RUANG VEKTOR EUCLIDEAN(2)
M U H 1 G 3 / M AT R I K S D A N R U A N G V E KT O R
Sub Pokok Bahasan
• Notasi
• Operasi Vektor (Review)
• Perkalian titik (Lanjutan)
• Perkalian silang
Beberapa Aplikasi
• Proses Grafika Komputer
• Kuantisasi pada Proses Kompresi
• Least Square pada Optimisasi
• dan lain-lain.
Vektor di Bidang dan Ruang
Jika diketahui serta sudut yang dibentuk dan adalah maka A. Penjumlahan antar Vektor
B. Perkalian Vektor
i. Vektor dengan scalar ii. Vektor dengan vektor
a. Hasil Kali Titik (Dot Product)
b. Hasil Kali Silang (Cross Product)
Review Operasi Vektor
Orthogonality
Dua buah vektor tidak nol dan dikatakan orthogonal(tegak lurus) jika .
Contoh vektor yang orthogonal:
⃗ �
⃗ � ⃗ � ⃗ �
⃗ �
− � ⃗
�
�
Orthogonality(2)
Misal adalah himpunan tak nol di (ataupun ) dimana setiap pasang vektor anggotanya saling orthogonal, maka disebut HIMPUNAN orthogonal.
Jika adalah himpunan vektor dimana anggota himpunan merupakan anggota himpunan yang telah dinormalisasi sebelumnya. Maka himpunan disebut himpunan othonormal.
Orthogonality(3)
Contoh:
1. Tunjukkan apakah dan adalah vektor yang saling orthogonal di 2. Tunjukan bahwa himpunan adalah vektor orthogonal?
Jawab:
3. dan adalah vektor orthogonal karena
4. Untuk menunjukkan adalah himpunan orthogonal maka setiap pasang vektor anggota di haruslah orthogonal.
adalah himpunan orthogonal karena
Projeksi Ortogonal
Misal diketahui dua buah vektor dan dengan titik awal yang sama yakni .
Jika adalah vektor dengan titik awal dan memiliki titik akhir sejajar dengan titik akhir , sedangkan , maka
�
�
Projeksi Orthogonal(2)
Perhatikan
dari gambar diatas terlihat bahwa dapat didekomposisi menjadi dan . Dimana adalah vektor yang searah dengan sedangkan adalah vektor yang tegak lurus terhadap
Bagaimana cara menentukan dan ?
�
Projeksi Orthogonal(3)
adalah vektor yang searah dengan maka
Ingat bahwa:
Sehingga didapat
adalah vektor yang tegak lurus
terhadap dimana , maka
Karena , didapat
adalah vektor projeksi orthogonal dari di (vektor komponen di )
Sedangkan
adalah vektor komponen yang orthogonal terhadap
Projeksi Orthogonal(4)
Contoh:
Tentukan proyeksi orthogonal vector di vector Jawab:
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_1
b. Hasilkali silang (Cross Product)
Hasilkali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang Hasil perkalian ini menghasilkan sebuah vector di yang tegak lurus terhadap kedua vector lainnya.
Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_2
Contoh:
Tentukan dimana Jawab:
+(3(-2)-1(1)) +(1(0)-3(2))
Hubungan Cross Product dan Dot Product
Beberapa sifat Cross Product:
Interpretasi Geometri dari Cross Product
Dari sifat ke-3 diperoleh
Misal adalah sudut yang dibentuk antara dan , maka
Jadi =
Area Parallelogram
Perhatikan Ilustrasi berikut:
Luas Jajar Genjang=
Luas Segitiga yang dibentuk oleh kedua vector tersebut adalah
�
‖ � ´ ‖ sin �
‖ � ´ ‖ � ´
� ´
Area Parallelogram(2)
Diketahui titik-titik diruang adalah
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC!
Jawab:
Orientasi pada titik A 1. -=(3,2,2)
2. -=(1,4,5) 2
Luas segitiga yang berimpit di adalah Luas
Area Parallelogram(3)
Orientasi pada titik B 1. =(-3,-2,-2)
2. -=(-2,2,3) -2
Luas segitiga yang berimpit di adalah Luas
Skalar Triple Product
Diketahui dan adalah vektor di , maka Disebut skalar triple product dari dan
Skalar triple dari dan dapat dihitung menggunakan persamaan
Skalar Triple Product(2)
Dapat dibuktikan dengan
LATIHAN
1. Tentukan sudut yang terbentuk oleh pasangan vector berikut:
a) dan b) dan
2. Tentukan proyeksi orthogonal vector terhadap vector dan tentukan panjang vector proyeksi tersebut:
a) dan b) dan
3. Tentukan 2 buah vector satuan di bidang yang tegak lurus terhadap
LATIHAN(2)
4. Tentukan vector yang tegak lurus terhadap vector dan
5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut dan
