dan µ : rata-rata hitung populasi x : rata-rata hitung sampel

(1)

Ukuran Statistik 1. Pendahuluan

Ukuran Statistik: 1. Ukuran Pemusatan

Bagaimana, di mana data berpusat?

♦ Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean

♦ Median

♦ Modus

♦ Kuartil, Desil, Persentil

2. Ukuran Penyebaran

Bagaimana penyebaran data?

♦ Ragam, Varians ♦ Simpangan Baku

Ukuran Statistik nantinya akan mencakup data:

1. Ungrouped Data : Data yang belum dikelompokkan

2. Grouped Data : Data yang telah dikelompokkan Î Tabel Distribusi Frekuensi 2. Ukuran Pemusatan

2.1. Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean

Notasi : µ : rata-rata hitung populasi x : rata-rata hitung populasi

A. Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data

N x N i i

∑

= = µ 1 dan _n x x n i i

∑

= = 1

µ : rata-rata hitung populasi x : rata-rata hitung sampel

N : ukuran Populasi n : ukuran Sampel

xi : data ke-i Contoh 1:

Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6 PTS, masing-masing tercatat mempunyai banyak mahasiswa sebagai berikut : 850, 1100, 1150, 1250, 750, 900

Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A? Rata-Rata Populasi atau Sampel ?

Jawab: µ = 6000

(2)

Contoh 2 :

Setiap 12 jam sekali bagian QC pabrik minuman ringan memeriksa 6 kaleng contoh untuk diperiksa kadar gula sintetisnya (%). Berikut adalah data 6 kaleng minuman contoh yang diperiksa :

13.5 12.5 13 12 11.5 12.5

Jawab: x = 75

6 = 12.5 %

B. Rata-Rata untuk Grouped Data

Nilainya merupakan pendekatan, biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung sampel

∑

= = = _k i i k i i i f x f x 1 1 sehingga : _n x f x k i i i

∑

= = 1

x : rata-rata hitung sampel k : banyak kelas

n : ukuran Sampel _fi : frekuensi di kelas ke-i xi : Titik Tengah Kelas ke-i

Contoh 3:

Kelas _{Titik Tengah Kelas (xi) Frekuensi (fi) fi xi}

16-23 19.5 10 195 24-31 27.5 17 467.5 32-39 35.5 7 248.5 40-47 43.5 10 435 48-55 51.5 3 154.5 56-63 59.5 3 178.5 Jumlah (Σ) 50 1679 Jawab : x = 1679 50 = 33.58

(3)

2.2 Modus

Nilai yang paling sering muncul Nilai yang frekuensinya paling tinggi A. Modus untuk Ungrouped Data

Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus) Bisa terjadi data tanpa modus

Contoh 4:

a. Sumbangan PMI warga Depok:

Rp.7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000 Modus : Rp. 8000

b. Berat 5 unit kendaraan (ton): 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 (Tidak Ada Modus)

c. Umur Mahasiswa (tahun) : 19 18 19 18 23 21

19 21 18 20 22 17

Modus : 18 dan 19 B. Modus untuk Grouped Data

Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada Kelas dengan frekuensi tertinggi

Tepi Batas Bawah kelas ke-i = Batas Bawah kelas ke-i + Batas Atas kelas ke (i-1) 2

Tepi Batas Atas kelas ke-i = Batas Atas kelas ke-i + Batas Bawah kelas ke (i+1) 2

Modus = TBB Kelas Modus + i

_d

d

1

_d

1

+

2













di mana : TBB : Tepi Batas Bawah

d1 : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sebelumnya

d2 : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sesudahnya

(4)

Kelas Frekuensi (fi) 16-23 10 24-31 17 32-39 7 40-47 10 48-55 3 56-63 3 Jumlah (Σ) 50 Kelas Modus = 24 - 31 TBB Kelas Modus = 23.5 i = 8

frek. kelas Modus = 17

frek, kelas sebelum kelas Modus = 10 frek. kelas sesudah kelas Modus = 7 d1 = 17 - 10 = 7 d2 = 17 - 7 = 10 Modus = 23.5 + 8 7 7 10+    = 23.5 + 8 7 17    = 23.5 + 8 (0.41176...) = 23.5 + 3.2941... = 26.7941... ≈ 27

2.3 Median, Kuartil, Desil dan Persentil

Median → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar

Kuartil → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 4 bagian yang sama besar

Desil → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 10 bagian yang sama besar

Persentil → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 100 bagian yang sama besar

(5)

A. Median untuk Ungrouped Data

Letak Median → Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir

Letak Median = n+ 1

2 n : banyak data Contoh 1:

Tinggi Badan 5 mahasiswa :

1.75 1.78 1.60 1.73 1.78 meter Sorted :1.60 1.73 1.75 1.78 1.78 meter n = 5 Letak Median = 5 1 2 + = 6 2 = 3 Median = Data ke 3 = 1.75 Contoh 2:

Tinggi 6 mahasiswa : 1.60 1.73 1.75 1.78 1.78 1.80 meter (Sorted) n = 6 Letak Median → 6 1 2 + = 7 2= 3.5 Median = 2 1 (Data ke 3 + Data ke 4) = 2 1 (1.75 + 1.78) = 2 1 × 3.53 = 1.765 B. Median untuk Grouped Data

Letak Median = n

2 n : banyak data

Kelas Median : Kelas di mana Median berada

Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif

Median = TBB Kelas Median + i s

f_M      

(6)

atau

Median = TBA Kelas Median - i s

f_M '      

di mana : TBB : Tepi Batas Bawah

s : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Median

TBA : Tepi Batas Atas

s’ : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif sampai kelas Median

i : interval kelas

f M : Frekuensi kelas Median

Contoh 4 :

Kelas Frekuensi Frek.

Kumulatif 16 - 23 10 10 24 - 31 17 27 32 - 39 7 34 40 - 47 10 44 48 - 55 3 47 56 - 63 3 50 Σ 50 ----Kelas Median = 24 - 31 Letak Median = n 2 = 50 2 = 25

Median = Data ke-25 terletak di kelas 24-31 Kelas Median = 24 - 31 TBB Kelas Median = 23.5 dan TBA Kelas Median = 31.5 f M = 17

Frek. Kumulatif sebelum Kelas Median = 10→ s = 25 - 10 = 15 Frek. Kumulatif sampai Kelas Median = 27 → s’ = 27 - 25 = 2 interval = i = 8

(7)

Median = TBB Kelas Median + i s f_M       = 23.5 + 8 15 17    = 23.5 + 8 (0.8823...) = 23.5 + 7.0588... = 30.5588... ≈ 30.6

Median = TBA Kelas Median - i s

f_M '       = 31.5 - 8 2 17    = 31.5 - 8 (0.1176...) = 31.5 - 0.9411.. = 30.5588... ≈ 30.6

2.4. Ukuran Kemencengan & Keruncingan Kurva Distribusi Frekuensi

Ukuran Kemencengan (Skewness) Kurva Distribusi Frekuensi diketahui dari posisi Modus, Rata-Rata dan Median

Jika Rata-Rata = Median = Modus maka Kurva Simetris

Jika Rata-Rata < Median < Modus maka Kurva Menceng ke Kiri Jika Rata-Rata > Median > Modus maka Kurva Menceng ke Kanan

Berdasarkan tingkat keruncingan (Kurtosis), kurva distribusi frekuensi dibagi menjadi tiga, yaitu: a. Leptokurtis: Kurva sangat runcing

b. Mesokurtis: Kurva dengan tingkat keruncingan sedang c. Platykurtis: Kurva datar

3. Ukuran Penyebaran

3.1 Ragam = Varians (Variance) dan Simpangan Baku = Standar Deviasi (Standard Deviation) A. Ragam dan Simpangan Baku untuk Ungrouped Data

POPULASI :

σ

µ

2 2 1

=

−

=

∑

(

x

_i

)

i N

Ν

atau

σ

2 2 1 2 1 2

=

−

= =

∑

N

x

N

i i N i i N

(

)

dan

σ

=

σ

2

(8)

SAMPEL :

s

x

n

i i n 2 2 1

1 =

−

=

∑

(

)

atau

s

n

x

(

x )

n n

i i n i i n 2 2 1 2 1

1 =

−

= =

∑

(

)

dan

s

=

s

2 x_i: data ke-i

µ : rata-rata populasi x : rata-rata sampel

σ²: ragam populasi s²: ragam sampel

σ : simpangan baku populasi s : simpangan baku sampel

N : ukuran populasi n : ukuran sampel

Contoh 3 :

Data Usia 5 mahasiswa : 18 19 20 21 22 tahun

a. Hitunglah µ, σ² dan σ (anggap data sebagai data populasi) b. Hitunglah x , s² dan s (data adalah data sampel)

Jawab : x_i µ atau x ( x_i-µ) atau ( x_i- x ) ( x_i-µ)² atau ( x_i- x )² x_i2 18 20 -2 4 324 19 20 -1 1 361 20 20 0 0 400 21 20 1 1 441 22 20 2 4 484 Σ 100 --- --- 10 2010 POPULASI : N = 5 µ = 100 5 = 20 σ µ 2 2 1 = − =

∑

(x_i ) i n Ν = 10 5 = 2 σ2 2 1 2 1 2 = − = =

∑

N x x N i i N i i N ( ) = (5 2010) 100 5 10050 10000 25 50 25 2 2 × − = − = =2

(9)

n = 5 x =100 5 = 2 s x x n i i n 2 2 1 1 = − − =

∑

( ) =10 4 = 2.5 s n x ( x ) n n i i n i i n 2 2 1 2 1 1 = − − = =

∑

( ) = (5 2010) 100 5 4 10050 10000 20 50 20 2 × − × = − = = 2.5 s= s2_{= 2 5}_{. =1.581...}

B. Ragam dan Simpangan Baku untuk Grouped Data POPULASI :

σ

µ

2 2 1

=

×

−

=

∑

f

_i

x

_i i k

(

)

Ν

dan

σ

=

σ

2 SAMPEL :

s

f

x

n

i i i k 2 2 1

1 =

×

−

=

∑

(

)

dan

s

=

s

2

x_i: Titik Tengah Kelas ke-i f_i: frekuensi kelas ke-i k : banyak kelas

µ : rata-rata populasi x : rata-rata sampel

σ²: ragam populasi s²: ragam sampel

σ : simpangan baku populasi s : simpangan baku sampel

(10)

Contoh 4 :

Rata -Rata (µ atau x ) = 1679

50 = 33.58 (dari catatan terdahulu)

Kelas TTK x_i Frek . f_i f_i x_i µ atau x ( x_i-µ) atau ( x_i- x ) ( x_i-µ)² atau ( x_i -x )² f_i( x_i-µ)² atau f_i( x_i- x )² 16 - 23 19.5 10 195 33.58 -14.08 198.2464 1982.4640 24 - 31 27.5 17 467.5 33.58 -6.08 36.9664 628.4288 32 - 39 35.5 7 248.5 33.58 1.92 3.6864 25.8048 40 - 47 43.5 10 435 33.58 9.92 98.4064 984.0640 48 - 55 51.5 3 154.5 33.58 17.92 321.1264 963.3792 56 - 63 59.5 3 178.5 33.58 25.92 671.8464 2015.5392 Σ --- 50 1679 ---- --- --- 6599.68 POPULASI : N = 50 σ µ 2 2 1 = × − =

∑

f_i x_i i k ( ) Ν = 6599 68 50 . = 131.9936 σ = σ2 _{= 1319936}_. _{= 11.4888....} SAMPEL : s f x x n i i i k 2 2 1 1 = × − − =

∑

( ) = 6599 68 49 . = 134.6873.... s= s2 _{= 134 6873}_. _{... = 11.6054....}

3.2 Koefisien Ragam = Koefisien Varians

Semakin besar nilai Koefisien Ragam maka data semakin bervariasi, keragamannya data makin tinggi.

Untuk Populasi → Koefisien Ragam =

σ

_µ

× 100%

s

(11)

Contoh 5: x = 33.58 s = 11.6054 Koefisien Ragam = s x × 100% = 116054 3358 100% . . × = 34.56 %

3.3 Angka Baku (z-score)

• Angka baku adalah ukuran penyimpangan data dari rata-rata populasi . • z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau negatif (-)

• z nol → data bernilai sama dengan rata-rata populasi • z positif → data bernilai di atas rata-rata populasi • z negatif → data bernilai di bawah rata-rata populasi

z

=

x

−

µ

σ

z : Angka baku x : nilai data

µ: rata-rata populasi σ : simpangan baku populasi

Contoh 6:

Rata-rata kecepatan lari atlet nasional = 20 km/jam dengan simpangan baku = 2.5 km Hitung angka baku untuk kecepatan lari :

a. Ali = 25 km/jam b. Didi = 18 km/jam

Jawab : a. z = x_σ−µ =25 20 2 5 5 2 5 − = . . = 2 b. z = x_σ−µ =18 20 2 5 2 2 5 − = − . . = -0.8 W selesai X