Standing Wave 1
BAB I PENDAHULUAN 1.1Latar Belakang
Apa yang terjadi jika ada dua gelombang berjalan dengan frekuensi dan amplitudo sama tetapi arah berbeda bergabung menjadi satu? Hasil gabungan itulah yang dapat membentuk gelombang baru. Gelombang baru ini akan memiliki amplitudo yang berubah-ubah tergantung pada posisinya dan dinamakan gelombang stasioner.Pada proses pantulan gelombang, terjadi gelombang pantul yang mempunyai amplitudo dan frekuensi yang sama dengan gelombang datangnya, hanya saja arah rambatannya yang berlawanan. Hasil interferensi (perpaduan) dari kedua gelombang tersebut disebut Gelombang Stasioner Atau Gelombang Diam. Gelombang stasioner dapat dibentuk dari pemantulan suatu gelombang. Contohnya pada gelombang tali. Tali dapat digetarkan di salah satu ujungnya dan ujung lain diletakkan pada pemantul. Berdasarkan ujung pemantulnya dapat dibagi dua yaitu ujung terikat dan ujung bebas. Gelombang stasioner adalah gelombang hasil superposisi dua gelombang berjalan yang : amplitudo sama, frekuensi sama dan arah berlawanan.
Anda telah mengetahui bahwa jika salah satu ujung tali digetarkan harmonik naik-turun maka gelombang sinusoidal akan merambat sepanjang tali. Apa yang terjadi ketika gelombang telah sampai pada ujung lainnya. Gelombang datang ini akan dipantulkan sehingga terjadilah gelombang pantul. Dengan demikian pada setiap titik sepanjang tali, bertemu dua gelombang yaitu gelombang datang dan gelombang pantul, yang keduanya memiliki amplitudo dan frekuensi yang sama. Superposisi kedua gelombang yang berlawanan arah inilah yang menghasilkan gelombang berdiri.
1.2Rumusan Masalah
1. Apa pengertian gelombang berdiri (stasioner) ?
2. Bagaimana persamaan umum gelombang berdiri (stasioner) ?
3. Bagaimana superposisi gelombang berdiri dari dua gelombang berjalan ? 4. Bagaimana energi dalam suatu gelombang ?
5. Bagaimana gelombang berdiri sebagai mode normal dari getar dawai ? 6. Bagaimana energi dari getaran dawai?
Standing Wave 2
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Gelombang Berdiri (Stasioner)
Gelombang berdiri adalah gelombang yang memiliki amplitudo yang berubah-ubah antara nol sampai nilai maksimum tertentu. Gelombang stasioner dibagi menjadi dua, yaitu gelombang stasioner akibat pemantulan pada ujung terikat dan gelombang stasioner pada ujung bebas.
Dua gelombang yang berinterferensi dengan frekuesi tertentu secara kontinu akan menghasilkan gelombang berdiri dengan amplitude besar. Gelombang ini disebut gelombang berdiri karena tampak tidak merambat, tali hanya berosilasi ke atas dan ke bawah dengan pola tetap. Titik interferensi destruktif, dimana tali tetap diam disebut simpul sedangkan titik-titik interferensi konstruktif dimana tali berosilasi dengan aplitudo maksimum disebut perut. Simpul dan perut tetap di posisi tertentu untuk frekuensi tertentu.
Gelombang berdiri dapat terjadi pada lebih dari satu frekuensi. Frekuensi getaran paling rendah yang menghasilkan gelombang berdiri menghasilkan pola seperti pada gambar di atas. Gambar c dan d dihasilkan tepat pada dua atau tiga kali frekuensi terendah dengan menganggap tegangan tali sama. Tali juga dapat bergetar dengan empat loop pada empat kali frekuensi terendah dan seterusnya.
Frekuensi dimana gelombang berdiri dihasilkan adalah frekuensi alami atau frekuensi resonan tali. Walaupun gelombang berdiri merupakan hasil dari interferensi dua gelombang yang merambat kearah yang berlawanan, ia juga merupakan contoh benda yang bergetar pada resonansi. Pada saat gelombang
Standing Wave 3
berdiri terjadi pada tali, maka tali itu akan bergetar pada tempatnya, dan pada saat frekuensi sama dengan frekuensi resonansi maka hanya memerlukan sedikit usaha untuk menghasilkan amplitudo besar.
2.1.2 Gelombang Berdiri pada Dawai
Kita akan menjelaskan karakteristik fisik gelombang berdiri oleh gelombang yang berjalan pada sebuah lintasan senar dawai.Dawai diregangkan di antara dua titik tetap, Yangmana kita mengambil pada x =0 dan x = L , berkelanjutan.pergerakan gelombang yang berjalan oleh dawai searah pada arah sumbu y.
Salah satu contoh gelombang berdiri ini diilustrasikan pada gambar 6.1.gambar dari dawai yang berurutan dari waktu dapat ditunjukan pada gambar 6.1(a)-(e), ketika gambar6.1(f) menunjukkan gambar ini pada sekumpulan pada kampak.pergerakan garisy selalu nol padax =0 dan x = L karenadawai digenggam tetap pada titik tersebut. Bagaimanapun, disaat tengahperjalanan diantara ketetapanyang terakhir dapat dilihat bahwa perpindahan pada dawai juga berkali kali 0. Titik ini dapat disebut simpul.Di pertengahan antara node ini dan pada jangkauan pergeseran maksimum gelombang tiap titik akhir antisimpul
Standing Wave 4 Gambar 6.1 Satu contoh dari satu gelombang berdiri pada satu dawai penuh. (a ) – (e ) gambar dari dawai
pada gelombang tiba tiba berurutan dari waktu, sementara (f ) menunjukkan gambar individu ini pada setelan tunggal dari axes. Perpindahan y selalu nol pada x = 0 dan x = L , karena dawai digenggam tetap
pada titik tersebut. Dipertengahan antara simpul dan tiap tiik akhir pergeseran gelombang yang maksimum dapat disenut anti simpul
Posisi pada titik maksimum dan minimum tidak ada pergerakkan sepanjang x -poros denan waktu dan maka dari itu dinamakan gelomnang berdiri atau gelomabng stasioner Ketika dawai bergetar, semua partikel dari dawai bergetar pada frekuensi yang sama. Lebih dari itu dapat lakukan pada SHM(Simple Harmonic Modulation) tentang keseimbanganposisi,, yang mana garis sepanjang dawai terlewati ketika pada posisi diam. Bagaimanapun, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 6.1, getaran dari amplitudo dari partikel yang membedakan sepanjang panjang dari dawai. karakteristik perpindahan y dapat direpresentasikan oleh
y(x, t) = f (x) cos(ωt + φ).
Fungsi f (x) menjelaskan variasi dari amplitude getaran sepanjang poros x. Pada fungsi cos(ωt + φ). Menjelaskan SHM pada setiap partikel yang menjalani dawai. Jika kita pilih pergeseran maksimum dari partikel yang terjadi pada saat t=0, maka fase sudut adalah nol dan
y(x, t) = f (x) cos ωt.
(pada kondisi fase sudut=0 adalah persamaan pada awal saat t=0, kecepatan dawai adalah 0, i.e dari persamaan (6.1)
Dengan fase sudut=0) penting untuk diketahui bahwa, kita akan menulis pergeseran y seperti pada hasil dua fungsi pada persamaan(6.2) hal itu anya bergantung pada x dan t. Kita sekarang mensubstitusikan penyelesaian ini ke dalam persamaan gelombang satu dimensi
Standing Wave 5 Dan substitusikan pernyataan ini kedalam persamaan gelombang satu dimensi , maka
Kita dapat bandingkan dengan persamaan pada SHM:
Yang mana penyelesaian umumnya
Persamaan (6.4) dan (1.6) mempunyai bentuk yang sama kecuali variable t pada persamaan(1.6) adalah menggantikan variable x pada persamaan (6.4) dan x
menggantikan f(x).Ini adalah kelanjutan dari penyelesain umum pada persamaan (6.4) adalah
Dimana A dan B adalah konstanta untuk menentukan batas kondisi. Pada kasus nin, batas kondisi f(x)=0 pada x=0 dan x=L.kondisi pertama diberikan B= 0.Pada konsisi kedua diberikan
Dimana n= 1,2,3,.. (karena kita tidak menarik penyelesaian yang gampang f(x)=0, kita keluarkan nilai n=0),maka , nilai dari omega harus mengambil 1 pada nilai pada persamaan (6.7) maka kita akan menulis seperti
Dimana untuk setiap nilai pada n mempunyai hubungan omega n . Substitusikan omega=omega n pada persamaan (6.5) dan ingat kembali B=0, maka
Persamaan ini menjelaskan gelombang berdiri pada dawai, dimana setiap nilai dari n dapat disamakan pada sebuah perbedaan pola gelombang berdiri. Pola gelombang berdiri
Standing Wave 6 sering disebut modes dari getaran dawai. Seperti yang kitalihat pada bagian 6.4 itu adalah modes normal dari getaran dawai
Fungsi untuk n=1 ke 4 diplot pada gambar 6.2(a)-(d) berturut turut.Untuk tujuan gambar amplitude dari 4 gelomnang yang berdiri diambil sama. Untuk n=1 kita punya
Yang mana variasi amplitude yang ditunjukakan pada gambar 6.2(a). ini adalah mode dasar atau 1 harmonik pada dawai; n=2 dapat disamakan pada harmonic ke2 ,, dsb.. Kita lihat bahwa angka antinodes pada n harmonic adalah persamaan pada n. persamaan frekuensi sudut pada gelombang berdiri diberikan oleh persamaan (6.8) danphi frekuensi sudut /L dan berturut turut.
Waktu periode T untuk pola gelombang berdiri kecuali untuk membuat bentuk, diberi oleh
Standing Wave 7 Gambar 6.2 4 harmonik pertama untuk gelombang berdiri pada tegangan dawai.harmonik pertama dapat juga disebut dasar.gelombang berdiri ni menjelaskan oleh fungsi fn (x) =An sin (nπx / L) dengan n = 1 - 4. Jumlah titik perut di setiap gelombang berdiri sama dengannilai masing-masing n.
Kami lagi menentukan λ panjang gelombang dari gelombang berdiri sebagai jarak mengulangpola gelombang. Karena v = νλ dan ω = 2πν, kita dapat menggantikan v dan ω dalam Persamaan (6.11) untuk mendapatkan
(6.12)
mana λn adalah panjang gelombang dari gelombang berdiri n. Jika kita menulis persamaan ini sebagai
(6.13)
kita melihat bahwa kita akan mendapatkan gelombang berdiri hanya jika jumlah integral setengah panjang gelombang cocok antara kedua ujung tetap string, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.2. Setiap gelombang berdiri dengan panjang gelombang λn memiliki kn wavenumber, yangdari Persamaan ( 5.13 ) diberikan oleh
Karena λn = 2L / n , persamaan ( 6.13 ) , kami juga memiliki . ( 6.14 )
Menggunakan hubungan terakhir ini kita dapat menulis persamaan ( 6.10 ) sebagai
( 6.15 )
yang merupakan ekspresi alternatif untuk gelombang berdiri . Frekuensi sudut fundamental , dengan n = 1 , adalah
( 6.16 ) dan frekuensi , ν1 = ω1/2π , adalah
Standing Wave 8 . ( 6.17 )
Karena kecepatan gelombang pada tali tegang diberikan oleh
( 5.32 ) Persamaan ( 6.17 ) memberikan
. ( 6.18 )
Persamaan ini menunjukkan bagaimana frekuensi fundamental string tegang tergantung pada perusahaanpanjang L , T ketegangan dalam string dan massa per satuan panjang μ . Kita bisa dengan mudah berhubungan hasil ini untuk instrumen senar . Misalnya, gitar memiliki enam senar panjang yang sama dan ini diselenggarakan di bawah sekitar ketegangan yang sama .Namun , string memiliki nilai yang berbeda dari massa per satuan panjang dan sangat mendasar mereka frekuensi yang berbeda: semakin besar massa per satuan panjang yang lebih rendah catatan. Setiap string disetel dengan sedikit memvariasikan ketegangan dalam dawai .itu musisi kemudian memainkan catatan yang berbeda dengan menekan senar terhadap frets pada fingerboard untuk bervariasi panjang dari string bergetar . Jelas ukuran alat musik mempengaruhi frekuensi atau pitch suara yang dihasilkannya .ini sangat jelas dari keluarga biola : biola , viola , cello dan double bass . ini instrumen terus bertambah besar dan menghasilkan catatan lapangan semakin rendah . Dalam cara analog pipa dari organ terus bertambah besar untuk menghasilkan catatan frekuensi yang lebih rendah .
Seperti yang kita lihat dari Persamaan ( 6.8 ) , frekuensi semua harmonik dari dawai yang keras merupakan kelipatan tepat dari frekuensi dasar dan membentuk deret harmonik . Untuk kebanyakan sistem bergetar ini tidak terjadi . Ini juga akan bergetar pada serangkaian frekuensi yang lebih tinggi di samping frekuensi dasar .Ini frekuensi yang lebih tinggi disebut nada . Namun, secaraumum , frekuensi nada tersebut tidak akan tepat beberapa fundamental : mereka tidak harmonis. Lonceng ,misalnya , akan memiliki nada yang frekuensi tidak kelipatan tepat dari
fundamental . Ketika bel dipukul , frekuensi nada akan terdengar di samping fundamental. Keterampilan pembuat lonceng adalah untuk memastikan bahwa kombinasi fundamental dan nuansa menghasilkan suara yang tidak sumbang di telinga .( Tentu saja,
Standing Wave 9 nada panjang juga dapat diterapkan pada kencang string tetapi dalam kasus ini nuansa yang harmonis. )
Kami telah menggunakan contoh dawai yang kencang untuk mengeksplorasi karakteristik fisikberdiri gelombang . Namun, gelombang berdiri terjadi dalam berbagai fisik yang berbeda
situasi dan ide-ide kita telah membahas yang penting bagi berbagai fenomena fisik . Dalam oven microwave , gelombang elektromagnetik mencerminkan dari dinding oven untuk membentuk pola gelombang berdiri di kompartemen oven . iniberarti bahwa pasti akan ada tempat di kompartemen di mana intensitas dari radiasi gelombang mikro berkurang dan makanan tidak akan dimasak dengan benar . untukmengurangi dampak dari ' titik-titik dingin ' makanan ditempatkan pada meja putar berputar . dilaser , cahaya membentuk gelombang berdiri di antara dua cermin ditempatkan di ujungdari tabung laser. Dengan cara ini panjang gelombang sinar laser didefinisikan dengan baik , yaitu monokromatik . Dalam contoh yang sangat berbeda , di ranah mekanika kuantum ,tingkat energi diskrit atom dapat dianggap sebagai solusi gelombang berdiri dari persamaan schrodinger.
2.2 Gelombang Berdiri sebagai Superposisi dari Dua Gelombang Berjalan
Jika ada dua gelombang yang merambat pada medium yang sama, gelombang-gelombang tersebut akan datang di suatu titik pada saat yang sama sehingga terjadilah superposisi gelombang . Artinya, simpangan gelombang – gelombang tersebut disetiap titik dapat dijumlahkan sehingga menghasilkan sebuah gelombang baru.
Pada persamaan 5.3 kita dapat melihat persamaan umum gelombang berjalan sebagai berikut :
y = f (x − vt) + g(x + vt). (5.4) untuk contoh spesifiknya, dengan k = 2π/λ dan besar sudutnya ω = kv, maka :
y = A/2sin2π/λ(x − vt) + Al2 sin2π/λ(x + vt) y = A/2 sin (kx-wt) + Al2 sin (kx-wt)
pada persamaan di atas persamaan gelombangnya dapat di gambarkan dengan gelombang sinusoida dengan besar Amplitude A/2 yang kekanan mempunyai arah positif, dan yang ke kiri akan mempunyai arah negatif. Dan keduanya mempunyai frekuensi sudut yang sama. Dan kita gunakan rumus identitas untuk gelombang tersebut :
Standing Wave 10 sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sinα cos β
maka kita dapatkan :
y =A/2sin(kx − ωt) +A/2sin(kx + ωt) = Asin kx cos ωt
pada persamaan (6.22) mempunyai kesamaan dengan persamaan (6.15), yang mana kita telah mendapatkan nilai gelombang berdiri pada sebuah dawai. Dan kita juga mendapatkan hasil yang sangat penting bahwa gelombang berdiri merupakan superposisi dari dua gelombang berjalan yang mempunyai frekuensi serta amplitudo yang sama saat arahnya berlawanan. Hal ini di ilustrasikan pada gambar (6.3) yaitu dua gelombang berjalan yang berurutan dengan waktu yang berbeda yaitu T/8, T adalah nilai periodenya. Gelombang berjalan yang arahnya kekanan di gambarkan dengan kurva yang tipis, dan untuk gelombang yang aranya ke kiri di gambarkan dengan kurva yang terputus. Sedangkan kurva yang tebal merupakan jumlah dari keduannya atau superposisi dari dua gelombang berjalan. Bentuk keseluruhan dari gelombang tersebut seperti
Gambar 6.3
Pada gelombang berdiri pada harmonik ke-4 pada gambar (6.2). ketika waktu di tingkatkan maka hasil gelombang berdirinya juga akan meningkat seperti pada gambar (6.3).
Standing Wave 11
Dua gelombang sinosoida dapat dibagi untuk menentukan jarak pada kedua arahnya (dengan menggunakan prinsip x = +-∞). Sebuah dawai yang direntangkan diantara dua dinding mempunyai panjang yang tidak terhingga, itulah yang mendukung terbentuknya gelombang berdiri. Dan menyebabkan refleksi pada dua dinding dan menghasilkan dua gelombang berjalan yang berlawanan arah. Hali ini di tunjukkan pada gambar (6.4)
Gambar 6.4
2.3 Energi dari Getran Dawai
Di Bagian 6.3 kita mempertimbangkan satu dawai bergetar di mode normal tunggal, diberikan Oleh
yn(x, t) = An sin( nπ/ L x) cos ωn t (6.10)
dan kita memperoleh daya En dari dawai bergetar di mode ini:
En = 1/4 µ LA 2/n ω 2/n(sin2ωnt +cos2ωnt) = ¼ µ LA 2/n ω 2/n (6.27)
Kita sekarang memperoleh daya e dawai bergetar ketika di situ adalah beberapa hadiah mode. Impit-gabung umum dari mode normal diberikan oleh
y(x, t) = ∑n yn (x, t) = ∑n An sin (nπ/Lx) cos ωnt (6.29)
dan kita harus mempergunakan ekspresi ini, dari pada Penyamaan (6. 10), untuk menghitung energi E dari gelombang dari Penyamaan (5. 37):
Standing Wave 12
Ekspresi untuk turunan ∂y/∂t dan ∂y/∂x diperlukan di Penyamaan (5. 37) sekarang tidak terdiri dari kondisi lajang seperti di Penyamaan (6. 23) untuk mode tunggal, tapi dari penjumlahan dari kondisi n modes:
∂y/∂t = − ∑n Anωnsin(nπ/Lx) sinωnt
dengan satu penjumlahan serupa berlalu mode untuk ∂y/∂t Ini adalah kuadrat dari persamaan ini yang terjadi di Penyamaan (5. 37), dan mengudratkan, seperti di
(∂y/∂t)2 = [ -∑m Amωmsin(mπ/Lx) cosωmt] [-∑n Anωnsin(nπ/Lx )cosωnt
dengan
sin(mπ/Lx) sin(nπ/Lx) , cos(mπ/Lx) cos(nπ/Lx) (6.40)
dengan m ≠ n. [Istilah silang mengandung produk cosinus berasal dari (∂y/∂x)2] Sebagai satu konsekwensi, ekspresi untuk energyEwill mengandung integral berlalu ini kondisi produk, Penyamaan (6. 40), sebagai tambahan terhadap kondisi kwadrat yang mana terjadi di Penyamaan (6. 24) untuk mode tunggal kasus. Bagaimanapun, integral melibatkan menyeberangi kondisi yang punya nilai memasuki, karena bagi m ≠ n
∫0L dx sin (mπ/Lx) sin(nπ/Lx) = ∫0L dx cos (mπ/Lx) cos (nπ/Lx) = 0. (6.41)
Yang pertama hasil ini diperoleh di Penyamaan (6. 34), dan detik diperoleh persis cara yang sama mempergunakan identitas trigonometric
cosαcosβ=1/2[cos(α−β)+cos(α+β)] (6.42)
dari pada Penyamaan (6. 35). Karenanya kondisi seberang dengan m = n lenyap pada inte gration dan penjumlahan energi E adalah memberikan oleh satu penjumlahan kondisi seperti Penyamaan (6. 27):
Standing Wave 13
Fitur yang paling penarik perhatian dari hasil ini adalah itu masing-masing mode normal menyokong satu Daya
En=1/4µLA2nω2n (6.44)
sangat dengan mandiri dari mode normal yang lain. Ini adalah sangat khas dengan normal mode saat kita mendiskusikan di Bab 4. Mereka adalah bebas tak terikat dari satu sama lain dan di situ adalah tidak ada memasangkan di antara mereka. Alhasil daya mereka adalah zat tambahan. [Secara matematis, ini hasil dari Persamaan (6.41) yang menjamin bahwa tidak ada 'istilah lintas' yang melibatkan produk dari amplitudo Am An, dengan m ≠ n.] Satu hasil analogis diperoleh di Bagian 4.3 untuk daya dari dua ayunan ratah dipasangkan oleh satu bersemi. Dalam kaitan dengan posisi koordinat xa dan xb, gerak mereka dipasangkan, tapi dalam kaitan dengan normal mereka koordinat q1 dan q2 melaksanakan SHM dengan mandiri dari satu sama lain.
2.3 Gelombang Berdiri sebagai Mode Normal dari Getaran Dawai 2.3.1 Prinsip Superposisi
Untuk membahas apa yang terjadi jika ada dua atau lebih gelombang yang sejenis menjalar dalam medium yang sama dapat dimisalkan dengan dua gelombang bunyi yang sama – sama berada di udara. Untuk mudahnya di pandang lebih dahulu dua gelombang pada tali. Satu gelombang datang dari sebelah kiri, dan satu gelombang lain datang dari sebelah kanan, seperti
Gambar 2.4. Dua gelombang pada tali A dan B bertemu dan melanjutkan perjalanan
masing-masing tanpa ada perubahan bentuk.
Pada gambar 2.4 digambarkan apa yang terjadi setelah kedua gelombang ini bertemu. Kedua gelombang meneruskan penjalaran mereka tanpa ada perubahan bentuk.
Standing Wave 14
Jadi kedua gelombang itu tidak saling mempengaruhi. Juga ditunjukkan pada waktu kedua gelombang bertemu, simpangan total setiap titik pada tali merupakan jumlah simpangan yang disebabkan oleh kedua gelombang tersebut. Gambar tersebut juga menujukkan posisi gelombang dan simpangan tali pada beberapa saat. Jadi, jika ada dua gelombang menjalar dalam suatu medium, maka gangguan total pada medium adalah jumlah gangguan oleh masing – masing gelombang. Sifat ini dikenal sebagai prinsip superposisi. Prinsip ini berlaku untuk semua jenis gelombang, selama gangguan yang disebabkan oleh gelombang tidak terlalu besar.
Dua atau lebih gelombang yang saling tumpang tindih dalam ruang selama perjalanannya mempunyai perpindahan total yang merupakan jumlah vektor dari perpindahan individual masing-masing gelombang pada titik itu.
Yr(x,t) = y1(x,t)+y2(x,t)+…+yn(x,t)
Gelombang yang memenuhi prinsip ini disebut “linear waves.” Sedangkan yang tidak memenuhi disebut “nonlinear waves.”
Gelombang yang merambat ke kanan dengan laju v dapat dinyatakan denga fungsi gelombang berikut:
Gelombang yang merambat ke kiri dengan laju v dapat dinyatakan denga fungsi gelombang berikut:
Pada persamaan menggambarkan perambatan
gelombang dengan kecepatan dalam ruang satu dimensi.
Prinsip superposisi menyatakan bahwa, jika y1 (x, t) dan y2 (x, t) adalah dua
solusi dari persamaan gelombang, kemudian kombinasi linear
dimana A1 dan A2 adalah konstanta sembarang. Hasil ini linearitas persamaan
gelombang , yaitu setiap istilah dalam persamaan gelombang proporsional
) ( ) , (x t f x vt y y ) ( ) , (x t f x vt y y
Standing Wave 15
dengan y atau salah satu dari turunannya: tidak mengandung istilah kuadrat atau lebih tinggi daya atau istilah produk seperti y (∂ y / ∂ x). (Persamaan jenis ini dikenal sebagai persamaan linear.) Kita bisa melihat ini sebagai berikut. Mengalikan dari persamaan berikut
oleh A1 dan kedua oleh A2, dan menambahkan yang dihasilkan persamaan
memberikan
Setelah itu menjadi
maka bahwa linier superposisi y (x, t), persamaan (6.28), juga merupakan solusi dari persamaan gelombang (5.23). Hasil ini jelas generalises ke superposisi beberapa solusi dari persamaan gelombang. Ini dapat berupa solusi: mereka tidak harus mode normal. Namun, untuk alasan yang akan menjadi jelas dalam proses diskusi berikut kita sekarang memilih superposisi umum mode normal.
2.3.2 Superposisi dari mode yang normal
Syarat batas untuk menentukan panjang gelombang y = 0, pada x = 0 dan x = L untuk semua t. sin(kL) = 0 kn = np/L untuk n = 1, 2, 3, … Karena k = 2p/l, maka ln = 2p/ kn = 2L/n untuk n = 1, 2, 3, …
Persamaan ini menggambarkan gelombang berdiri pada string, di mana setiap nilai n sesuai dengan pola gelombang berdiri yang berbeda. Pola gelombang berdiri
Standing Wave 16
adalah alternatif disebut mode getaran dari string. Secara umum, gerakan string akan menjadi superposisi mode biasa diberikan oleh
Di mana ωn = nπv / L. Contoh ini disajikan pada Gambar 6.5, yang menunjukkan superposisi dari mode normal ketiga dengan amplitudo relatif 1,0 dan modus normal ketiga belas dengan amplitudo relatif 0,5. (Kita memilih seperti mode normal tinggi untuk menunjukkan superposisi gelombang lebih jelas.) Modus normal ketiga adalah
Gambar 6.5 (a) Snapshot dari y3 harmonik ketiga (x, 0) dari string kencang pada t = 0. (b) Snapshot dari Y13 harmonik ketiga belas (x, 0) dari string kencang pada t = 0 dimana amplitudo gelombang
sama dengan satu setengah dari (a). (c) superposisi dari dua harmonik untuk memberikan bentuk yang dihasilkan dari string pada t = 0 dan mode normal ketiga belas adalah
Snapshots dari kedua mode normal pada t = 0, yaitu y3 (x, 0) dan Y13 (x, 0),
ditunjukkan dalam Gambar 6.5 (a) dan (b), masing-masing. Superposisi dari dua mode normal diberikan oleh
dan menggambarkan gerakan dari string bergetar. Ini diilustrasikan pada Gambar 6.5 (c) yang lagi merupakan sebuah snapshot dari string pada t = 0. Seperti waktu meningkatkan bentuk string berkembang sesuai dengan Persamaan (6.30). Secara khusus itu akan mengambil 13 periode lengkap dari tinggi ω13 frekuensi sebelum bentuk yang
tepat ditunjukkan pada Gambar 6.5 (c) diulang.
Untuk merangsang dua mode normal dalam cara ini, kita akan entah bagaimana harus membatasi bentuk string seperti pada Gambar 6.5 (c) dan kemudian
Standing Wave 17
melepaskannya pada waktu t = 0. Tentu saja, itu tidak praktis untuk melakukan ini dan dalam prakteknya kita memetik string untuk menyebabkannya bergetar. Tindakan memetik string diilustrasikan pada Gambar 6.6 (a). Dalam contoh ini string pengungsi jarak d pada seperempat dari panjangnya. Awalnya, string memiliki bentuk segitiga dan bentuk ini jelas tidak cocok dengan salah satu bentuk dari mode yang normal ditunjukkan pada Gambar 6.2. Untuk satu hal segitiga memiliki sudut yang tajam sedangkan bentuk sinusoidal dari mode yang normal bervariasi lancar.
Gambar 6.6 (a) Tindakan memetik string diilustrasikan mana string tersebut dipindahkan jarak d pada seperempat dari panjangnya. (b) Yang pertama tiga modus yang normal bersemangat string. Amplitudo
dari mode normal diberikan dalam teks. (c) superposisi dari tiga mode yang normal memberikan reproduksi baik dari bentuk segitiga awal string kecuali di sudut tajam. Untuk semua kasus di atas, t = 0.
Yang luar biasa adalah, bagaimanapun, bahwa adalah mungkin untuk mereproduksi bentuk segitiga ini dengan menambahkan bersama mode normal string dengan tepat ampli-tudes. Hal ini diilustrasikan oleh Gambar 6.6. Dalam Gambar 6.6 (b) tiga pertama yang normal mode y1 (x, 0), y2 (x, 0) dan y3 (x, 0) yang akan ditampilkan.
Ini diberikan oleh Persamaan (6.10) dengan t = 0. Amplitudo mereka adalah A, A / 2 √ 2 dan A / 9, masing-masing, di manaA = 32d/3π2. (Prosedur umum untuk menemukan nilai-nilai dari amplitudo dikembangkan dalam Bagian 6.4.3.) Gambar 6.6 (c) menunjukkan superposisi dari tiga mode normal, yaitu
y(x, 0) = y1 (x, 0) + y2 (x, 0) + y3 (x, 0)
dan memungkinkan perbandingan dengan bentuk awal string. Bahkan hanya menggunakan tiga mode biasa kita mendapatkan mengejutkan baik cocok dengan bentuk segitiga. Dengan menambahkan mode lebih normal, kami akan mencapai kesepakatan yang lebih baik, terutama berkenaan dengan sudut tajam. Frekuensi yang sesuai dari mode normal diberikan oleh ekspresi ωn biasa = (nπv / L), Persamaan (6.8). Jadi ketika
Standing Wave 18
kita memetik string kita merangsang banyak mode normal dan gerakan berikutnya dari string yang diberikan oleh superposisi dari mode normal sesuai Persamaan (6.29). Sebuah cara hidup untuk mewakili komposisi mode normal adalah membuat plot amplitudo mereka terhadap frekuensi mereka yang memberikan spektrum frekuensi. Spektrum frekuensi untuk contoh Gambar 6.6 ditunjukkan pada Gambar 6.7.
Gambar 6.7 Spektrum frekuensi menunjukkan empat pertama harmonisa dari memetik senar ditunjukkan pada Gambar 6.6, di mana amplitudo dari mode normal
diplot terhadap modus angka. Amplitudo n = 4 mode normal adalah nol.
Bahkan sebelum kita melihat bagaimana untuk mengevaluasi amplitudo dari mode biasa bersemangat (Bagian 6.4.3 ) , kita dapat mengatakan sesuatu tentang eksitasi dari mode normal keempat dalam contoh di atas . Mode ini normal memiliki simpul di seperempat panjang string . Oleh karena itu , mencabut string pada saat itu tidak menggairahkan bahwa modus karena yang hilang dari superposisi sebagai konsisten dengan spektrum frekuensi pada Gambar 6.7 . Contoh superposisi dari mode normal dari suara yang dihasilkan oleh alat musik . Catatan A dimainkan pada oboe terdengar jelas berbeda dengan catatan yang sama dimainkan di seruling , meskipun keduanya adalah instrumen angin . Dalam setiap kasus , frekuensi dasar atau pitch catatan adalah sama . Namun, jumlah relatif dari mode normal yang berbeda ( harmonik ) yang diproduksi oleh dua instrumen yang berbeda . Inilah komposisi harmonik yang mempengaruhi kualitas musik atau timbre dari catatan . Klarinet kaya harmonik sementara suling memiliki konten kurang harmonis. Bahkan instrumen yang berbeda dari jenis yang sama mungkin menunjukkan isi harmonik yang berbeda dan jadi terdengar agak berbeda . Sebagai contoh, isi harmonik yang dihasilkan oleh sebuah biola Stradivarius merupakan salah satu faktor yang membuat instrumen yang sangat diinginkan . Kita dapat mengubah situasi ini sekitar dan mensintesis alat musik . Untuk ini kita menggunakan satu set osilator menghasilkan gelombang sinusoidal dengan frekuensi semua harmonik kita ingin untuk memasukkan . Kami kemudian menambahkan ini bersama-sama dengan amplitudo relatif tepat untuk mensintesis alat musik pilihan .
Standing Wave 19
2.4 Energi dalam Gelombang berdiri
Gelombang dalam perjalanan membawa energi, antara gelombang satu dengan gelombang yang lain tingkat energinya berbeda, suatu bukti yang bisa kita jumpai gelombang membawa energy adalah ketika ada suara yang sangat keras kemudian kita melihat ke kaca candela maka pada kaca akan bergetar, kejadian ini merupakan contoh kecil dari perambatan energi yang melewati kaca. Scara umum persamaan energy pada gelombang dapat di tuliskan :
……. ( 1 ) Kemudian persamaan gelombang umum dalah :
………( 2 ) Persamaan diatas jika di turunkan terhadap X dan t akan menjadi :
……( 3 )
……..( 4 )
Persamaan ( 3 ) dan ( 4 ) di masukan ke persamaan gelombang umum menjadi :
Standing Wave 20
Maka persamaan energi dapat di tuliskan :
Dan dapat disederhanakan menjadi :
2.5 Amplitudo dari Mode Normal dan Analisis Fourier
Dalam Bagian 6.4.2 kita melihat bahwa gerak umum string bergetar adalah super- posisi mode normal, persamaan (6.10). Secara khusus, bentuk awal dari String f (x), ieatt = 0, adalah dari Persamaan (6.29) yang diberikan oleh
Kita sekarang menyatakan hasil yang luar biasa: setiap bentuk f (x) dari string dengan ujung tetap poin [f (0) = f (L) = 0] dapat ditulis sebagai superposisi dari fungsi-fungsi sinus dengan nilai-nilai yang sesuai untuk koefisien A1, A2, ..., Yaitu berupa:
Hasil ini disebabkan Fourier. Perluasan (6.32) dikenal sebagai deret Fourier dan amplitudo A1 , A2, ... sebagai koefisien Fourier. Ide bahwa pada dasarnya fungsi
sembarang f (x) dapat diperluas dalam serangkaian Fourier dapat digeneralisasi dan sangat penting dalam banyak teori fisika dan teknologi.
Fourier teorema ekspansi, Persamaan (6.32), melibatkan beberapa mathematika sulit dan kami hanya akan menganggap validitasnya. Sebaliknya, penerapannya dalam praktek cukup mudah. Mengingat f (x), yaitu bentuk string, amplitudo An (n = 1, 2, ...)
mudah ditemukan. Inilah yang membuat analisis Fourier seperti kuat alat. Penentuan amplitudo tergantung pada dua integral yang melibatkan fungsi sinus:
Standing Wave 21
di mana m dan n adalah bilangan bulat seluruh. Yang pertama dari hasil ini kami memperoleh sebelumnya, Persamaan (6.25). Untuk kedua, kita menggunakan identitas trignometric
maka didapatkan
untuk m? = n, karena sinNπ = 0 untuk N = ± 1, ± 2, .... Mengalikan Persamaan (6.32) dengan sin(mπx / L) dan mengintegrasikan hasil persamaan terhadap x selama rentang x = 0 sampai x = L memberikan
Ini mengikuti dari Persamaan (6.34) bahwa, dari istilah dalam seri di kanan sisi Persamaan (6.36), hanya panjang dengan m = n berbeda dari nol, dan rekening Persamaan (6.33) memiliki nilai L / 2. Dengan cara ini kita mendapatkan akhir ekspresi untuk amplitudo Fourier
Persamaan (6.32) dan (6.37) adalah hasil akhir kita: sebuah pernyataan dari teorema Fourier. Untuk setiap fungsi spesifik f (x), yaitu bentuk string pada t = 0, Persamaan (6.37) memberikan kita Fourier amplitudo A1, A2, .... Menggantikan ini
amplitudo dalam Persamaan (6.32) memberikan kita bentuk awal string, dinyatakan dalam Fourier komponen dan, dari Persamaan (6.29), bentuk dari string pada waktu berikutnya.
Situasi ini telah dijelaskan di sini pada dasarnya adalah bahwa mekanika klasik. Untuk memecahkan persamaan gerak Newton untuk sistem partikel, kita harus menentukan posisi awal mereka dan kecepatan. Untuk string kita memiliki kontinum partikel, dan kondisi awal menjadi posisi awal dan kecepatan awal masing-masing titik pada string. Kami telah diperlakukan kasus tertentu string yang awalnya di Sisanya, [∂ y (x, t) / ∂ t] t= 0, lih. Persamaan (6.3), dan dengan bentuk awal y (x, 0) = f (x). Kondisi
awal lain yang mungkin mengarah ke bentuk yang berbeda dari seri Fourier. Kami menggambarkan analisis Fourier dengan cara berikut bekerja misalnya.
Standing Wave 22
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Gelombang berdiri adalah gelombang yang memiliki amplitudo yang berubah-ubah antara nol sampai nilai maksimum tertentu. Gelombang ini dapat membentuk superposisi dari dua gelombang berjalan. Dan energi dari tiap gelombang ini ditentukan dari panjang dawai.
Gelombang stasioner dapat dibentuk dari pemantulan suatu gelombang. Contohnya pada gelombang tali. Tali dapat digetarkan di salah satu ujungnya dan ujung lain diletakkan pada pemantul. Berdasarkan ujung pemantulnya dapat dibagi dua yaitu ujung terikat dan ujung bebas. Gelombang stasioner adalah gelombang hasil superposisi dua gelombang berjalan yang : amplitudo sama, frekuensi sama dan arah berlawanan.
Gambar 1.11
3.2 Saran
Penyusun menyadari masih banyak kekurangan dalam makalah ini, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat kami harap kan untuk lebih menyempurnakan makalah ini .
Standing Wave 23
DAFTAR PUSTAKA
Beiser, Arthur. 1999.Konsep Fisika Modern (terjemahan). Jakarta: Erlangga.
Budikase, E, dkk, 1987. Fisika Untuk SMU . Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.
Foster, Bob. 2004. Fisika SMA Jilid 3A untuk Kelas XII. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Lala,Brigitta.2008.Gelombangelektromagnetik.(http://brigittalala.wordpress.com, diakses 7 November 2009).
