola yang berpuncak pada titik (2,4) dan fokus (5,4) adalah ….. A. (x + 4)2 = – 12 (y + 2) B. (x – 4)2 = 12 (y – 2) C. (y – 4)2 = 12 (x – 2) D. (y – 2)2 = 12 (x – 4) E. (y + 4)2 = – 12 (x – 2) 59. EBT-SMA-95-22
Parabola yang mempunyai fokus (3, –1) dan persamaan direktrik x + 5 = 0, persamaannya adalah … A. x2 + 2x – 16y + 17 = 0 B. x2 + 2x – 16y – 15 = 0 C. y2 + 2y – 16x – 15 = 0 D. y2 + 2y + 16x – 15 = 0 E. y2 + 2y – 16x + 17 = 0
60. Parabola dengan persamaan (y - 6)² = 4(x - 2), persamaan diretriksnya adalah ...
A. x = -2 B. x = -1 C. x = 1 D. x = 3 E. x = -1
61. Persamaan parabola dengan titik puncak (1, -2) dan fokus (5, --2) adalah ....
A. y² + 4y - 16x -12 = 0 B. y² - 4y - 16x - 20 = 0 C. y² - 4y - 16x -12 = 0 D. y² + 4y - 16x + 20 = 0 E. y² + 4y + 16x + 20 = 0
62. Koordinat titik fokus parabola dengan persamaan (x + 2)² = -8(y - 3) adalah ... A. (0, 3)
B. (-2, 1) C. (-2, 5) D. (-2, 3) E. (-2, -5)
63. Persamaan parabola yang berpuncak di titik (2, 4) dan fokus (5, 4) adalah ...
A. (y + 4)² = -12 (x - 2) B. (y - 4)² = 12 (x - 2) C. (y + 4)² = -12 (x + 2) D. (y - 4)² = 2 (x + 2) E. (y + 4)² = 4 (x - 2) 64. EBT-SMA-90-29
Parabola dengan fokus (3 , 0) dan persamaan garis arah (direktrik) x = –3, persamaannya adalah … A. y2 = –12x B. y2 C. y = –6x 2 D. y = 6x 2 E. y = 3x 2 = 12x
65. Persamaan parabola yang mempunyai titik puncak (–4, 2) dan titik fokus (2, 2) adalah … A. y2 – 4y – 24x – 100 = 0 B. y2 C. y – 4y – 24x – 92 = 0 2 D. y – 4y – 12x – 44 = 0 2 E. y – 4y – 6x – 28 = 0 2 – 4y – 6x – 20 = 0
66. Jarak terpendek dari titik (4, 2) ke parabola y2 A. = 8x adalah … 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 4 2 E. 5 2 ELIPS 67. EBT-SMA-00-34
Koordinat fokus elips 9x2 + 25y2 – 18x + 100y – 116 = 0 adalah … A. (2,1) dan (–6, 1) B. (6, 1) dan (2, 1) C. (3, –2) dan (–5, –2) D. (3, 2) dan (–5, 2) E. (5, –2) dan (–3, –2)
68. Persamaan elips dengan pusat (0,0); focus (-4, 0) dan (4, 0) serta panjang sumbu mayor 12 adalah... A. 0 52 y 36 x2 + 2 = B. 1 20 y 36 x2 + 2 = C. 1 16 y 20 x2 + 2 = D. 1 36 y 16 x2 + 2 = E. 1 16 y 36 x2 + 2 =
69. Diketahui elips 4x² + y² + 8x - 2y + 1 = 0 Koordinat titik potong garis y = x dengan elips tersebut adalah ...
A. (-2, -2) dan (2, 2) B. (-1/5, -1/5) dan (-1,-1) C. (1/2 , -2) dan (2, -2)
D. (-2, 1/2) dan (-2, 2) E. (-1/2, -2) dan (1/4, 2)
70. Salah satu koordinat titik fokus suatu elips yang persamaannya 4x² + 5y² - 8x - 20y + 4 = 0 adalah ... A. (0, 2) B. (3, 2) C. (4, 2) D. (0, -2) E. (2, 2)
71. Persamaan yang sesuai dengan elips di bawah ini adalah ... A. 16x² + 25y² = 400 B. 125x² + 9y² = 2250 C. 3x² + 4y² = 12 D. 9x² + 25y² = 2250 E. 25x² + 16y² = 400
72. Koordinat titik dari elips yang persamaannya 4x² + 9y² - 8x + 36y + 4 = 0 adalah...
A. (1, -2) B. (-1, 2) C. (-1, -2) D. (-3, -2) E. (2, -2)
73. Koordinat pusat titik elips dengan persamaan 9x² + 25y² + 18x - 100y - 116 = 0 adalah
A. (-1, -2)
B. (1, -2)
C. (-1, 2)
D. (1, 4)
E. (-1, 3)
74. EBT-SMA-95-21Fokus dari ellips 9x2 + 16y2 – 36x – 160y + 292 = 0 adalah … A. (2 – √7 , 5) dan (2 + √7 , 5) B. (7 – √2 , 5) dan (7 + √2 , 5) C. (5 , 2 – √7) dan (5 , 2 + √7) D. (5 , 7 – √2) dan (5 , 7 + √2) E. (2 – √7 , –5) dan (2 + √7 , –5) 75. EBT-SMA-88-15
Salah satu koordinat titik fokus suatu ellips yang persama annya 4x2 + 5y2 + 8x – 20y + 4 = 0 adalah … A. ( 0 , 2 ) B. ( 0 , –2 ) C. (–2 , 0 ) D. ( 2 , 0 ) E. (–1 , 2 ) 76. EBT-SMA-02-27
Persamaan ellips dengan titik-titik fokus (1, 2) dan (5,2) serta panjang sumbu mayor 6 adalah … A. 4x2 + 9y2 – 24x – 36y – 72 = 0 B. 4x2 + 9y2 + 24x – 36y – 2 = 0 C. 4x2 + 3y2 – 24x – 36y – 7 = 0 D. 4x2 + y2 + 24x – 36y – 7 = 0 E. 2x2 + 9y2 – 24x – 36y – 72 = 0
77. Koordinat titik pusat ellips 9x2 + 25y2
A. (-1, 2) + 18x – 100y – 116 = 0 adalah... B. (1, -2) C. (2, -1) D. (-2, 1) E. (-1, -2)
78. Panjang sumbu minor ellips: 9x2 + 12y2 A. 12 + 54x – 24y – 15 = 0 adalah... B. 4 3 C. 9 D. 6 E. 3
79. Persamaan garis singgung elips x² + 4y² = 4 yang sejajar dengan garis y = x + 3 adalah
A. x ± √5 B. x ± √2 C. x ± 2√3 D. 2x ± √5 E. 3x ± √5
80. Persamaan garis singgung ellips
1 4 ) 2 Y ( 16 ) 1 x ( 2 2 = + + −
, yang tegak lurus dengan garis 4x + y 5– 2 = 0 adalah … .
A. 4y + x 5 + 5 – 20 = 0
B. 4y – x 5 – 5 + 20 = 0
D. 4x – y 5 + 20 = 0
E. 4x + 12y + 20 = 0
81. Persamaan garis singgung x2 + 4y2
A. (2, 1)
+ 2x – 7 = 0 adalah x + 2y – 3 = 0, maka titik singgungnya adalah …
B. (1, 1) C. (-1, 1) D. (-1, 2) E. (0, 2 1) HIPERBOLA 82. Perhatikan gambar ! -2 y=-2 x y x=-1
Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah... A. y = 1 x 4 x 2 + − − B. y = 1 x 4 x 2 − + C. y = 1 x 4 x 2 + + − D. y = 1 x 4 x 2 + − E. y = 1 x 4 x 2 − − −
83. Salah satu persamaan asimtot hiperbola: 9x2 – 16y2 A. 4x – 3y – 18 = 0 – 54x + 64y – 127 = 0 adalah... . B. 4x – 3y – 6 = 0 C. 4x – 3y – 1 = 0 D. 3x – 4y – 17 = 0 E. 3x – 4y – 1 = 0
84. Salah satu asimtot dari hiperbola 25x2 – 16y2
A. 4x – 5y – 12 = 0 + 200x + 64y – 64 = 0 adalah … . B. 4x + 5y + 12 = 0 C. 5x + 4y – 12 = 0 D. 5x + 4y + 12 = 0 E. 5x – 4y + 12 = 0
85. Persamaan hiperbola sumbu utamanya pada sumbu y dan melalui (1, 2 2) dan (2, 2 5) dan pusatnya (0, 0) maka salah satu fokusnya … A. (3, 0) B. ( 5, 0) C. ( 3, 0) D. (0, 5) E. (0, 3)
86. Persamaan garis singgung pada x2 – 2y2
A. 2x + y = -1
= 8 yang ditarik dari titik (-1, 1) adalah … .
B. x + y = 0
C. 3x + y = -2
D. y – x = 2
E. 2x + 3y = 1
87. Asimtot grafik fungsi dengan persamaan
2 1 ++ =xx y adalah … . A. x = – 2 dan y = 1 B. x = – 2 dan y = – 1 C. x = – 1 dan y = 2 D. x = 1 dan y = – 2 E. x = 2 dan y = – 1
88. Salah satu asimtut dari hiperbola: 9x2 – 16y2 A. ( – 54x + 64y = 127 memotong sumbu x di … 3 1, 0) B. (41 , 0) C. (23 , 0) D. (173 , 0) E. (184 , 0) 89. Hiperbola: 16x2 - 9y2 A. F (± 5, 0); x = = 144. Fokusnya dan direktrisnya adalah … . 5 16 B. F (± 5, 0); x = ± 5 16 C. F (± 5, 0); x = 59 D. F (± 5, 0); x = ±59 E. F (± 5, 0); x = 43 90. EBT-SMA-01-33
Salah satu persamaan asymtot hyperbola 4x2 – 9y2 + 16x + 18y + 43 = 0 adalah … A. 2x – 3y – 7 = 0 B. 2x + 3y + 1 = 0 C. 3x + 2y – 7 = 0 D. 2x – 3y + 4 = 0 E. 2x + 3y – 1 = 0 91. EBT-SMA-97-20
Salah satu persamaan asimtot dari hiperbola 9x2 – 16y2 – 54x + 64y – 127 = 0 adalah … A. 4x – 3y – 18 = 0 B. 4x – 3y – 6 = 0 C. 4x – 3y – 1 = 0 D. 3x – 4y – 17 = 0 E. 3x – 4y – 1 = 0
92. Salah satu asimtut dari hiperbola: 16(x – 1)2 – 9 (y + 2)2
A. 3x – 4y + 4 = 0
= 144 adalah … . B. 3x + 4y + 5 = 0
C. 4x + 4y + 2 = 0 D. 3x – 4y = 0 E. 4x – 4y = 0
93. EBT-SMA-96-22
Hiperbola yang berfokus di titik (5,0) berpusat di titik (0,0) dan panjang sumbu mayor = 8, persamaannya adalah …
