Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-1
PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF
DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-CHART
Adi Setiawan
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana Jl Diponegoro 52-60 Salatiga 50711, Indonesia e-mail: [email protected]
Abstrak
Grafik pengendali p-chart sangat penting dalam pengendalian kualitas produk industri dengan menggunakan statistika terapan. Metode Bayesian obyektif dapat digunakan untuk melakukan estimasi titik dan estimasi interval dengan hanya mendasarkan diri pada sampel dan menggunakan informasi prior secara default yaitu dengan menggunakan prior Jeffry. Dalam makalah ini akan dijelaskan penggunaan metode Bayes obyektif dalam pengkonstruksian grafik pengendali p-chart dan digambarkan bagaimana pengkonstruksian tersebut dilakukan. Grafik pengendali p-chart yang dikonstruksikan akan dijamin terletak antara 0 dan 1 sehingga berbeda dengan p-chart klasik.
Kata kunci: p-chart, metode Bayesian obyektif, out of control.
PENDAHULUAN
Grafik pengendali digunakan untuk melakukan pengecekan apakah sampel yang terambil berada pada keadaan out of control atau tidak. Dengan melakukan pengecekan tersebut maka dapat dilakukan analisis penyebab sampel menjadi out of control. Salah satu alat yang digunakan dalam pengecekan tersebut adalah p-chart yang digunakan untuk data attribute artinya data yang merupakan identifikasi banyaknya produk yang cacat dibandingkan ukuran sampel n dalam setiap kali mengambil sampel.
Dalam makalah-makalah Setiawan (2009a, 2011) telah dijelaskan metode Bayesian obyektif untuk menentukan estimasi titik untuk parameter populasi. Dengan metode ini, hasil estimasi yang diperoleh hanya akan tergantung pada sampel dan distribusi anggapan dari populasi yang menjadi asal dari sampel. Di samping itu, dalam makalah-makalah Setiawan (2009b, 2011) metode Bayesian obyektif juga digunakan dalam menentukan interval kredibel untuk parameter populasi. Dalam makalah ini akan dijelaskan penggunaan metode Bayes obyektif dalam pengkonstruksian grafik pengendali p-chart dan digambarkan bagaimana pengkonstruksian tersebut dilakukan.
DASAR TEORI
Dasar teori yang digunakan dalam pembahasan kali ini adalah grafik pengendali p-chart, metode Bayesian obyektif dan metode Bayesian obyektif untuk distribusi Binomial.
Grafik Pengendali p-Chart
Proporsi kerusakan dalam suatu populasi didefinisikan sebagai perbandingan (rasio) banyaknya barang yang rusak dalam populasi dan total banyaknya barang dalam populasi. Jika paling sedikit satu karakteristik tidak sesuai dengan standard maka barang tersebut dikatakan rusak. Proporsi dapat dinyatakan dalam desimal atau persentase. Prinsip statistik yang digunakan dalam grafik pengendali (control chart) untuk proporsi kerusakan didasarkan pada distribusi Binomial dan dinamakan dengan grafik pengendali p-chart.
M-2
menyatakan banyaknya barang rusak yang terambil dalam sampel maka D akan mengikuti distribusi Binomial dengan parameter n dan p. Mean dari D adalah np dan variansinya adalah
np(1-p). Proporsi sampel yang rusak adalah perbadingan antara banyaknya barang yang rusak
dalam sampel dibandingkan dengan ukuran sampel n yaitu
n D p
^
. Mean dan variansi estimator
ini masing-masing adalah p dan p(1-p)/n. Jika rasio barang yang rusak dalam populasi p diketahui maka garis tengah GT (center line) dari grafik pengendali p-chart akan mempunyai garis tengah p, batas pengendali atas (upper control limit) BPA
n
p
p
p
BPA
3
(
1
)
dan batas pengendali bawah (lower control line) BPB
n
p
p
p
BPA
3
(
1
)
.Dengan menggunakan batas-batas tersebut, maka akan diperoleh tingkat signifikansi (level of
significance) mendekati 0,0027.
Jika p tidak diketahui maka p dapat diestimasi dari data yang tersedia. Hal ini dilakukan dengan cara memilih m sampel awal yang masing-masing berukuran n. Jika Di menyatakan
banyaknya barang yang rusak pada sampel ke-i maka proporsi banyaknya barang yang rusak dalam
sampel ke-i adalah
n D
p i
i
^
untuk i = 1, 2, 3, ...., m dan rata-rata dari proporsi sampel individual
adalah
m
p
p
m i i
1 ^. Nilai digunakan sebagai estimasi untuk p dalam grafik pengendali p-chart
(Montgomery, 2001).
Gambaran numerik dari hal tersebut di atas dapat dinyatakan berikut ini. Misalkan dilakukan pengambilan sampel awal sebanyak m=30 sampel dengan n=50 dan Tabel 1 menyatakan banyaknya barang yang rusak untuk setiap sampel. Berdasarkan Tabel 1 diperoleh sehingga garis tengah GT diperoleh
2313 , 0 p GT BPA 4102 , 0 1789 , 0 2313 , 0 ) 1 (
3
n p p p BPA dan BPB 0524 , 0 1789 , 0 2313 , 0 ) 1 (
3
n p p p BPA .
Akibatnya diperoleh p-chart pada Gambar 1. Jika BPA yang diperoleh tidak negatif maka akan terbentuk batas-batas p-chart yang simetris. Akan tetapi, jika BPA yang diperoleh negatif maka dilakukan pengesetan BPA = 0 sehingga batas-batas p-chart menjadi tidak simetris.
Metode Bayesian Obyektif
Misalkan data x = ( x1, x2, ..., xn) terdiri dari pengamatan dari
}
,
,
),
,
|
(
{
f
x
x
X
M
dan misalkan x{0,(,)} adalah fungsi kerugian diskrepansi intrinsik (intrinsic discrepancy loss)
yang diderita jika 0 digunakan sebagai proxy untuk . Estimasi (titik) intrinsik untuk parameter
adalah
)
|
(
min
arg
)
(
*
x
d
ix
i
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-3
reference posterior yaitu d( i | x) dengan
d
(
i|
x
)
x{
i,
(
,
)
}
(
,
|
x
)
d
d
, (1)),
(
)
|
(
)
,
|
(
)
|
,
(
x
p
x
dan (|) () adalah reference prior bersama dari (,) dengan merupakan kuantitas yang menjadi perhatian (Bernardo dan Juarez, 2003).
Tabel 1. Tabel contoh data banyaknya barang yang rusak dalam sampel ukuran n = 50.
No. Sampel
Banyaknya
barang yang rusak
Proporsi sampel
No. Sampel
Banyaknya barang yang rusak
Proporsi sampel
1 12 0.24 16 8 0.16
2 15 0.30 17 10 0.20
3 8 0.16 18 5 0.10
4 10 0.20 19 13 0.26
5 4 0.08 20 11 0.22
6 7 0.14 21 20 0.40
7 16 0.32 22 18 0.36
8 9 0.18 23 24 0.48
9 14 0.28 24 15 0.30
10 10 0.20 25 9 0.18
11 5 0.10 26 12 0.24
12 6 0.12 27 7 0.14
13 17 0.34 28 13 0.26
14 12 0.24 29 9 0.18
15 22 0.44 30 6 0.12
Gambar 1. Grafik Pengendali p-chart Berdasarkan Tabel 1.
0 5 10 15 20 25 30
0
.0
0
.1
0
.2
0
.3
0
.4
0
.5
Sampel ke-i, i=1,...,30
P
ro
p
o
rs
i
s
a
m
p
e
M-4
Bermula dari estimasi titik menuju ke estimasi interval, daerah/interval kredibel intrinsik (intrinsic credible region) didefinisikan sebagai interval kredibel yang mempunyai lowest posterior
loss yang berkaitan dengan penggunaan fungsi kerugian intrinsic discrepancy dan reference prior
yang bersesuaian.
Interval kredibel intrinsik 100q% (q-credible region intrinsic) adalah himpunan bagian R*q = R*q( x, ) dari ruang parameter sehingga memenuhi
(i)
q R q d x * ) | (
(ii) untuk setiap i R*q dan untuk setiap j R*q berlaku d(i | x) d(j | x)
dengan d(i | x) adalah harapan fungsi kerugian reference posterior sebagai proxy untuk nilai dari
parameter yang diberikan pada persamaan (1) (Bernardo, 2005).
Terlihat bahwa pernyataan pada persamaan (1) mempunyai bentuk yang sulit sehingga perhitungannya tidaklah mudah namun dengan menggunakan integrasi numerik, hal itu dengan mudah dapat dilakukan.
Metode Bayesian Obyektif untuk Distribusi Binomial
Misalkan himpunan x = { x1, x2, ..., xn } adalah n pengamatan saling bebas berdistribusi Bernoulli dengan parameter p = (0,1) sehingga
x x
p
p
p
x
f
(
|
)
(
1
)
1dan fungsi likelihoodnya adalah
r n r
p
p
p
x
f
(
|
)
(
1
)
dengan
n jx
jr
1 . Dalam hal ini, reference prior adalah
(
p
)
Beta
(
p
|
1
/
2
,
1
/
2
)
dan reference posterior adalah)
)
2
/
1
(
,
)
2
/
1
(
|
(
)
(
p
Beta
p
r
n
r
.Interval kredibel 100q% untuk p adalah sebarang himpunan bagian Rq dari (0,1) sehingga
q Rq
dp
r
n
r
p
Beta
(
|
(
1
/
2
)
,
(
1
/
2
)
)
.Dapat dibuktikan bahwa Kullback-Leibler divergence antara
f
(
x
|
p
2)
danf
(
x
|
p
1)
adalah)]
1
/(
)
1
(
log[
)
1
(
]
/
log[
)
|
(
p
2p
1p
1p
1p
2p
1p
1p
2K
dan diskrepansi intrinsik antara
f
(
x
|
p
1)
danf
(
x
|
p
2)
dapat dinyatakan sebagai
lain
yang
p
p
K
p
p
p
p
p
K
n
p
p
)
|
(
)
1
,
(
)
|
(
)
,
(
2 1 1 1 2 1 2 2 1
.Nilai harapan fungsi kerugian reference posterior dari penggunaan p0 dari pada p adalah
dp
r
n
r
p
Beta
p
p
n
n
r
p
d
x
2
1
,
2
1
)
,
(
)
,
|
(
1 0 00
. (2)Integrasi numerik dapat digunakan untuk memperoleh estimasi intrinsik dan interval kredibel intrinsik yaitu interval yang mempunyai fungsi kerugian posterior terkecil dengan probabilitas posterior yang diperlukan.
PENGKONSTRUKSIAN DAN STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI p-CHART BERDASARKAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF
Grafik pengendali p-chart dengan menggunakan metode Bayesian obyektif dapat ditentukan dengan metode berikut ini. Misalkan dimiliki data { y1, y2, ..., ym } yang menyatakan banyaknya barang yang rusak dalam setiap kali mengambil sampel ukuran n dengan proporsi mendapatkan barang yang rusak dalam populasi p. Variabel banyaknya barang yang rusak dalam setiap kali mengambil sampel ukuran n yaitu xi dapat dipandang berdistribusi Binomial dengan
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-5
minimum. Demikian juga interval kredibel intrinsik (1 - q) 100 % untuk p dapat ditentukan yaitu (pa, pb) sehingga d( pa | r, n ) = d( pb | r, n ) dan
q dp
r n r p Beta
b
a
p
p
12 1 ,
2 1
. (3)
Garis tengah GT dari grafik pengendali p-chart digunakan estimasi titik p*, sedangkan batas pengendali atas BPA dan batas pengendali bawah BPB masing-masing digunakan pa dan pb sehingga memenuhi sifat persamaan (2). Dengan menggunakan BPA dan BPB di atas maka dapat dijamin bahwa kedua nilai terletak diantara 0 dan 1 sehingga hal tersebut menjadi kelebihan p-chart yang disusun dengan menggunakan metode Bayesian obyektif dibandingkan dengan p-chart yang menggunakan metode klasik.
Gambaran penggunaan metode Bayesian obyektif dalam pengkonstruksian p-chart dapat dijelaskan berikut ini. Dalam contoh di atas, rata-rata banyaknya barang yang rusak adalah r = 347/30 = 11,5667 sedangkan ukuran sampel n=50 sehingga diperoleh estimasi titik untuk p dengan metode Bayesian obyektif adalah p* = 0,2336 yaitu nilai p* yang mengakibatkan statistik intrinsik
d yang diperoleh pada persamaan (2) minimum (pada Gambar 2 ditunjukkan oleh garis putus-putus
tegak). Hasil ini digunakan sebagai GT sehingga dalam p-chart diperoleh GT = 0,2336. Selanjutnya, dengan menggunakan tingkat signifikansi = 0,0027 maka akan diperoleh interval kredibel 99,73 % untuk parameter p yaitu (0,0885, 0,4308) dan kedua batas tersebut akan menghasilkan statistik intrinsik yang sama yaitu 5,3431 (Gambar 2 sebelah kiri menyatakan interval kepercayaan untuk p dan statistik intrinsik yang bersesuaian sedangkan Gambar 2 sebelah kanan menunjukan detail untuk interval kepercayaan tersebut). Akibatnya p-chart berdasarkan metode Bayesian obyektif akan mempunyai BPA = 0,4308 dan BPB = 0,0885 sehingga akan diperoleh p-chart untuk data pada contoh di atas pada Gambar 3. Berdasarkan p-chart yang terbentuk, terlihat bahwa p-chart tidak simetris antara BPA, GT dan BPB. Di samping itu, mudah dibuktikan bahwa BPA, GT dan BPB selalu terletak pada interval (0,1) sehingga tidak perlu dilakukan pengesetan BPB = 0 jika diperoleh BPB negatif seperti yang dapat diperoleh pada p-chart klasik. Pada sisi lain, berdasarkan data pada Tabel 1, diperoleh hasil bahwa untuk p-p-chart yang terbentuk menghasilkan 3 titik yang out of statistical control sedangkan dengan menggunakan
p-chart klasik hanya diperoleh 2 titik.
Gambar 2. Hasil estimasi titik dan interval kredibel untuk tingkat signifikansi α = 0,0027 berdasarkan data pada Tabel 1.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
5
0
1
0
0
1
5
0
2
0
0
2
5
0
3
0
0
p
in
tr
in
s
ic
s
ta
ti
s
ti
c
s
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0
2
0
4
0
6
0
8
0
p
in
tr
in
s
ic
s
ta
ti
s
ti
c
M-6
Gambar 3. Grafik Pengendali p-chart berdasarkan Tabel 1 dengan metode Bayesian obyektif.
Studi simulasi dilakukan dengan cara membangkitkan sampel dengan ukuran bilangan besar B (dalam hal ini diambil B = 100.000) dari distribusi Binomial dengan parameter n=50 dan p = 0.1, 0.2, ...., 0.9 dan menggunakan sampel tersebut dikonstruksikan p-chart klasik (metode 1) dan ditentukan berapa proporsi titik yang out of control. Dengan menggunakan sampel yang sama dikonstruksikan p-chart berdasarkan metode Bayesian obyektif (metode 2) dan ditentukan berapa proporsi titik yang out of control. Bila prosedur tersebut diulang sebanyak 100 kali dan untuk n = 50, 500 dan 5000 maka akan diperoleh rata-rata proporsi titik yang out of control untuk kedua metode tersebut. Hasil tersebut dinyatakan pada Tabel 2 dan Tabel 3. Pada Tabel 2 dan Tabel 3 terlihat bahwa untuk n yang cukup besar yaitu n = 5000 maka metode 2 memberikan hasil seperti yang diharapkan yaitu proporsi banyaknya titik yang out of control menuju ke nilai = 0,0027 sedangkan pada metode 1 dan untuk n yang cukup besar yaitu n = 5000 belum menghasilkan proporsi banyaknya titik yang out of control yang cenderung menuju ke nilai = 0,0027.
Tabel 2. Tabel hasil rata-rata proporsi titik yang out of control untuk metode 1.
No. p Metode 1, n=50 Metode 1, n=500 Metode 1, n=5000
1 0.1 0.0032 0.0018 0.0016
2 0.2 0.0025 0.0019 0.0015
3 0.3 0.0024 0.0017 0.0014
4 0.4 0.0014 0.0016 0.0014
5 0.5 0.0013 0.0013 0.0013
6 0.6 0.0007 0.0014 0.0013
7 0.7 0.0007 0.0012 0.0012
8 0.8 0.0002 0.0011 0.0013
9 0.9 0 0 0.0011
0 5 10 15 20 25 30
0
.0
0
.1
0
.2
0
.3
0
.4
0
.5
Sampel ke-i, i=1,...,30
P
ro
p
o
rs
i
s
a
m
p
e
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-7
Tabel 3. Tabel hasil rata-rata proporsi titik yang out of control untuk metode 2. No. p Metode 2, n=50 Metode 2, n=500 Metode 2, n=5000
1 0.1 0.0054 0.0025 0.0026
2 0.2 0.0066 0.0026 0.0025
3 0.3 0.0034 0.0029 0.0027
4 0.4 0.0036 0.0026 0.0027
5 0.5 0.0026 0.0027 0.0026
6 0.6 0.0035 0.0028 0.0027
7 0.7 0.0034 0.0026 0.0027
8 0.8 0.006 0.0036 0.0027
9 0.9 0.0338 0.0338 0.0028
KESIMPULAN
Dalam pembahasan di atas, telah dijelaskan penggunaan metode Bayesian obyektif dalam pengkonstruksian grafik pengendali p-chart dan studi simulasinya. Grafik pengendali p-chart yang dikonstruksikan akan dijamin terletak antara 0 dan 1 sehingga berbeda dengan p-chart klasik. Di samping itu, studi simulasi menguatkan bahwa proporsi titik yang out of control dari p-chart yang dikonstruksikan dengan metode Bayesian obyektif cenderung akan menuju pada nilai yang diharapkan yaitu ke nilai = 0,0027. Penelitian ini dapat dikembangkan untuk pengkonstruksian grafik pengendali yang lain dengan metode Bayesian obyektif.
DAFTAR PUSTAKA
[1.] Bernardo, J. M. (2005) Intrinsic Credible Regions : An objective Bayesian Approach to Interval Estimation, Test 14 , 2:317-384.
[2.] Bernardo, J. M. dan M. A. Juarez (2003) Intrinsic Estimation, Bayesian Statistics 7, Oxford: University Press.
[3.] Mongomery, D. C. (2001) Introduction to Statistical Quality Control 4th edition, Wiley, New York.
[4.] Setiawan, A. (2009a) Estimasi Titik Bayesian Obyektif, Prosiding Seminar Sains dan
Pendidikan Sains , FSM UKSW, Salatiga.
[5.] Setiawan, A. (2009b) Credible Interval Bayesian Obyektif, Prosiding Seminar Nasional
Matematika, Unpar Bandung.
[6.] Setiawan, A. (2010) Interval Kredibel Bayesian Obyektif dari Parameter Populasi Berdistribusi Poisson dan Eksponensial, Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains
V, UKSW Salatiga.
