BAB 3 INVERS LAPLACE Pokok Pembahasan :

BAB 3

INVERS LAPLACE

Pokok Pembahasan :

Prinsip Dasar

Invers Laplce Fungsi-Fungsi Dasar Ekspansi Parsial

1. PRINSIP DASAR

Inverse Laplace adalah kebalikan dari transformasi Laplace, yaitu transformasi F(s) menjadi f(t).

L-1 _{F(s) = f(t) ( 3-1 )} ⊕ Pernyataan invers Laplace dinyatakan dengan simbol “ L-1 _“

⊕ Invers Laplace dapat dilakukan terhadap semua fungsi : • Fungsi-fungsi Elementer

• Fungsi-fungsi Non Elementer

2. INVERS LAPLACE FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER

Invers Laplace fungsi-fungsi dasar dapat dilihat dalam Ikhtisar Transform. Laplace. Hasil invers merupakan kebalikan dari transformasinya.

3. FRAKSI PARSIAL (PARTIAL FRACTION)

Ekspansi Heaviside merupakan salah satu cara penyelesaian invers Laplace untuk fungsi-fungsi non elementer.

Bila bentuk Transformasi Laplace merupakan pembagian 2 buah persamaan polinomial yang dinyatakan dengan :

( 3-2 ) ⊕ A(s) dan B(s) adalah polinomial dalam s

⊕ Pangkat (orde) s pada A(s) < orde s pada B(s). ⊕ A(s) = a_msm _{+ a} m-1sm-1 + ... + a1s + a0 ⊕ B(s) = b A (s) F(s) = B (s)

⊕ B(s) dapat diuraikan menjadi :

• B(s) = b_n(s-s₁)(s-s₂) ...(s-s_k) ... (s-s_n) • s₁, s₂, s₃,...s_n = akar-akar B(s).

⊕ Akar-akar B(s) dapat berupa : • Bilangan nyata (riel)

• Bilangan imajiner (khayal) • Bilangan kompleks.

⊕ Akar-akar B(s) meliputi akar-akar : • Berharga tak sama (berbeda). • Berharga sama.

Contoh pembagian fungsi polinomial rasional (terukur) : Sehingga F(s) menjadi : 3 2 3s + 2s + 1 F(s) = s + s + 2 2 -s + 7 F (s) = 3 s - 3 + s + s + 2 2 3 ( s + s + 2 ) 3 s + 2 s + 1 3 2 3 s + 3 s + 6 s 3 s - 3 2 - 3 s − 4 s + 1 -2 - 3 s − 3 s − 6 -- s + 7

3.1. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Tak Sama

Bila akar-akar B(s) tak ada yang sama dan m < n, maka :

Besaran-besaran k₁, k₂, k₃ ...k_n dapat ditentukan dengan rumus :

( 3-3 ) 1 2 k n A ( s ) F ( s ) = b ( s - s ) ( s - s ) . . . . ( s - s ) . . . ( s - s ) 1 2 k n n 1 2 k n k k k k 1 F ( s ) = . . . . b s s s s s s s s ⎡ ⎤ ⎢ _{+ + + + +} ⎥ ⎢ _{− − − −} ⎥ ⎣ ⎦ k k n k S S A (s) k = b (s s ). B(s) ₌ ⎛ _⎞⎟ ⎜ _{− ⎟} ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠

Contoh :

L-1 _{= L}-1

L-1 _{= L}-1

f(t) = -½ u(t) + 1/6 e2t u(t) + 1/3 e-t u(t)

{

}

2 s = 2 1 1 k = (s-2) = 6 s(s-2)(s+1) 1 s ( s - 2 ) ( s + 1 ) 3 1 2 k k k s ( s - 2 ) ( s + 1 ) ⎛ _⎞⎟ ⎜ _{+ + ⎟} ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠

{

}

1 s = 0 1 1 k = s = -2 s ( s - 2 ) ( s + 1 )

{

}

3 s = -1 1 1 k = (s+1) = 3 s(s-2)(s+1) 1 s ( s - 2 ) ( s - 1 ) 1 1 1 6 3 2 s ( s - 2 ) ( s + 1 ) ⎛ ₋ ⎞_⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _{+ + ⎟} ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠

3.2. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Sama

Bila akar-akar B(s) ada yang sama dan m < n, pada :

Bila terdapat p buah akar yang sama, maka :

1 2 k n A ( s ) F ( s ) = b ( s - s ) ( s - s ) . . . . ( s - s ) . . . ( s - s ) 1 p 1 p -1 _{1 1} p p -1 n 1 1 1 k k _k A ( s ) 1 = + + ...+ + .... B ( s ) b ( s - s ) ( s - s ) ( s - s ) ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ p+ 1 p+ 2 _n p+ 1 p+ 2 n k k _k + + ....+ + ... + (s-s ) (s-s ) (s-s ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

dengan : ( 3-4a ) ( 3-4b ) ( 3-4c ) 1 p 1 p n 1 s = s

A ( s )

k

= b

( s - s )

B ( s )

1 p 1 p - 1 n 1 s s d A ( s ) k = b ( s - s ) d s B ( s ) ₌ 1 p - k p n 1 k p - k 1 s = s

b

d

A ( s )

k

=

( s - s )

( p - k ) ! d s

B ( s )

Contoh : L-1 L-1 f(t) = 3te-t _{– 3e}-t _{+ 3e}-2t _{= 3 [(t-1)e}-t _{+ e}-2t_] 2 2 1 _{s 1} 2 s 1 3 k (s 1) F(s) (s 1) 3 (s 1) (s 2) =− =− ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ = + = + _{⎜⎜ ⎟} = ⎟ ⎜ + + ⎝ ⎠ 3 1 2 2 k k k F(s) (s 1) s 1 s 2 = + + + + + 2 3 F(s) (s 1) (s 2) = + + 2 2 ₂ s 1 d 3 k = (s + 1 ) 3 d s (s + 1 ) (s + 2 ) _{= −} = − 3 2 s 2 3 k (s 2) 3 (s 1) (s 2) ₌₋ = + = + + 2 2 3 3 3 3 (s 1) (s+ +2) =(s 1)+ −(s 1)+ +(s+2)

Cara lain untuk mencari nilai k₂ :

⊕ Substitusikan harga k₁ yang telah di dapat.

⊕ Pindahkan ke ruas kiri.

Hitung k₂ dengan metode fraksi parsial dengan akar berbeda.

3 2 2 2 k k 3 3 (s 1) (s 2)+ + −(s 1)+ =(s 1)+ +(s 2)+ 2 2 1 _{s 1} 2 s 1 3 k (s 1) F(s) (s 1) 3 (s 1) (s 2) =− =− ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ = + = + _{⎜⎜ ⎟} = ⎟ ⎜ + + ⎝ ⎠ 3 2 2 2 k k 3 3 (s+1) (s+2) = (s+1) + (s+1) + (s+2) 2 3 k = (s + 1 ) 3 (s + 1 ) (s + 2 ) _{= −} = − 3 2 k k 3 (s 1)(s 2) (s 1) (s 2) − = + + + + +

3.3. Ekspansi Parsial Dengan Akar-akar Kompleks

Akar-akar kompleks terjadi dalam pasangan konjugasinya Bila ( 3-5 ) ( 3-6 ) ( 3-7a ) ( 3-7b ) 1 2 k k F ( s ) = s - α - jβ + s - α + jβ F ( s ) = α ± j β 1 s = + j k = ( s -α - jβ ) F ( s ) | _{α β} 2 s = -j k = ( s - α + j ) F ( s )|β _{α β}

Bila ( 3-8 ) ( 3-9 ) r 2 r r 1 r 2 d d (s p) F(s) [A (s p)A (s p) A ....) ds − =ds + − − + − − + r r-1 1 1 r r r 1 1 A A A N(s) F(s) = ... F (s) D (s)(s− p) = (s− p) + (s − p) − + + (s− p) + r r 1 r 2 d d (s p) F(s) [A 2(s p)A ....] ds − = ds − + − − +

Contoh : 1. t t o

f (t)

=−

e

−

+

2 e cos (t

−

−

45 )

s F(s) (s 1)(s 1 j1)(s 1)(s 1 j1) = + + − + + + 2 s F(s) (s 1)(s 2s 2) = + + + 2 s 1 s A 1 s 2s 2 ₌₋ = = − + + o s 1 j1 s 1 j1 1 B 45 (s 1)(s 1 j1) _{= +} 2 2 − = = = ∠− + + + A B B* F(s) (s 1) (s 1 j1) (s 1 j1) = + + + + − + +

2.

Bila p – p*=2j dan p+1 = j, maka : B [ 4 2 ( j) ( 2 j) ] 1

( 1) (1 6 ) 2 − − + = = − 2 2 A B A * B * C F(s) (s p) s p (s p*) s p * s 1 = + + + + − − − − + 2 2 1 F(s) (s 1)(s 2s 2) = + + + 2 2 2 s p 1 1 1 1 A j (s 1)(s p*) ₌ (p 1)(p p*) ( j)(2 j) 4 = = = = + − + − + 2 2 2 4 d 1 [(s p*) 2(s 1)(S p*)] ds (s 1)(s p*) (S 1) (S p*) − − + + − = + − + − 2 2 4 [(p p*) 2(p 1)(p p*)] B (p 1) (p p*) − − + + − = + −

Selanjutnya f(t) = Atept _{+ Be}pt _{+ A* te}p*t _{+ B*e}p*t _{+ Ce}-t Bila A = (1/4) ∠ 90o _{dan B = ½ ∠ 0}o f(t) = te-t _{cos( t + 90}o _{) + e}-t _{cos t + e}-t 2 s 1 1 C 1 s 2s 2 ₌₋ = = + +

4. KONVOLUSI

Bila f(t) merupakan inverse F(S) dan g(t) merupakan inverse G(S), maka h(t) merupakan invers dari produk H(S) = F(S) G(S).

h(t) disebut konvolusi dan dituliskan dengan :

Untuk τ > 0.

Dengan definisi G(S) dan teori pergeseran, didapatkan :

t 0

h(t)

=

(f * g)(t)

=

∫

f ( )g(t

τ

− τ τ

)d

_{( 3-10 )} s st

e

G(S)

e

g(t

) dt

∞ − τ

₌

−

_{− τ}

∫

( 3-11 )

Sehingga :

Sifat-sifat dasar operasi aritmatik konvolusi

a. Komutatif f * g = g * f

b. Distributif f *( g₁ + g₂ ) = f * g₁ + f * g₂ c. Asosiatif ( f * g ) * v = f * ( g * v )

f * 0 = 0 * f = 0

Demikian pula halnya perkalian dengan bilangan lain kecuali 1, karena Khusus untuk 1 * g ≠ g t st 0 0

H(S)

F(S) G(S)

e

f ( )g(t

)d dt

∞ −

=

=

∫ ∫

τ

− τ τ

( 3-12 )

Contoh Soal dan Penylesaian H(S) = 1/[(S2_{)(S- ω)] ; tentukan h(t) !} Jawab : 2

1

1

F(S) =

dan G(S)

S -

S

=

ω

t t 0

h(t)

=

t * e

ω

=

∫

f ( )g(t

τ

− τ τ

)d dt

t

f (t) = t dan g(t)

=

e

ω t t (t ) 0

h(t)

=

t * e

ω

= τ

∫

e

ω −τ

d

τ

t t t )

h(t)

=

t * e

ω

=

e

ω

∫

τ

e

−ωτ

d

τ

2 t

1

h(t)

=

(e

ω

− ω −

1)

ω

;

SOAL-SOAL LATIHAN

Tentukan f(t) dari persamaan berikut dengan metode konvolusi

2

1

1

1.

2.

s(s- )(s- )

(s- )

ω

α

β

α ≠ β

2 2 2 2 2

1

s

3.

4.

s(s + )

ω

(s +

ω

)

2 2 2 2

1

1

5.

6.

s (s - )

ω

s (s +5)

2 2 2

6s

2s + 1

9.

10.

s(s + 1)

+

1

(s + 4s + 13)

2 2 2

s

1

7.

8.

(s + )

ω

(s

-

3)(s +5)

SOAL-SOAL TAMBAHAN

Tentukan f(t) dari persamaan-persamaan berikut :

Selesaikan transformasi Laplace persamaan-persamaan berikut :

Bila diketahui Z₁ ∠ ( ωt + θ ) dan Z₂ ∠ ( ωt - θ ) , maka hitung :

2 2

s

1

1.

2.

(s

+

1)(s

+

2)

(s +3s+1)

2 2 2

s

s + 2

3.

4.

(s + 5s 5)

+

s (s -

ω

)

at

5. t cos( t+ ) 6. e sin( t+ )

ω θ

ω θ

3 2

7. ( 4t + t + 3 ) cos( t

ω + α

) 8. sin( t

ω + α

) cos( t

ω + β

)

at

1 2

1

1

9.

+

10. e ( z + z )

z

z