Persamaan Garis Singgung Lingkaran

(1)

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Dari gambar orang bersepeda di atas jelas terlihat bahwa jalan yang dilalui sepeda Dari gambar orang bersepeda di atas jelas terlihat bahwa jalan yang dilalui sepeda selalu menyinggung roda sepeda, baik depan maupun belakang masing-masing di selalu menyinggung roda sepeda, baik depan maupun belakang masing-masing di titik A dan B.

titik A dan B.

Garis dijalan yang dilalui sepeda dapat disebut garis singgung dan titik persentuhan Garis dijalan yang dilalui sepeda dapat disebut garis singgung dan titik persentuhan antara roda sepeda dan jalan disebut titik singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang antara roda sepeda dan jalan disebut titik singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang melalui titik singgung A dan B selalu tegak lurus dengan jalan.

melalui titik singgung A dan B selalu tegak lurus dengan jalan. Garis singgung adalah garis

Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat yang memotong lingkaran tepat disatu titik. Titik tersebut disatu titik. Titik tersebut disebut titik singgung. Jari-jari disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik lingkaran yang melalui titik singgung selalu tegak lurus singgung selalu tegak lurus dengan garis singung. dengan garis singung. Perhatikan gambar berikut : Perhatikan gambar berikut :

g

g ≡≡ Garis singgungGaris singgung A(x

A(x11,y,y11))  titik singungtitik singung AP AP ⊥⊥ gg O O 00 00 P(a,b) P(a,b) rr D>0 D>0

A(x

11

, y

11

)

g

(2)

Persamaan garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c, sehingga secara umum mencari Persamaan garis singgung adalah mencari nilai m dan c tersebut, seperti sudah dibahas sebelumnya mencari m dan c dapat dilakukan dengan cara mensubtitusikan persamaan garis tersebut pada persamaan lingkaran, menyusun persamaan kuadrat , menentukan Diskriminan dan menentukan nilai dari D = 0. Tetapi cara ini sangat melelahkan karena tingkat kesulitannya hampir sama dengan menurunkan rumusnya.

Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti digambarkan berikut ini :

Persamaan Garis singgung melalu i suatu titik pada lingkaran

Rumus Persamaan Garis Singung ini dapat dirangkum sebagai berikut :

Persamaan Lingkaran Persamaan garis singgung x2 + y2 = r2 xx1 + yy1 = r2

(x-a)2+(y-b)2= r2 (x-a) (x1-a)+(y-b)(y1-b)=r2

x2+y2 +Ax + By +C = 0 xx1 + yy1+

2

1

_{A(x + x} 1)+

2

1

_{B(y + y} 1) + C = 0

Rumus tersebut hanya berlaku untuk Persamaan Garis singgung melalui titik pada lingkaran, jika rumus ini digunakan untuk titik diluar lingkaran maka persamaan garis yang didapat bukan garis singgung tetapi garis polar, yang akan dibahas kemudian. r T (x1,y1) y = m+c1 Garis singgung bergradien m R(x1,y1)

Garis singgung melalui suatu titik diluar lingkaran

y = m+c2 y =m₂x +c₂

y =m1x +c1

y =mx +c

Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran

(3)

Contoh.

Tentukan Persamaan Garis Singgung pada lingkaran x2 + y2 = 8, dititik A(-2,2) Jawab

Titik A(-2,2)  (-2)2+ 22 = 8  8 = 8 , Jadi titik A pada lingkaran

Persamaan Garis Singgung, xx1 + yy1 = r2

 x.(-2) + y.2 = 8 -2x + 2y =8

y = x +4

Contoh 2.

Tentukan persamaan garis singgung

yang melalui titik berabsis -1 pada lingkaran

lingkaran

x

2

+ y

2

+ 4x -2y -5 = 0

Jawab.

Berabsis -1



x = -1



(-1)

2

+ y

2

+ 4(-1) -2y -5 = 0

y

2

+ -2y - 8 = 0

(y - 4) (y + 2)=0, y = 4 atau y = -2

Titik singgung (-1,4 ) dan (-1,-2)

persamaan garis singgung 1 (GS1)

Titik singgung (-1,4 )

xx

1

+ yy

1

+ 2(x+x

1

) -1(y+y

1

) -5 = 0

x.(-1) + y.4 + 2(x-1) -1(y+4) -5 = 0

-x + 4y + 2x - 2 – y - 4 -5 = 0

x +3y -11 = 0

persamaan garis singgung 2 (GS2)

Titik singgung (-1,-2 )

xx

1

+ yy

1

+ 2(x+x

1

) -1(y+y

1

) -5 = 0

x.(-1) + y.(-2) + 2(x-1) -1(y-2) -5 = 0

-x -2y + 2x - 2 – y +2 -5 = 0

x +3y - 5 = 0

O 0 0 L ≡ x2+ y2= 8 gs≡ y = x + 4 A(-2,2) O(0,0) L ≡

x

2

+ y

2

+4x -2y -5=0

Gs1≡ x + 3y -11=0 B(-1,4) P(-2,1) C(-1,-2)

(4)

Persamaan Garis singgung bergradien m

Rumus Persamaan Garis Singung ini digunakan untuk mencari persamaan garis singgung yang garidenya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau unsur lain yang berhubungan dengan gradien, rumus-rumus yang digunakan dapat dirangkum sebagai berikut :

Persamaan Lingkaran Persamaan garis singgung

x2 + y2 = r2 _{y= mx} _± _r 2

1 m

+

(x-a)2+(y-b)2= r2 _{y-b= m(x-a)} _± _r 2

1 m

+

x2+y2 +Ax + By +C = 0

Ubah bentuk persamaan ke (x-a)2+(y-b)2= r2 gunakan rumus, y-b= m(x-a) ± r

1

+

m

2

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

x2 + y2 = 10 yang sejajar dengan garis l ≡ y+ 3x = 6

Jawaban

Garis y+ 3x = 6,  y = -3x +8, m1=-3

Gradien Garis singgung m2=m1=-3 ( dua garis sejajar jika gradien sama) m= -3, r =

10

persamaan garis singgung y= mx ± r

1

+

m

2 y= -3x ±

10

1

+

9

y= -3x ± 10 GS1 ≡ -3x +10 GS2 ≡ -3x -10

x

2

+ y

2

=10

GS1≡ Y= -3X +10 O 0 0 GS2≡ Y= -3X-10

(5)

Persam aan Garis Singgung melalui titik diluar lingkaran

Ada beberapa metode atauy teknik untuk memyelesaiakan masalah ini antara lain: Menggunakan rumus, menggunakan rumus garis singgung bergradien m dan menggunakan persamaan garis polar.

Menggunakan rumus

Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1,y1) pada lingkaran (x-a)2+(y-b)2= r2 adalah

y-y1=m(x-x1) dengan m= 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1

)

(

)

(

)

(

)

)(

(

r

a

x

r

a

x

b

y

a

x

b

y

− − − − + − ± − −

Rumus ini sangat praktis digunakan tetapi sangat sulit dihafal, sehingga disarankan rumus ini hanya digunakan untuk mengecek hasil dari perhitungan cara 2 atau 3 Contoh

Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui (7,1) jawab

72 + 12= 50>r2 titik A diluar lingkaran y-1 = m(x-7)  y=m(x-7) +1 x2 + y2 = 25, a=0, b=0 , r=5, y1= 1, x1=7 m= 2 2 2 2 2

5 )

0

7 (

5 )

0

7 (

)

0

1 (

)

0

7 )(

0

1 (

− − − − + − ± − − m=

24

25

7

± m1=

3

4

, m2

=-4

3

,

Persamaan garis singgung 1

m1=

3

4

, y=

3

4

(x-7)+1 3y=4x-28+3 4x-3y=25 O 0 GS2≡ 3x + 4y = 25 L ≡ x2 + y2 =25 GS1 ≡ 4x –3y = 25 A(7,1)

(6)

Persamaan garis singgung 2 m2

=-4

3

, y=

-4

3

(x-7)+1 4y=-3x+21+4 3x+4y=25

Menggunakan rumus persaan garis singgung bergradien m

Teknik ini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu) adalah garis melalui A(x1,y1) dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgung bergradien m.

Contoh

Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui (7,1) jawab persamaan 1  y-y1 = m(x-x1) y-1 = m (x-7) y= mx –7m +1 persamaan 2  y= mx ± r

1

+

m

2 y= mx ± 5

1

+

m

2 y= mx ± 5

1

+

m

2  y= mx –7m +1 5

1

+

m

2 = –7m +1 25 ( 1+m2)= 49m2- 14m +1 25+ 25m2= 49m2- 14m +1 24 m2 –14m-24 =0 (4m+3)(3m-4)=0 m1=

-4

3

atau m2 =

3

4

(7)

Persamaan GS1 m1= y= mx –7m +1 y=

-4

3

x –7.(

-4

3

)+1 4y=-3x+21+4 3x+4y =25 Persamaan GS2 m1= y= mx –7m +1 y=

3

4

x –7.(

3

4

)+1 3y=4x-28+3 4x-3y =25

Menggunakan persamaan garis polar Teknik ini menggunakan rumus garis polar xx1 + yy1 = r2 , rumus ini adalah rumus garis singgung tetapi jika yang disubtitusikan adalah titik diluar lingkaran, persamaan garis polar ini memotong lingkaran di dua titik berbeda, garis singgung yang dimaksud dapat dicari dengan persamaan garis singgung di suatu titik pada lingkaran, menggunakan dua titik tersebut (T1 dan T2)

Contoh Contoh

Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui (7,1) jawab

Persamaan garis polar xx1 + yy1 = r2 7x + y = 25  y= 25-7x Titik potong garis polar dengan lingkaran

x2 + (25-7x)2 = 25 x2 + 625-350x +49 x2 = 25 50x2 -350x +600 = 0 O(0,0) GS2 GS1 A(x1,y1) Garis polar T1 T2

(8)

x2 –7 x +12 = 0 (x-3)(x-4)=0 x=3 atau x=4

x=3  y= 25-7.3 , y= 4, titik potong ( 3,4) x=4  y= 25-7.4 , y= -3, titik potong ( 4,-3) Persamaan garis singgung 1

Titik singgung ( 3,4 ) xx1 + yy1 = 25

3x + 4y = 25

Persamaan garis singgung 2 Titik singgung ( 4,-3 )

xx1 + yy1 = 25 4x - 3y = 25