MATERI DAN METODE KAJIAN

(1)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG

BANACH

Ariyanto*

ABSTRACT

The properties of compactness in Banach spaces in this paper is a generalization of a

compact understanding the system on the real numbers. New concepts formed is

relatively compact, sequentially compact, relatively sequentially compact, and totally

bounded.

These

paper

study

about

relationship

of

concepts.

Key words: Banach spaces, compact, compact sequential, totally bounded.

ABSTRAK

Sifat kekompakan di ruang Banach pada tulisan ini merupakan perumuman dari

pengertian kompak pada sistem bilangan real. Konsep-konsep baru yang terbentuk adalah

kompak relatif, kompak sekuensial, kompak sekuensial relatif, dan terbatas total. Tulisan

ini mengkaji keterkaitan konsep-konsep tersebut di atas.

(2)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

Ruang bernorma dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalam ruang bernorma tersebut konvergen, dan ruang bernorma lengkap dikenal dengan sebutan ruang Banach. Pemberian nama ruang bernorma lengkap sebagai ruang Banach disebabkan Banach yang menemukan struktur sifat-sifat ruang bernorma lengkap dalam meraih disertasi doktornya pada tahun 1920. Liput terbuka suatu himpunan E di dalam sistem bilangan real  dimaksudkan suatu koleksi himpunan terbuka

 

G_ yang merupakan himpunan bagian  sehingga



E



 

G

, dan suatu himpunan

E

di dalam sistem bilangan real  dikatakan kompak apabila

setiap liput terbuka untuk himpunan E memuat liput-bagian yang banyak anggotanya hingga. Tulisan ini akan mengitlak (memperumum) pengertian dan sifat-sifat kompak yang dimiliki sistem bilangan real  ke ruang Banach. Implikasi lanjutannya adalah pengertian, konsep dan sifat-sifat kompak pada sistem bilangan real  setelah di bawah ke ruang Banach berhasil memunculkan struktur sifat yang baru seperti : kompak relatif, kompak sekuensial, kompak sekuensial relatif, dan terbatas total. Pembahasan pada tulisan ini akan ditampilkan dalam bentuk teorema atau lemma.

MATERI DAN METODE KAJIAN

Tulisan pembahasan sifat kekompakkan pada ruang Banach ini menggunakan pendekatan studi literatur. Langkah permulaan dilakukan adalah menghimpun materi yang dibutuhkan yang diambil dari buku-buku analisis seperti yang tercantum dalam daftar pustaka. Kemudian , mempelajari materi penelitian dan mengolahnya dengan bantuan teori-teori dasar dalam matematika seperti logika, teori himpunan dan analisis dasar.

Teori Dasar

Pada bagian ini akan dibahas pengertian dasar yang akan digunakan sebagai landasan untuk pembahasan berikutnya. Beberapa konsep, sifat dan teorema pada tulisan ini dianggap sudah dipahami. Beberapa bukti teorema dalam bagian ini tidak diberikan karena bisa langsung merujuk ke daftar pustaka.

Ruang Metrik

Pada sub bagian ini akan dibicarakan pengertian dan sifat-sifat dari ruang metrik, sebagai berikut.

Definisi 1: Diberikan sebarang himpunan tak kosong

X

.

 

i

Fungsi

d

:

 

R

yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

   

 

1 , 0 ,

, 0 ,

d x y untuk setiap x y

d x y jika dan hanya jika x y

   

(3)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

   



2 d x y

,



d y x untuk setiap x y

 

,



dan

   



3 d x y

,



d x z

   

,



d z y untuk setiap x y z

,

, ,



, Disebut metrik atau jarak pada

X

.

 

ii

Himpunan

X

dilengkapi dengan suatu metrik

d

, dituliskan dengan





,

d



, disebut ruang

metrik. Jika metriknya telah diketahui maka ruang metrik cukup ditulis

X

saja. Anggota ruang metrik





,

d



disebut titik dan untuk setiap

x y

,



bilangan nonnegatif

d x y

 

,

disebut jarak

titik

x

dengan titik y.

Definisi 2 : Diketahui



X

,

d



ruang metrik, dan S  X .

1. Apabila

x

sebarang titik di dalam ruang metrik

X

dan



0, maka Himpunan



)

(

x

N

_



y



X

:

d

 

x

,

y







dinamakan persekitaran dengan titik pusat

x

dan jari-jari



.

2. Titik

x



X

disebut titik limit himpunan S, apabila setiap persekitaran dengan titik pusat

x

memuat paling sedikit satu titik yS dengan y x, atau untuk setiap



0 berlaku



)

(

x

N

_

S



 

x





. Koleksi semua titik limit himpunan S disebut derived set dan

dinotasikan dengan S. Himpunan

S



SS disebut closure(S). Titik anggota S yang bukan titik limit disebut titik terasing.

3. Titik

x

X disebut titik-dalam himpunan S, apabila terdapat persekitaran

N

_

(

x

)

sehingga

berlaku

N

_

(

x

)



S.

4. Himpunan S  X disebut himpunan terbuka apabila setiap anggotanya merupakan titik-dalam himpunan S.

5. Himpunan S  X dikatakan himpunan tertutup apabila Sc terbuka. Closure(S) didefinisikan juga sebagai irisan semua himpunan tertutup yang memuat S.

6. Himpunan S  X dikatakan terbatas apabila ada titik xX dan bilangan real M 0 sehingga untuk setiap yS berlaku

d

 

x

,

y

M.

7. Diameter himpunan S  X , dinotasikan sebagai

d

 

S

dan didefinisikan sebagai

 

S

d



sup



d

 

x

,

y

:

untuk

setiap

x

,

y



S



. S juga dikatakan terbatas apabila diameternya hingga.

Teorema 3 : Diketahui



X

,

d



(4)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

Bukti : Syarat perlu : S tertutup, jadi Sc terbuka. Andaikan bahwa S S, yaitu ada xS

dengan xS atau

x



S

c. Karena

S

c terbuka, maka

x

merupakan titik-dalam himpunan

S

c. Jadi, ada bilangan



0 sehingga berlaku

N

_

(

x

)

Sc atau

N

_

(

x

)



S 



. Akibatnya untuk

0





tersebut berlaku

N

_

(

x

)



S



 

x





. Jadi

x

bukan titik limit himpunan S, kontradiksi

dengan pengambilan

x



S

.

Syarat cukup : Diketahui

S





S

atau

S

c



 

S

 c. Diambil sebarang

x



S

c, maka

x



 

S

 c

atau

x

bukan merupakan titik limit himpunan S. Jadi ada bilangan



0 dengan sifat



)

(

x

N

_

S



 

x





.

Kemungkinan terjadi,

N

_

(

x

)



S 



atau

N

_

(

x

)



S



 

x

.

Karena xSc (atau xS) maka

N

_

(

x

)



S





. Jadi, apabila diambil xSc, maka ada

bilangan



0 sehingga

N

_

(

x

)



S 



atau

N

_

(

x

)

Sc. Dengan kata lain

x

merupakan

titik-dalam himpunan

S

c, sehingga terbukti

S

c himpunan terbuka atau himpunan S tertutup.



X

,

d



ruang metrik. Barisan

 

x

_n di dalam suatu ruang metrik

X

dikatakan konvergen jika ada

x



X

sehingga untuk setiap bilangan





0

terdapat bilangan asli

0

n

, sehingga untuk setiap bilangan asli

n



n

₀ berlaku

d x x



_n

,







. Dalam hal ini dikatakan

barisan {xn} konvergen ke xatau barisan

 

x

_n mempunyai limit

x

dan biasa dinotasikan dengan





lim

n

,

0

n

d x x



, atau limnxn x. Barisan yang tak konvergen dikatakan divergen.



X

,

d



ruang metrik. Suatu barisan

 

x

_n di dalam

X

, dan dibentuk

barisan bilangan asli



nk :kN



sehingga

n

1



n

2



n

3



...

, maka barisan

 

xnk dinamakan

barisan bagian dari

 

x

n .



X

,

d



ruang metrik. Barisan

 

x

_n di dalam

X

disebut barisan Cauchy

apabila untuk setiap bilangan



0 terdapat bilangan asli

n

₁ sehingga untuk setiap m,n



n

₁

berlaku d



xm,xn







.



X

,

d



Apabila

x

titik limit himpunan S, maka ada suatu barisan

 

x

_n di dalam S sehingga

 

n

(5)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011



X

,

d



ruang metrik.

Apabila setiap barisan

 

x

_n di dalam

X

konvergen, maka barisan tersebut merupakan barisan

Cauchy.

Ruang Bernorma

Pada sub bagian ini akan disajikan definisi ruang bernorma disertai sifat-sifatnya. Definisi 9 : Diketahui X ruang linear atas

C

atau R.

Fungsi

.

:

X



R

disebut norma apabila :

 

N

1

x



0

untuk setiap

x



X

, dan

x



0 

x





.

 

N

2



.

x





.

x

untuk setiap

x



X

dan skalar



.

 

N

3

x



y



x



y

untuk setiap x,yX.

Ruang linear X yang diperlengkapi norma dinamakan ruang bernorma dan dituliskan dengan

 

X

,

.

atau X saja.

Teorema 10: Setiap ruang bernorma X merupakan ruang metrik, dengan

d

(

x

,

y

)



x



y

untuk setiap x,yX .

Berdasarkan Teorema 10 di atas, setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik, maka semua konsep, pengertian, sifat-sifat, serta teorema-teorema yang berlaku pada ruang metrik berlaku pula pada ruang bernorma. Demikian pula karena ruang bernorma merupakan ruang metrik maka vektor disebut pula sebagai titik.

Teorema 11 : Ruang bernorma

X

_{dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalamnya}

konvergen, dan ruang bernorma lengkap disebut Ruang Banach.

Contoh :

C

 

a

,

b





f

:

 

a

,

b



R

,

f

kontinu





koleksi semua fungsi kontinu dari

 

a

,

b

ke

. Terhadap norma



0

f

sup



f

 

x

:

x



 

a

,

b



merupakan ruang Banach, akan tetapi

terhadap norma



1

f



b

 

a

f

x

dx

, bukan merupakan ruang Banach.

Definisi 12 : Apabila ruang bernorma

X

memuat suatu barisan

 

en yang memenuhi untuk

setiap xX ada dengan tunggal barisan skalar

 



_n sehingga berlaku



e

n



x





₁ ₁





₂ ₂



.





_n





untuk

n





, maka

 

e_n disebut basis untuk

X

.

Dengan kata lain, untuk setiap xX dapat disajikan sebagai representasi kombinasi linear dari

1

(6)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

himpunan tertutup di dalam

X

.

Lemma 15 :(Lemma Riesz’s) Diberikan

X

ruang bernorma berdimensi hingga dan

Y

,

Z

Selanjutnya, akan ditunjukkan

z



y





sebagai berikut. Untuk setiap

y



Y

diperoleh



Berdasarkan hasil di atas pula, dengan

c



0

Karena

y



Y

diambil sebarang, maka lemma Riesz’s terbukti.

PENGKAJIAN

(7)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

Pada sub bagian ini akan membahas pengertian dan sifat-sifat kekompakan yang dimiliki oleh ruang Banach. Langkah awal akan mendefinisikan dulu pengertian kompak, dan langkah berikutnya berturut-turut akan menyajikan sifat-sifat kompak di dalam ruang Banach.

Definisi 16 : Koleksi semua himpunan himpunan  di dalam ruang Banach

X

dikatakan liput (cover) himpunan S  X apabila setiap anggota himpunan S termuat paling sedikit dalam satu anggota koleksi semua himpunan .

Dengan kata lain,  merupakan liput himpunan S  X apabila S 



 

G

. Apabila setiap

anggota  merupakan himpunan terbuka di dalam

X

, maka  disebut liput terbuka (open cover) untuk S.

X

ruang Banach.

Himpunan S  X dikatakan kompak (compact) apabila untuk setiap liput terbuka  himpunan S ada liput bagian berhingga yang juga liput himpunan S.

Jelasnya, S kompak apabila koleksi semua himpunan terbuka  merupakan liput terbuka

untuk S, maka ada himpunan berhingga



G₁,G₂,...,G_n



 sehingga berlaku S 



n

i i G

1 

.

Contoh : 1. Di dalam ruang Banach

X

, himpunan berhingga merupakan himpunan kompak. Jawab : Misalkan himpunan berhingga tersebut adalah S 



x₁,x₂,...,x_n



dan 

 

G_

merupakan liput terbuka untuk S, maka ada anggota S merupakan anggota

G

_ untuk paling

sedikit satu



. Jadi untuk setiap

x

_i dipilih satu

G

_ saja yang memuat

x

_i, sebut saja i G_ .

Jadi 1



G , 2



G , ..., n

G_ merupakan liput bagian berhingga untuk S. Terbukti untuk sebarang

liput terbuka untuk S memuat liput bagian berhingga untuk S. Jadi disimpulkan S kompak.

2. Himpunan S 

   



 __

n n: 1

di dalam sistem bilangan real  tidak kompak.

X

ruang Banach.

Himpunan S  X dikatakan kompak relatif (relatively compact) jika dan hanya jika

S

(closure S) merupakan himpunan kompak.

X

ruang Banach.

Himpunan S  X dikatakan kompak sekuensial (sequentially compact) apabila setiap barisan

 

x

n di dalam S mempunyai barisan bagian

 

xnk yang konvergen ke xS.

(8)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

Himpunan S  X dikatakan kompak sekuensial relatif (relatively sequentially compact) jika dan

hanya jika

S

(closure S) merupakan himpunan kompak. Definisi 21 : Diketahui

X

ruang Banach.

Himpunan S  X disebut





net

apabila S himpunan berhingga dan



S x

x

N



)

(

  X , dan

X

disebut terbatas total apabila

X

memuat suatu





net

, untuk setiap



0. Definisi 22 : Diketahui

X

ruang Banach, dan  liput terbuka untuk

X

.

Bilangan



0 disebut bilangan Lebesque untuk liput terbuka  apabila setiap himpunan X

S  dengan d(S)



, ada G sehingga SG. Teorema 23 : : Diketahui

X

ruang Banach.

Apabila setiap himpunan tak berhingga S  X mempunyai titik limit di dalam

X

, maka

X

kompak sekuensial.

Bukti : Diambil sebarang barisan

 

x

_n di dalam

X

. Dibentuk range dari barisan tersebut sebagai

berikut : S 



x_n :n



.

Apabila S berhingga, maka ada paling sedikit satu anggota xS untuk tak berhingga banyaknya indeks

n

, sebab

x

_n merupakan fungsi dengan domain himpunan tak berhingga .

Dengan demikian terbentuk suatu barisan



n_k :k



sehingga

n

₁



n

₂



...

, dan

1

n

x



2

n

x



...



x

. Jadi diperoleh suatu barisan bagian yang konvergen ke

x



S  X . Apabila

S tak berhingga, dan S mempunyai titik limit

x

₀ di dalam

X

maka ada barisan di dalam S

yang konvergen ke

x

₀. Dipilih

n

₁ sehingga berlaku ₀

1

x

_n





1

. Kemudian dipilih

n

₂ dengan

2

1

n



sehingga ₀

2 x

x_n 

2

1 

. Setelah dipilih

n

₁



n

₂



...



n

_k_₁, maka dipilih

n

_k dengan

1 



k

n

sehingga x x₀ k

n 

k 1

 . Jadi terbentuk barisan

 

k

n

x

yang konvergen ke

x

₀.

Dengan kata lain terbukti

X

kompak sekuensial. Lemma 24 : Diketahui

X

ruang Banach.

(9)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

Bukti : Diketahui S himpunan tak berhingga dan diberikan sebarang



0. Misalkan himpunan





_ . Dengan demikian paling sedikit ada satu dari

himpunan-himpunan ( )

X

terbatas total jika dan hanya jika setiap barisan

 

x

_n di dalam

X

mempunyai barisan bagian

Cauchy.

Bukti : syarat perlu : Diambil sebarang barisan Diketahui

X

ruang Banach. Pandang himpunan



A



xn;n



. Apabila A berhingga, maka barisan

 

x

n mempunyai barisan bagian

berhingga yang konstan. Oleh karena itu, barisan ini merupakan barisan Cauchy. Sekarang misalkan A tak berhingga, maka berdasarkan Lemma 23 ada himpunan tak berhingga

B

₁



A

dengan

d

 

B

₁



1

. Dipilih

n

₁ sehingga xn₁B1. Selanjutnya dengan cara yang sama, ada suatu

Apabila prosedur ini dilakukan terus menerus, maka diperoleh himpunan-himpunan tak berhingga

1 suatu barisan bagian

 

k

barisan di dalam

X

mempunyai barisan bagian Cauchy.

Syarat cukup : Andaikan himpunan

X

tidak terbatas total, maka ada



₀



0

sehingga tidak

(10)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

mempunyai barisan bagian Cauchy, kontradiksi dengan yang diketahui.

Teorema 26 : Ruang Banach

X

kompak sekuensial jika dan hanya jika

X

terbatas total. Bukti : Syarat perlu : Karena

X

kompak sekuensial, maka setiap barisan

 

x

n di dalam

X

berdasarkan Teorema 25 terbukti bahwa

X

terbatas total.

Syarat cukup : Diketahui

X

terbatas total dan diambil sebarang barisan

 

x

_n di dalam

X

.

Menurut Teorema 25, maka barisan

 

x

n mempunyai barisan bagian Cauchy

 

xn_k dan karena

X

ruang Banach, maka barisan

 

k

n

x konvergen atau terbukti

X

kompak sekuensial.

Lemma 27 : Diketahui

X

ruang Banach. Apabila

X

kompak sekuensial, maka setiap liput terbuka  untuk

X

mempunyai bilangan Lebesque.

Bukti : Diketahui

X

kompak sekuensial dan liput terbuka  untuk

X

. Andaikan tidak ada bilangan Lebesque untuk liput terbuka , maka untuk setiap n ada himpunan tak kosong

(11)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

S kompak jika dan hanya jika S kompak sekuensial.

Bukti : Syarat perlu : Andaikan S tidak kompak sekuensial, maka menurut Lemma 26 ada suatu himpunan tak berhingga AS dengan A tidak mempunyai titik limit di dalam S. Dengan demikian setiap anggota S bukan titik limit himpunan

A

, dan setiap titik anggota

A

merupakan titik terasing. Jadi, untuk setiap xA ada bilangan



0 sehingga N_(x)A



 

x

, dan terbuka  mempunyai bilangan Lebesque



0, dan berdasarkan Teorema 25 maka S terbatas

(12)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

Apabila S tertutup dan terbatas, dan

X

berdimensi hingga maka S kompak.

Bukti : Misalkan Dim(

X

)



n

, dan



e1,e2, . . .,en



merupakan basis untuk

X

. Diambil

sebarang barisan

 

x

_m di dalam S, maka untuk setiap x_m anggota S dapat disajikan sebagai

representasi kombinasi linear sebagai berikut,

(13)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

Karena diketahui S terbatas, maka ada bilangan k 0 sehingga

x

_m k, untuk setiap

m

.

Menurut Lemma 13, maka diperoleh



konvergen dalam S. Dengan kata lain S kompak sekuensial atau S kompak. Teorema 31 : Diketahui

X

ruang Banach, dan S  X .

S kompak relatif jika dan hanya jika S terbatas total.

Bukti : Syarat perlu : Diketahui S kompak relatif atau

S



SS kompak. Apabila S kompak berakibat S kompak sekuensial, maka menurut Teorema 26 S terbatas total. Apabila S

tidak kompak, dan karena S merupakan koleksi semua himpunan titik limit di dalam S, maka berdasarkan Teorema 23 S kompak sekuensial, dan sekali lagi menurut Teorema 26 terbukti S terbatas total.

Syarat cukup : Diketahui S kompak relatif, yaitu

S

kompak.

Apabila S kompak berakibat S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total. Sekarang apabila S tidak kompak dan karena

S

 merupakan koleksi semua titik limit di dalam S, maka diperoleh S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total.

Syarat perlu : Diambil sebarang barisan

 

x

n di dalam S. Karena diketahui S terbatas total,

maka ada himpunan-himpunan berhingga



suatu 1net. Paling sedikit dari persekitaran-persekitaran ini memuat suatu barisan tak hingga,

katakanlah

 

xn_,₁ dengan

 

xn,1



 

x

n . Selanjutnya. Diambil lagi suatu net 2 1

, maka paling

sedikit satu dari persekitaran-persekitaran di dalam himpunan berhingga dari suatu net 2 1

(14)

Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011

menerus maka akan diperoleh suatu barisan tak hingga

 

xn,m , untuk suatu

m

dengan

 

xn,m 



xn,m1



sehingga

 

xn,m termuat di dalam persekitaran berdiameter

m

1

. Misalkan

 

xn,n merupakan barisan diagonal, maka

 

 n j j j

x

_, merupakan barisan bagian dari

 

_ n j n j

x

_,

yang termuat di dalam persekitaran berdiameter n 1

. Jadi diperoleh x_n_,_n x_m_,_m 

)

,

(

min

1 m

n

,

sehingga

 

xn,n merupakan barisan Cauchy. Karena

X

lengkap maka barisan

 

xn,n adalah

konvergen. Dengan kata lain barisan

 

xn,n mempunyai barisan bagian yang konvergen atau S

kompak sekuensial. Berakibat S kompak relatif. SIMPULAN

Berdasarkan keseluruhan uraian di atas diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut : 1. Apabila suatu himpunan tak berhingga mempunyai titik limit di dalam ruang Banach,

maka ruang Banach tersebut kompak sekuensial.

2. Suatu ruang Banach yang kompak sekuensial jika dan hanya jika ruang Banach tersebut terbatas total.

3. Suatu himpunan di dalam ruang Banach yang kompak jika dan hanya jika himpunan tersebut kompak sekuensial.

4. Apabila suatu himpunan yang kompak di dalam ruang Banach, maka himpunan tersebut tertutup dan terbatas.

5. Apabila suatu himpunan yang tertutup dan terbatas di dalam ruang Banach, dan himpunan itu juga berdimensi hingga maka himpunan tersebut kompak.

6. Suatu himpunan yang kompak relatif di dalam ruang Banach jika dan hanya jika himpunan tersebut terbatas total.