HASIL DAN PEMBAHASAN

(1)

Perumusan Penduga Bagi θ

Misalkan N adalah proses Poisson pada interval dengan rataan μ yang kontinu mutlak, dan fungsi intensitas λ yang terintegralkan lokal. Untuk setiap himpunan Borel terbatas B, maka

[0, )∞

( ) ( ) ( )

B

B N B s ds

μ = Ε =

_∫

λ < ∞.

Fungsi λ diasumsikan terdiri atas dua komponen yaitu komponen periodik λ , c dengan periode τ>0 (diketahui) dan komponen tren yang berupa fungsi pangkat asb_{, dengan}

koefisien a diketahui dan 0 b 1≤ ≤ (b sembarang bilangan nyata dan diasumsikan diketahui). Dengan kata lain, untuk setiap , fungsi intensitas λ dapat dituliskan sebagai [0, ) s∈ ∞ ( ) ( ) b c s s as λ =λ + (1)

dengan λc( )s adalah fungsi periodik dengan periode τ . Dalam tulisan ini, dibahas perumusan pendugaan fungsi intensitas global θ untuk sembarang nilai b dimana 0< <b 1. Untuk kasus b=0 telah dikaji pada jurnal Helmers dan Mangku (2000). Sedangkan untuk telah dikaji pada Mangku (2005). Sebelumnya kita asumsikan

1

b=

c λ adalah periodik sehingga persamaan

( ) (

c s k c s)

λ + τ =λ (2)

berlaku untuk setiap s∈[0, )∞ dan k∈ , dengan adalah himpunan bilangan bulat.

Di sini kita perhatikan proses Poisson pada karena λ harus memenuhi (1) dan harus tak-negatif. Dengan alasan yang sama, kita hanya perhatikan untuk kasus a>0.

[0, )∞

Misalkan untuk suatu ω∈Ω , kita hanya memiliki sebuah realisasi N( )ω dari proses

Poisson N yang didefinisikan pada ruang peluang (Ω,F,P) dengan fungsi intensitas λ seperti pada (1), yang diamati pada interval terbatas [0,n]. Tujuan kita dalam pembahasan ini adalah untuk mempelajari penyusunan penduga konsisten bagi intensitas global

(

[ ]

)

0 1 1 0, c( )s ds τ θ μ τ λ τ τ = =

_∫

(3)

dari komponen periodik λ dari fungsi _c intensitas λpada (1).

Pada tulisan ini, kita asumsikan bahwa periode τ diketahui (seperti: satu hari, satu

minggu, dan lain-lain), tetapi fungsi λ pada c

[0, )τ tidak diketahui. Kita asumsikan

koefisien adalah diketahui. Pada situasi ini kita definisikan penduga θ sebagai berikut

a 1 1 (1 ) 1 ([ /2, /2]) ˆ (1 ) n n b b k b b b N s k s k n k b a n τ τ τ τ τ τ τ θ τ τ − = − + − + + = − −

∑

(4) dengan nτ adalah bilangan bulat terbesar

yang lebih kecil atau sama dengan n τ , yaitunτ = _τn .

Penduga dari θ yaitu ˆθ diperoleh dari _n

/ 2 / 2 1 ( ) s k c s k x dx τ τ τ τ θ λ τ + + + − =

_∫

(5)

untuk setiap x∈[0, )∞ dan setiap bilangan bulat positif k. Misalkan _, 1 1 n n b b k L k τ = =

∑

, maka dengan (5) diperoleh 1 , / 2 1 , / 2 1 1 1 1 _{( ) .} n b k n b s k n c b k n b s k L k x dx L k τ τ τ τ τ τ θ θ λ τ = + + = + − = =

∑

∫

Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2) maka kuantitas di atas sama dengan

/ 2 1 , / 2 / 2 1 , / 2 / 2 1 , / 2 1 1 _{( ( )} ₎ 1 1 ( ) 1 1 . s k n b b k n b s k s k n b k n b s k s k n b b k n b s k x ax dx L k x dx L k ax dx L k τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ θ λ τ λ τ τ + + = + − + + = + − + + = + − = − = −

∑

∫

∑

∫

∑

∫

Dengan perubahan batas integral pada suku kedua ruas kanan persamaan di atas, maka diperoleh / 2 1 , / 2 1 1 ( ) s k n b k n b s k x dx L k τ τ τ τ τ θ λ τ + + = + − =

∑

_∫

/ 2 1 , / 2 1 ( ) n b b k n b a x s k dx L k τ τ τ τ τ = − −

∑

_∫

+ + 1 , 1 1 E ([ , ] = n b k n b N x s k x s k L k τ τ τ ₎ τ = + − + +

∑

(2)

/ 2 1 , / 2 1 ₍ ₎ n b b k n b a _{x s k} _dx_. L k τ τ τ τ τ = − −

∑

_∫

+ + (6) Perhatikan bahwa (_{x s k}_{+ +} _τ)b ₌( )_k_τ b_{+ (1).}_O (7) Suku kedua pada ruas kanan persamaan (6) menjadi / 2 1 , / 2 / 2 1 , / 2 1 , 1 , , , 1 ₍ ₎ 1 (( ) (1)) 1 (( ) (1)) (1) (1) . n b b k n b n b b k n b n b b k n b n b k n b b n b b n b a _{x s k} _dx L k a k O d L k a k O L k a _O L a n O L a n L τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ = − = − = = + + = + = + = + = + ≈

∑

∫

∑

∫

∑

x

Dengan mengganti EN menjadi N, persamaan (6) dapat dituliskan sebagai berikut

1 , , 1 1 ([ / 2, / 2 . n b k n b b n b N s k s k L k a n L τ τ τ τ τ τ θ τ τ = + − + + ≈ −

∑

]) (8) Karena 1 , 1 1 b n b L n b τ − − ∼ untuk n , maka diperoleh: → ∞ 1 1 (1 )n 1 ([ / 2, /2]) b b k b N s k s k n k τ τ τ τ τ τ θ τ − = − + − + + ≈

∑

(1 _{b a n}) b b. τ τ − − (9) Kekonsistenan ˆθ n Teorema 1: (Kekonsistenan ˆθ ) _n

Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (1) dan terintegralkan lokal, maka

ˆ P _{jika .}

n n

θ ⎯⎯→θ → ∞ (10) Dengan kata lain, θ merupakan penduga ˆ_n yang konsisten bagi θ. MSE dari ˆθ n konvergen ke 0 jika n→ ∞.

Bukti:Teorema 1 akan dibuktikan setelah

bukti Teorema 2, Teorema 3, dan Teorema 4.

Pendekatan Asimtotik untuk MSE dari θ ˆ_n Teorema 2: (Pendekatan Asimtotik untuk

Bias dari θ ) ˆ_n

1 1 (1 )ln( ) 1 ˆ ( )n b b abs b n O n n θ θ −₋ ⎛ ₋ ⎞ Ε = + _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ (11) jika n→ ∞. Bukti:

Pertama, akan dibuktikan persamaan (11). Nilai harapan dari persamaan (4) adalah

(

)

1 1 [ /2, / (1 ) 1 ˆ n n b b k N s k s k b n k τ τ τ τ τ τ θ τ − = Ε + − + + − Ε =

∑

2] (1 _{b a n}) b b. τ τ − − (12) Suku pertama pada ruas kanan persamaan (12) sama dengan / 2 1 1 / 2 (1 ) 1 ( ) . s k n b b k s k b x dx n k τ τ τ τ τ τ λ τ + + − = + − −

_∑

∫

Dengan perubahan batas integral, maka persamaan diatas menjadi

/ 2 1 1 / 2 (1 ) 1 ( ) n b b k b . x s k dx n k τ τ τ τ λ τ τ − = − − =

∑

_∫

+ +

Dengan persamaan (1) diperoleh

/ 2 1 1 /2 / 2 1 1 /2 /2 1 1 / 2 (1 ) 1 ( ) ( ) (1 ) 1 ₍ ₎ (1 ) 1 ( ) . n b c b b k n c b b k n b b b k b x s k a x s k dx n k b _{x s k dx} n k b a x s k dx n k τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ λ τ τ τ λ τ τ τ τ − = − − = − − = − − = + + + + − = + + − + + +

∑ ∫

+ (13) Dengan persamaan (2), suku pertama ruas kanan persamaan (13) menjadi

/ 2 1 1 / 2 (1 ) 1 ( ) n c b b k b x s dx n k τ τ τ τ λ τ − = − − +

∑

∫

/ 2 1 1 / 2 (1 ) 1 1 ( ) n c b b k b x s dx n k τ τ τ τ λ τ − = − − =

∫

+

∑

. (14) Diketahui bahwa 1 1 1 (1) 1 b n b k n O b k τ τ− = = + −

∑

(15) jika n→ ∞ (Lihat Titchmarsh 1960). Dengan mensubstitusikan persamaan (15) pada ruas kanan persamaan (14) diperoleh

(3)

/ 2 1 1 / 2 / 2 1 1 / 2 / 2 / 2 1 / 2 / 2 / 2 1 / 2 (1 ) 1 ₍ ₎ 1 (1 ) 1 ( ) (1) 1 1 ₍ ₎ (1 ) 1 ₍ ₎ ₍₁ 1 ₍ ₎ 1 n c b b k b c b c b c c b b _{x s dx} n k n b x s dx O b n b ₎ x s dx x s dxO n x s dx O n τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ λ τ λ τ λ λ τ τ λ τ − = − − − − − − − − − − + ⎛ ⎞ − = + _⎜ + _⎟ − ⎝ ⎠ − = + + + ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠

∑

∫

jika n→ ∞. (16) Dengan perubahan batas integral, maka ruas kanan persamaan (16) menjadi

/ 2 1 / 2 1 1 ( ) s c b s x dx O n τ τ λ τ + − − ⎛ ⎞ + ⎜_⎝ ⎟_⎠

∫

1 1 b O n θ ⎛ ₋ = + ⎜_⎝ _⎠⎞⎟ jika n→ ∞. (17) Suku kedua pada ruas kanan persamaan (13)

menjadi / 2 1 1 / 2 / 2 1 1 / 2 (1 ) 1 ( ) (1 ) . n b b b k b n b k b a x s k dx n k b a x s k dx k n τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − = − − = − − _{+ +} − ⎛ + + ⎞ = _⎜ _⎟ ⎝ ⎠

∑

∫

∑

∫

(18) Perhatikan 1 1 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( 1) 2 (ln )( ) (1) b b n n k k n b b b k b b x s k x s k k x s x s b b b k k n b n x s O τ τ τ τ τ τ _τ τ τ τ τ τ = = − − = − + + + ⎛ ⎞ ₌ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ + + ⎞ = _⎜ + + − ⎝ ⎠ = + + +

∑

⎟ jika n→ ∞. (19) Dengan mensubstitusikan persamaan (19) pada ruas kanan persamaan (18) dapat diperoleh 1 1 1 (1 ) ln( ) 1 (1 ) b b b b b a b b s n a b n O n n τ τ τ τ τ − ₋− ⎛ ₋ ⎞ = − + _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ jika n→ ∞. (20) Dengan menggabungkan persamaan(17) dan persamaan (20), maka persamaan (13) terbukti sebagai berikut

1 1 1 1 1 (1 )ln( ) 1 ˆ ( ) (1 )ln( ) 1 b n b b b b abs b n O n n abs b n O n n τ τ τ θ θ θ − − − − − − ⎛ ⎞ Ε = + _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ jika n→ ∞.

Maka Teorema 2 terbukti.

Teorema 3: (Pendekatan Asimtotik untuk Ragam dari θ ) ˆn

2 1 2 (1 ) (1 ) 1 ˆ ( ) (1 2 ) n b b a b b Var O b n n n θ θ = −₋ + − _{+ ⎜}⎛ ₋ ⎞_⎟ − ⎝ (1 )⎠ untuk 0 1 2 b < < , (21) 1 2(1 (1 ) ln ˆ ( )_n a _bb n_b . Var O n n θ = −₋ _{+ ⎜}⎛ ₋ ⎞_⎟ ⎝ )⎠ untuk 1 2 b= , dan (22) 1 2(1 (1 ) 1 ˆ ( )n b b a b Var O n n θ = −₋ _{+ ⎜}⎛ ₋ ⎞_⎟ ⎝ )⎠ untuk 1 1 2< < , (23) b jika n→ ∞. Bukti:

Akan dibuktikan persamaan (21), (22), dan (23). Catatan, untuk setiap

maka , , 1, 2,..., j k j k≠ =

[

]

(

s+jτ τ− / 2,s+jτ τ+ / 2

)

dan

[

]

(

s k+ τ τ− / 2,s k+ τ τ+ / 2

)

tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga

[

]

(

/2, /2

)

N s j+ −τ τ s j+ +τ τ dan

[

]

(

/2, /2

)

N s k+ −τ τ s k+ +τ τ adalah bebas, untuk k≠ j.

Telah didefinisikan penduga bagi θ yaitu

ˆ

n

θ pada persamaan (4).

Sehingga Var( )θ dapat dihitung sebagai ˆn berikut:

(

)

2 2(1 ) 2 2 1 / 2 2 2(1 ) 2 2 1 / 2 ˆ ( ) (1 ) 1 ( [ / 2, / 2] ) (1 ) 1 ( ) . n n b b k s k n b b k s k Var b Var N s k s k n k b x dx n k τ τ τ τ τ τ τ τ θ τ τ τ τ τ λ τ − = + + − = + − − = + − + − =

∑

∫

+

Dengan menggunakan persamaan (1), maka

/ 2 2 2(1 ) 2 2 1 / 2 ˆ ( ) (1 ) 1 ( ) ( ) n n c b b k b Var b x s k n k a x s k dx τ τ τ τ θ λ τ τ τ − = − − = + + + +

∑

∫

+ / 2 2 2(1 ) 2 2 1 / 2 (1 ) 1 ( ) n c b b k b x s k dx n k τ τ τ τ λ τ τ − = − − =

∑

_∫

+ + /2 2 2(1 ) 2 2 1 /2 (1 ) 1 ( ) . n b b b k b a x s k dx n k τ τ τ τ τ τ − = − − +

∑

∫

+ +

Kemudian, dengan persamaan (2) diperoleh

(4)

/ 2 2 2(1 ) 2 2 1 / 2 / 2 2 2(1 ) 2 2 1 / 2 / 2 2 2(1 ) 2 2 1 / 2 / 2 2 2(1 ) 2 2 1 / 2 ˆ ( ) (1 ) 1 ( ) (1 ) 1 ( ) (1 ) 1 ₍ ₎ 1 (1 ) 1 ( ) n n c b b k n b b b k n c b b k n b b b k Var b x s dx n k b a x s k dx n k b _{x s dx} n k b a x s k dx n k τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ θ λ τ τ τ λ τ τ τ − = − − = − − = − − = − − = + − + + − = + − + +

∑

∫

∑

∫

∑

∫

∑

∫

. + + (24) Perhatikan bahwa 1 2 2 1 1 1 ) + (1) untuk 0 1 2 2 b n b k n i O b k τ τ− = = < −

∑

b< 2 1 1 1 ) ln( )+ (1) untuk 2 n b k ii n O b k τ τ = = =

∑

2 1 1 1 ) (1) untuk 1 2 n b k iii O b k τ = = <

∑

<

jika n→ ∞ (Lihat Titchmarsh 1960). (25) Dengan menggunakan persamaan (25), kita bagi menjadi 3 kasus.

Terlebih dahulu kita uraikan untuk kasus pertama 0 1

2 b

< < . Suku pertama pada ruas kanan persamaan (24) menjadi

/ 2 2 2(1 ) 2 2 1 / 2 / 2 1 2 2 2(1 ) 2 / 2 / 2 2 2 2 / 2 2 2(1 ) 2 (1 ) 1 ( ) (1 ) ( ) + (1) 1 2 (1 ) 1 ( ) (1 2 ) (1 ) 1 (1 2 ) (1 ) 1 (1 2 ) n c b b k b c b c b b b x s dx n k n b x s dx O b n b x s dx O b n n b O b n n b O b n τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ λ τ λ τ λ τ θ τ θ − = − − − − − − − − ₊ ⎛ ⎞ − = + ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜} _⎟ − ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ = _{+ ⎜} _⎟ − ⎝ ⎠ − = + −

∑

∫

(1 ) 2(1b) n − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ jika n→ ∞. (26) Substitusikan persamaan (7) pada suku kedua ruas kanan persamaan (24) menjadi

/ 2 2 2(1 ) 2 2 1 / 2 / 2 2 2(1 ) 2 2 1 / 2 (1 ) 1 ₍ ₎ (1 ) _{( )} ₍₁₎ n b b b k n b b b k b _{a x s k} _dx n k b a _k _{O d} n k τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − = − − = − − + + − = +

∑

∫

∑

∫

x / 2 2 2(1 ) 2 2 1 / 2 (1 ) ( ) n b b b k b a k dx n k τ τ τ τ τ τ − = − − =

∑

_∫

/ 2 2 2(1 ) 2 1 / 2 (1 ) + ( n b b k b a O dx n k τ τ τ − = τ −τ −

_∑

∫

1) 2 2(1 ) 1 2(1 ) 1 (1 ) n 1 1 b b b b k a b O n k n τ τ − τ − = − − ⎛ ⎞ = _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠

∑

jika n→ ∞.

Substitusikan persamaan (15) pada persamaan diatas maka suku kedua pada ruas kanan persamaan (24) sama dengan

1 2(1 (1 ) 1 b a b O n− n − ⎛ ⎞ + ⎜_⎝ −b)⎟_⎠ jika n→ ∞. (27) Sehingga diperoleh, untuk 0 1

2 b < < , 2 1 2 (1 ) (1 ) 1 ˆ ( ) (1 2 ) n b b a b b Var O b n n n θ θ τ − − − − ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜} _⎟ − ⎝ (1 )⎠ jika n→ ∞.

Dengan cara yang sama untuk kasus kedua 1 2 b= sebagai berikut 1 2(1 (1 ) ln ˆ ( )n b b a b n Var O n n θ = −₋ _{+ ⎜}⎛ ₋ ⎞_⎟ ⎝ )⎠

jika n→ ∞, dan untuk kasus ketiga 1 1 2< < b sebagai berikut 1 2(1 (1 ) 1 ˆ ( )_n a _bb _b Var O n n θ = −₋ _{+ ⎜}⎛ ₋ ⎞_⎟ ⎝ )⎠ jika n→ ∞.

Teorema 4: (Pendekatan Asimtotik untuk MSE dari θ ) ˆn

(

)

1 1 2 2 2 2(1 ) 2(1 ) ˆ ( ) (1 ) ln( ) (1 ) (1 2 ) ln n b b b b MSE an n b abs n b b n O n n θ θ − − − − ⎛ ⎞ − _⎜ + + _⎟ − − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ = _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ untuk 0 1 2 b < < , (28)

(

)

1 2 2 2(1 ) 2(1 ) ˆ ( ) (1 ) ln( ) (1 ) ln + n b b b MSE an b abs n b n O n n θ − − − ⎛ ⎞ − _⎜ + _⎟ − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ = _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ untuk 1 2 b= , dan (29)

(5)

(

)

2 1 2(1 ) 2(1 ) ˆ ( ) (1 ) (1 )ln( ) ln n b b b MSE a b n abs b n n O n n θ − − − − + − _⎛ _⎞ = _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ untuk 1 1 2< < , (30) b jika n→ ∞. Bukti

Berdasarkan Definisi 23 maka

(

2

ˆ ˆ ˆ

( )_n ( )_n ( ) ._n

MSEθ =Varθ + Biasθ

)

(31) Dari Teorema 2 dan Teorema 3 maka

ˆ ( )_n

MSEθ untuk kasus 0 1 2 b < < diperoleh 2 1 2 2 1 1 ˆ ( ) (1 ) (1 ) 1 (1 2 ) (1 ) ln( ) 1 n b b b b MSE a b b O b n n n abs b n O n n θ θ − − − − − − ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜} _⎟ − ⎝ ⎠ ⎛ − ⎛ ⎞⎞ +_⎜ + _⎜ _⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ (1 ) ⎠ 2 1 2 (1 ) (1 ) 1 (1 2 ) b b a b b O b n n n θ − − − − ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜} _⎟ − ⎝ (1 )⎠

(

)

2 2(1 ) 2(1 ) (1 ) ln( ) ln abs b_b n O n_b n − n − − ⎛ ⎞ + _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠

(

)

1 1 2 2 2 2(1 ) (1 ) ln( ) (1 ) (1 2 ) b b b an n b ab b b n θ − − − ⎛ − _{⎜ −} + + − ⎝ ⎠ = s n ⎞⎟ 2(1 ) ln b n O n − ⎛ ⎞ + ⎜_⎝ ⎟_⎠ jika n→ ∞.

Sedangkan untuk kasus 1 2 b= diperoleh 1 2(1 ˆ ( ) (1 ) ln n b b MSE a b n O n n θ − − − ⎛ ⎞ = _{+ ⎜} _⎟ ⎝ )⎠ 2 1 1 (1 ) ln( ) 1 abs b_b n O _b n− n− ⎛ − ⎛ ⎞ +_⎜ + _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠

(

)

2 1 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) (1 ) ln( ) (1 ) ln ln b b b b abs b n a b n O n n n n O n − − − − − − ⎛ ⎞ = + _⎜ _⎟+ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + ⎜_⎝ ⎟_⎠

(

)

1 2 2 2(1 ) 2(1 ) (1 ) ln( ) (1 ) ln + b b b an b abs n b n O n n − − − ⎛ ⎞ − _⎜ + _⎟ − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ = _⎜ _⎟ ⎝ ⎠

jika n→ ∞ dan untuk kasus 1 1 2< < b diperoleh

(

)

(

)

1 2(1 ) 2 1 1 2 1 2(1 ) 2(1 ) 2 1 2(1 ) 2(1 ) ˆ ( ) (1 ) 1 (1 )ln( ) 1 (1 )ln( ) (1 ) ln (1 ) (1 )ln( ) ln n b b b b b b b b b b MSE a b _O n n abs b n O n n abs b n a b n O n n n a b n abs b n n O n n θ − − − − − − − − − − − ⎛ ⎞ = _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − ⎛ ⎞⎞ +_⎜ + _⎜ _⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ − + − _⎛ _⎞ = _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ jika n→ ∞.

Bukti Teorema 1:

Dengan menggunakan persamaan (11), diperoleh 1 1 (1 )ln( ) 1 ˆ lim ( ) lim . n b b n n abs b n O n n θ θ θ − − →∞ →∞ ⎛ − ⎛ ⎞⎞ Ε = _⎜ + + _⎜ _⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =

Atau dapat ditulis sebagai ˆ

( )θn θ o(1), jika n

Ε = + → ∞ .

(32) Sedangkan dari persamaan (21) , (22) dan (23)

ˆ lim_n_→∞Var( ) 0.θn =

Dapat ditulis juga sebagai

( )ˆ_n (1), jika

Varθ =o n→ ∞.

(33) Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa θ ˆ_n adalah penduga konsisten bagi θ, yaitu bahwa untuk setiap ε> berlaku 0

(

ˆ

)

₀

nn

θ θ ε

Ρ − > → , jika n→ ∞. Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut

(

ˆ

) (

ˆ ˆ ˆ

)

_. nn nn nn n θ θ ε θ θ θ θ ε Ρ − > = Ρ − Ε + Ε − > (34) Dengan ketaksamaan segitiga maka persamaan (34) menjadi

(

)

(

)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ _. nn n nn nn n n θ θ θ θ ε θ θ ε θ θ ≤ Ρ − Ε + Ε − > = Ρ − Ε > − Ε − (35) Berdasarkan persamaan (32), maka ada no

sehingga ˆ _, 2 n ε θ θ Ε − ≤ (36) untuk setiap n n> o.

(6)

Dengan mensubstitusikan persamaan (36) pada persamaan (35), maka ruas kanan persamaan (35) menjadi ˆ ˆ 2 n n ε θ θ ⎛ ⎞ = Ρ_⎜ − Ε > _⎟ ⎝ ⎠. Kemudian diperoleh

(

ˆ

)

ˆ ˆ 2 n n n ε θ θ ε ⎛θ θ ⎞ Ρ − > ≤ Ρ_⎜ − Ε > _⎟ ⎝ ⎠.

Dengan menggunakan pertaksamaan Chebyshev, maka 2 ˆ 4 ( ) ˆ ˆ _. 2 n n n Var θ ε θ θ ε ⎛ ⎞ Ρ_⎜ − Ε > _⎟≤ ⎝ ⎠ (37) Dengan (33), maka ruas kanan persamaan (37) konvergen ke 0 jika n→ ∞.

Mean Squared Error-nya adalah

2

( )ˆ_n ( )ˆ_n ( )

MSEθ =Bias θ +Varθˆ_n .

Dengan menggunakan persamaan (28), (29),

dan (30) diperoleh ,

dengan kata lain

( )ˆn (1) , jika

MSEθ =o n→ ∞ ∞

( )ˆn 0, jika .

MSEθ → n→

Sebaran Normal Asimtotik Penduga θ ˆn

Teorema 5 : (Sebaran Normal Asimtotik Penduga θ ) ˆn

(

)

1 (1 ) 2 b₍ˆ ₎ D _{0, (1} n n − θ θ− ⎯⎯→Normal a − )b (38) jika n→ ∞. Bukti :

Terlebih dahulu kita tulis ruas kiri (38)

1 (1 ) 2 b₍ˆ ₎ n n − θ θ− 1 1 (1 ) (1 ) 2 b₍ˆ _{E )}ˆ 2 b_(Eˆ ₎ n n n n − θ θ n − θ . = − + −θ

Sehingga untuk membuktikan Teorema 5 di atas, cukup dibuktikan

(

)

1 (1 ) 2 b₍ˆ _{E )}ˆ D _{0, (1} ₎ n nn n − θ − θ ⎯⎯→Normal a −b (39) dan 1 (1 ) 2 b_(Eˆ ₎ _0. n n − θ θ− → (40) Pertama akan dibuktikan bentuk (39) di atas. Perhatikan ruas kiri (39) dapat ditulis

1 (1 ) 2 _{( )}ˆ (ˆ E )ˆ _. ˆ ( ) b _n _n n n n Var Var θ θ θ θ − ⎛_⎜ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ (41)

Kita akan menerapkan Teorema Limit Pusat (CLT) pada Lema 7 untuk membuktikan bentuk (41) konvergen ke ruas kanan bentuk (39). Misalkan 1 ([ /2, /2]) . b k b N s k s k X a k τ τ τ τ _τ+ + − + + = −

Untuk setiap j≠k j k, , =1, 2,..., maka

[

]

(

s+ jτ τ− / 2,s+ jτ τ+ / 2

)

dan

[

]

(

s k+ τ τ− / 2,s k+ τ τ+ / 2

)

tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga

[

]

(

/2, /2

)

N s j+ −τ τ s j+ +τ τ dan

[

]

(

/2, /2

)

N s k+ −τ τ s k+ +τ τ adalah bebas, untuk k≠ j. Untuk sembarang k, nilai harapan peubah acak X_kdiperoleh

(

)

1 /2 1 /2 /2 /2 1 /2 /2 [ /2, /2] E 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) b k b b b c b b b c b b N s k s k X a k x s k a x s k dx a k a x s k dx x s k dx a k k τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ λ τ τ τ λ τ τ + + − τ+ − − Ε + − + + = − = + + + + + − = + + + + + −

∫

/2 /2 1 /2 /2 1 1 1 ( ) ( ) (1) 1 1 b b c b b b b b b b a x s dx k O dx a k k a a O k k O k τ τ τ τ λ τ τ τθ τ τ + − − + + = + + + − ⎛ ⎞ = + − _{+ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟_{⎝ ⎠}

∫

jika n→ ∞,

sedangkan ragam peubah acak X_kdiperoleh

(

)

2 [ / 2, / ( k) b N s k s k Var X k τ τ τ τ Ε + − + + = 2] / 2 2 / 2 1 ( ) ( )b c b x s k a x s k dx k τ τ λ τ τ − =

_∫

+ + + + + /2 /2 2 2 /2 /2 /2 /2 2 2 /2 /2 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 1 ₍ ₎ _{( )} ₍₁₎ 1 1 b c b b b c b b b b b b b b b a x s k dx x s k dx k k a x s dx k O dx k k a _O k k k a O k k τ τ τ τ τ τ τ τ λ τ τ λ τ τθ τ τ − − − − + + = + + + + + = + + + ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = _{+ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∫

jika n→ ∞. Misalkan maka diperoleh

( )

2 4 1 n n k B τ Var X = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝

∑

k ⎠⎟

(7)

2 1 4 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ₍₁₎ 1 _. n b n b b k n n b b b k k a B O k k a O k k τ τ τ τ τ + = + = = ⎛ ⎛ ⎞⎞ =_⎜ + _⎜ _⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ =_⎜ + _⎟ ⎝ ⎠

∑

Untuk kasus yang pertama, 0 1 2 b < < diperoleh

(

)

(

)

(

)

2 1 4 1 1 2 2 2 1 1 2 2 4 2(1 ) 2 3 ) 2 1 1 (1 ) b b b n b b b b b b n B a O n b a n O n b a n O n b τ τ τ τ − + − − − − − ⎛ ⎞ =_⎜ + _⎟ − ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ =_⎜ + _⎟ − ⎝ ⎠ = + − jika n→ ∞.

Selanjutnya kita tentukan

(

)

(

)

4 1 1 4 4 1 4 E E ([ / 2, / 2]) E ([ / 2, / 2]) 1 _([ _{/ 2,} _{/ 2])} E ([ / 2, / 2]) . n k k k n b k b n b k X X N s k s k k N s k s k k N s k s k k N s k s k τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ = = = − + − + + ⎛ = _⎜ ⎝ + − + + ⎞ − _⎟ ⎠ = + − + + − + − + +

∑

Karena N menyebar Poisson, maka persamaan diatas menjadi

(

)

(

)

4 1 2 4 1 2 1 _{E ([} _{/ 2,} _{/ 2])} 3 E ([ / 2, / 2]) 1 E ([ / 2, / 2]) 3 E ([ / 2, / 2]) . n b k n b k N s k s k k N s k s k N s k s k k N s k s k τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ = = + − + + + + − + + = + − + + + + − + +

∑

(42) Perhatikan bahwa

(

)

2 [ / 2, / ( k) b N s k s k Var X k τ τ τ τ Ε + − + + = 2] . (43) Dengan mensubstitusikan persamaan (43) pada ruas kanan persamaan (42) diperoleh

(

)

(

)

4 1 2 2 1 E E 1 ( ) 3 ( ) n k k k n k k b k X X Var X Var X k τ τ = = − ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠

∑

2 1 1 3 4 2 1 1 1 3 n b b b b b b k a a O O k k k k τ τ + τ + = ⎛ _⎛ _⎞ _⎛ _⎛ _⎞_⎞ ⎞ ⎜ ⎟ = + _⎜ _⎟+ _⎜ + _⎜ _⎟_⎟ ⎜ _⎝ _⎠ _⎝ _⎝ _⎠_⎠ ⎟ ⎝ ⎠

∑

2 2( 1) 2 3 1 3 1 n b b b k a O k k τ τ + = ⎛ ⎛ ⎞⎞ = _⎜ + _⎜ _⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

(

)

2 2( 1) 2 3 1 1 2 4 1 2 1 3 1 1 3 3 1 2 n n b b b k k b b b a O k k a n O n b τ τ τ τ + = = − − ⎛ ⎞ = + _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ = + −

∑

(

)

(

)

( )

2 _{2 4} 2 2 2 3 2 1 1 (1 2 ) 1 b b b b a n O n n b b n τ − − − = + − − jika n→ ∞. Perhatikan bahwa 1 n konvergen ke 0 jika , sehingga n→ ∞ 1 o(1) n= . Persamaan diatas dapat kita tuliskan sebagai

(

)

4 4

( )

4 1 E E (1) n k k n n k X X o B o B τ = − = =

∑

jika n→ ∞.

Akhirnya diperoleh barisan Xk merupakan barisan peubah acak bebas yang nilai harapannya bernilai terhingga dan ragamnya bernilai terhingga dan tidak nol untuk sembarang k. Dengan demikian penduga ˆθ dapat dipandang sebagai jumlah n

dari peubah acak yang bebas yang dikalikan suatu konstanta yaitu

₁ 1 (1 ) ˆ n n b k k b _X n τ τ θ τ − = − =

∑

yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapanE( )θ dan ragam ˆn Var( )θ , maka ˆn

diperoleh ˆ ˆ ( E ) (0,1) ˆ ( ) D n n n Normal Var θ θ θ − ⎯⎯→ (44) jika . Maka untuk membuktikan (39), tinggal dibuktikan n→ ∞ 1 (1 ) 2 b _{( )}ˆ ₍₁ ₎ n n − Var θ → a −b jika n→ ∞.

Berdasarkan Teorema 3 diperoleh

1 (1 ) 2 b _{( )}ˆ n n − Var θ 2 1 (1 ) 2 1 2( (1 ) (1 ) 1 (1 2 ) b b b b a b n O b n n n θ − − − − − ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜} _⎟ − ⎝ 1 )⎠ 2 (1 ) 1 2(1 (1 ) (1 ) 1 (1 2 ) b b b b a b n O b n n n θ − − − ⎛ − − ⎛ ⎞⎞ = _⎜ + + _⎜ _⎟_⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ) ⎠

(8)

(1 ) 1 1 (1 ) 1 b b b a b n O n n − − − − ⎛ ⎞ = _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠

jika n→ ∞. Perhatikan bahwa O 1₁_b n−

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

konvergen ke 0 jika n→ ∞, sehingga

1 1 (1) b O n− ⎛ _{⎞ =} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ o . Misal x a= (1− +b) o(1), ( )

f x = x. Berdasarkan Teorema Deret Taylor, maka 2 2 3 3 '( (1 )) ( ) ( (1 )) ( (1 )) 1! '( (1 ))₍ _{(1 )) ...} 2! (1) ( (1)) (1 ) ... 2 (1 ) 4.2 (1 ) (1 ) (1). f a b f x f a b x a b f a b _{x a} _b o o a b a b a b a b o − = − + − − − + − − + = − + − + − − = − +

Dengan cara yang sama diperoleh hasil yang sama untuk 1

2

b= dan 1 1 2< < . b Sehingga (39) terbukti.

Untuk membuktikan (40) kita gunakan Teorema 2 sehingga diperoleh

1 (1 ) 2 1 (1 ) 2 1 1 ˆ (E ) (1 ) ln( ) 1 (1) b n b b b n abs b n n O n n o θ θ − − − − − ⎛ − ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎜ _⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ⎞ jika n→ ∞.

Dengan kata lain 12(1 )b_(Eˆ ₎ ₀

n

n − θ θ− → jika maka (40) terbukti.

n→ ∞

Jadi Teorema 5 lengkap terbukti.

KESIMPULAN

Pada tulisan ini dikaji suatu metode untuk menduga fungsi intensitas global dari komponen periodik suatu proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat . Diasumsikan bahwa periode

b as τ diketahui, koefisien diketahui tetapi fungsi a λ pada _c

[0, )τ tidak diketahui. Pada situasi ini kita

gunakan penduga θ sebagai berikut

1 1 (1 ) 1 ([ /2, /2]) ˆ (1 ) , n n b b k b b b N s k s k n k b a n τ τ τ τ τ τ τ θ τ τ − = − + − + + = − −

∑

nτadalah bilangan bulat terbesar yang lebih

kecil atau sama dengan n τ .

Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:

(i) Kuantitas θ merupakan penduga ˆ_n konsisten bagi θ, serta , jika .

ˆ ( )_n 0 MSEθ →

n→ ∞

(ii) Bias dari θ adalah ˆ_n

1 1 (1 )ln( ) 1 ˆ ( )_n abs b_b n _b Bias O n n τ θ = −₋ _{+ ⎜}⎛ ₋ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ jika n→ ∞.

(iii) Ragam dari θ adalah ˆ_n

2 1 2 ˆ ( ) (1 ) (1 ) 1 (1 2 ) n b b Var a b b O b n n n θ θ − − − − ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜} _⎟ − ⎝ (1 )⎠ untuk 0 1 2 b < < , 1 2(1 ˆ ( ) (1 ) ln . n b b Var a b n O n n θ − − − ⎛ ⎞ = _{+ ⎜} _⎟ ⎝ )⎠ untuk 1 2 b= , dan 1 2(1 (1 ) 1 ˆ ( )_n a _bb _b Var O n n θ = −₋ _{+ ⎜}⎛ ₋ ⎞_⎟ ⎝ )⎠ untuk 1 1 2< < , b jika n→ ∞.

(iv) Sebaran Normal Asimtotik dari θ ˆ_n

(

)

1_{(1 )} 2 b₍ˆ ₎ D _{0, (1} n n − θ θ− ⎯⎯→Normal a − )b jika n→ ∞.