Setelah mempelajari bab ini, siswa:
1. mampu menjelaskan berbagai konsep fungsi eksponen dan logaritma; 2. mampu mengidentifikasi sifat-sifat grafik fungsi eksponen dan logaritma;
3. mampu menerapkan konsep eksponen dan logaritma dalam menyelesaikan masalah pertumbuhan dan peluruhan. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa:
1. menunjukkan sikap percaya diri dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata; 2. memiliki sikap toleran terhadap proses penyelesaian masalah yang berbeda dan kreatif.
Materi
• Grafik Fungsi Eksponen dan Logaritma • Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen • Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma
Kemampuan dan Sikap yang Dimiliki
• Mampu mengidentifikasi dan menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma.
• Mampu menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponen dan logaritma.
• Menerapkan konsep eksponen dan logaritma dalam menyelesaikan masalah pertumbuhan dan peluruhan.
• Mampu bersikap toleran dan percaya diri dalam menyelesaikan per-masalahan.
Pembelajaran Kognitif
• Sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma. • Bentuk persamaan dan pertidaksamaan eksponen. • Bentuk persamaan dan pertidaksamaan logaritma.
Kegiatan Psikomotorik
• Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma.
Pengetahuan yang Dikuasai
• Mengidentifikasi sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma.
• Menentukan penyelesaian persamaan dan per-tidaksamaan eksponen.
• Menentukan penyelesaian persamaan dan per-tidaksamaan logaritma.
Keterampilan yang Dikuasai
• Terampil menggambar berbagai grafik fungsi eksponen dan logaritma.
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d f(x) = k · 25x – 8 f(2) = 20 ⇔ k · 25(2) – 8= 20 ⇔ k · 22= 20 ⇔ 4k = 20 ⇔ k = 5 Diperoleh f(x) = 5 · 25x – 8 Nilai f(1) = 5 · 25(1) – 8 = 5 · 2–3 = = 2. Jawaban: c
Untuk setiap x ∈ bilangan real, 3x > 0. 3x > 0 ⇔ (3x)2> 0 ⇔ 32x · > 0 ⇔ 32x – 1> 0 ⇔ 3 + 32x – 1> 3 ⇔ y > 3
Jadi, daerah hasilnya {y | y > 3, y ∈ R}. 3. Jawaban: e
Grafik f(x) merupakan fungsi eksponen monoton turun. Oleh karena pilihan a, b, dan d merupakan fungsi eksponen monoton naik sehingga hanya pilihan c dan e yang memungkinkan benar. Fungsi f(x) melalui titik (0, 6). Selanjutnya cek titik tersebut ke pilihan c dan e. Pilihan c: y = 6 · 21 – x ⇔ 6 = 6 · 21 – 0 ⇔ 6 = 6 · 2 ⇔ 6 = 12 (salah) Pilihan e: y = 3 · 21 – x ⇔ 6 = 3 · 21 – 0 ⇔ 6 = 3 · 2 ⇔ 6 = 6 (benar)
Jadi, bentuk fungsinya adalah y = 3 · 21 – x. 4. Jawaban: b
Grafik f(x) merupakan fungsi eksponen monoton naik. Oleh karena pilihan c dan d merupakan fungsi logaritma sehingga hanya pilihan a, b, dan e yang memungkinkan benar. Fungsi f(x) melalui titik (0, 0), (1, 1), dan (2, 4). Cek titik (0, 0) ke pilihan a, b, dan e. Pilihan a: f(x) = 2x – 1 ⇔ 0 = 20 – 1 ⇔ 0 = (salah) Pilihan b: f(x) = 2x – 1 ⇔ 0 = 20 – 1 ⇔ 0 = 1 – 1 ⇔ 0 = 0 (benar) Pilihan e: f(x) = 2x – 2 ⇔ 0 = 20 – 2 ⇔ 0 = 1 – 2 ⇔ 0 = –1 (salah)
Jadi, bentuk fungsinya adalah f(x) = 2x – 1. 5. Jawaban: b
Grafik f(x) merupakan fungsi eksponen monoton naik. Hanya pilihan a, b, dan c yang memungkinkan benar. Fungsi f(x) melalui titik (0, –1), (2, 2), dan (3, 6). Cek titik (0, –1) ke pilihan a, b, dan c. Pilihan a: y = 2x – 2 ⇔ –1= 20 – 2 ⇔ –1= 2–2 ⇔ –1= (salah) Pilihan b: y = 2x – 2 ⇔ –1= 20 – 2 ⇔ –1= 1 – 2 ⇔ –1= –1 (benar) Pilihan c: y = 2x – 1 ⇔ –1= 20 – 1 ⇔ –1= 1 – 1 ⇔ –1= 0 (salah)
Jadi, bentuk fungsinya adalah y = 2x – 2. 6. Jawaban: b
Grafik tersebut merupakan fungsi eksponen monoton naik. Fungsi yang sesuai adalah f(x) = 2x + 1. Cek beberapa titik.
f(–1) = 2–1 + 1 = 20 = 1 f(0) = 20 + 1 = 21 = 2 f(1) = 31+ 1 = 22 = 4 7. Jawaban: c 8. Jawaban: d f(x) = 2(3x + 2) = 2 · 3x + 4 Asimtot datar y = 3x adalah y = 0.
Asimtot datar y = 2 · 3x + 4 adalah y = 0 + 4 = 4. Jadi, asimtot datar grafik fungsi f(x) adalah y = 4.
Y X 4 0 –4 y = 4 – 4 · 2 x y = –4 · 2x Y X 4 0 –4 y = 4 · 2x y = –4 · 2x
9. Jawaban: d f(x) = 32 – x – 4 = 32 · 3–x – 4 = 9 · – 4
1) Persamaan grafik f(x) mempunyai bilangan pokok . Oleh karena 0 < < 1 maka grafik fungsi f(x) monoton turun.
2) Grafik memotong sumbu Y di titik (0, f(0)). f(0) = 32– 0 – 4 = 9 – 4 = 5
Jadi, grafik memotong sumbu Y di titik (0, 5). 3) > 0 ⇔ 9 · > 0 ⇔ 9 · – 4 > –4 ⇔ f(x) > –4
Oleh karena f(x) > –4 maka asimtot datarnya y = –4.
4) Oleh karena grafik fungsi f(x) monoton turun dan asimtot datarnya y = –4 maka untuk nilai x semakin besar, nilai f(x) mendekati –4. Jadi, pernyataan yang benar adalah 2) dan 5). 10. Jawaban: d
Misalkan:
Pn= banyak serangga sekarang = 20.000 P0= banyak serangga 36 hari lalu
Pn= ⇔ 20.000 = P0(2)3 ⇔ 20.000 = P0(8) ⇔ P0= 2.500
Jadi, banyak serangga 36 hari yang lalu ada 2.500 ekor.
11. Jawaban: b
Grafik fungsi f(x) memotong sumbu Y pada saat x = 0.
f(x) = log − f(0) = log −
= log 640 = log 1 = 0
Jadi, titik potong grafik fungsi f(x) terhadap sumbu Y adalah (0, 0). 12. Jawaban: d f(17) = f(16 + 1) = f(42 + 1) = 2log 4 + 1 = 2 + 1 = 3 f(5) = f(4 + 1) = f(22 + 1) = 2log 2 + 1 = 1 + 1 = 2 Nilai f(17) + f(5) = 3 + 2 = 5. 13. Jawaban: b
Grafik fungsi monoton turun dan memotong sumbu X di titik (1, 0). Persamaan grafik fungsinya adalah y = alog x dengan 0 < a < 1. Jika mengambil nilai a = diperoleh hasil berikut.
y = log x ⇔ y = ⇔ y = − ⇔ y = – 2log x = 2log x–1 ⇔ y = 2log
Jadi, persamaan grafiknya y = 2log . 14. Jawaban: e
Grafik tersebut merupakan grafik fungsi logaritma f(x) = alog x dengan a > 1.
Sifat-sifat grafiknya sebagai berikut. 1) Mempunyai asimtot tegak x = 0. 2) Memotong sumbu X di titik (1, 0). 3) Daerah asal fungsi {x | x > 0, x ∈ R}. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e. 15. Jawaban: e
f(x) = 5log 5x + 1
Beberapa titik yang dilalui.
x 1 5
g(x) = 5log 5x –2 –1 0 1 2
f(x) = 5log 5x + 1 –1 0 1 2 3
Dari grafik diperoleh kesimpulan berikut.
1) Grafik f(x) = 5log 5x + 1 diperoleh dengan menggeser g(x) = 5log 5x ke atas 1 satuan. 2) Grafik f(x) = 5log 5x + 1 memotong sumbu X
di titik (
, 0).
3) Grafik f(x) = 5log 5x + 1 tidak memotong sumbu Y.
Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e. y = f(x) = 5log 5x + 1 y = g(x) = 5log 5x 4 3 2 1 –1 –2 –3 Y X –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y X f(x) = –2 2log x –1 0 1 2 3 4 5 6 7 9 5 4 3 2 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 8 B. Uraian
1. a. Persamaan grafik fungsi
Grafik melalui titik (0, ) dan (1, 3). f(x) = 3ax + b ⇔ f(0) = 30 + b ⇔ = 3b ⇔ 3–1= 3b ⇔ b = –1 f(x) = 3ax – 1 ⇔ f(1) = 3a – 1 ⇔ 3 = 3a – 1 ⇔ 31= 3a – 1 ⇔ a – 1 = 1 ⇔ a = 2
Jadi, persamaan grafik fungsi tersebut adalah f(x) = 32x – 1. b. f(x) = 32x – 1 f(4) = 38 – 1 = 37 = 2.187 f(3) = 243 Nilai f(4) – f(3) = 2.187 – 243 = 1.944 Jadi, nilai f(4) – f(3) = 1.944.
2. Grafik fungsi f(x) melalui titik (1, 4). f(x) = akx
⇔ f(1) = ak ⇔ 4 = ak
Diperoleh fungsi f(x) = akx = 4x.
Grafik fungsi f(x) digeser ke atas 2 satuan, maka g(x) = 4x + 2.
Nilai g(1) = 41+ 2 = 4 + 2 = 6 g(2) = 42 + 2 = 16 + 2 = 18 Jadi, nilai g(1) + g(2) = 6 + 18 = 24. 3. a. Persamaan grafik fungsi
Grafik fungsi melalui titik (2, 0) dan (4, –1). f(x) = + f(2) = 0 ⇔ + = 0 ⇔ 2a + b = ()0 ⇔ 2a + b = 1 . . . (1) f(4) = – 1 ⇔ + = –1 ⇔ 4a + b = ()–1 ⇔ 4a + b = 3 . . . (2)
Eliminasi b dari (1) dan (2). 2a + b = 1
4a + b = 3 –––––––––– –
–2a = –2 ⇔ a = 1
Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan (1). 2a + b = 1 ⇔ 2(1) + b = 1 ⇔ 2 + b = 1 ⇔ b = –1 Diperoleh f(x) = − .
Jadi, persamaan grafik fungsi tersebut adalah f(x) = − . b. Nilai f(25) = Nilai f(9) = f(25) – f(9) = – = = = –1 3log 3 = –1 Jadi, nilai f(25) – f(9) = –1. 4. a. Nilai k f(x) = k · 2log x ⇔ f(4) = –4 ⇔ k · 2log 4 = –4 ⇔ k · 2 = –4 ⇔ k = –2 Jadi, nilai k = –2.
b. Grafik fungsi f(x) = –2 · 2log x. Beberapa titik bantu.
Sketsa grafik f(x). x 1 2 4 8 f(x) 4 2 0 –2 –4 –6
5. Grafik f(x) = alog 2x melalui titik (2, –2), maka f(2) = –2. f(2) = alog 4 ⇔ –2 = alog 4 ⇔ a–2= 4 ⇔ a–2= ( )–1 ⇔ a–2= ( )–2 ⇔ a = Diperoleh persamaan f(x) = .
Grafik fungsi f(x) digeser ke kanan 2 satuan, maka g(x) =
− .
Jadi, persamaan grafik fungsi g(x) =
− . A. Uraian 1. Jawaban: b − = 64 ⇔ − − = 26 ⇔ − − = 26 ⇔ − − = 6 ⇔ –4x + 8 = 18 ⇔ –4x = 10 ⇔ x = – = –2 2. Jawaban: e + = − ⇔ (2–2)x + 2= − ⇔ 2–2(x + 2)= − ⇔ –2(x + 2) = − ⇔ –2x – 4 = 2x – 1 ⇔ –4x = 3 ⇔ x = – Nilai 81x = − = − = 3–3 = . 3. Jawaban: b (5x + 5–x)2= 52x + 2 · 5x · 5–x + 5–2x = 52x + 2 + 5–2x = 52x + 5–2x + 2 = 34 + 2 = 36 5x + 5–x= + − = = 6 4. Jawaban: d − − = 0,008 ⇔ − − = (0,2)3 ⇔(0,2) − − + = (0,2)3 ⇔ (0,2) − = (0,2)3 ⇔ − = 3 ⇔ 5 – 8x = 6 ⇔ –8x = 1 ⇔ x = –
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –. 5. Jawaban: b ()x2– 3 ( )1 – x= ⇔ ()2(x2 – 3) ()3(1 – x)= ( )–1 ⇔ ()2(x2 – 3) + 3(1 – x) = ()–1 ⇔ 2(x2 – 3) + 3(1 – x) = –1 ⇔ 2x2 – 3x – 2 = 0 ⇔ (2x + 1)(x – 2) = 0 ⇔ 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = – atau x = 2 Diperoleh x1 = – dan x2 = 2. Jadi, (x1 – x2)2 = (– – 2)2 = (– )2 = .
6. Jawaban: a
Misalkan: h(x) = x – 3 f(x) = 2x – 1 g(x) = x + 1
Penyelesaian persamaan ditentukan dari beberapa kemungkinan berikut. 1) f(x) = g(x) ⇔ 2x – 1 = x + 1 ⇔ 2x – x = 1 + 1 ⇔ x = 2 2) h(x) = 1 ⇔ x – 3 = 1 ⇔ x = 4 3) h(x) = 0 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3 Substitusikan x = 3 ke f(x) dan g(x). f(x) = 2x – 1 = 2(3) – 1 = 5 > 0 g(x) = x + 1 = 3 + 1 = 4 > 0
Oleh karena f(3) dan g(3) positif maka x = 3 merupakan penyelesaian. 4) h(x) = –1 ⇔ x – 3 = –1 ⇔ x = 2 Substitusikan x = 2 ke f(x) dan g(x). f(x) = 2x – 1 = 2(2) – 1 = 3 (ganjil) g(x) = x + 1 = 2 + 1 = 3 (ganjil)
Oleh karena f(x) dan g(x) keduanya ganjil maka x = 2 merupakan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaiannya {2, 3, 4}. 7. Jawaban: c (x + 1)x2 – 16 = 1 ⇔ (x + 1)x2 – 16 = (x + 1)0 Misalkan: h(x) = x + 1, f(x) = x2 – 16, dan g(x) = 0. Penyelesaian persamaan dapat ditentukan dari beberapa kemungkinan berikut.
1) f(x) = g(x) ⇔ x2 – 16 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 4) = 0 ⇔ x + 4 = 0 atau x – 4 = 0 ⇔ x = –4 atau x = 4 2) h(x) = 1 ⇔ x + 1 = 1 ⇔ x = 0 3) h(x) = –1 ⇔ x + 1 = –1 ⇔ x = –2 Substitusikan x = –2 ke f(x) dan g(x). f(–2) = 4 – 16 = –12 (genap) g(–2) = 0 (genap)
Oleh karena f(–2) dan g(–2) keduanya genap maka x = –2 merupakan penyelesaian. Jadi, nilai x yang bukan penyelesaian x = –1.
8. Jawaban: b
3x + 2 + 9x + 1 – 810 = 0 ⇔ 32 · 3x + 9 · 9x – 810 = 0 ⇔ 9 · 3x + 9 · (3x)2 – 810 = 0 ⇔ 3x + (3x)2 – 90 = 0
Misalkan y = 3x, diperoleh persamaan eksponen: y + y2 – 90 = 0 ⇔ y2 + y – 90 = 0 ⇔ (y + 10)(y – 9) = 0 ⇔ y + 10 = 0 atau y – 9 = 0 ⇔ y = –10 atau y = 9 Untuk y = –10 ⇔ 3x = –10 (tidak ada nilai x yang memenuhi) Untuk y = 9 ⇔ 3x= 9
⇔ 3x= 32 ⇔ x = 2
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 2. 9. Jawaban: b 83x– 4> ( ) –x + 2 ⇔ (23)3x – 4> (2–5)–x + 2 ⇔ 23(3x – 4)> 2–5(–x + 2) ⇔ 3(3x – 4) > –5(–x + 2) ⇔ 9x – 12 > 5x – 10 ⇔ 4x > 2 ⇔ x >
Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x > }. 10. Jawaban: c − ≤ 27 2 – x ⇔ − ≤ (33)2 – x ⇔ 3–2(2x – 1)≤ 33(2 – x) ⇔ –2(2x – 1) ≤ 3(2 – x) ⇔ –4x + 2≤ 6 – 3x ⇔ –4x + 3x≤ 6 – 2 ⇔ –x≤ 4 ⇔ x≥ –4 11. Jawaban: d
Grafik fungsi f(x) di atas sumbu X jika f(x) > 0. f(x) > 0 ⇔ + – 27 > 0 ⇔ 3–2 · + – 33> 0 ⇔ + − + > 33
⇔ –2 + (+) > 3 ⇔ + > 5 ⇔ 2x + 1 > 10 ⇔ 2x > 9 ⇔ x >
Jadi, grafik fungsi f(x) berada di atas sumbu X pada interval x > . 12. Jawaban: b 3p + 3p – 1< 12 ⇔ 3p + < 12 ⇔ 3 · 3p + 3p < 36 ⇔ 3p(3 + 1) < 36 ⇔ 4 · 3p< 36 ⇔ 3p< 9 ⇔ 3p< 32 ⇔ p < 2 13. Jawaban: b − ≤ 274 – x2 ⇔ − − ≤ (33)4 – x2 ⇔ − − ≤ 33(4 – x 2) ⇔ –2( x – 4)≤ 3(4 – x 2) ⇔ –x + 8≤ 12 – 3x2 ⇔ 3x2 – x – 4≤ 0 ⇔ (3x – 4)(x + 1) ≤ 0 Pembuat nol: 3x – 4 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = atau x = –1 Penyelesaian: ⇔ –1 ≤ x ≤ 14. Jawaban: b 92x – 10 · 9x + 9 > 0 ⇔ (9x)2 – 10 · 9x + 9 > 0
Misalkan y = 9x, diperoleh pertidaksamaan: y2 – 10y + 9 > 0 ⇔ (y – 9)(y – 1) > 0 Pembuat nol: y – 9 = 0 atau y – 1 = 0 ⇔ y = 9 atau y = 1 Penyelesaian: y < 1 atau y > 9 ⇔ 9x < 1 atau 9x > 9 ⇔ 9x < 90atau 9x > 91 ⇔ x < 0 atau x > 1 15. Jawaban: d 52x – 6 · 5x + 1 + 125 > 0 ⇔ (5x)2 – 6 · 5 · 5x + 125 > 0 ⇔ (5x)2 – 30 · 5x + 125 > 0
Misalkan y = 5x, diperoleh pertidaksamaan: y2 – 30y + 125 > 0 ⇔ (y – 5)(y – 25) > 0 Pembuat nol: y – 5 = 0 atau y – 25 = 0 ⇔ y = 5 atau y = 25 Penyelesaian: y < 5 atau y > 25 ⇔ 5x < 5 atau 5x > 25 ⇔ 5x < 51atau 5x > 52 ⇔ x < 1 atau x > 2 B. Uraian 1. a. 9n + 1 + 32n + 1 + 45 · − = 243 ⇔ 9n · 9 + 32n · 3 + 45 · 32n – 1= 243 ⇔ 32n · 9 + 32n · 3 + 15 · 32n= 243 ⇔ 32n(9 + 3+ 15) = 243 ⇔ 32n= 9 ⇔ 32n= 32 ⇔ 2n = 2 ⇔ n = 1 Jadi, nilai n = 1. b. 7n + 7n + 1 – 21 · 7n – 1= 245 ⇔ 7n + 7n · 7 – 21 · 7n · = 245 ⇔ 7n + (1 + 7 – 3) = 245 ⇔ 7n= 49 ⇔ 7n= 72 ⇔ n = 2 Jadi, nilai n = 2. –1 1 9 5 25
c. 52n – 32n= 52n – 1 + 32n – 1 ⇔ 52n – 52n – 1= 32n – 1 + 32n ⇔ 52n – = + 3 2n ⇔ · 52n= · 3 2n ⇔ 4 · = 4 · ⇔ 52n – 1= 32n – 1
Penyelesaian dari 52n – 1 = 32n – 1 adalah 2n – 1 = 0 ⇔ n = Jadi, nilai n = . 2. a. 92x – 4= − ⇔ (32)2x – 4= (3–3)x2 – 4 ⇔ 2(2x – 4) = –3(x2 – 4) ⇔ 4x – 8 = –3x2 + 12 ⇔ 3x2 + 4x – 20 = 0 ⇔ (3x + 10)(x – 2) = 0 ⇔3x + 10 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = – atau x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya {– , 2}. b. 8x + 2= + ⇔ 8x + 2= 8 + ⇔ 8x + 2= 8 + ⇔ x + 2 = + ⇔ 3x + 6 = 2x + 10 ⇔ x = 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya {4}. c. + = − ⇔ + = − ⋅ ⇔ (2–1)2x + 1= −⋅− ⋅− ⇔ 2–2x – 1= 2 − ⇔ –2x – 1 = − ⇔ –2x – 1 = 2x – 4 ⇔ –4x = –3 ⇔ x =
Jadi, himpunan penyelesaiannya {
}.
3. Misalkan h(x)= 2x – 3 f(x) = x + 1 g(x)= x2 + x – 3
Penyelesaian persamaan ditentukan dari beberapa kemungkinan berikut. a. f(x) = g(x) ⇔ x + 1 = x2 + x – 3 ⇔ x2 – 4 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x + 2 = 0 ⇔ x = 2 atau x = –2 b. h(x) = 1 ⇔ 2x – 3 = 1 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 c. h(x) = 0 ⇔ 2x – 3 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = Substitusikan x = ke f(x) dan g(x). f(x) = x + 1 = + 1 = > 0 g(x) = x2 + x – 3 = + – 3 = > 0
Oleh karena f(x) dan g(x) positif maka x = merupakan penyelesaian. d. h(x) = –1 ⇔ 2x – 3 = –1 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1 Substitusikan x = 1 ke f(x) dan g(x). f(x) = x + 1 = 1 + 1 = 2 (genap) g(x) = x2 + x – 3 = 1 + 1 – 3 = –1 (ganjil) Oleh karena f(x) dan g(x) keduanya tidak genap atau ganjil maka x = 1 bukan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaian {–2, , 2}. 4. a. − > 322 – x ⇔ (2–2)2x – 3> (25)2 – x ⇔ 2–2(2x – 3)> 25(2 – x) ⇔ –2(2x – 3) > 5(2 – x) ⇔ –4x + 6 > 10 – 5x ⇔ –4x + 5x > 10 – 6 ⇔ x > 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x > 4}. b. 3x2 – 3x – 5
≤ 3–x – 2 ⇔ x2 – 3x – 5≤ –x – 2 ⇔ x2 – 2x – 3≤ 0 ⇔ (x – 3)(x + 1) ≤ 0
Pembuat nol:
x – 3 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 3 atau x = –1 Penyelesaian:
–1 ≤ x ≤ 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | –1 ≤ x ≤ 3}.
c. > + ⇔ > + ⇔ > + ⇔ 2x3< 3( x2 + x) ⇔ 2x3< 5x2 + 3x ⇔ 2x3 – 5x2 – 3x < 0 ⇔ x(2x2 – 5x – 3) < 0 ⇔ x(2x + 1)(x – 3) < 0 Pembuat nol: x = 0 atau 2x + 1 = 0 atau x – 3 = 0 ⇔ x = 0 atau x = – atau x = 3 Penyelesaian: x < – atau 0 < x < 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x < –
atau 0 < x < 3}. 5. a. Titik potong
Fungsi f(x) dan g(x) berpotongan pada saat f(x) = g(x). f(x) = g(x) ⇔ 3x + 2 = · 3 –x ⇔ 3x + 2 = 3–2 · 3–x ⇔ 3x + 2 = 3–x – 2 ⇔ x + 2 = –x – 2 ⇔ 2x = –4 ⇔ x = –2 Substitusikan x = –2 ke f(x). f(x) = 3x + 2 = 3–2 + 2 = 30 = 1
Jadi, titik potong f(x) dan g(x) adalah (–2, 1). b. Fungsi f(x) di atas g(x)
Fungsi f(x) berada di atas g(x) pada saat f(x) > g(x). f(x) > g(x) ⇔ 3x + 2 > · 3 –x ⇔ 3x + 2 > 3–x – 2 ⇔ x + 2 > –x – 2 ⇔ 2x > –4 ⇔ x > –2
Jadi, f(x) berada di atas g(x) pada interval x > –2. –1 3 – 0 3 A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c 2log (2x – 5) = 4log 9 ⇔ 2log (2x – 5) = 22 log 9 ⇔ 2log (2x – 5) = ⇔ 2x – 5 = ⇔ 2x – 5 = 3 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4 Syarat numerus: 2x – 5 > 0 ⇔ 2x > 5 ⇔ x >
Oleh karena x = 4 > maka penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 4.
2. Jawaban: d − = 2 ⇔ − = 2log 4 ⇔ − = 4 ⇔ x2 – 9 = 16 ⇔ x2 – 25 = 0 ⇔ (x – 5)(x + 5) = 0 ⇔ x – 5 = 0 atau x + 5 = 0 ⇔ x = 5 atau x = –5 Syarat numerus: − > 0 ⇔ x2 – 9 > 0 ⇔ (x – 3)(x + 3) > 0 ⇔ x < –3 atau x > 3
Bentuk xlog 125 mempunyai nilai untuk x > 0. Jadi, xlog 125 = 5log 125 = 5log 53 = 3.
3. Jawaban: d 2log (x2 + 11x + 31) = 5log (x2 + 11x + 31) ⇔ x2 + 11x + 31 = 1 ⇔ x2 + 11x + 30 = 0 ⇔ (x + 5)(x + 6) = 0 ⇔ x + 5 = 0 atau x + 6 = 0 ⇔ x = –5 atau x = –6
Oleh karena x1 > x2 maka x1 = –5 dan x2 = –6. Nilai x1 – x2 = –5 – (–6) = 1. 4. Jawaban: b (3x + 1)log 25 = 4log 5 ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ log (3x + 1) = 2 log 4 ⇔ log (3x + 1) = log 42 ⇔ 3x + 1 = 16 ⇔ 3x = 15 ⇔ x = 5
Syarat bilangan pokok: 1) 3x + 1 > 0 ⇔ x > – 2) 3x + 1 ≠ 1 ⇔ x ≠ 0
Oleh karena x = 5 > – maka x = 5 merupakan penyelesaian.
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 5. 5. Jawaban: d 4log (2x + 1) · (2x + 1)log (x2 + x + 2) = ⇔ 4log (x2 + x + 2) = ⇔ 4log (x2 + x + 2) = ⇔ x2 + x + 2 = ⇔ x2 + x + 2 = 8 ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 2) = 0 ⇔ x + 3 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –3 atau x = 2 Syarat numerus: 1) x2 + x + 2 > 0
Untuk setiap x ∈ R memenuhi x2 + x + 2 > 0
2) 2x + 1 > 0 ⇔ 2x > –1 ⇔ x > –
Syarat bilangan pokok: 1) 2x + 1 > 0 ⇔ 2x > –1 ⇔ x > – 2) 2x + 1≠ 2 ⇔ 2x≠ 0 ⇔ x≠ 0
Dari kedua persyaratan diperoleh x > – dan x ≠ 0.
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 2. 6. Jawaban: d
2log2 (2x – 2) – 2log (2x – 2) = 2 ⇔ 2log2 (2x – 2) – 2log (2x – 2) – 2 = 0
Misalkan y = 2log (2x – 2), diperoleh persamaan: y2 – y – 2 = 0 ⇔ (y – 2)(y + 1) = 0 ⇔ y – 2 = 0 atau y + 1 = 0 ⇔ y = 2 atau y = –1 Untuk y = 2 ⇔ 2log (2x – 2) = 2 ⇔ 2log (2x – 2) = 2log 4 ⇔ 2x – 2 = 4 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 Untuk y = –1 ⇔ 2log (2x – 2) = –1 ⇔ 2log (2x – 2) = ⇔ 2x – 2 = ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3 atau x = 1 . 7. Jawaban: a ⋅ − − = 6
Misalkan y = xlog 8, diperoleh persamaan:
− − = 6 ⇔ 5y – 3 = 6(5 – y) ⇔ 5y – 3 = 30 – 6y ⇔ 5y + 6y = 30 + 3 ⇔ 11y = 33 ⇔ y = 3 Untuk y = 3 ⇔ xlog 8 = 3 ⇔ x3= 8 ⇔ x = 2
8. Jawaban: d
2log2 (x + 2) + 2log (x + 2)3= 2log
⇔ 2log2 (x + 2) + 3 · 2log (x + 2) = –2
Misalkan y = 2log (x + 2), diperoleh persamaan: y2 + 3y = –2 ⇔ y2 + 3y + 2 = 0 ⇔ (y + 2)(y + 1) = 0 ⇔ y + 2 = 0 atau y + 1 = 0 ⇔ y = –2 atau y = –1 Untuk y = –2 ⇔ 2log (x + 2) = –2 ⇔ 2log (x + 2) = ⇔ x + 2 = ⇔ x = – Untuk y = –1 ⇔ 2log (x + 2) = –1 ⇔ 2log (x + 2) = ⇔ x + 2 = ⇔ x = – Nilai x1x2 = – (– ) = . 9. Jawaban: d 2log (x – 1)2≤ 2 ⇔ 2log (x – 1)2≤ 2log 4 ⇔ (x – 1)2≤ 4 ⇔ x2 – 2x + 1 – 4≤ 0 ⇔ x2 – 2x – 3≤ 0 ⇔ (x + 1)(x – 3)≤ 0 ⇔ –1 ≤ x ≤ 3 . . . (1) Syarat numerus: x – 1 > 0 ⇔ x > 1 . . . (2) Dari penyelesaian (1) dan (2) diperoleh:
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1 < x ≤ 3. 10. Jawaban: a
log (x – 2) + log (x + 1) < 2 log (x + 4) ⇔ log (x – 2)(x + 1) < log (x + 4)2 ⇔ (x – 2)(x + 1) < (x + 4)2 ⇔ x2 – x – 2 < x2 + 8x + 16 ⇔ –9x < 18 ⇔ –x < 2 ⇔ x > –2 . . . (1) Syarat numerus: 1) x – 2 > 0 ⇔ x > 2 2) x + 1 > 0 ⇔ x > –1 3) x + 4 > 0 ⇔ x > –4 . . . (2) . . . (3) . . . (4) Dari penyelesaian (1), (2), (3), dan (4) diperoleh:
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x > 2. 11. Jawaban: b + 2log (3x – 1) < 2log (x + 2) ⇔ + 2log (3x – 1) < 2log (x + 2) ⇔ − < 2log (x + 2) ⇔ − < x + 2 ⇔ 3x – 1 < 2(x + 2) ⇔ 3x – 1 < 2x + 4 ⇔ 3x – 2x < 4 + 1 ⇔ x < 5 . . . (1) Syarat numerus: 1) 3x – 1 > 0 ⇔ 3x > 1 ⇔ x > . . . (2) 2) x + 2 > 0 ⇔ x > –2 . . . (3) –1 2 –2 + – + –1 3 1 –1 1 3 –4 –2 –1 2 –4 5 –2
Dari penyelesaian (1), (2), dan (3) diperoleh:
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah
< x < 5.
12. Jawaban: d
2log (x + 2) + 2log (x – 2)≤ 2log 5 ⇔ 2log (x + 2)(x – 2)≤ 2log 5 ⇔ 2log (x2 – 4)≤ 2log 5 ⇔ x2 – 4≤ 5 ⇔ x2 – 9≤ 0 ⇔ (x – 3)(x + 3)≤ 0 . . . (1) Syarat numerus: 1) x + 2 > 0 ⇔ x > –2 . . . (2) 2) x – 2 > 0 ⇔ x > 2 . . . (3)
Dari penyelesaian (1), (2), dan (3) diperoleh:
Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | 2 < x ≤ 3}. 13. Jawaban: a
2log (x – 3) + 2log (x + 3)≥ 4 ⇔ 2log (x – 3) + 2log (x + 3) ≥ 2log 16 ⇔ 2log (x – 3)(x + 3)≥ 2log 16 ⇔ (x – 3)(x + 3)≥ 16 ⇔ x2 – 9≥ 16 ⇔ x2 – 25≥ 0 ⇔ (x – 5)(x + 5)≥ 0 . . . (1) Syarat numerus: 1) x – 3 > 0 ⇔ x > 3 . . . (2) –2 5 2) x + 3 > 0 ⇔ x > –3 . . . (3) Dari penyelesaian (1), (2), dan (3) diperoleh:
Jadi, penyelesaiannya adalah x ≥ 5. 14. Jawaban: d
25log (x – 3) + 25log (x + 1)≤
⇔ 25log (x – 3) + 25log (x + 1)≤ 25log 5 ⇔ 25log (x – 3)(x + 1) ≤ 25log 5 ⇔ (x – 3)(x + 1)≤ 5 ⇔ x2 – 2x – 3≤ 5 ⇔ x2 – 2x – 8≤ 0 ⇔ (x – 4)(x + 2)≤ 0 . . . (1) Syarat numerus: 1) x – 3 > 0 ⇔ x > 3 . . . (2) 2) x + 1 > 0 ⇔ x > –1 . . . (3) Dari penyelesaian (1), (2), dan (3) diperoleh:
Jadi, penyelesaiannya adalah 3 < x ≤ 4. 15. Jawaban: e 2log x – xlog 2 > 0 ⇔ 2log x – > 0
Misalkan y = 2log x diperoleh pertidaksamaan: y – > 0 ⇔ − > 0 ⇔ − > 0 –3 3 –2 2 –3 –2 2 3 –5 5 3 –3 –5 –3 3 5 –2 4 3 –1 –2 –1 3 4 – + – + –1 0 1
⇔ –1 < y < 0 atau y > 1
⇔ –1 < 2log x < 0 atau 2log x > 1 ⇔ 2log 1
2 <
2log x < 2log 1 atau 2log x > 2log 2 ⇔ 21 < x < 1 atau x > 2 . . . . (1)
Syarat numerus: x > 0 . . . . (2) Syarat bilangan pokok: x > 0, x ≠ 1 . . . . (3) Dari pertidaksamaan (1), (2), dan (3) diperoleh:
Jadi, nilai x yang memenuhi 1
2 < x < 1 atau x > 2. B. Uraian 1. (x + 1)log (3x2 + 2x – 1) = 2 ⇔ 3x2 + 2x – 1 = (x + 1)2 ⇔ 3x2 + 2x – 1 = x2 + 2x + 1 ⇔ 2x2 – 2 = 0 ⇔ 2(x2 – 1) = 0 ⇔ 2(x – 1)(x + 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 1 atau x = –1 Syarat numerus: 3x2 + 2x – 1 > 0 ⇔ (3x – 1)(x + 1) > 0 ⇔ x < –1 atau x > 31 Syarat bilangan pokok: 1) x + 1 > 0
⇔ x > –1 2) x + 1 ≠ 1
⇔ x ≠ 0
Dari syarat numerus dan bilangan pokok diperoleh syarat x > 1
3.
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 1. b. xlog 4 + 4log x = 5 2 ⇔ 4 1 log x + 4log x = 5 2
Misalkan y = 4log x, diperoleh persamaan:
1 y + y = 5 2 ⇔ 1 + y2= 5 2y ⇔ 2 + 2y2= 5y ⇔ 2y2 – 5y + 2 = 0 ⇔ (2y – 1)(y – 2) = 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 ⇔ 2y – 1 = 0 atau y – 2 = 0 ⇔ y = 1 2 atau y = 2 Untuk y = 1 2 ⇔ 4log x = 1 2 ⇔ x = 1 2 4 ⇔ x = 2 Untuk y = 2 ⇔ 4log x = 2 ⇔ x = 42 ⇔ x = 16 Syarat numerus: x > 0
Syarat bilangan pokok: x > 0, x ≠ 1
Dari syarat numerus dan bilangan pokok diperoleh syarat x > 0 dan x ≠ 1.
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 2 atau x = 16. 2. a. Nilai p Substitusikan x = 16 ke persamaan. 2log2 xp – (4p + 1) 2log x + 4p = 0 ⇔ (2log 16p)2 – (4p + 1) 2log 16 + 4p = 0 ⇔ (4p)2 – (4p + 1) · 4 + 4p = 0 ⇔ 16p2 – 16p – 4 + 4p = 0 ⇔ 16p2 – 12p – 4 = 0 ⇔ 4p2 – 3p – 1 = 0 ⇔ (4p + 1)(p – 1) = 0 ⇔ 4p + 1 = 0 atau p – 1 = 0 ⇔ p = –14 atau p = 1
Oleh karena p > 0 maka nilai p yang memenuhi adalah p = 1.
b. Penyelesaian yang lain
Substitusikan p = 1 ke persamaan. 2log2 xp – (4p + 1) 2log x + 4p = 0 ⇔ 2log2 x – (4 + 1) 2log x + 4(1) = 0 ⇔ 2log2 x – 5 · 2log x + 4 = 0 Misalkan y = 2log x, diperoleh persamaan:
y2 – 5y + 4 = 0 ⇔ (y – 4)(y – 1) = 0 ⇔ y – 4 = 0 atau y – 1 = 0 ⇔ y = 4 atau y = 1 Untuk y = 4 ⇔ 2log x = 4 ⇔ x = 24 ⇔ x = 16 Untuk y = 1 ⇔ 2log x = 1 ⇔ x = 21 ⇔ x = 2
3. a. 2log (x + 2) + 2log (x – 5)≤ 3 ⇔ 2log (x + 2) + 2log (x – 5)≤ 2log 8 ⇔ 2log (x + 2)(x – 5)≤ 2log 8 ⇔ (x + 2)(x – 5)≤ 8 ⇔ x2 – 3x – 10≤ 8 ⇔ x2 – 3x – 18≤ 0 ⇔ (x – 6)(x + 3)≤ 0 . . . (1) Syarat numerus: 1) x + 2 > 0 ⇔ x > –2 . . . (2) 2) x – 5 > 0 ⇔ x > 5 . . . (3) Dari penyelesaian (1), (2), dan (3) diperoleh:
Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | 5 < x ≤ 6}. b. + – − ≥ ⇔ + – − ≥ 3log 4–1 ⇔ + – − ≥ − ⇔ + – − ≥ − ⇔ +− ≥ − ⇔ +− ≥ 2–1 ⇔ +− ≥ ⇔ +− – ≥ 0 ⇔ +− – −− ≥ 0 ⇔ + − + − ≥ 0 ⇔ +− ≥ 0 ⇔ x ≤ –3 atau x > 1 . . . (1) Syarat numerus: 1) x + 1 > 0 ⇔ x > –1 . . . (2) 2) x – 1 > 0 ⇔ x > 1 . . . (3) Dari penyelesaian (1), (2), dan (3) diperoleh:
Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x > 1}. 4. alog2 x + 10 ≤ 7 · alog x
Misalkan y = alog x, diperoleh pertidaksamaan: y2 + 10≤ 7y ⇔ y2 – 7y + 10≤ 0 ⇔ (y – 5)(y – 2)≤ 0 Pembuat nol: y – 5 = 0 atau y – 2 = 0 ⇔ y = 5 atau y = 2 ⇔ 2 ≤ y ≤ 5 ⇔ 2 ≤ alog x≤ 5 ⇔ alog a2 ≤ alog x≤ alog a5 ⇔ a2 ≤ x ≤ a5
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah a2 ≤ x ≤ a5. 5. f(x) = 1 – 6log (x2 – x – 6)
a. Fungsi f terdefinisi apabila syarat numerusnya dipenuhi, yaitu:
x2 – x – 6 > 0 ⇔ (x + 2)(x – 3) > 0 ⇔ x < –2 atau x > 3
Jadi, daerah asal fungsi f(x) adalah {x | x < –2 atau x > 3}. b. f(x) ≥ 0 ⇔ 1 – 6log (x2 – x – 6)≥ 0 ⇔ 6log (x2 – x – 6)≤ 1 ⇔ 6log (x2 – x – 6)≤ 6log 6 ⇔ x2 – x – 6≤ 6 ⇔ x2 – x – 12≤ 0 ⇔ (x + 3)(x – 4)≤ 0 ⇔ –3 ≤ x ≤ 4 –3 6 –2 5 –3 –2 5 6 –3 1 –1 1 –3 –1 1 2 5 –2 3
. . . (1) Syarat numerus:
. . . (2)
Dari penyelesaian (1) dan (2) diperoleh:
Jadi, interval x yang memenuhi f(x) ≥ 0 adalah –3 ≤ x < –2 atau 3 < x ≤ 4. –2 3 –3 4 –3 –2 3 4 A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: a
Grafik fungsi eksponen melalui titik (, 1), (2, 2), dan (3, 8). Grafik fungsi yang sesuai adalah y = 22x – 3.
Cek beberapa titik. Titik ( , 1) y = − = 20 = 1 Titik (2, 2) y = 22(2) – 3 = 21 = 2 Titik (3, 8) y = 22(3) – 3 = 23 = 8 2. Jawaban: d
Grafik fungsi memotong sumbu Y pada saat x = 0. f(x) = 6 – 7x2 – 2x + 1
⇔ f(0) = 6 – 702 – 2(0) + 1
= 6 – 71 = 6 – 7 = –1
Jadi, fungsi f(x) memotong sumbu Y di titik (0, –1). 3. Jawaban: a
Grafik fungsi eksponen melalui titik (–1, 1) dan (–3, 4). Persamaan grafik fungsi tersebut adalah y = (
)
x + 2. Cek beberapa titik. Titik (–1, 1) ⇒ y = ( ) –1 + 1 = ( ) 0 = 1 Titik (–3, 4) ⇒ y = ( ) –3 + 1 = ( ) –2 = 4 4. Jawaban: b 3x> 0 ⇔ 32x> 0 ⇔ 32x + 1> 0 ⇔ 32x + 1 – 4 > –4 ⇔ f(x) > –4
Jadi, daerah hasil fungsi f(x) > –4.
5. Jawaban: c
Fungsi f(x) memotong sumbu X pada saat y = f(x) = 0. f(x) = 2log (6x – 2) ⇔ 0 = 2log (6x – 2) ⇔ 2log 1 = 2log (6x – 2) ⇔ 1 = 6x – 2 ⇔ 3 = 6x ⇔ x =
Jadi, titik potong fungsi f(x) dengan sumbu X adalah (
, 0).
6. Jawaban: a
Grafik fungsi f(x) = 4log 2x + 1 memotong sumbu X pada saat f(x) = 0. 4log 2x + 1 = 0 ⇔ 4log 2x = –1 ⇔ 4log 2x = 4log 4–1 ⇔ 2x = ⇔ x =
Grafik fungsi f(x) memotong sumbu X di titik (, 0). Fungsi f(x) = 4log 2x + 1 mempunyai bilangan pokok a = 4. Oleh karena a = 4 > 1 maka grafik f(x) monoton naik.
Jadi, grafik yang benar pada pilihan a. 7. Jawaban: b
f(x) = 6x + 3
g(x) diperoleh dari pergeseran f(x) ke kanan 4 satuan.
g(x) = 6(x – 4) + 3 = 6x – 1 Jadi, fungsi g(x) = 6x – 1. 8. Jawaban: a
Misalkan: jumlah bakteri mula-mula = N0 jumlah bakteri setelah 6 detik = Nt Nt= N0 ·
⇔ 1.728 = N0 · ⇔ 1.728 = N0 · 23 ⇔ 1.728 = N0 · 8 ⇔ N0= 216
Jadi, banyak bakteri mula-mula ada 216. 9. Jawaban: e = − ⇔ + = − ⇔ + = − − ⇔ + = − − ⇔ 2(x + 2) = –9(1 – x) ⇔ 2x + 4 = –9 + 9x ⇔ –7x = –13 ⇔ x = 10. Jawaban: d ( − ) 2= ⇔ (31 – x + 1)2= − ⇔ (32 – x)2= − ⇔ 32(2 – x)= − ⇔ 2(2 – x) = – ⇔ 4 – 2x = – ⇔ –2x = –4 ⇔ x = Jadi, nilai 8x = = = 27 = 128. 11. Jawaban: c 92x2 – 6x + 1 = 272x – 4 ⇔ 32(2x2 – 6x + 1) = 33(2x – 4) ⇔ 2(2x2 – 6x + 1) = 3(2x – 4) ⇔ 4x2 – 12x + 2 = 6x – 12 ⇔ 4x2 – 18x + 14 = 0 ⇔ 2x2 – 9x + 7 = 0 ⇔ (2x – 7)(x – 1) = 0 ⇔ 2x – 7 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = atau x = 1 Diperoleh x1 = dan x2 = 1. Jadi, nilai x2 – x1 = 1 – = –. 12. Jawaban: b = + ⇔ = + ⇔ 27 – 2x= 2x2 + x – 3 ⇔ 7 – 2x = x2 + x – 3 ⇔ x2 + 3x – 10 = 0 ⇔ (x + 5)(x – 2) = 0 ⇔ x + 5 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –5 atau x = 2 13. Jawaban: c (x + 4)x – 1 = (x + 4)x2 – 7x + 6 Misalkan h(x) = x + 4 f(x) = x – 1 g(x) = x2 – 7x + 6
Penyelesaian ditentukan dari beberapa kemung-kinan berikut. 1) f(x) = g(x) ⇔ x – 1 = x2 – 7x + 6 ⇔ x2 – 8x + 7 = 0 ⇔ (x – 7)(x – 1) = 0 ⇔ x – 7 = 0 atau x – 1= 0 ⇔ x = 7 atau x = 1 2) h(x) = 1 ⇔ x + 4 = 1 ⇔ x = –3 3) h(x) = 0 ⇔ x + 4 = 0 ⇔ x = –4 Substitusikan x = –4 ke f(x) dan g(x). f(x) = x – 1 = –4 – 1 = –5 < 0 g(x) = x2 – 7x + 6 = 16 + 28 + 6 = 50 > 0 Oleh karena f(x) negatif dan g(x) positif maka x = –4 bukan termasuk penyelesaian. 4) h(x) = –1 ⇔ x + 4 = –1 ⇔ x = –5 Substitusikan x = –5 ke f(x) dan g(x). f(x) = x – 1 = –5 – 1 = –6 (genap) g(x) = x2 – 7x + 6 = 25 + 35 + 6 = 66 (genap) Oleh karena f(x) dan g(x) keduanya genap maka x = –5 merupakan penyelesaian. Nilai x yang merupakan penyelesaian adalah –5, –3, 1, dan 7.
Jumlah nilai x = –5 – 3 + 1 + 7 = 0.
Jadi, jumlah semua nilai x yang memenuhi persamaan adalah 0.
14. Jawaban: c · 4 x + 1 – 5 · 2x + 2 = 0 ⇔ · 4 · 22x – 5 · 2x + 2 = 0 ⇔ 2(2x)2 – 5 · 2x + 2 = 0
Misalkan y = 2x, diperoleh persamaan: 2y2 – 5y + 2 = 0 ⇔ (2y – 1)(y – 2) = 0 ⇔ 2y – 1 = 0 atau y – 2= 0 ⇔ y = atau y = 2 Untuk y = ⇔ 2x= ⇔ 2x= 2–1 ⇔ x = –1 Untuk y = 2 ⇔ 2x= 2 ⇔ 2x= 21 ⇔ x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya {–1, 1}. 15. Jawaban: d 34 – x + 3x= 30 ⇔ + 3 x= 30
Misalkan y = 3x, diperoleh persamaan:
+ y = 30 ⇔ 81 + y2= 30y ⇔ y2 – 30y + 81 = 0 ⇔ (y – 27)(y – 3) = 0 ⇔ y – 27 = 0 atau y – 3 = 0 ⇔ y = 27 atau y = 3 Untuk y = 27 ⇔ 3x= 27 ⇔ 3x= 33 ⇔ x = 3 Untuk y = 3 ⇔ 3x= 3 ⇔ 3x= 31 ⇔ x = 1 Jadi, nilai x13 + x 23 = 33 + 13 = 27 + 1 = 28. 16. Jawaban: d 92x – 4≥ ( ) x2 – 4 ⇔ 32(2x – 4)≥ 3–3(x2 – 4) ⇔ 2(2x – 4)≥ –3(x2 – 4) ⇔ 4x – 8≥ –3x2 + 12 ⇔ 3x2 + 4x – 20≥ 0 ⇔ (3x + 10)(x – 2) ≥ 0 Pembuat nol: 3x + 10 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = – atau x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x ≤ –
atau x ≥ 2}.
17. Jawaban: a
Grafik fungsi f(x) berada di atas grafik fungsi g(x) pada saat f(x) > g(x). f(x) > g(x) ⇔ 5x2 – x + 5 > ()–x – 8 ⇔ 5x2 – x + 5 > 5–(–x – 8) ⇔ x2 – x + 5 > –(–x – 8) ⇔ x2 – x + 5 > x + 8 ⇔ x2 – 2x – 3 > 0 ⇔ (x – 3)(x + 1) > 0 Pembuat nol: x – 3 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 3 atau x = –1 ⇔ x < –1 atau x > 3 18. Jawaban: e 22x + 3 – 17 · 2x + 2 ≤ 0 ⇔ 8 · 22x – 17 · 2x + 2 ≤ 0
Misalkan y = 2x, diperoleh persamaan: 8y2 – 17y + 2≤ 0 ⇔ (8y – 1)(y – 2) ≤ 0 Pembuat nol: 8y – 1 = 0 atau y – 2 = 0 ⇔ y = atau y = 2 Penyelesaian: ⇔ ≤ y ≤ 2 ⇔ ≤ 2x≤ 2 ⇔ 2–3≤ 2x≤ 21 ⇔ –3 ≤ x ≤ 1 19. Jawaban: a 5x + 1 + 52 – x≤ 30 ⇔ 5 · 5x + ≤ 30 2 – –1 3 2
Misalkan y = 5x, diperoleh persamaan: 5y + ≤ 30 ⇔ 5y2 + 25≤ 30y ⇔ 5y2 – 30y + 25 ≤ 0 ⇔ y2 – 6y + 5≤ 0 ⇔ (y – 5)(y – 1)≤ 0 Pembuat nol: y – 5 = 0 atau y – 1 = 0 ⇔ y = 5 atau y = 1 ⇔ 1 ≤ y ≤ 5 ⇔ 1 ≤ 5x≤ 5 ⇔ 50≤ 5x≤ 51 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1 20. Jawaban: c − = 4 ⇔ − = 2log 16 ⇔ − = 16 ⇔ − = 24 ⇔ − = 4 ⇔ 2x – 2 = 4 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3. 21. Jawaban: c 2log 2x = 4log (7x + 2) ⇔ 2log 2x = + ⇔ 2x = + ⇔ (2x)2= 7x + 2 ⇔ 4x2= 7x + 2 ⇔ 4x2 – 7x – 2 = 0 ⇔ (4x + 1)(x – 2)= 0 Pembuat nol: 4x + 1 = 0 atau x – 2= 0 ⇔ x = – atau x = 2 Syarat numerus: 1) 2x > 0 ⇔ x > 0 1 5 2) 7x + 2 > 0 ⇔ 7x > –2 ⇔ x > –
Dari persyaratan numerus, nilai x yang memenuhi adalah x = 2. 22. Jawaban: e −+ = –1 ⇔ −+ = − ⇔ −+ = ⇔ x2 – 4x + 5 = 2 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ (x – 3)(x – 1) = 0 ⇔ x – 3 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = 3 atau x = 1 Syarat numerus: x2 – 4x + 5 > 0
Untuk setiap nilai x ∈ R memenuhi x2 – 4x + 5 > 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 3}. 23. Jawaban: a alog (3x + 1) · (2x + 1)log a = 2 ⇔ (2x + 1)log a · alog (3x + 1) = 2 ⇔ (2x + 1)log (3x + 1) = 2 ⇔ 3x + 1 = (2x + 1)2 ⇔ 3x + 1 = 4x2 + 4x + 1 ⇔ 4x2 + x = 0 ⇔ x(4x + 1) = 0 ⇔ x = 0 atau 4x + 1 = 0 ⇔ x = 0 atau x = – Syarat numerus: 3x + 1 > 0 ⇔ 3x > –1 ⇔ x > –
Syarat bilangan pokok: 1) 2x + 1 > 0 ⇔ 2x > –1 ⇔ x > – 2) 2x + 1≠ 1 ⇔ 2x ≠ 0 ⇔ x ≠ 0
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = –
24. Jawaban: c (4x + 5)log (3x + 2) = 4log 2 ⇔ (4x + 5)log (3x + 2) = ⇔ 3x + 2 = + ⇔ (3x + 2)2= 4x + 5 ⇔ 9x2 + 12x + 4 = 4x + 5 ⇔ 9x2 + 8x – 1 = 0 ⇔ (9x – 1)(x + 1) = 0 ⇔ 9x – 1 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = atau x = –1 Syarat numerus: 3x + 2 > 0 ⇔ x > –
Syarat bilangan pokok: 1) 4x + 5 > 0 ⇔ x > – 2) 4x + 5 ≠ 1 ⇔ x ≠ –1
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = . 25. Jawaban: c
2log2 x – 2log x3= 4 ⇔ (2log x)2 – 3 · 2log x – 4 = 0
Misalkan y = 2log x, diperoleh persamaan: y2 – 3y – 4 = 0 ⇔ (y – 4)(y + 1) = 0 ⇔ y – 4 = 0 atau y + 1 = 0 ⇔ y = 4 atau y = –1 Untuk y = 4 ⇔ 2log x = 4 ⇔ x = 24 ⇔ x = 16 Untuk y = –1 ⇔ 2log x = –1 ⇔ x = 2–1 ⇔ x = Diperoleh x1 = 16 dan x2 = . Jadi, nilai x1x2 = 16() = 8. 26. Jawaban: e 4log x – 3 · 21 + log x + 8 = 0 ⇔ (2log x)2 – 3 · 2 · 2log x + 8 = 0 ⇔ (2log x)2 – 6 · 2log x + 8 = 0
Misalkan y = 2log x, diperoleh persamaan: y2 – 6y + 8 = 0 ⇔ (y – 4)(y – 2) = 0 ⇔ y – 4 = 0 atau y – 2 = 0 ⇔ y = 4 atau y = 2 Untuk y = 4 ⇔ 2log x= 4 ⇔ 2log x= 22 ⇔ log x = 2 ⇔ x = 102 ⇔ x = 100 Untuk y = 2 ⇔ 2log x= 2 ⇔ 2log x= 21 ⇔ log x = 1 ⇔ x = 101 ⇔ x = 10
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 10 atau x = 100.
27. Jawaban: a
xlog (x + 2) – 3 xlog 2 + 1 = 0 ⇔ xlog (x + 2) + xlog x = 3 xlog 2 ⇔ xlog (x + 2)(x) = xlog 23 ⇔ (x + 2)(x) = 23 ⇔ x2 + 2x – 8 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 2) = 0 ⇔ x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –4 atau x = 2
Oleh karena x > 0 dan x ≠ 1, nilai x yang memenuhi adalah x = 2. 28. Jawaban: d xlog (x + 3) > xlog 2x ⇔ x + 3 > 2x ⇔ –x > –3 ⇔ x < 3 . . . . (1) Syarat numerus: 1) x + 3 > 0 ⇔ x > –3 . . . . (2) 2) 2x > 0 ⇔ x > 0 . . . . (3) Syarat pada soal x > 1
. . . . (4) Dari penyelesaian (1), (2), (3), dan (4) diperoleh:
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1 < x < 3. 29. Jawaban: c 2log (x2 + x + 4) < 5log 625 ⇔ 2log (x2 + x + 4) < 4 3 1 3 –3 0 1 –3 0
⇔ 2log (x2 + x + 4) < 2log 16 ⇔ x2 + x + 4 < 16 ⇔ x2 + x – 12 < 0 ⇔ (x + 4)(x – 3) < 0 ⇔ –4 < x < 3 Syarat numerus: x2 + x + 4 > 0
Untuk setiap nilai x ∈ R memenuhi x2 + x + 4 > 0. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –4 < x < –3. 30. Jawaban: e 2log (x – 2) + 2log (x + 5) ≤ 3 ⇔ 2log (x – 2)(x + 5)≤ 2log 23 ⇔ (x – 2)(x + 5)≤ 23 ⇔ x2 + 3x – 10≤ 8 ⇔ x2 + 3x – 18≤ 0 ⇔ (x + 6)(x – 3)≤ 0 ⇔ –6 ≤ x ≤ 3 . . . . (1) Syarat numerus: 1) x – 2 > 0 ⇔ x > 2 . . . . (2) 2) x + 5 > 0 ⇔ x > –5 . . . . (3) Dari penyelesaian (1), (2), dan (3) diperoleh:
Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | 2 < x ≤ 3}. B. Uraian 1. f(x) = k · 2bx f(x) melalui titik (0, 7) f(x) = k · 2bx ⇔ f(0) = k · 2b · 0 ⇔ 7 = k · 20 ⇔ y = k · 1 ⇔ k = 7 Diperoleh f(x) = 7 · 2bx f(x) melalui titik (1, 56) f(x) = 7 · 2bx ⇔ f(1) = 7 · 2b ⇔ 56 = 7 · 2b ⇔ 2b= 8 ⇔ b = 3 –4 3 2 –6 3 –5 –6 –5 2 3 Diperoleh f(x) = 7 · 23x f() = 7 · = 7 · 21 = 14 f(2) = 7 · 23(2) = 7 · 26 = 7 · 64 = 448 Jadi, nilai f( ) + f(2) = 14 + 448 = 462. 2. f(x) = 52x – 1 – 5
f(x) digeser ke atas 4 satuan, diperoleh: g(x) = 4 + f(x)
= 4 + 52x – 1 – 5 = 52x – 1 – 1
g(x) digeser ke kiri 2 satuan, diperoleh: h(x) = 52(x + 2) – 1 – 1
= 52x + 4 – 1 – 1 = 52x + 3 – 1
a. Titik potong h(x) terhadap sumbu X
Fungsi h(x) memotong sumbu X pada saat y = h(x) = 0. ⇔ h(x) = 0 ⇔ 52x + 3 – 1 = 0 ⇔ 52x + 3= 1 ⇔ 52x + 3= 50 ⇔ 2x + 3 = 0 ⇔ 2x = –3 ⇔ x = –
Jadi, titik potongnya ( –, 0). b. Titik potong h(x) terhadap sumbu Y
Fungsi h(x) memotong sumbu Y pada saat x = 0. h(x) = 52x + 3 ⇔ h(0) = 52 · 0 + 3 – 1 = 53 – 1 = 125 – 1 = 124
Jadi, titik potongnya (0, 124). 3. a. 5x2 – 2x + 1 = 6x2 – 2x + 1 ⇔ x2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x – 1)2= 0 ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 1. b. 16x + 1 – 24 · 4x + 8 = 0
⇔ 16 · 16x – 24 · 4x + 8 = 0 ⇔ 16 · (4x)2 – 24 · 4x + 8 = 0 Misalkan y = 4x, diperoleh persamaan:
16y2 – 24y + 8 = 0 ⇔ 2y2 – 3y + 1 = 0 ⇔ (2y – 1)(y – 1) = 0
⇔ 2y – 1 = 0 atau y – 1= 0 ⇔ y = atau y = 1 Untuk y = ⇒ 4 x= ⇔ 22x= 2–1 ⇔ 2x = –1 ⇔ x = – Untuk y = 1 ⇒ 4x= 1 ⇔ 4x= 40 ⇔ x = 0
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = –
atau x = 0. 4. Misalkan: h(x) = x + 1
f(x) = x2 – 4 g(x) = 2 – x
Penyelesaian ditentukan dari beberapa kemungkinan berikut. a. f(x) = g(x) ⇔ x2 – 4 = 2 – x ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 2) = 0 ⇔ x + 3 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –3 atau x = 2 b. h(x) = 1 ⇔ x + 1 = 1 ⇔ x = 0 c. h(x) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = –1 Substitusikan x = –1 ke f(x) dan g(x). f(x) = x2 – 4 = (–1)2 – 4 = –3 < 0 g(x) = 2 – x = 2 – (–1) = 3 > 0
Oleh karena f(x) < 0 dan g(x) > 0 maka x = –1 bukan termasuk penyelesaian. d. h(x) = –1 ⇔ x + 1 = –1 ⇔ x = –2 Substitusikan x = 2 ke f(x) dan g(x). f(x) = x2 – 4 = 4 – 4 = 0 (genap) g(x) = 2 – x = 2 + 2 = 4 (genap)
Oleh karena f(x) dan g(x) keduanya genap maka x = –2 termasuk penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaiannya {–3, –2, 0, 2}. 5. a. ()x2 + 4x + 1 < ()x + 5 ⇔ x2 + 4x + 1 > x + 5 ⇔ x2 + 3x – 4 > 0 ⇔ (x + 4)(x – 1) > 0 Pembuat nol: x + 4 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = –4 atau x = 1
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x < –4 atau x > 1. b. ( )4x> 96x + 7 ⇔ ( )2(2x)> 32(6x + 7) ⇔ 32x> 32(6x + 7) ⇔ 2x > 12x + 14 ⇔ –10x > 14 ⇔ x < –
Jadi, nilai x yang memenuhi x < –.
6. a. 4x2 – x – 2 · 2x2 – 5x + 4 < ⇔ 22x2 – 2x – 4 · 2x2 – 5x + 4 < 2–4 ⇔ 23x2 – 7x < 2–4 ⇔ 3x2 – 7x < –4 ⇔ 3x2 – 7x + 4 < 0 ⇔ (3x – 4)(x – 1) < 0 Pembuat nol: 3x – 4 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | 1 < x < }.
b. 32x + 3 – 10 · 3x + 1 + 3 < 0 ⇔ 27 · 32x – 30 · 3x + 3 < 0
Misalkan y = 3x, diperoleh pertidaksamaan: 27y2 – 30y + 3 < 0 ⇔ 9y2 – 10y + 1 < 0 ⇔ (9y – 1)(y – 1) < 0 Pembuat nol: 9y – 1 = 0 atau y – 1 = 0 ⇔ y = atau y =1 ⇔ < y < 1 –4 1 1 1
⇔ < 3x< 1 ⇔ 3–2 < 3x< 30 ⇔ –2 < x < 0
Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | –2 < x < 0}. 7. a. Titik potong
Fungsi (x) dan g(x) akan berpotongan pada saat f(x) = g(x). f(x) = g(x) ⇔ 3log 3x = 3log (x + 2) ⇔ 3x = x + 2 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1 Syarat numerus: 1) 3x > 0 ⇔ x > 0 2) x + 2 > 0 ⇔ x > –2
Substitusikan nilai x = 1 ke f(x) atau g(x). f(x) = 3log 3x = 3log 3 = 1
Jadi, koordinat titik potong f(x) dan g(x) adalah (1, 1).
b. Interval x
Fungsi f(x) berada di bawah fungsi g(x) pada saat f(x) < g(x). f(x) < g(x) ⇔ 3log 3x < 3log (x + 2) ⇔ 3x < x + 2 ⇔ 2x < 2 ⇔ x < 1
Jadi, fungsi f(x) berada di atas fungsi g(x) pada saat 0 < x < 1. 8. a. 3log (2x – 1) = 2 ⇔ 3log (2x – 1) = 3log 9 ⇔ 2x – 1 = 9 ⇔ 2x = 10 ⇔ x = 5 Syarat numerus: 2x – 1 > 0 ⇔ 2x > 1 ⇔ x >
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 5. b. 2log (x2 – 4) = 2log 3x ⇔ x2 – 4 = 3x ⇔ x2 – 3x – 4 = 0 ⇔ (x – 4)(x + 1) = 0 ⇔ x – 4 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 4 atau x = –1 Syarat numerus: 1) x2 – 4 > 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) > 0 ⇔ x < –2 atau x > 2 2) 3x > 0 ⇔ x > 0
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 4.
c. x2 – 9 log 7 = 2x + 6log 7 ⇔ x2 – 9 = 2x + 6 ⇔ x2 – 2x – 15 = 0 ⇔ (x – 5)(x + 3) = 0 ⇔ x – 5 = 0 atau x + 3 = 0 ⇔ x = 5 atau x = –3 Syarat bilangan pokok: 1) x2 – 9 > 0 ⇔ (x – 3)(x + 3) > 0 ⇔ x < –3 atau x > 3 2) 2x + 6 > 0 ⇔ 2x > –6 ⇔ x > –3
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 5.
9. a. + < − ⇔ x + 1 > 3x – 2 ⇔ –2x > –3 ⇔ x < . . . (1) Syarat numerus: 1) x + 1 > 0 ⇔ x > –1 . . . (2) 2) 3x – 2 > 0 ⇔ 3x > 2 ⇔ x > . . . (3) Dari penyelesaian (1), (2), dan (3) diperoleh:
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah < x < . b. 5log (2x2 + 5x – 3) ≥ 5log (x2 + 2x – 3) ⇔ 2x2 + 5x – 3≥ x2 + 2x – 3 ⇔ x2 + 3x≥ 0 ⇔ x(x + 3)≥ 0 . . . (1) –1 –1 –3 0
Syarat numerus: 1) 2x2 + 5x – 3 > 0 ⇔ (2x – 1)(x + 3)> 0 . . . (2) 2) x2 + 2x – 3 > 0 ⇔ (x + 3)(x – 1) > 0 . . . (3) Dari penyelesaian (1), (2), dan (3) diperoleh:
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x < –3 atau x > 1.
10. a. Untuk bilangan pokok (2x – 1) > 1 (2x – 1)log (3x – 2)≥ (2x – 1)log (x2 – 4x + 4) ⇔ 3x – 2≥ x2 – 4x + 4 ⇔ 0≥ x2 – 7x + 6 ⇔ x2 – 7x + 6≤ 0 ⇔ (x – 6)(x – 1) ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 6 . . . (1) Syarat numerus: 1) 3x – 2 > 0 ⇔ 3x > 2 ⇔ x > . . . (2) 2) x2 – 4x + 4 > 0 ⇔ (x – 2)(x – 2)> 2 . . . (3) Syarat bilangan pokok:
2x – 1 > 1 ⇔ 2x > 2 ⇔ x > 1
. . . (4) Dari penyelesaian (1), (2), (3), dan (4) diperoleh:
. . . (5) Nilai x yang memenuhi 1 < x ≤ 6, x ≠ 2. b. Untuk bilangan pokok 0 < (2x – 1) < 1.
(2x – 1)log (3x – 2) ≥ (2x – 1)log (x2 – 4x + 4) ⇔ 3x – 2≤ x2 – 4x + 4
⇔ x2 – 7x + 6≥ 0 ⇔ x ≤ 1 atau x ≥ 6
. . . (6) Syarat bilangan pokok:
0 < 2x – 1 < 1 ⇔ 1 < 2x < 2 ⇔ < x < 1
. . . (7)
Dari penyelesaian (2), (3), dan (7), diperoleh: . . . (8)
Nilai x yang memenuhi < x < 1.
Berdasarkan penyelesaian (5) dan (8), diper-oleh:
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah < x ≤ 6, x ≠ 1, x ≠ 2. –3 –3 1 –3 0 1 1 6 2 1 1 2 6 1 6 1 1 2 6 1 2
• Menggambar grafik sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel.
• Menggambar grafik sistem persamaan kuadrat dua variabel.
• Terampil menggambar grafik sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel. • Terampil menerapkan sistem persamaan linear dan
kuadrat serta sistem persamaan kuadrat untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari.
• Terampil memanfaatkan informasi untuk membuat model matematika berupa sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat. • Memahami, menerapkan, dan menentukan himpunan
penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat.
• Menganalisis hubungan nilai diskriminan dan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat.
• Memahami sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel.
• Menentukan himpunan penyelesaian sistem per-samaan linear dan kuadrat serta sistem perper-samaan kuadrat dua variabel.
Pembelajaran Kognitif Kegiatan Psikomotorik
Pengetahuan yang Dikuasai Keterampilan yang Dikuasai
• Menerapkan konsep sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan memilih metode yang efektif untuk menentukan himpunan penyelesaiannya.
• Menganalisis nilai diskriminan dan menggambarkan kurva persamaan linear dan kuadrat dua variabel serta menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan yang diberikan.
• Menerapkan dan menyajikan hasil pemecahan masalah nyata sebagai terapan konsep dan aturan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel.
• Memanfaatkan informasi dari suatu permasalahan nyata, memilih variabel dan membuat model matematika berupa sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan menginterpretasikan hasil penyelesaian sistem tersebut.
• Berperilaku kritis, bekerja sama, jujur, dan percaya diri dalam menyelesaikan permasalahan nyata.
Kemampuan dan Sikap yang Dimiliki
Setelah mempelajari bab ini, siswa:
1. mampu menerapkan konsep sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan memilih metode yang efektif untuk menentukan himpunan penyelesaiannya;
2. mampu menganalisis nilai diskriminan dan menggambarkan kurva persamaan linear dan kuadrat dua variabel serta menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan yang diberikan;
3. mampu menerapkan dan menyajikan hasil pemecahan masalah nyata sebagai terapan konsep dan aturan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel;
4. mampu memanfaatkan informasi dari suatu permasalahan nyata, memilih variabel dan membuat model matematika berupa sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan menginterpretasikan hasil penyelesaian sistem tersebut.
Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa menunjukkan sikap senang, motivasi internal, kritis, bekerja sama, jujur, dan percaya diri dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata.
• Persamaan Linear • Persamaan Kuadrat
• Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel • Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel
• Grafik Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat serta Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel
• Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat serta Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: a
Diketahui sistem persamaan y = 2x + 5 dan y = x2 + 3x + 3.
Substitusikan persamaan y = 2x + 5 ke dalam persamaan y = x2 + 3x + 3. y = x2 + 3x + 3 ⇔ 2x + 5 = x2 + 3x + 3 ⇔ x2 + x – 2 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 1) = 0 ⇔ x + 2 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = –2 atau x = 1
Substitusikan x = –2 dan x = 1 ke dalam persamaan y = 2x + 5.
y = 2x + 5
= 2 × (–2) + 5 = 1 y = 2x + 5
= 2 × 1 + 5 = 7
Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut (–2, 1) dan (1, 7).
2. Jawaban: c
Diketahui sistem persamaan y = 2x2 + x + 4 dan y = x2 – 4x – 2.
Substitusikan persamaan y = 2x2 + x + 4 ke dalam y = x2 – 4x – 2. y = x2 – 4x – 2 ⇔ 2x2 + x + 4 = x2 – 4x – 2 ⇔ x2 + 5x + 6 = 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) = 0 ⇔ x + 2 = 0 atau x + 3 = 0 ⇔ x = –2 atau x = –3
Substitusikan x = –2 dan x = –3 ke dalam persamaan y = x2 – 4x – 2.
y = x2 – 4x – 2
= (–2)2 – 4 × (–2) – 2 = 10 y = x2 – 4x – 2
= (–3)2 – 4 × (–3) – 2 = 19
Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut (–2, 10) dan (–3, 19).
3. Jawaban: e
(a, –7) adalah penyelesaian dari sistem persamaan y = 2x – 5 dan y = x2 + ax – 9 sehingga diperoleh:
y = x2 + ax – 9 ⇔ –7 = a2 + a2 – 9 ⇔ 2 = 2a2 ⇔ a2= 1
⇔ a = –1 (karena a bilangan negatif)
Diperoleh sistem persamaan y = 2x – 5 dan y = x2 – x – 9 Substitusikan persamaan y = 2x – 5 ke y = x2 – x – 9. y = x2 – x – 9 ⇔ 2x – 5 = x2 – x – 9 ⇔ x2 – 3x – 4 = 0 ⇔ (x – 4)(x + 1) = 0 ⇔ x – 4 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 4 atau x = –1
Substitusikan x = 4 ke dalam persamaan y = 2x – 5. y = 2x – 5
= 2 × 4 – 5 = 3
Jadi, penyelesaian yang lain dari sistem persamaan tersebut adalah (4, 3).
4. Jawaban: a y = x2 + 2x + k
⇔ 4x + 1 = x2 + 2x + k ⇔ x2 – 2x + k – 1 = 0
Sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian jika D > 0. D > 0 ⇔ b2 – 4ac > 0 ⇔ (–2)2 – 4 × 1 × (k – 1) > 0 ⇔ 4 – 4k + 4 > 0 ⇔ –4k > –8 ⇔ k < 2
Jadi, nilai k adalah {k | k < 2}. 5. Jawaban: c
y = px – 2 . . . (1) y = x2 + x – 2 . . . (2)
Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). px – 2 = x2 + x – 2
⇔ x2 + x – px = 0 ⇔ x2 + (1 – p)x = 0
Garis menyinggung kurva jika D = 0. (1 – p)2 – 4 × 1 × 0 = 0 ⇔ (1 – p)2 = 0 ⇔ p = 1 Jadi, nilai p = 1. 6. Jawaban: b x2 + bx + 1 = –2x – 3 ⇔ x2 + (b + 2)x + 4 = 0
Sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian jika D > 0. D > 0 ⇔ b2 – 4ac > 0 ⇔ (b + 2)2 – 4 × 1 × 4 > 0 ⇔ b2 + 4b + 4 – 16 > 0 ⇔ b2 + 4b – 12 > 0 ⇔ (b – 2)(b + 6) > 0
Pembuat nol:
b – 2 = 0 atau b + 6 = 0 ⇔ b = 2 atau b = –6
Jadi, nilai b yang memenuhi adalah {b | b < –6 atau b > 2}.
7. Jawaban: c
Diketahui sistem persamaan y = 2x2 + 5x + 8 dan y = x2 – 5x – 17. Penyelesaiannya sebagai berikut. Substitusikan y = 2x2 + 5x + 8 ke y = x2 – 5x – 17. y = 2x2 + 5x + 8 ⇔ x2 – 5x – 17 = 2x2 + 5x + 8 ⇔ x2 + 10x + 25 = 0 ⇔ (x + 5)2= 0 ⇔ x + 5 = 0 ⇔ x = –5
Substitusikan x = –5 ke dalam persamaan y = x2 – 5x – 17. y = x2 – 5x – 17 = (–5)2 – 5(–5) – 17 = 25 + 25 – 17 = 33 Diperoleh m = x = –5 dan 3n = y = 33. 2m – n = 2 × (–5) – = –21. Jadi, nilai 2m – n = –21. 8. Jawaban: e
Diketahui sistem persamaan y = 2x2 – 3x + 6 dan y = x2 + 5x – 6. Penyelesaiannya sebagai berikut. Substitusikan y = 2x2 – 3x + 6 ke y = x2 + 5x – 6. y = x2 + 5x – 6 ⇔ 2x2 – 3x + 6 = x2 + 5x – 6 ⇔ x2 – 8x + 12 = 0 ⇔ (x – 2)(x – 6) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x – 6 = 0 ⇔ x = 2 atau x = 6
Substitusikan x = 2 dan x = 6 ke dalam persamaan y = x2 + 5x – 6. y = 22 + 5 × 2 – 6 = 8 y = 62 + 5 × 6 – 6 = 60 Jumlah ordinat = 8 + 60 = 68. 9. Jawaban: d
Misalkan: x = bilangan pertama y = bilangan kedua
Selisih kedua bilangan = 5 sehingga diperoleh x – y = 5 atau x = y + 5 . . . (1)
Hasil kali kedua bilangan = 24 sehingga diperoleh
xy = 24 . . . (2)
Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2).
xy = 24 ⇔ (y + 5)y = 24 ⇔ y2 + 5y = 24 ⇔ y2 + 5y – 24 = 0 ⇔ (y – 3)(y + 8) = 0 ⇔ y – 3 = 0 atau y + 8 = 0 ⇔ y = 3 atau y = –8 Untuk y = –8 → x = –3 Untuk y = 3 → x = 8
Untuk x = –3 dan y = –8 diperoleh x + y = –11 Untuk x = 8 dan y = 3 diperoleh x + y = 11 Jadi, hasil penjumlahan bilangan-bilangan tersebut adalah –11 atau 11.
10. Jawaban: b
Misalkan: a = panjang alas segitiga t = tinggi segitiga
Panjang alas 6 cm lebih dari tingginya sehingga diperoleh a = t + 6. Luas segitiga = a × t ⇔ 108 = (t + 6)t ⇔ 216 = t2 + 6t ⇔ t2 + 6t – 216 = 0 ⇔ (t + 18)(t – 12) = 0 ⇔ t + 18 = 0 atau t – 12 = 0 ⇔ t = –18 atau t = 12
Diambil t = 12 karena tinggi segitiga berupa bilangan positif.
t = 12 cm → a = 12 + 6 = 18 cm
Jadi, tinggi dan panjang alas segitiga tersebut berturut-turut 12 cm dan 18 cm. B. Uraian 1. Substitusikan y = 2x + 1 ke y = 2x2 + 3x – 2. y = 2x2 + 3x – 2 ⇔ 2x + 1 = 2x2 + 3x – 2 ⇔ 2x2 + x – 3 = 0 ⇔ (2x + 3)(x – 1) = 0 ⇔ 2x + 3 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = – atau x = 1 Substitusikan x = – ke dalam persamaan y = 2x + 1. y = 2x + 1 = 2 × – + 1 = –2
Diperoleh titik potong (–
, –2).
Substitusikan x = 1 ke dalam persamaan y = 2x + 1. y = 2x + 1 = 2 × 1 + 1 = 3
Diperoleh titik potong (1, 3).
Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah (–
, –2) dan (1, 3).
–6 2 + + + – – – + + +
2. a. 2x – 3 = x2 + 6x – k ⇔ x2 + 4x + 3 – k = 0
Sistem persamaan mempunyai dua penyelesai-an jika D > 0. D > 0 ⇔ b2 – 4ac > 0 ⇔ 42 – 4 × 1 × (3 – k) > 0 ⇔ 16 – 12 + 4k > 0 ⇔ 4k > –4 ⇔ k > –1
Jadi, nilai k yang memenuhi adalah {k | k > –1}. b. 3x + 1 = 2x2 + (k + 2)x + 3
⇔ 2x2 + kx + 2x + 3 = 3x + 1 ⇔ 2x2 + kx – x + 2 = 0 ⇔ 2x2 + (k – 1)x + 2 = 0
Sistem persamaan mempunyai dua penyelesai-an jika D > 0. D > 0 ⇔ b2 – 4ac > 0 ⇔ (k – 1)2 – 4 × 2 × 2 > 0 ⇔ k2 – 2k + 1 – 16 > 0 ⇔ k2 – 2k – 15 > 0 ⇔ (k + 3)(k – 5) > 0 Pembuat nol: (k + 3)(k – 5) = 0 ⇔ k + 3 = 0 atau k – 5 = 0 ⇔ k = –3 atau k = 5
Jadi, nilai k yang memenuhi adalah {k | k < –3 atau k > 5}. 3. y = 2x2 + 3x – 18 ⇔ x2 + 4x + 12 = 2x2 + 3x – 18 ⇔ x2 – x – 30 = 0 ⇔ (x – 6)(x + 5) = 0 ⇔ x – 6 = 0 atau x + 5 = 0 ⇔ x = 6 atau x = –5 x = –5 ⇔ y = x2 + 4x + 12 = (–5)2 + 4 × (–5) + 12 = 25 – 20 + 12 = 17 x = 6 ⇔ y = x2 + 4x + 12 = 62 + 4 × 6 + 12 = 36 + 24 + 12 = 72
Jadi, penyelesaiannya adalah (–5, 17) dan (6, 72).
4. Misalkan a = usia Audi b = usia Bima a > b
a – b = 3 ⇔ a = b + 3 . . . (1)
ab = 180 . . . (2)
Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). ab = 180 ⇔ (b + 3) b = 180 ⇔ b2 + 3b = 180 ⇔ b2 + 3b – 180 = 0 ⇔ (b + 15)(b – 12) = 0 ⇔ b = –15 atau b = 12
Diambil b = 12 karena usia selalu berupa bilangan positif.
a = b + 3 = 12 + 3 = 15
Jadi, usia Audi 15 tahun.
5. Misalkan: p = panjang balok = 8 cm = lebar balok
t = tinggi balok
Lebar balok 2 cm lebih dari tinggi balok sehingga
= 2 + t . . . (1)
Luas permukaan balok= 158 ⇔ 2(p + pt + t) = 158
⇔ 8 + 8t + t = 79 . . . (2)
Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 8 + 8t + t = 79 ⇔ 8(2 + t) + 8t + (2 + t)t = 79 ⇔ 16 + 8t + 8t + 2t + t2= 79 ⇔ t2 + 18t – 63 = 0 ⇔ (t + 21)(t – 3) = 0 ⇔ t + 21 = 0 atau t – 3 = 0 ⇔ t = –21 atau t = 3
Oleh karena tinggi balok selalu bernilai positif maka diambil t = 3 cm.
Substitusikan nilai t = 3 ke dalam persamaan (1). = 2 + t = 2 + 3 = 5 cm
Volume balok = p t = 8 × 5 × 3 = 120 cm3 Jadi, volume balok 120 cm3.
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e y = (2x – 1)2 = 4x2 – 4x + 1 Substitusikan y = 4x2 – 4x + 1 ke y = 3x + 5. y = 3x + 5 ⇔ 4x2 – 4x + 1 = 3x + 5 ⇔ 4x2 – 7x – 4 = 0 D = b2 – 4ac = (–7)2 – 4 × 4 × (–4) = 49 + 64 = 113
Jadi, diskriminan sistem persamaan tersebut adalah 113. 2. Jawaban: b y = ax2 + 3x + 6 ⇔ 2x – 1 = ax2 + 3x + 6 ⇔ ax2 + x + 7 = 0 D = b2 – 4ac ⇔ –27 = 12 – 4 × a × 7 ⇔ –27 = 1 – 28a ⇔ –28 = –28a ⇔ a = 1 ⇔ a + 1 = 2 Jadi, nilai a + 1 = 2. 3. Jawaban: d
Sistem persamaan linear dan kuadrat memuat per-samaan linear dan perper-samaan kuadrat. Sistem persamaan yang sesuai ditunjukkan oleh pilihan d. 4. Jawaban: e y = x2 – 2x + 4 ⇔ 4x – 5 = x2 – 2x + 4 ⇔ x2 – 6x + 9 = 0 ⇔ (x – 3)2= 0 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3 x = 3 ⇔ y = 4x – 5 = 12 – 5 = 7
Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah (3, 7).
5. Jawaban: d
x2 – x – y = 6 ⇔ y = x2 – x – 6 . . . (1) y – x = 2 ⇔ y = x + 2 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1).
x + 2 = x2 – x – 6 ⇔ x2 – 2x – 8 = 0 ⇔ (x – 4)(x + 2) = 0 ⇔ x = 4 atau x = –2
Substitusikan nilai x = 4 dan x = –2 ke dalam persamaan (2).
Untuk x = 4 ⇒ y = 4 + 2 = 6. Diperoleh titik potong (4, 6). Untuk x = –2 ⇒ y = –2 + 2 = 0. Diperoleh titik potong (–2, 0).
Jadi, nilai (x, y) yang memenuhi adalah (4, 6) atau (–2, 0). 6. Jawaban: b y + 2x = 7 ⇔ y = –2x + 7 ⇔ x2 – 4x – 8 = –2x + 7 ⇔ x2 – 2x – 15 = 0 ⇔ (x – 5)(x + 3) = 0 ⇔ x = 5 atau x = –3 Diambil x = a = –3 karena a < 0. y = –2x + 7 = –2 × (–3) + 7 = 13 Diperoleh b = y = 13. a + b = –3 + 13 = 10 Jadi, nilai a + b = 10. 7. Jawaban: b
Substitusikan (b, b) ke dalam persamaan y = –x + 4. y = –x + 4
⇔ b = –b + 4 ⇔ 2b = 4 ⇔ b = 2
Diperoleh sistem persamaan y = x2 + 2x – 6 dan y = –x + 4. y = x2 + 2x – 6 ⇔ –x + 4 = x2 + 2x – 6 ⇔ x2 + 3x – 10 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 5) = 0 ⇔ x = 2 atau x = –5 Untuk x = –5 ⇒ y = –x + 4 = 5 + 4 = 9
Jadi, penyelesaian yang lain adalah (–5, 9). 8. Jawaban: b
Persamaan-persamaan dalam sistem tersebut sebagai berikut.
2y = 4x + 18
⇔ y = 2x + 9 . . . (1) y = 2x2 + 3x + 6 . . . (2)
Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2).
2x + 9 = 2x2 + 3x + 6 ⇔ 2x2 + x – 3 = 0 ⇔ (2x + 3)(x – 1) = 0 ⇔ x = – atau x = 1
