peluang

(1)

PELUANG PELUANG

1.

1. DefinDefinisi isi peluanpeluangg 2.

2. PermutasPermutasi dan koi dan kombinasmbinasii 3.

3. HimHimpunpunanan 4.

4. Sifat dSifat dan syaraan syarat peluant peluangg 5.

5. SamSamplplinging 6.

6. TeoTeoramrama Bayea Bayess

II.. DDeeffiinniissi i PPeelluuaanngg a.

a. DefinDefinisi isi peluanpeluang kg klasik lasik

Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali di

dianantatara ra N N pepeririststiwiwa a yayang ng sasaliling ng ekeksksklulusisif f dadan n mamasising ng--m

maassining g tteerjrjadadi i ddenenggaan n kkeseseemmppaattaan n yyanang g ssaammaa, , mmaakkaa peluang peristiwa E terjadi adalah n/N atau P(E) = n/N

peluang peristiwa E terjadi adalah n/N atau P(E) = n/N Contoh :

Contoh : 1

1.. EEkkssppeerriimmeen n ddeennggaan n mmeellaannttuunnkkaan n kkooiin n RRp p 11000 0,,--ssebebananyyaak k 11X X mmeenngghhaassiilklkan an ppereriisstitiwwaa-p-peerriiststiwiwa a yyaanngg terjadi :

terjadi : 1

1) ) mmuunnccuul l aannggkka a ((GG) ) = = 11 2

2) ) mmuunnccuul l ggaammbbaar r ((AA) = ) = 11 N = 2 N = 2 P(G)

(2)

2

2.. EEkkssppeerriimmaan n ddeennggaan n mmeellaannttuunnkkaan n ddaaddu u 11XX Menghasilkan peristiwa, peristiwa yang terjadi : Menghasilkan peristiwa, peristiwa yang terjadi :

1)

1) muncul mata dadu 1 = 1muncul mata dadu 1 = 1 2)

5) muncul mata dadu 5 =1muncul mata dadu 5 =1 6)

6) muncul mata dadu 6 =1muncul mata dadu 6 =1

N = 6 N = 6 P(MD1)

P(MD1) = = 1/6 1/6 ; ; P(MD2) P(MD2) = = 1/61/6 3

3.. EEkkssppeerriimmeen n mmeennggaammbbiil l sseebbuuaah h bboolla a kkeecciil l ddaallaamm kotak yang berisi 2 merah, 8 hitam, 6 putih dan 4 kuning

kotak yang berisi 2 merah, 8 hitam, 6 putih dan 4 kuning Diambil 1 bola Diambil 1 bola 4K 2M 4K 2M 8H 6P 8H 6P

Peristiwa yang terjadi : Peristiwa yang terjadi :

- terambil bola M = 2 - terambil bola M = 2 - terambil bola H = 8 - terambil bola H = 8 - terambil bola P = 6 - terambil bola P = 6 -

- terambil terambil bola bola K K = = 4 4 N= N= 2020 P(M)

P(M) = = 2/20 2/20 ; ; P(K) P(K) = = 4/204/20 Si

Sifafat t pepeluluanang g klklasasik ik : : sasaliling ng ekeksksklulusisif f dadan n kekesesempmpatatan an yayangng sama

sama b.

(3)

Peluang empirik/frekuensi relatif terjadi apabila eksperimen dilakukan berulang. Apabil kita perhatikan frekuensi absolut (=m) tentang terjadinya peristiwa E untuk sejumlah pengamatan (=n), maka peluang peristiwa itu adalah limit dari frekuensi relatif apabila jumlah pengamatan bertambah sampai tak hingga P(E) = limit m/n

n N

Contoh

1. Eksperimen melantunkan sebuah dadu (1000X) Peristiwa yang muncul : - muncul mata dadu 1

hingga

- muncul mata dadu 6

Event M1 M2 M3 M4 M5 M6 total

m 166 169 165 167 169 164 1000

P(M1) = 166/1000 ; P(M6) = 164/1000

c. Definisi peluang subjektif

1. Nilai peluang didasarkan kepada preferensi seseorang yang diminta untuk menilai

2. Pada umumnya yang dinilai adalah peristiwa yang

(4)

II. Permutasi dan kombinasi

A. Permutasi

- Permutasi sejumlah objek adalah penyusunan objek

tersebut dalam suatu urutan yang tertentu

- Perrmutasi dari n objek yang berbeda tanpa

pemulihan yang terpilih Contoh :

A, B, C ada berapa susunan yang dapat dibuat ?

ABC  n = 3

3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA = 6 Jika dibuat diagram pohon

A C B B C C B A A A A B B C C Macam-macam permutasi

• Permutasi sebanyak r dari n objek

r < n objek  ₍ _)! ! Pr r n n n − =

(5)

A C B Contoh : A, B, C  2 objek dipermutasikan n = 3 ; r = 2 3P2 = 1 6 6 )! 2 3 ( ! 3 = = −

Peristiwa/even = AB, AC, BA, BC, CA, CB

• Permutasi keliling

Contoh :

3K 3 = (3-1)! = 2! = 2

• Permutasi r dari n objek dengan pemulihan objek yang

terpilih nRr = nr Contoh :

A, B, C  2 objek dipermutasikan dengan pemulihan

n = 3 r = 2

3R 2 = 32 = 9

AB, AC, BA, BC, CA, CB, AA, BB, CC

• Permutasi dari n objek yang tidak seluruhnya dapat

dilakukan ! !... ! ,... , ₂ _k ₁ ₂ ₃ 1 k n n n n! n n n n =

(6)

Contoh

AABC dipermutasikan semua objek

n = 4 ; n1 = 2 ; n2 = 1 ; n3 = 1 12 1! 1! ! 2 4! = AABC CAAB ABAC CABA ABCA CBAA BAAC AACB BACA ACBA BCAA ACAB B. Kombinasi

Kombinasi dari sejumlah objek merupakan cara pemilihan objek yang bersangkutan tanpa menghiraukan urutan objek itu sendiri

Kombinasi r dari n objek dimana r < n nCr = _ n_r_  =_r!_(nn!₋_r)!

Contoh :

1. A B C kombinasi 2 dari 3 objek n = 3

(7)

3C2 = ₋ = 2!1! =3 x3 2! 2)! (3 2! 3! AB , AC, BC 2. A B C D E r = 2 5C2 = 10 2x3! x4x5 3! 2!3! 5! 2)! (5 2! 5! = = = − Contoh :

Berapa banyak peristiwa yang mungkin muncul dalam pertandingan final sepak bola liga Indonesia dari tim yang

masuk semifinal ?

4 kesebelasan menjadi 2 kesebelasan

Kombinasi → 4C2 = _2!2! = 6

4!

III. Himpunan

A. Himpunan (Set/populasi)

Adalah kumpulan dari objek yang dirumuskan secara tegas

dan dapat dibedakan

B. Elemen (unsur)

Adalah event/kejadian tiap objek yang secara kolektif membentuk suatu kelompok (himpunan)

C. Bentuk himpunan

(8)

2. Himpunan dengan unsur yang terbatas 3. Himpunan kosong

D. Cara mendefinisikan himpunan

1. Cara daftar : unsur dalam himpunan dinyatakan diantara

kurung kurawal

Contoh : eksperimen melantukan sebuah dadu S = {1,2,3,4,5,6}

2. Cara kaedah dinyatakan dengan syarat yang harus dipenuhi oleh setiap unsur

Eksperimen melantunkan dadu

S = {X; X adalah bilangan bulat dan 1≤ X ≤ 6}

E. Subset (himpunan bagian)

F. Operasi himpunan

1. Komplemen dari A adalah kelompok yang terdiri dari unsur-unsur dalam “S” serta tidak terdapat dalam A.

A =A’ = {X∈ S, X∉ A}

2. Interaksi/irisan dari A dan B

Dan , A∩ B = {X ; X∈ A dan X∈B}

3. Union/gabungan

Atau, A∪ B = {X ; X∈ A atau X_∈B}

G. Diagram venn

(9)

IV. Sifat dan syarat peluang

A. Sifat peluang

1. Peristiwa yang saling eksklusif secara bersama (mutually exclusive). Dua peristiwa merupakan peristiwa yang ME bila kedua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada

waktu yang bersamaan.

P(A1∪ A2... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ...+ P(An)

2. Peristiwa yang non ME

Dua peristiwa merupakan peristiwa yang non ME bila kedua peristiwa tersebut tidak usah terpisah (disjoint)/ada irisan.

P(A1∪ A2) = P(A1) + P (A2) – P(A1∩ A2)

3. Sekatan (partition)

Bila peristiwa A1, A2, …..An merupakan ME dan lengkap

terbatas sehingga A1∪ A2…..∪ An = S

P(A1) + P (A2) + ……+ P(An) = 1

4. Komplementer

Bila terdapat peristiwa A dan peristiwa A dalam sebuah

ruang sampel yag sama dan bila A meliputi semua unsur

(10)

A, maka A merupakan peristiwa komplementer bagi

peristiwa A.

P(A) + P(A) = 1

5. Peristiwa yang independent

Dua peristiwa dikatakan independent bila dan hanya bila terjadi atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak mempengaruhi terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa kedua.

P(A1∩ A2) = P(A1).P(A2)

6. Peristiwa yang dependent

P(A/B) = P(B) B) P(A ∩ ; P(B) > 0 P(B/A) = ;P(A) 0 P(A) B) P(A > ∩ B. Syarat peluang

1. Nilai peluang berada pada selang nilai 0 ≤ P ≤ 1

2. P(A₁) + P (A₂) + ……+ P(An) = 1

3. P(A) + P(A) = 1

V. Sampling

Sampling merupakan proses pengambilan sampel dari populasi

(11)

1. Sampling diambil satu persatu (peristiwa dependent)

Contoh :

Eksperimen mengambil 2 buah bola dari kotak yang berisi 5 putih dan 10 merah

Diambil 2 bola 5 P 10M Event: - PP  P(PP) ? - PM  P(PM) ? - MP  P(MP) ? - MM P(MM)? P(PP) = P(P) x P(P/P) = 5/15 x 4/14 = 10/105 P(PM) = P(P) x P(M/P) = 5/15 x 10/14 = 25/105 P(MP) = P(M) x P(P/M) = 10/15 x 5/14 = 25/105 P(MM) = P(M) x P(M/M) = 10/15 x 9/14 = 45/105 + 1

2. Sampling diambil sekaligus

Eksperimen di atas tetapi sampel diambil sekaligus

Event : - PP  P(PP) ?

- PM/MP  P(PM) ?

(12)

P(PP) = ₁₀₅10 2!13! 15! 2!3! 5! 2 15 2 5 terjadi yang kejadian seluruh jumlah rjadi mungkin te yang (PP) kejadian jumlah = =               = 105 50 2 15 1 5 1 10 P(MP) =                     = 105 45 2 15 2 10 P(MM) =               = ___________+ 1

B. Sampling dengan pengembalian (peristiwa

independent) Event: - PP  P/PP - PM  P/PM - MP  M/MP - MM M/MM - P(PP) = P(P).P(P) = 5/15 x 5/15 = 25/225 - P(PM) = P(P).P(M) = 5/15 X 10/15 = 50/225 - P(MP) = P(M). P(P) = 10/15 X 5/15 = 50/225 - P(MM) = P(M).P(M) = 10/15 X 10/15 = 100/225 + 1

(13)

BA B1 B2 Teori 1. P(A/B) = _P(B) B) P(A ∩ ; P(B) > 0 P(B/A) = ;P(A) 0 P(A) B) P(A > ∩ P(A∩ B) = P(A/B).P(B) = P(B/A).P(A) 2. P(B1/A) = _P(A) ) B P(A ∩ ₁ P(A∩ B 1) = P(B1/A).P(A) = P(A/B1).P(B1) A = A∩ B 1 + A∩ B2 P(A) = P(A∩ B 1)+ P(A∩ B2) = P(A/B1).P(B1) + P(A/B2).P(B2) P(B1/A) = _∑ = n i i i P B B A P B P B A P 1 1 1 ) ( ) / ( ) ( ) / ( Contoh :

1. Dalam suatu ruang kelas yang terdiri dari 60 siswa (L+P) ternyata berasal dari daerah :

(14)

- Sumut (A1)  10 (6L)

- Sulsel (A2)  12 (6L)

- Jabar (A3)  20 (12L)

- Kalbar (A4)  10 (4L)

- Bali (A5)  8 (4L)

Apabila ditunjuk salah seorang laki-laki untuk mewakili kelas tersebut dalam pemilihan ketua kelas, berapa peluang ia berasal dari daerah Jabar ? (gunakan pendekatan bayes).

P(A3/L) = = ∩ ) ( ) ( ₃ L P L A P ∑ = n i i i P A A L P A P A L P 1 3 3 ) ( ) / ( ) ( ) / ( A₁ P(A1)=10/60 A₅ A₄ A₃ A₂ P(A5)=8/60 P(A4)=10/60 P(A3)=20/60 P(A2)=12/60 L/A1 P(L/A1)=6/10 P/A1 P(P/A1)=4/10 L/A2 L/A5 L/A4 L/A3 P(L/A5)=4/8 P(L/A4)=4/10 P(L/A3)=12/20 P(L/A2)=6/12 P/A5 P/A4 P/A3 P/A2 P(P/A5)=4/8 P(P/A4)=6/10 P(P/A3)=8/20 P(P/A2)=6/12

(15)

8 3 32 12 ) 60 8 8 4 ( ) 60 10 10 4 ( ) 60 20 20 12 ( ) 60 12 12 6 ( ) 60 10 10 6 ( 60 20 20 12 = = + + + + = x x x x x x

Berapa peluang seorang wanita menjadi ketua kelas dan dia berasal dari daerah Sulsel ?

P(A2/P) 28 6 ) 60 8 8 4 ( ) 60 10 10 6 ( ) 60 20 20 8 ( ) 60 12 12 6 ( ) 60 10 10 4 ( 20 12 12 6 = + + + + = x x x x x x

2. Sebuah pabrik yang memproduksi produk X dengan

distribusi pekerjaan pada 4 mesin (A, B, C, dan D) dengan proporsi 20%, 40%, 30%, dan 10%. Diketahui dari data

masukan bahwa produk gagal yang dihasilkan mesin-mesin tadi mencapai 1½ %, 1%, 1½ % dan 2% masing-masing untuk mesin A, B, C dan D.

a. Apabila suatu saat didapati produk gagal, berapakah

peluangnya bahwa produk itu berasal dari mesin B ?

b. Apabila didapati suatu saat didapati produk baik,

berapakah peluangnya bahwa produk tersebut berasal dari mesin C ?

(16)

B P(A)=20% G/B P(G/B)=1% S/B P(S/B)=99% A G/A P(G/A)=1½ % S/A P(S/A)=98 ½ % P(C)=30% P(B)=40% C D P(D)=10% G/C P(G/C)=1 ½ % S/C P(S/C)=98 ½ % G/D P(G/D)=2 % S/D P(S/D)=98 % a. P(B/G) = _∑ = n i i i P B B G P B P B G P 1 ) ( ) / ( ) ( ) / ( % 3 , 0 % ) 1 0 % 2 ( % ) 3 0 % 2 1 1 ( % ) 4 0 % 1 ( % ) 2 0 % 2 1 1 ( 1 0 0 4 0 1 0 0 1 = + + + = x x x x x b. P(C/S) = _∑ = n i i i P C C S P C P C S P 1 ) ( ) / ( ) ( ) / ( = 0,5% % ) 1 0 % 9 8 ( % ) 30 % 2 1 98 ( % ) 40 % 9 9 ( % ) 20 % 2 1 9 8 ( % 3 0 % 2 1 9 8 = + + + x x x x x

(17)

SOAL LATIHAN

1. Dalam suatu pertandingan atletik untuk lari 100 m diikuti oleh 8 orang peserta. Berapa susunan juara 1, 2 dan 3 yang dapat dibuat ? 2. Suatu pohon akan dihias dengan 9 bola lampu dirangkai seri. Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila 3 diantaranya berwarna

merah, 4 kuning dan 2 biru ?

3. Dengan berapa carakah dapat ditanam 4 pohon akasia, 5 bungur dan 3 cemara dalam satu garis lurus bila pohon yang sejenis tidak dibedakan ?

4. Terdapat 6 orang yang akan dipotret. Ada berapa cara susunan jika susunan berpasangan

(18)

5. bila terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan carilah banyaknya

susunan panitia 3 orang yang beranggotakan 2 kimiawan dan 1 fisikawan.

6. Jika ada 6 orang pria dan 3 wanita membentuk panitia HUT kemerdekaan yang berjumlah 5 orang terdiri dari 3 pria dan 2 wanita. Ada berapa susunan yang dapat dibuat dari panitia tersebut ?

7. Jika 2 buah dadu dilemparkan, berapakah peluang jumlah mata dadu 7 atau 11 muncul ?

8. Dari 100 siswa yang diwisuda, 54 belajar matematika, 69 belajar sejarah, 35 belajar matematika dan sejarah. Bila seorang siswa dipilih secara acak, hitunglah peluangnya :

a. dia belajar matematika atau sejarah b. dia tidak belajar keduanya

c. dia belajar sejarah tetapi tidak matematika

9. Apabila diketahui dari 50 siswa ternyata 20 siswa menyukai renang dan 30 orang menyukai basket sedangkan 10 orang siswa menyukai keduanya. Berapa peluang siswa yang

a. menyukai renang atau basket. b. tidak menyukai keduanya

c.menyukai renang tapi tidak basket

10. Bila 3 buku diambil secara acak dari suatu rak yang berisi 5 novel, 3 buku syair dan 1 kamus, berapakah peluangnya bahwa dua novel dan sebuah buku syair yang terpilih

11. Dari 4 buah kaset yang diambil secara bersamaan dari sebuah

(19)

Rhoma Irama, berapakah peluang terambilnya 2 kaset Peterpan, 1 kaset Limpkin Park dan 1 kaset Rhoma Irama ?

12. Dari setumpuk kartu yang terkocok dengan baik, diambil sebuah

kartu secara random. Hitung probabilitas kartu yang terambil adalah :

a. Kartu Hitam atau ♥ b. Kartu Queen atau ♦

Ket : Kartu terdiri dari 13♥ merah , 13♦ merah , 13♣ hitam, dan 13 ♠ hitam

13. Dari setumpuk kartu yang terkocok dengan baik, diambil sebuah

kartu secara random. Hitung probabilitas kartu yang terambil adalah :

a. Kartu King atau kartu angka 2

b. Kartu angka 5 atau kartu warna merah

14. Suatu kota mempuyai satu mobil pemadam dan satu ambulan. Peluang mobil pemadam siap waktu adalah 0,98 dan ambulan siap waktu dipanggil adalah 0,92. Dalam kejadian ada kecelakaan karena kebakaran gedung cari peluang keduanya siap ?

15. Tiga kartu diambil satu persatu tanpa pengembalian dari sekotak kartu. Cari peluang bahwa kejadian A1 ∩ A2 ∩ A3 terjadi bila A1 kejadian kartu pertama as berwarna merah, A2 kejadian kartu kedua 10 atau jack, dan A3 kejadian kartu ketiga lebih besar dari 3 tapi lebih besar dari 7.

(20)

16. Dalam sebuah kantong plastic terdapat 15 buah-buahan yang terdiri

dari 5 buah apel, 8 buah jeruk dan 2 buah mangga. Kemudian diambil 3 buah satu persatu dengan pengembalian. Berapa peluang terambilnya buah apel, jeruk dan mangga ? dan berapa peluang terambilnya apel,jeruk, mangga tanpa pengembalian?

17. Hitunglah peluang dari kejadian-kejadian berikut ini :

a. Dalam sebuah kotak berisi 20 kancing, terdapat 5 kancing

warna kuning dan 15 kancing warna hijau. Kemudian diambil dua kancing berturut-turut dengan pengembalian. Berapa peluang terambilnya kancing kuning dan hijau

b. Dari soal a apabila kancing diambil satu persatu tanpa

pengembalian, berapa peluang yang terambil kedua-duanya berwarna kuning.

(21)