Aljabar Vektor
Operasi vektor
Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran yang hanya memiliki nilai tanpa arah disebut dengan skalar. Contohnya adalah massa, muatan, kerapatan, dan temperatur. Untuk notasinya, besaran yang dinyatakan sebagai vektor akan ditandai dengan tanda panah di atas simbolnya ( A, B, dan seterusnya), sedangkan skalar dinyatakan dengan huruf biasa. Besar (nilai) dari suatu vektor A dapat dituliskan ∣A∣
atau dengan notasi skalar, A .
Gambar 1
Dalam diagram, vektor biasanya dinyatakan dengan panah. Panjang dari panah sebanding dengan besar vektor dan kepala panah menyatakan arah dari vektor tersebut.
Minus A (yaitu A ) adalah sebuah vektor dengan besar yang sama seperti A , tetapi pada arah sebaliknya (gambar 1). Perhatikan bahwa vektor memiliki besar dan arah, tetapi tidak mutlak menyatakan lokasi. Sebagai contoh, sebuah perpindahan sejauh 4 km ke arah utara dari Bandung direpresentasikan dengan vektor yang sama pada perpindahan sejauh 4 km ke utara Padang (kelengkungan Bumi diabaikan). Dengan demikian vektor dapat digeser sesuka hati selama besar dan arahnya tidak diubah.
halaman 1
A
A
Operasi vektor dapat dibagi menjadi empat kelompok:
(1) Penjumlahan dua vektor. Tempatkan ekor B pada kepala A sehingga dapat diperoleh jumlah vektor AB , yaitu vektor dari ekor A hingga kepala B (gambar 2).
Penjumlahan vektor bersifat komutatif sehingga jika B ditukar dengan A pada proses di atas, maka hasilnya akan tetap sama:
A B=B A .
Gambar 2
Penjumlahan ini juga bersifat asosiatif:
AB C = AB C .
Untuk mengurangkan sebuah vektor (gambar 3), tambahkan kebalikannya:
A B= AB .
Gambar 3
(2) Perkalian dengan sebuah skalar. Perkalian suatu vektor oleh sebuah skalar k positif merupakan perkalian besar vektor oleh skalar tersebut dengan arah yang tidak berubah (gambar 4). Namun jika k negatif, arah vektor berubah menjadi sebaliknya.
A
B
B A A
B
B A
A
B
AB
Perkalian ini bersifat distributif:
k AB =k Ak B .
Gambar 4 Gambar 5
(3) Perkalian titik dua vektor. Perkalian titik didefinisikan oleh
A⋅ B= A Bcos , (1)
dengan adalah sudut antara vektor-vektor tersebut ketika kedua ekornya saling bertemu (gambar 5). Perhatikan bahwa A⋅B menghasilkan sebuah skalar sehingga perkalian titik ini sering juga disebut perkalian skalar. Perkalian ini bersifat komutatif,
A⋅ B=B⋅A , dan distributif,
A⋅ B C = A⋅B A⋅C . (2) Secara geometri, A⋅B adalah perkalian dari A dengan proyeksi B pada A (atau sebaliknya perkalian B dengan proyeksi A pada B ). Jika dua vektor sejajar, maka
A⋅ B= A B . Untuk sembarang vektor A , secara khusus berlaku
A⋅ A= A2. (3)
Jika vektor A dan B saling tegak lurus, maka A⋅B=0 .
(4) Perkalian silang dua vektor. Perkalian silang didefinisikan oleh
A× B= A Bsin n , (4)
A
2 A
A
B
A
B
dengan n adalah sebuah vektor satuan (yang panjangnya 1) mengarah tegak lurus bidang yang sisi-sisinya dibentuk oleh vektor A dan B . Namun ternyata ada dua arah yang tegak lurus bidang tersebut, yaitu “masuk” dan “keluar”. Untuk mengatasi masalah ini, digunakanlah kesepakatan aturan tangan kanan: jadikan keempat jari selain ibu jari agar menunjuk pada vektor pertama (dengan ibu jari tegak lurus keempat jari), kemudian putar keempatnya (pada sudut terkecil) ke arah vektor kedua, maka ibu jari menandakan arah dari perkalian silang kedua vektor tersebut. Perhatikan bahwa A×B akan menghasilkan sebuah vektor sehingga perkalian silang sering disebut dengan perkalian vektor.
Gambar 6. A× B mengarah keluar bidang kertas, B× A mengarah masuk bidang kertas.
Perkalian silang bersifat distributif,
A× B C = A×B A× C , (5) tetapi tidak komutatif, justru
A× B=B× A . (6)
Secara geometri, ∣A×B∣ adalah luas daerah jajaran genjang yang dibentuk oleh A dan
B (gambar 6). Jika kedua vektor saling sejajar, maka perkalian silangnya nol dan secara khusus A× A=0 untuk sembarang vektor A .
Bentuk komponen
Pada bagian sebelumnya telah didefinisikan beberapa operasi vektor dalam bentuk yang masih kabur, yakni tanpa merujuk pada sistem koordinat tertentu. Dalam praktik biasanya cukup mudah untuk bekerja dengan komponen vektor dalam sistem koordinat tertentu.
Misalkan pada koordinat kartesian: i , j , dan k masing-masing adalah vektor satuan A
B
yang sejajar dengan sumbu-x, y, dan z (gambar 7). Sebuah vektor sembarang A dapat dinyatakan dalam suku vektor basis tersebut (gambar 8), yaitu
A= A xi Ayj Azk .
Gambar 7 Gambar 8
Bilangan Ax, Ay, dan Az disebut komponen dari A . Tafsiran geometri dari komponen vektor tersebut adalah proyeksi A sepanjang tiga sumbu koordinat. Dengan hasil ini, keempat operasi vektor yang telah dijelaskan sebelumnya dapat dirumuskan ulang dalam bentuk komponen-komponennya:
(1) Penjumlahan dua vektor:
A B= AxBxi AyBy j AzBz k . (7) (2) Perkalian dengan sebuah skalar:
k A=k Axik Ay j k Az k . (8) (3) Perkalian titik dua vektor:
i⋅i= j⋅j= k ˙k=1; i ˙j=i⋅k= j⋅k=0 . A⋅ B= AxBx AyBy AzBz.
A⋅ A= Ax2 A2yAz2,
⇒ A=
Ax2A2y Az2 .(9) (10)
(11) x
y z
i
k j
x
y z
Axi Ayj
Az k A
(4) Perkalian silang dua vektor:
i×i= j× j =k× k=0 ,
i× j =j ×i= k ,
j × k= k× j =i ,
k×i=i× k= j .
A× B=
∣
ABixx ABjyy ABkzz∣
.(12)
(13)
Perkalian tripel
Perkalian titik dan silang antara 3 buah vektor, A , B, dan C dapat menghasilkan sesuatu yang berarti dalam bentuk A⋅B C , A⋅B ×C , dan A×B× C . Aturan- aturan yang berlaku adalah:
A⋅B C ≠ A B⋅C .
A⋅ B ×C =B⋅ C × A = C⋅ A×B,
A⋅ B ×C =
∣
ACBxxx CAByyy ACBzzz∣
.A× B× C ≠ A×B× C , A× B ×C = A⋅C B A⋅B C
A×B ×C = A⋅C BB⋅C A .
(14) (15)
(16)
(17) (18) Perkalian A⋅ B ×C disebut dengan perkalian tripel skalar dan dapat ditulis [ A B C ]. Secara geometri, perkalian tripel skalar akan menghasilkan besar volume ruang yang dibentuk oleh A , B , dan C sebagai sisi-sisinya. Volume ruang tersebut akan bernilai positif atau negatif tergantung pada unsur perkalian silang di dalam perkalian tripel skalar.
Sementara itu, perkalian A×B× C disebut dengan perkalian tripel vektor karena hasil akhirnya adalah sebuah vektor.
Posisi, perpindahan, dan jarak
Lokasi sebuah titik dalam tiga dimensi dapat dinyatakan dalam koordinat kartesian
x , y , z . Vektor yang mengarah ke titik tersebut dari titik asal disebut dengan vektor posisi:
r =x i y j z k . (19)
Besarnya
r =
x2 y2z2, (20)adalah jarak dari titik asal, dan
r =r
r =x i y j z k
x2 y2z2 , (21)merupakan vektor satuan yang mengarah radial keluar.
Bagian kecil vektor perpindahan, dari x , y , z hingga x dx , ydy , z dz adalah
dr =dx idy j dz k . (22)
Pada berbagai kasus fisika, kita akan sering berhadapan dengan permasalahan yang melibatkan dua titik, yatu sebuah titik sumber r' (tempat sumber medan berada) dan titik medan r yang sedang ditinjau besar medannya. Akan memudahkan jika sejak awal dibuatkan notasi baru untuk menyatakan posisi relatif dari titik sumber ke titik medan.
Notasi yang akan digunakan untuk keperluan ini adalah r (gambar 9):
r =rr ' . (23)
Gambar 9. Vektor posisi relatif antara titik sumber dan titik medan.
r
r '
r
titik sumber titik medan
Besar dari vektor posisi relatif tersebut adalah
r=∣rr '∣ , (24)
dan vektor satuannya (mengarah dari r ' ke r ):
r=r
r= rr '
∣rr '∣. (25)
Kalkulus Vektor
Limit, kontinuitas, dan turunan fungsi vektor
Jika untuk setiap nilai suatu skalar u kita kaitkan sebuah vektor A , maka A disebut fungsi dari u dan dinyatakan dengan A u . Notasi ini dalam tiga dimensi dapat dituliskan menjadi A u =Axu i Ayu j Azu k .
Konsep fungsi ini dapat diperluas dengan mudah. Jika setiap titik x , y , z berkaitan dengan sebuah vektor A , maka A adalah fungsi dari x , y , z yang dinyatakan dengan A x , y , z = Axx , y , z iAyx , y , z j Azx , y , z k . Dapat dikatakan vektor A ini mendefinisikan sebuah medan vektor dan serupa dengannya x , y , z mendefinisikan medan skalar.
Aturan limit, kontinuitas, dan turunan untuk fungsi vektor mengikuti aturan yang sama seperti skalar.
(1) Fungsi vektor yang dinyatakan dengan A u dikatakan kontinu pada u0 jika untuk setiap bilangan positif dapat ditemukan suatu bilangan positif sehingga
∣A u A u0∣ dengan ∣uu0∣ . Pernyataan ini ekuivalen dengan lim
u u0
Au = A u0 .
(2) Turunan dari A u didefinisikan d A du = lim
u 0
A u u A u
u , dengan syarat limitnya ada. Pada kasus A u =Axu i Ayu j Azu k dapat diperoleh
d A du =dAx
du idAy
du j dAz
du k . (26)
Turunan yang lebih tinggi seperti d2A /du 2 didefinisikan dengan cara yang serupa.
(3) Jika A x, y , z = Axx , y , z iAyx , y , z j Azx , y , z k , maka
d A=∂ A
∂ x dx ∂ A
∂ y dy∂ A
∂ z dz . (27)
adalah diferensial total dari A .
(4) Turunan dari perkalian vektor dengan skalar atau vektor dengan vektor mengikuti aturan yang sama seperti pada fungsi skalar. Namun perlu diingat ketika kita melibatkan perkalian silang maka urutan penulisan penting untuk diperhatikan karena terkait dengan arah dari hasil perkalian tersebut.
Beberapa contoh diantaranya:
d
du A=d A du d
du A , ∂
∂ y A⋅B= A⋅∂ B
∂ y∂ A
∂ y⋅B , (urutan tidak masalah)
∂
∂ z A×B = A×∂ B
∂ z∂ A
∂z ×B (pertahankan urutan A dan B).
(28)
(29)
(30)
Gradien, Divergensi, dan Curl
Misalkan sebuah operator vektor ∇ dalam koordinat kartesian didefinisikan
∇=i ∂
∂ x j ∂
∂ y k ∂
∂ z . (31)
Jika x , y , z dan A x, y , z memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada daerah tertentu, maka dapat didefinisikan beberapa besaran berikut:
gradien: grad = ∇ =∂
∂ x i∂
∂ y j ∂
∂z k (32)
divergensi: div A= ∇⋅A=∂ Ax
∂ x ∂ Ay
∂ y ∂ Az
∂z
curl: curl A= ∇× A=
∣
∂ xA∂ix ∂ yA∂j y ∂ zA∂kz∣
(33)
(34)
Jika turunan parsial dari fungsi-fungsi A , B, U, dan V diasumsikan ada, maka 1. ∇ U V = ∇ U ∇ V atau grad U V =grad U grad V
2. ∇⋅ A B= ∇⋅A ∇⋅B atau div AB=div Adiv B 3. ∇× AB = ∇ × A ∇ ×B atau curl AB =curl Adiv B 4. ∇⋅U A = ∇ U ⋅AU ∇⋅A
5. ∇×U A= ∇ U × AU ∇× A 6. ∇⋅ A ×B=B⋅ ∇ × A A⋅ ∇ ×B
7. ∇× A×B = B⋅ ∇ A B ∇⋅A A⋅∇ B A ∇⋅B
8. ∇ A⋅B = B⋅ ∇ A A⋅∇ BB× ∇ × A A× ∇ ×B
9. ∇⋅ ∇ U =∇2U =∂2U
∂ x2∂2U
∂ y2∂2U
∂z2 disebut Laplacian dari U
dan ∇2= ∂2
∂ x2 ∂2
∂ y2 ∂2
∂ z2 disebut dengan operator Laplacian.
10. ∇× ∇ U =0 . Curl dari gradien U adalah nol.
11. ∇⋅ ∇ × A =0 . Divergensi dari curl A adalah nol.
12. ∇× ∇× A = ∇ ∇⋅A ∇2A
Gradien, divergensi, dan curl bukanlah sekedar operasi matematik belaka. Ketiganya dapat ditafsirkan secara geometri.
Tafsiran Gradien. Seperti vektor lainnya, gradien memiliki besar dan arah. Untuk menentukan arti geometrinya, kita dapat memisalkan ada sebuah fungsi tiga variabel, katakanlah temperatur dalam ruang, T x , y , z , yang merupakan sebuah skalar.
Seberapa cepat perubahan temperatur tersebut dinyatakan dalam bentuk diferensial total
dT =
∂ T∂ x
dx
∂ T∂ y
dy
∂ T∂ z
dz. (35)Dalam bentuk perkalian titik, pernyataan di atas setara dengan dT =
∂ T∂ x i∂T∂ y j ∂ T∂z k
⋅dx idy j dz k= ∇ T ⋅d r ,
(36)
atau
dT = ∇ T⋅d r=∣∇ T∣∣d r∣cos , (37)
yang berarti
dT
dr =∣ ∇ T∣cos = ∇ T⋅u , (38)
dengan adalah sudut antara ∇ T dan d r , kemudian u adalah suatu vektor satuan yang menyatakan arah gerak kita. Dengan demikian, laju perubahan temperatur ( dT /dr ) akan bernilai paling besar ketika geraknya searah dengan ∇ T (yaitu saat =0 ).
Bayangkan kita berada pada sebuah lereng bukit. Lihat ke sekeliling dan temukan bagian yang paling curam. Itu adalah arah dari gradien. Sekarang ukur kemiringan pada arah tersebut. Itu adalah besar dari gradien. Lalu bagaimana jika gradiennya nol? Jika
∇ T =0 pada x , y , z , maka dT =0 untuk perpindahan yang kecil di sekitar titik
x , y , z . Keadaan ini akan berarti sebuah titik stasioner dari fungsi T x , y , z . Titik tersebut dapat berupa nilai maksimum (puncak), minimum (lembah), daerah pelana, atau sebuah permukaan berbentuk seperti “bahu”.
Tafsiran Divergensi. Sesuai namanya, divergensi ∇⋅A menyatakan ukuran penyebaran vektor A . Perhatikan gambar 10 sebagai contoh pada kasus dua dimensi.
Fungsi pada gambar 10(a) memiliki divergensi yang sangat besar dan positif (jika panahnya mengarah ke dalam berarti nilainya negatif), fungsi pada gambar 10(b) memiliki divergensi nol, dan fungsi pada gambar 10(c) memiliki divergensi positif yang nilainya agak kecil.
(a) (b)
(c) Gambar 10
Tafsiran Curl. Pemilihan nama curl juga disesuaikan dengan arti geometrinya yang menyatakan ukuran rotasi pada sebuah titik. Oleh karena itu seluruh fungsi pada gambar 10 memiliki curl yang bernilai nol (bisa kita cek dengan mengetahui fungsinya) dan fungsi pada gambar 11 memiliki curl yang sangat besar berarah pada sumbu-z.
Gambar 11 x
y z
Koordinat lengkung
Misalkan persamaan transformasi
x = f u1, u2, u3, y = g u1, u2, u3, z =h u1, u2, u3 (39) (dengan asumsi f, g, h kontinu, memiliki turunan parsial kontinu, dan memiliki sebuah nilai invers tunggal) membentuk korespondensi satu-satu antara titik-titik dalam sistem koordinat xyz dan u1u2u3. Dalam notasi vektor, persamaan (39) dapat dituliskan
r =x i y j z k= f u1, u2, u3i g u1, u2, u3 j h u1, u2, u3 k . (40) Sebuah titik P (gambar 12) dengan demikian dapat didefinisikan tidak hanya oleh koordinat x , y , z tetapi juga oleh koordinat u1, u2, u3 . Kita sebut u1, u2, u3 sebagai koordinat lengkung dari suatu titik.
Gambar 12
Dari persamaan (40), diperoleh
dr =∂r
∂ u1
du1∂ r
∂ u2
du2 ∂ r
∂ u3
du3. (41)
Dalam sistem koordinat lengkung ini, bentuk diferensial dari panjang busur suatu kurva dapat dituliskan
ds2= g11du12 g22du22 g33du32, (42) dengan
y z
P
r x
e
1e
2e
3u
2u
3u1
g11=∂ r
∂ x⋅∂ r
∂ x , g22=∂r
∂ y⋅∂ r
∂ y , g22=∂ r
∂ z⋅∂ r
∂ z . 43)
Vektor ∂r /∂ u1 bersinggungan dengan koordinat u1 pada P. Jika e1 merupakan sebuah vektor satuan pada arah tersebut, maka ∂r /∂ u1=h1e1 dengan h1=∣∂r /∂ u1∣ . Serupa dengannya, ∂r /∂ u2=h2e2 dan ∂r /∂ u3=h3e3 dengan h2=∣∂ r/ ∂ u2∣ dan
h3=∣∂ r/∂ u3∣ . Dengan demikian,
dr =h1du1e1h2du2e2h3du3e3, (44) Besaran h1, h2, h3 sering disebut sebagai faktor skala.
Jika e1,e2,e3 saling tegak lurus pada titik P, koordinatnya dikatakan ortogonal. Oleh karena itu, kita temukan kuadrat panjang busur adalah
ds2=d r⋅d r=h1 2du1
2h22du2
2h32du3
2, (45)
yang bersesuaian dengan panjang diagonal ruang balok pada gambar 12, dan elemen volumnya (d ) dapat ditulis
d =h1h2h3du1du2du3. (46)
Misalkan adalah sebuah fungsi skalar dan A= A1e1 A2e2 A3e3 adalah fungsi dalam koordinat lengkung ortogonal u1, u2, u3, maka gradien, divergensi, curl, dan laplacian-nya adalah:
1. ∇ =grad = 1 h1
∂
∂u1e11 h2
∂
∂ u2 e21 h3
∂
∂u3e3 2. ∇⋅ A=div A= 1
h1h2h3
[
∂ u∂1 A1h2h3 ∂∂u2h1A2h3 ∂∂u3h1h2A3]
3. ∇× A=curl A= 1
h1h2h3
∣
h∂ uA1∂e111 h∂ uA2∂e222 h∂uA3∂e333∣
4. ∇2=laplacian = 1
h1h2h3
[
∂u∂1
h2hh13∂ u∂1
∂∂ u2
hh1h23∂ u∂ 2
∂∂ u3
hh1h32∂ u∂3 ]
X
Y Z
r
ρ x
y φ
O z
P(ρ,θ, z)
X
Y Z
r
x ρ
y Oφ
z
θ
P(r,θ, φ)
iˆ
jˆ kˆ
Keempat bentuk tersebut* akan tereduksi menjadi ekspresi biasa dalam koordinat kartesian jika u1, u2,u3 digantikan oleh x, y , z; lalu e1,e2,e3 diganti dengan i , j , k ; dan
h1=h2=h3=1 .
Bentuk khusus koordinat lengkung ortogonal lain diantaranya adalah koordinat silinder dan koordinat bola.
Gambar 13 Gambar 14
Koordinat Silinder , , z . Perhatikan gambar 13.
Persamaan transformasi: x =cos , y= sin , z =z, dengan ≥0 , 0≤2 ,∞z ∞ .
Faktor skala: h1=1 , h2= , h3=1 .
Elemen panjang busur: ds2=d 22d 2dz2. Elemen volum: d = d d dz
Perhatikan bahwa dari sini dapat juga diperoleh hasil lain untuk koordinat polar dalam bidang dengan mengabaikan ketergantungan pada z. Sebagai contoh dalam kasus koordinat polar tersebut, ds2=d 22d 2; sedangkan elemen volum digantikan oleh elemen luas, da= d d .
* Lihat buku Mathematical Methods in The Physical Sciences (Mary L. Boas) untuk penurunan lengkapnya.
Koordinat Bola , , . Perhatikan gambar 14.
Persamaan transformasi: x =rsin cos , y=r sin sin , z =r cos , dengan r ≥0 , 0≤≤, 0≤2 .
Faktor skala: h1=1 , h2=r , h3=r sin .
Elemen panjang busur: ds2=dr2r2d 2r2sin2 d 2. Elemen volum: d =r2sin dr d d .
Integral Garis, Permukaan, dan Volum
Dalam bahasan listrik magnet selanjutnya akan ditemui berbagai macam bentuk integral, diantaranya yang paling penting adalah integral garis (atau lintasan), integral permukaan (atau fluks), dan integral volum.
Integral Garis. Sebuah integral garis I adalah suatu pernyataan dalam bentuk
I =
∫
a b
v⋅d r , (47)
dengan v adalah sebuah fungsi vektor, d r adalah elemen vektor perpindahan (pers. 22), dan daerah integrasi berada pada lintasan antara titik a hingga titik b . Jika lintasan integrasi membentuk loop tertutup, maka tanda integral diberi tambahan lingkaran:
∮
v⋅d r .Integral Permukaan. Sebuah integral permukaan I didefinisikan I =
∫
S v⋅d a ,
(48) dengan v adalah sebuah fungsi vektor dan d a adalah elemen vektor luas yang arahnya tegak lurus permukaan yang dimaksud. Jika permukaannya tertutup (menjadi seperti ruang), maka seperti sebelumnya tanda integral diberi tambahan lingkaran:
∮
v⋅d a .Untuk integral permukaan biasa (pers. 48) , dapat ditemui dua arah yang tegak lurus
permukaan sehingga pemilihan arah permukaan akan cukup membingungkan. Namun biasanya kita bebas memilih salah satu dari kedua arah tersebut. Untuk kasus integral permukaan tertutup, arah yang keluar (menjauh) dari permukaan disepakati sebagai arah elemen luas, da.
Integral Volum. Sebuah integral volum I dinyatakan I =
∫
V T d , (49)
dengan T adalah sebuah fungsi skalar dan d adalah elemen kecil dari volum. Untuk koordinat kartesian,
d =dx dy dz.
Sebagai contoh, jika T adalah kerapatan suatu materi (yang nilainya dapat bervariasi dari titik ke titik), maka integral volum akan memberikan massa total.
Kadang akan ditemui juga bentuk integral volum dari suatu fungsi vektor:
∫
v d =∫
vxivyj vzkd =i∫
vxd j∫
vyd k∫
vzd .Teorema fundamental
Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan pada teorema tertentu. Ada tiga teorema fundamental berkaitan dengan operasi diferensial dan integral yang telah dijelaskan sebelumnya.
Teorema Gradien:
∫
a b
∇ T ⋅d r=T b T a
Teorema Curl (Stokes):
∫
S
∇ ×v ⋅d a=
∮
v⋅d rTeorema Divergensi (Gauss):
∫
V
∇⋅v d =
∮
S
v⋅d a
(50)
(51)
(52) Dari pers. 50 s.d. 52 dapat dilihat bahwa teorema gradien melibatkan operasi gradien dan integral garis; teorema curl melibatkan operasi curl, integral permukaan, dan integral garis;
dan teorema divergensi melibatkan operasi divergensi, integral volum, dan integral permukaan.
Teorema potensial (skalar dan vektor)
Teorema 1. Jika curl dari sebuah medan vektor F bernilai nol dimanapun, maka F dapat dituliskan sebagai gradien dari sebuah potensial skalar V :
∇× F =0 ⇔ F = ∇ V , (53)
atau setara dengan pernyataan berikut:
∫
a b
F⋅d r tidak tergantung lintasan (konservatif) untuk setiap titik-titik ujung yang
diberikan,
∮
F⋅d r=0 untuk sembarang loop tertutup.Teorema 2. Jika divergensi dari sebuah medan vektor F bernilai nol dimanapun, maka F dapat dinyatakan sebagai curl dari sebuah potensial vektor A :
∇⋅ F =0 ⇔ F = ∇ × A , (54)
yang juga setara dengan:
∫
F⋅d a tidak tergantung permukaan untuk setiap batas tertutup yang diberikan,
∮
F⋅d a=0 untuk sembarang permukaan tertutup.KUMPULAN SOAL-JAWAB
SOAL 1
Misalkan suatu vektor C seperti pada gambar di samping. Turunkan aturan cosinus dengan memanfaatkan perkalian titik dari vektor C pada dirinya sendiri dengan menyesuaikan variabel pada A dan B ! A
B
C
Jawab:
Dari gambar dapat kita tentukan: C = AB, kemudian
C⋅ C = AB⋅ AB = A⋅A A⋅BB⋅AB⋅B , atau
C2=A2B22 AB cos (aturan cosinus).
SOAL 2
Tentukan sudut antara dua buah diagonal ruang suatu kubus!
Jawab:
Berdasarkan gambar di samping, A=1 i1 j 1 k ; A=
3B=1 i1 j 1 k ; B=
3A⋅ B=111=1= A B cos=
3
3cos ⇔cos =1 3 ,
sehingga =arc cos
13
≈70,5288o.SOAL 3
Dengan menggunakan perkalian silang, tentukanlah komponen vektor satuan yang tegak lurus bidang seperti ada gambar!
Jawab:
Perkalian silang antara dua vektor sembarang yang menjadi sisi-sisi bidang pada gambar akan menghasilkan vektor
yang tegak lurus bidang tersebut. Sebagai contoh, ambil bagian alas dan sisi sebelah kiri masing-masing menjadi vektor A dan B :
x
y z
1
1
θ 1 A
r
B r
x
y z
1 3
2 nˆ
A=1 i2 j 0 k ; B=1 i0 j 3 k
A× B=
∣
1 2 01 0 3i j k∣
=6i3 j 2 k .Vektor A×B ini arahnya sudah sesuai dengan n, tetapi besarnya belum cocok (ingat, vektor satuan harus bernilai 1 satuan). Untuk menghasilkan vektor satuan n , bagi saja
A× B dengan besarnya: ∣ A×B∣=
3694=7 . Dengan demikian,n= A× B
∣ A×B∣=6 7i 3
j2 7 k . SOAL 4
Carilah vektor posisi relatif r dari titik sumber (2, 8, 7) ke titik medan (4, 6, 8). Tentukan besarnya dan bentuk vektor satuan r !
Jawab:
r=rr '=4 i6 j 8 k2 i8 j7 k=2 i2 j1 k.
∣r∣=
441=3 , sehingga r=2 3 i 23 j 1 3 k . SOAL 5
Tentukan gradien fungsi-fungsi berikut:
(a) f x , y , z =x2 y3z4; (b) f x , y , z =x2 y3z4; (c) f x , y , z =exsin y lnz . Jawab:
(a) ∇ f =2 x i3 y2j 4 z3k
(b) ∇ f =2 x y3z4i3 x2 y2z4j 4 x2 y3z4 k
(c) ∇ f =exsin y ln z iexcos y ln z j exsin y
z1
kSOAL 6
Ketinggian dari suatu bukit (dalam satuan meter) diberikan oleh
h x, y =10 2 x y 3 x24 y218 x 28 y12 ,
dengan y adalah jarak (dalam km) sebelah utara, x adalah jarak ke timur kota Bandung.
(a) Di manakah puncak bukit tersebut berada?
(b) Berapa ketinggian bukit tersebut?
(c) Seberapa curam kemiringan (dalam satuan m/km) pada sebuah titik 1 km utara dan 1 km timur kota Bandung? Pada arah manakah kemiringan tercuram di titik tersebut?
Jawab:
(a) Tentukan gradien fungsi terlebih dahulu:
∇ h=10[ 2 y6 x 18 i2 x 8 y28 j ] .
Untuk menentukan puncak bukit, gunakan syarat ∇ h=0 (puncak bukit merupakan salah satu jenis titik stasioner):
∇ h=10[ 2 y6 x 18 i2 x 8 y28 j ]=0 , menghasilkan sistem persamaan linear dua peubah:
2 y 6 x 18=0
2 x 8 y 28=0
}
. Solusi dari sistem persamaan ini adalah x , y =2 ,3. Dengan demikian puncak bukit tersebut berada pada 2 km sebelah barat dan 3 km utara Bandung.(b) Substitusikan x , y =2 ,3 pada h x, y : h 2, 3=10 121236368412=720 m . (c) Substitusikan x , y =1 , 1 pada ∇ h .
∇ h 1 ,1=10 [2618i 2828 j ]=220i j .
∣ ∇ h∣=220
2≈311 m/km , arahnya ke barat laut (135 derajat dari sumbu-x positif).x
y z
(1 , 1 , 1 ) O
x
y z
(1 , 1 , 1 )
O
z = x2 = y2
SOAL 7
Misalkan r adalah sebuah vektor dari suatu titik tertentu x0, y0, z0 ke titik x , y ,z dan r adalah panjangnya.
(a) Tunjukkan bahwa ∇r2=2 r
(b) Cari rumus umum untuk ∇ rn (dalam bentuk r , yaitu vektor satuan yang searah dengan r )
Jawab:
r=x x0 i y y0 jz z0 k r=
x x02 y y02z z02r2=x x02 y y02z z02
(a) ∇ r2= ∂
∂ x[ x x02 y y02z z02]i ∂
∂ y[ x x02 y y02zz02] j
∂∂ z[ x x02 y y02z z02] k
=2 x x0i 2 y y0 j 2z z0 k=2 r (terbukti)
(b) ∂
∂ xrn=nrn1∂r
∂ x=nrn1
12 1r 2rx
=nrn 1rx , (rx=x x0)∂
∂ yrn=nrn1ry , ∂
∂zrn=nrn1rz; sehingga ∇ rn=nrn1r . SOAL 8
Ujilah kebenaran teorema gradien, menggunakan fungsi T =x24 x y2 y z3 dengan titik-titik a=0, 0 ,0, b=1 , 1, 1 dan dua lintasan berikut:
(a) (b)
(x0, y0, z0)
(x, y, z)
Jawab:
Teorema gradien adalah:
∫
a b
∇ T ⋅d r=T b T a . Pada soal telah disebutkan T =x24 x y2 y z3, sehingga
T a =0 ; T b=142=7 ; dan T bT a =7 . (a) Lintasan ini dapat dibagi menjadi 3 bagian,
- bagian 1, x:0 1, y =z =dy=dz =0.
∫
∇ T ⋅d r1=∫
0 1
2 x dx=[x2]01=1 .
- bagian 2, y:0 1, x =1, z =0, dx =dz =0.
∫
∇ T ⋅d r2=∫
0 1
4 dy=[4 y ]01=4 .
- bagian 3, z: 0 1, x = y=1, dx =dy=0.
∫
∇ T ⋅d r3=∫
0 1
6z2dz =[2z3]10=2 .
∫
a b
∇ T ⋅d r=
∫
∇ T ⋅d r1∫
∇ T ⋅d r2∫
∇ T ⋅d r3=142=7 .(b) ∇ T ⋅d r=2 x 4 ydx 4 x 2z3dy 6 y z2dz . Karena x :0 1; y =x , z =x2, dy =dx , dz =2 x dx , maka
∇ T ⋅d r=2 x 4 x dx 4 x 2 x6dx6 x x4 dx=10 x 14 x6 dx
∫
0 1
∇ T ⋅d r=
∫
0 1
10 x 14 x6 dx=[5 x22 x7]01=52=7 .
SOAL 9
Uji kebenaran teorema divergensi untuk fungsi
v=x y i2 y z j3 x z k . Gunakan volum pada gambar kubus di samping dengan panjang sisi 2 satuan!
Jawab:
Teorema divergensi adalah:
∫
V
∇⋅vd =
∮
S v⋅d a .
Cari dulu nilai ruas kiri: sesuai dengan soal, dapat diperoleh ∇⋅v= y2z 3 x .
x
y z
2 2
2
∫
∇⋅v d =∫
0 2
∫
0 2
∫
0 2
y 2z 3 x dx dy dz =48 .
Cek nilai ruas kanan dengan menggunakan penomoran permukaan berikut ini:
(I) da1=dy dz i , x =2 ;
∫
v⋅d a1=∫
0 2
∫
0 2
2 y dy dz =2[ y2]02=8 . (II) da2=dy dz i , x =0 ; v⋅d a2=0 ;
∫
v⋅d a2=0 .(III) d a3=dx dz j , y=2 ;
∫
v⋅d a3=∫
0 2
∫
0 2
4z dx dz =16 . (IV) da4=dx dz j , y=0 ; v⋅d a4=0 ;
∫
v⋅d a4=0.(V) da5=dx dy k , z=2 ;
∫
v⋅d a5=∫
0 2
∫
0 2
6 x dx dy =24 . (VI) da6=dx dy k , z =0 ; v⋅d a6=0 ;
∫
v⋅d a6=0 .Jumlahkan seluruh integrasi (I) s.d. (VI), ternyata hasilnya adalah
∫
v⋅d a=81624=48 (cocok dengan ruas kiri).SOAL 10
Ujilah kembali kebenaran teorema divergensi untuk fungsi
v=r2cosr r2cos r2cos sin .
Gunakan bola berjari-jari R pada oktan pertama sebagai volum yang ditinjau!
x
y z
(I)
(II)
(III) (IV )
(V )
(V I)
Jawab:
Sesuai transformasi pada koordinat lengkung, divergensi untuk koordinat bola dapat dituliskan
∇⋅v= 1 r2
∂
∂rr2vr 1 rsin
∂
∂vsin 1 rsin
∂v
∂ , sehingga untuk soal ini diperoleh
∇⋅v= 1 r2
∂
∂r r2r2cos 1 rsin
∂
∂r2cos sin 1 rsin
∂
∂r2cos sin
=1
r24 r3cos 1
rsin r2cos cos 1
rsin r2cos cos
=rcos
sin [4 sin coscos ]=4 r cos .
Kemudian hitung ruas kiri teorema divergensi dengan elemen volum dalam koordinat bola, d =r2sin dr d d :
∫
∇⋅v d =∫∫∫
4r cos r2sin dr d d =4∫
0 R
r2dr
∫
0
/ 2
cos sin d
∫
0
/ 2
d
=R4
12
2
= R4 4 . Sekarang cek ruas kanan, perrmukaan bola yang dimaksud terdiri dari 4 bagian:(1) bagian lengkung, da1=R2sin d d r ; r =R ; v⋅d a1=R2cos R2sin d d
∫
v⋅d a1=R4∫
0
/2
cos sin d
∫
0
/2
d =R4
12
2
= R4 4 .(2) kiri: da2=r dr d ; =0 ; v⋅d a2=r2cos sin r dr d =0 ⇒
∫
v⋅d a2=0.(3) belakang: d a3=r dr d ; =
2 ; v⋅d a3=r2cos sin r dr d =r3cos dr d
∫
v⋅d a3=∫
0 R
r3dr
∫
0
/ 2
cos d =
14R4
1=14R4.x
y z
R
R
R
(4) alas: d a4=r sin dr d ; =
2 ; v⋅d a=r2cosr dr d
∫
v⋅d a4=∫
0 R
r3dr
∫
0
/ 2
cosd =1 4R4.
Totalnya adalah:
∫
v⋅d a = R4 4014R414 R4= R4 4 (cocok).SOAL 11
Uji kebenaran teorema Stokes (curl) untuk fungsi v= y k pada permukaan segitiga seperti gambar di samping!
Jawab:
Teorema Stokes adalah:
∫
S
∇ ×v ⋅d a=
∮
v⋅d rCek ruas kanan, v⋅d r = y dz.
Ambil jalur yang berlawanan jarum jam pada garis-garis batas permukaan tertutup segitiga.
Ada 3 bagian garis pada segitiga tersebut:
(1) kiri: z =ax; dz =dx ; y=0; sehingga
∫
v⋅d r1=0.(2) alas: dz =0, sehingga
∫
v⋅d r2=0 .(3) belakang (kanan): z =a1
2 y; dz =1
2 dy; y : 2a 0 .
∫
v⋅d r3=∫
2 a 0
y 1
2 dy =1 2
[
y22]
2 a0
=4 a2 4 =a2
Totalnya dalam loop tertutup adalah
∮
v⋅d r =00a2=a2. Sekarang cek ruas kiri: ∇×v=i .∫
∇ ×v ⋅d a= proyeksi permukaan segitiga pada bidang xy=12a 2a =a2 (cocok).
x
y z
(0 , 0 , a)
(a, 0 , 0 )
(0 , 2 a, 0 )
SOAL 12
Misalkan F1=x2k dan F2=x i y j z k . Hitung divergensi juga curl dari F1 dan F2. Manakah yang dapat dituliskan sebaga gradien dari skalar? Cari potensial skalar yang cocok dengannya! Dan manakah yang dapat dinyatakan sebagai curl dari vektor? Cari potensial vektor yang cocok dengannya!
Jawab:
∇⋅ F1= ∂
∂ x0 ∂
∂ y0 ∂
∂z x2=0; ∇⋅ F2=∂ x
∂ x∂ y
∂ y∂z
∂z=111=3 .
∇× F1=
∣
∂ x∂0i ∂ y∂0j ∂ zx∂k2∣
= j ∂∂ x x2=2 x j ; ∇ × F2=∣
∂ x∂xi ∂ y∂jy ∂ z∂zk∣
=0 .➔ ∇× F2=0 , maka F2 adalah gradien dari suatu skalar.
Potensial skalar yang memenuhi adalah V =1
2 x2 y2z2 sehingga F2= ∇V.
➔ ∇⋅ F1=0, maka F1 adalah curl dari suatu vektor.
Potensial vektor yang berkaitan dengan F1 adalah A dengan syarat F1= ∇× A,
menyebabkan
∂ A∂zy∂ A∂ yz
=
∂ A∂zx∂ A∂ xz
=0 ; ∂ A∂ xy∂ A∂ yx=x2 ⇒ Ay=x33 .Dengan ketentuan ini dapat dipilih Ax= Az=0 sehingga A=x2
3 j (tapi tidak unik).
Fungsi Delta Dirac (Pengayaan)
Misalkan ada suatu fungsi vektor v=1
r2r dalam koordinat bola. Pada setiap titik, v mengarah radial keluar.
Jika seseorang mencari sebuah fungsi dengan divergensi positif yang sangat besar, maka fungsi itulah contohnya. Akan tetapi, jika divergensinya dihitung dengan cara biasa (koordinat bola), ternyata hasilnya tepat nol !
∇⋅v= 1 r2
∂
∂r
r2r12
=r12 ∂r∂ 1=0 .Lebih aneh lagi jika kita coba uji kebenaran teorema divergensi dengan mengecek ruas kanan teorema, yaitu dengan mengintegrasikan fungsi sepanjang permukaan bola berjari- jari R yang berpusat pada titik asal koordinat:
∮
v⋅d a =∫
R12r
⋅R2sin d d r =∫
0
sin d
∫
0 2
d =4 ,
padahal ruas kiri teorema divergensi,
∫
∇⋅v d =0 .Mana yang benar? Ruas kiri atau ruas kanan? Apakah teorema divergensi telah salah?
Permasalahan rupanya disebabkan oleh titik r =0 di mana v nilainya meledak secara liar (pembagian dengan nol akan menghasilkan nilai tak hingga). Divergensi v ( ∇⋅v ) sebenarnya memang bernilai nol, kecuali di r =0. Oleh karena itu, perlu didefinisikan fungsi baru yang dapat mengakomodasi sifat divergensi ini. Patokan yang digunakan untuk adalah nilai teorema divergensi untuk kasus ini haruslah 4 (mengacu pada ruas kanan).
Fungsi spesial ini dikenal dengan nama fungsi delta Dirac.
Fungsi delta Dirac 1D
Gambar 15. Fungsi delta Dirac, luas daerah di bawah kurva bernilai 1 satuan.
x a
a x
luasnya 1 satuan
Definisi:
x a =
{
∞ ,0, jika x ≠ajika x =a}
dengan ∞∫
∞ x a dx =1 . (55) Sifat-sifat:f x x a = f a x a dan
∫
∞
∞
f x x a dx = f a . (56)
Fungsi delta Dirac 3D
Definisi yang diberikan pada fungsi delta Dirac 1D dapat diperluas menjadi 3D:
3r= x y z , (57)
dan integral volumnya bernilai 1:
∫
3r d =∫
∞
∞
∫
∞
∞
∫
∞
∞
x y z dx dy dz =1 . (58) Selain itu,
f r 3r r0= f r0 . (59) Dengan fungsi delta Dirac ini, masalah yang dikemukakan pada bagian awal dapat terpecahkan secara mudah, yaitu
∇⋅
rr2
=4 3r ,atau secara umum
∇⋅
rr2
=4 3r . (60)SOAL 13
(a) Tuliskan pernyataan yang menyatakan kerapatan massa dari sebuah partikel bermassa m yang berada pada titik r0. Lakukan hal yang sama untuk rapat muatan dari suatu
muatan titik pada r0!
(b) Berapa rapat muatan dari sebuah dipol listrik, yang terdiri dari muatan titik -q pada titik asal koordnat dan muatan titik +q pada r0?
(c) Berapakah rapat muatan yang seragam dari kulit bola tipis berjari-jari R dan muatan totalnya Q?
Jawab:
(a) Perhatikan pers. (58), satu per volum merupakan fungsi delta Dirac, sehingga:
mr=m 3r r0 ; qr =q 3rr0 . (b) r =q 3r r0q 3r .
(c) Misalkan r = A r R . Untuk mendapatkan konstanta A, maka dibutuhkan
syarat Q=
∫
r d =∫
A r R 4 2dr = A4 R2, sehingga A= Q 4 R2 . Dengan demikian, r = Q4 R2 r R .
***
