1.2. Barisan dan deret (AutoRecovered) - Copy

BAB 2

BARISAN DAN DERET

Pengalaman Belajar

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik diharapkan dapat:

1. mendeskripsikan perbedaan antara barisan aritmetika dan barisan geometri;

2. menentukan suku ke-n dan beda dari barisan aritmetika;

3. menentukan suku ke-n dan rasio dari barisan geometri;

4. menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep barisan aritmetika dan barisan geometri;

5. menentukan jumlah suku ke-n dari deret aritmetika dan deret geometri;

6. menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep deret aritmetika dan deret geometri;

7. menentukan jumlah suku dari deret geometri tak hingga;

8. menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep deret geometri tak hingga.

Barisan dan deret sangat erat kaitannya dengan konsep pola bilangan yang telah kalian pelajari pada tingkat SMP. Penerapan barisan dan deret sangat mudah ditemui dalam kehidupan sehari-hari.

Sebagai contoh dalam dunia usaha, kita dapat memprediksi skala keuntungan maupun kerugian apabila perkembangan usaha konstan dari waktu ke waktu.

Contoh lain adalah menghitung jumlah simpanan di bank dengan bunga tertentu, dan masalah yang berkaitan dengan pertumbuhan lainnya. Dengan mengetahui manfaat memahami topik tentang baris dan deret semoga bisa memotivasi untuk mempelajari matematika khususnya materi baris dan deret. ^.

PETA KONSEP

MATERI PEMBELAJARAN

Pengetahuan Prasyarat

Pola bilangan merupakan susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu atau susunan bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu.

o Suku ke-1 dilambangkan dengan U1

o Suku ke-2 dilambangkan dengan U2

o Suku ke-3 dilambangkan dengan U3

o Suku ke-n dilambangkan dengan Un

Pola bilangan ada yang membentuk barisan dan ada pula yang membentuk deret.

Jenis-jenis pola bilangan tersebut diantaranya sebagai berikut:

a. Barisan bilangan asli:

1 , 2 , 3 , 4 , …

. Pola:

1 , 2 , 3 , 4 , …

. Suku ke-

n

:

U

_n=

n

. Jumlah

n

suku pertama:

S

_n

= 1

2 n (n +1)

b. Barisan bilangan ganjil:

1 ,3 ,5 ,7 , …

. Pola:

2 ( 1 )− 1 ,2 ( 2 )− 1 ,2 ( 3 )− 1 , 2 ( 4 )− 1 , …

Suku ke-

n

:

U

_n=2

n−1

. Jumlah

n

suku pertama:

S

_n

=n

²

c. Barisan bilangan genap:

2 , 4 , 6 , 8 , …

. Pola:

2 ( 1 ) , 2 ( 2 ) , 2 ( 3 ) , 2 ( 4 ) , …

Suku ke-

n

:

U

_n=2

n

. Jumlah

n

suku pertama:

S

_n

= n ( n + 1 )

d. Barisan bilangan segitiga:

1 , 3 , 6 , 10 , …

. Pola:

1 , 1+ 2 , 1+ 2+ 3 , 1+ 2+ 3+ 4 , …

Suku ke-

n

:

U

_n

= 1

2 n ( n+1 )

^{. Jumlah}

n

suku pertama:

S

_n

= 1

6 n ( n +1 ) ( n+ 2 )

e. Barisan bilangan persegi:

1 , 4 ,9 ,16 , …

. Pola:

1

²

, 2

²

, 3

²

, 4

²

, …

Suku ke-

n

^:

U

_n

= n

². Jumlah

n

suku pertama:

S

_n

= 1

6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

Deret Geometri Barisan

Geometri Deret

Aritmatika Barisan

Aritmatika

Aplikasi Barisan dan Deret Barisan dan Deret

Geometri Barisan dan Deret

Aritmatika

Barisan dan Deret

Deret Geometri Tak Hingga

f. Barisan bilangan persegi panjang:

2 , 6 , 12 , 20 , …

^{. Pola:}

(1 × 2) ,( 2 × 3) ,( 3 × 4 ) ,( 4 × 5) , …

Suku ke-

n

:

U

_n

=n ( n+ 1)

^{. Jumlah}

n

suku pertama:

S

_n

= 1

3 n ( n+1 ) ( n+2 )

g. Barisan bilangan kubik:

1 , 8 , 27 , 64 , …

. Pola:

1

³

,2

³

,3

³

, 4

³

, …

Suku ke-

n

^:

U

_n

=n

^{3. Jumlah}

n

suku pertama:

S

_n

= [ 1 2 n ( n+ 1) ]

²

h. Barisan bilangan balok:

6 ,24 , 60 ,120 , …

. Pola:

( 1 × 2 × 3 ) , ( 2 × 3 × 4 ) , ( 3 × 4 × 5 ) , ( 4 × 5 × 6 ) , …

Suku ke-

n

:

U

_n

=n (n +1 ) ( n+ 2)

^{. Jumlah}

n

suku pertama:

S

_n

= 1

4 n ( n+ 1) ( n+ 2) ( n +3 )

i. Barisan bilangan Fibonacci adalah barisan bilangan yang nilai sukunya sama dengan jumlah dua suku di depannya. Suku ke-

n

^:

U

_n=

U

_n−1+

U

_n−2, untuk

n> 2

j. Barisan bilangan segitiga Pascal:

1 , 2 , 4 , 8 , …

. Pola: Suku ke-1:

1=2

¹⁻¹=2⁰

Suku ke- 2:

1 + 1 = 2 = 2

¹

= 2

²⁻¹, Suku ke-3:

1 + 2 + 1 = 4 = 2

²

= 2

^3−1,

Suku ke-4:

1

+

3

+

3

+

1

=

8

=

2

³=

2

^{4−1. Suku ke-}

n

:

U

_n=2^n−1. 1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

1.1 BARISAN ARITMETIKA

Barisan aritmetika dapat didefinisikan sebagai suatu barisan bilangan dimana setiap pasangan suku yang berurutan memiliki nilai selisih yang sama. Selisih tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan huruf

b

. Ayo amati susunan yang dibentuk dari batang korek api seperti pada gambar di bawah ini:

Setelah itu lengkapi tabel berikut:

Susunan ke- 1 2 3 4 5

Banyak batang korek api 4 7 10 ... ...

Untuk mencari beda dapat dilakukan dengan cara mengurangkan dua suku yang berurutan:

b = U2– U1 = ... – ... = ... atau b = U3– U2 = ... – ... = ... atau b = U4 – U3 = ...

– ... = ...

Kita dapat menentukan banyak batang korek api pada pola ke-5 dengan menemukan pola umum dari barisan diatas :

Susunan ke-1 (U1) = 4

Susunan ke-2 (U2) = 7 = 4 + ... (4 ditambah ... sebanyak ... kali)

= 4 + (… × …)

Susunan ke-3 (U3) = 10 = 4 + ... + ... (4 ditambah ... sebanyak ... kali)

= 4 + (… × …)

Susunan ke-4 (U4) = … = 4 + ... + ... + ... (4 ditambah ... sebanyak ... kali)

= 4 + (… × …)

Sehingga untuk susunan ke-5 (U5) kita peroleh: U5 = 4 + (… × …) = …

Suku ke-n (

U

_n) Suku pertama (

a

)

( n−1 )

selisih/beda (

b

) a. Bentuk umum barisan aritmetika

Secara matematis, bentuk umum barisan aritmetika sebagai berikut.

U

₁

,U

₂

,U

₃

,U

₄

, … ,U

_n

a , ( a+ b) ,( a+ 2 b ) , ( a+ 4 b ) , … , ( a +(n−1) b )

Keterangan:

U

₁=

a

=

suku pertama

b=U

₄

−U

₃

=U

₂

−U

₁

=U

_n

−U

_n−1

b. Rumus suku ke-

n

U

₁

U

₂

U

₃

U

₄ …

U

_n

a

a+ b

a +2 b

a +3 b

...

a+(n−1) b

Misalkan suatu barisan aritmetika dengan suku pertama

a

dan beda

b

maka rumus suku ke-

n

yaitu:

Keterangan:

U

_n = suku ke-

n a

= suku pertama

b

= beda Contoh 1.

Di dalam ruang rapat disusun kursi dengan barisan paling depan terdiri dari 12 kursi, barisan kedua berisi 14 kursi, barisan ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Berapa banyaknya kursi pada barisan k-20?

Alternatif Penyelesaian.

U

₁=

a

=

12 U

₂

=14 U

₃=16

b = U

₂

− U

₁

b=14−12=2

U

_n

= a +( n − 1 ) b U

₂₀

= 12 +( 20 − 1 ) 2 U

₂₀=12+

19 x 2 U

₂₀

=12+ 38 U

₂₀=50

Jadi banyaknya kursi pada barisan ke-20 adalah 50 kursi Contoh 2.

Berapakah banyaknya bilangan asli yang merupakan kelipatan 5 antara 21 dan 99?

Alternatif Penyelesaian.

Barisannya adalah:

25 ,30 , 35 , … , 90 , 95

^.

a=25 b=5 U

_n

=a+( n−1 ) b

95=25+(n−1) 5

U

_n

=a +(n−1) b

95=25+5 n−5 75=5 n

n=15

Jadi banyaknya bilangan asli yang merupakan kelipatan 5 antara 21 dan 99 adalah 15 Contoh 3.

Diketahui jumlah suku ke-2 dan ke-4 dari barisan aritmetika adalah 26. Selisih suku ke-8 dan suku ke-5 adalah 9. Berapakah suku ke-10 dari barisan aritmetika tersebut?

Alternatif Penyelesaian.

U

₂+

U

₄=

26

( a + b )+( a + 3 b )= 26

2 a+ 4 b=26

………(1)

U

₈−U₅=9

( a+ 7 b )−( a+ 4 b )=9 a−a+ 7 b− 4 b=9 3 b=9

b=3

……….…(2)

Substitusi b=3 ke pers (1)

2 a+ 4 b=26 a+ 2 b=13 a + 2 ( 3 )= 13 a = 13 − 6 a

=

7

U

₁₀=

a

+

9 b U

₁₀

= 7 + 9 ( 3 ) U

₁₀

=7 +27 U

₁₀=34

Jadi suku ke-10 barisan aritmetika tersebut adalah 34 c. Suku tengah pada barisan aritmetika

Misalkan suatu barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil

( 2 k − 1 )

^{, dengan}

k

bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah barisan aritmetika itu adalah suku ke-

k

^atau

U

_kdan rumus suku tengah

U

_k ditentukan oleh hubungan:

Contoh.

Diketahui barisan aritmetika

3 ,5 , 7 , 9 , … , 95

. Banyak suku pada barisan tersebut adalah ganjil.

1) Tentukan suku tengahnya?

2) Suku keberapakah suku tengahnya itu?

3) Berapakah banyak suku barisan itu?

Alternatif Penyelesaian.

1) Barisan

3 , 5 , 7 , 9 , … , 95

suku pertama

U

₁

= a = 3

beda =

b

=

5

−

3

=

2

suku terakhir

U

_2k−1

= 95 U

_k

= 1

2 ( U

¹

+ U

^2k−1

)

U

_k

= 1

2 ( 3+ 95)= 1

2 ( 98)=49

Jadi suku tengahnya adalah 49.

2) Dari hasil no. 1) diperoleh:

U

_k

=a+( k −1) b 49=3+( k −1 ) 2 49=3+ 2 k

−2

48=2 k

k

=24

Jadi suku tengahnya adalah suku ke-24 3) Banyaknya suku barisan itu adalah:

2 k − 1 = 2 ( 24 )− 1 = 48 − 1 = 47

d. Sisipan pada barisan aritmetika

U

_k

= 1

2 ( U

¹

+ U

2k−1

) = 1 2 ( a + U

ⁿ

)

Misalkan diantara dua bilangan

x

dan

y

disisipkan sebanyak

k

buah bilangan (

k ∈

bilangan asli) sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika. Nilai beda barisan aritmetika yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan:

Dengan

x

dan

y

∈ bilangan real,

x ≠ y

dan

k

∈ bilangan asli.

Contoh.

Diantara bilangan 4 dan 112 disisipkan 11 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika.

Tentukan: 1) Beda

2) Rumus suku ke-

n

3) Nilai

U

₁₅ Alternatif Penyelesaian.

1)

y=112 x

=4

k =11 b= 112−4

11 + 1 = 108 12 = 9

Jadi beda barisan yang terbentuk adalah 9

2)

a=4 b=9

U

_n

=a +(n−1) b U

_n

= 4+( n−1 ) 9 U

_n

= 4 + 9 n − 9 U

_n=

9 n

−

5

Jadi rumus suku ke-n adalah

U

_n

=9 n−5

3)

U

₁₅

= 9 (15 )−5 U

₁₅

= 135 − 5 U

₁₅=

130

Jadi nilai

U

₁₅

adalah 130

AYO BERDISKUSI

Selesaikan tugas berikut secara berkelompok.

1. Diberikan barisan aritmetika:

4 , k , h , 14 1 2 ,t

. Nilai

k , h ,

dan

t

adalah….

2. Di perusahaan “Jaya Raya”, gaji Diana Rp 2.000.000,00 sebulan pada tahun pertama. Setiap tahun berikutnya gaji Diana bertambah Rp 200.000,00.

a. Berapa gaji Diana sebulan jika ia telah bekerja selama 8 tahun?

b. Berapa lama Diana harus bekerja di perusahaan “Jaya Abadi” jika ia ingin mendapat gaji Rp5.800.000,00 sebulan?

3. Diketahui

x , y , 3 x

+

y , x

+

2 y

+

2

membentuk barisan aritmetika. Jika suku ke-n adalah 236 maka n adalah….

4. Seorang anak dalam satu hari diberi uang jajan sebesar Rp. 30.000,-. Pada bulan pertama ia menyimpan uang sebesar Rp. 3.000,- / hari, pada bulan kedua menyimpan uang sebesar Rp. 4.000,- / hari dan seterusnya sampai satu tahun (dengan perhitungan satu bulan = 30 hari, 1 tahun = 12 bulan). Berdasarkan wacana tersebut, pasangkan untuk setiap bulan ke- dan uang yg disimpan agar menjadi benar!

b= y − x k + 1

2 5 9

 Rp. 90.000

 Rp. 120.000

 Rp. 180.000

 Rp. 210.000

 Rp. 330.000

Bulan Ke- Banyak Uang

5. Anita, seorang seniman muda dari Sumatera berencana membuat pameran tunggal untuk menunjukkan rancangan karyanya yang disusun dari tumpukan bola- bola tanah. Bola-bola tersebut dibuat dari campuran tanah liat dan sampah daur ulang. Polanya seperti gambar berikut.

Untuk memenuhi ruangan yang disediakan, Anita akan membuat 10 susunan bola tersebut. Jumlah bola tanah pada susunan ke-7 adalah ….

AYO BERLATIH

Pilihlah jawaban yang benar.

1. Diketahui suku ke-1 dari barisan aritmetika adalah 6 dan suku kelimanya 18, beda suku tersebut adalah…

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

2. Rumus suku ke-n dari barisan 5, –2, –9, –16, … adalah …

A. A. 12 + 7 𝑛 B. B. 12 𝑛 − 7 C. 12 𝑛 + 7 D. 12 − 7 𝑛 E. 12 𝑛 − 1

3. Jika perbandingan suku pertama dan suku ketiga suatu barisan aritmetika adalah

2:3

maka perbandingan suku kedua dan suku keempat adalah….

A.

1:3

B.

3 : 4

C.

4 :5

D.

5 :6

E.

5 :7

4. Barisan

36 , a , b , c , d , e , f , g , − 4

merupakan barisan aritmatika maka

b+ d −f

^adalah….

A. 36 B. 30 C. 26 D. 20 E. 16

5. Sebuah barisan aritmetika terdiri atas 21 suku. Suku tengah barisan tersebut 47 dan

U

₃

+ U

₅

+U

15

=91

. Jumlah 4 suku genap yang pertama adalah….

A. 50 B. 65 C. 68 D. 91 E. 141

6. Sekolah vokasi adalah jenjang Pendidikan khusus yang diarahkan pada penguasaan keahlian terapan tertentu dengan progam khusu.

Misalnya SMK, Politeknik atau Program Diploma, serta Lembaga Kursus dan Pelatihan (LPK). Pada suatu kursus yang baru dibuka, murid baru yang mendaftar setiap bulan bertambah secara konstan.

Murid baru yang mendaftar pada bulan ke-2 dan ke-4 ada 20 orang.

Murid baru yang mendaftar pada bulan ke-5 dan ke-6 ada 40 orang.

Pernyataan yang sesuai adalah…

A. Murid yang mendaftar pada bulan pertama ada 2 orang dan setiap bulan bertambah 2 orang

B. Murid yang mendaftar pada bulan pertama ada 3 orang dan setiap bulan bertambah 2 orang

C. Murid yang mendaftar pada bulan pertama ada 4 orang dan setiap bulan bertambah 2 orang

D. Murid yang mendaftar pada bulan pertama ada 2 orang dan setiap bulan bertambah 4 orang

E. Murid yang mendaftar pada bulan pertama ada 4 orang dan setiap bulan bertambah 4 orang 7. Misalkan

U

_n adalah suku ke-

n

barisan aritmetika dengan suku pertama

a

dan beda

2 a

. Jika

U

₁

+ U

₃

+ U

₅

+ U

₇

+ U

₉

= 90

maka

U

₁₂+

U

₁₄+

U

₁₆+

U

₁₈+

U

₂₀=

… .

A. 230

B. 250 C. 290 D. 310 E. 320

8. Suku ke-10 dikurangi suku ke-4 suatu barisan aritmetika adalah 18.

Jika jumlah suku ke-8, suku ke-9, dan suku ke-10 barisan tersebut

adalah 90, maka suku pertamanya adalah….

A. 6 D. 12

B. 8 E. 14

C. 10

9. Pada sebuah barisan aritmetika, nilai suku ke-16 adalah sembilan kali suku ke-2. Suku yang bernilai tigabelas kali suku pertama adalah suku ke….

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10

10. Jika 8,12,16, … merupakan barisan aritmatika, maka pernyataan yang benar adalah…

(1) Dua kali suku ke-9 lebih besar daripada sukuk e-18

(2) Suku ke-10 lebih kecil daripada 48

(3) Ada suku yang sama dengan delapan kali suku lainnya (4) Tidak ada suku yang sama

dengan jumlah delapan suku pertama

A. (1), (2), dan (3) B. (1) dan (3) C. (2) dan (4) D. (4)

E. (1), (2), (3) dan (4) 2.2 DERET ARITMETIKA

Deret aritmetika dapat didefinisikan sebagai jumlah keseluruhan dari anggota barisan aritmetika yang dihitung secara berurutan.

a. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika

Secara matematis, deret aritmetika dapat dinyatakan sebagai berikut:

S

_n

=U

₁

+ U

₂

+ U

₃

+…+ U

_n

S

_n=a+

( a+ b )

+

( a+ 2 b )

+

…+ ( a

+

( n−1 ) b )

….. (1)

S

_n dapat dituliskan juga menjadi:

S

_n=

( a+ ( n−1 ) b )

+

( a+ ( n−2 ) b )

+

( a+ ( n−3 ) b )

+

…+ a

….. (2) Jika (1) dan (2) dijumlahkan maka akan diperoleh:

S

_n

=a +(a+ b )+( a+ 2 b )+…+ ( a +(n−1) b )

S

_n=

( a+ ( n−1 ) b )

+

( a+ ( n−2 ) b )

+

( a+ ( n−3 ) b )

+

…+ a

________________________________________________________________

+

2 S

_n

= ( 2 a +( n − 1 ) b ) + ( 2 a +( n − 1 ) b ) + ( 2 a +( n − 1 ) b ) + … + ( 2 a +( n − 1 ) b )

2 S

_n

=n . ( 2 a+( n−1) b )

S

_n

= n

2 ( 2 a +(n−1 ) b )

Jadi jumlah

n

suku pertama deret aritmatika adalah :

Atau

S

_n

= n

2 ( 2 a +( n − 1 ) b ) = n

2 ( a + a +( n − 1 ) b )

Ingat :

U

_n

= a+(n−1 ) b

Dengan demikian

S

_n dapat dinyatakan sebagai:

Rumus mana dari kedua rumus di atas yang akan digunakan disesuaikan dengan kebutuhan.

Hubungan jumlah

n

suku pertama deret aritmetika dan suku tengahnya:

S

_n

=n . 1

2 ( a+U

n

)

^dan

U

k

= 1

2 ( a+U

n

)

^maka:

Contoh 1.

Dari sebuah deret hitung diketahui suku ketiga sama dengan 9, sedangkan jumlah suku kelima dan ketujuh sama dengan 36. Berapakah jumlah 10 suku yang pertama?

Alternatif Penyelesaian.

U

₃

=a+ 2 b=9

…. (1)

U

₅+

U

₇=

36

( a + 4 b )+( a + 6 b )= 36 2 a

+

10 b

=

38

a+ 5 b=18

…. (2)

Persamaan (1) dan (2):

a

+2

b=9 a + 5 b = 18

___________ -

− 3 b =− 9

b=3 a +2 ( 3)=9 a=9−6 a=3

S

_n

= n

2 ( 2 a+( n−1) b ) S

₁₀

= 10

2 ( 2 ( 3)+( 10−1) 3 ) S

₁₀

=5 ( 6 +27 )= 5 ( 33 )= 165

Jadi jumlah 10 suku pertamanya adalah 165 Contoh 2.

Hitunglah

2 + 4 + 6 + … + 122.

Alternatif Penyelesaian.

a=2

^,

b= 4−2=2

^,

U

_n=122

Kita tentukan dahulu,

122

terletak pada suku ke berapa.

U

_n

=a+( n−1) b

122 = 2 +( n − 1 ) 2 S

_n

= n

2 ( a+U

n

) S

_n

= n

2 ( 2 a +( n − 1 ) b )

S

_n

= n

2 ( a+U

n

)

S

_n

=n .U

_k

122=2+ 2 n−2 2 n=122

Dengan demikian pada deret tersebut

n=61

ada 61 suku.

S

₆₁

= 61

2 ( 2+122 ) S

₆₁

= 61

2 ( 124 ) S

₆₁

=61 × 62=3.782

Jadi jumlah deret tersebut adalah 3.782 Contoh 3.

Tempat duduk di sebuah gedung pertunjukan seni diatur mulai dari depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris dengan baris terdepan ada 20 kursi, maka berapakah kapasitas tempat duduk di gedung tersebut?

Alternatif Penyelesaian.

b= a=20 4 n=15

S

_n

= n

2 ( 2 a+(n−1 ) b ) S

₁₅

= 15

2 ( 2 ( 20 )+14 ( 4 )) S

₁₅

= 15

2 ( 40 + 56 )= 15 2 ( 96 ) S

₁₅

=15 × 48=720

Jadi kapasitas tempat duduk di gedung tersebut adalah 720 kursi b. Hubungan

U

_n dengan

S

_n

Perhatikan uraian berikut:

S

_n

=U

1

+ U

₂

+ U

₃

+…+ U

_n−1

+ U

_n

S

_n−1=U1+U2+U3+

…+U

_n−1

_____________________________________ -

S

_n

− S

_n−1

= U

_n

Dengan demikian:

Kita telah mengetahui bahwa:

S

_n

= n

2 ( a+ U

n

)

^{, dengan}

a=U

^{1. Apabila}

n

=

1

maka akan diperoleh:

S

₁

= 1

2 ( U

¹

+U

¹

) = 1 2 ( 2 U

¹

) =U

¹. Dengan demikian berlaku:

CATATAN: Rumus ini juga berlaku untuk deret geometri.

Contoh.

U

_n=Sn−

S

_n−1

S

₁

=U

1

Diketahui jumlah

n

suku pertama suatu deret aritmetika adalah

S

_n

=7 n−2 n

². Tentukan suku ke-20 deret tersebut!

Alternatif Penyelesaian.

S

_n=7

n−2 n

²

S

₂₀

=7 (20 )−2 (20 )

²

S

₂₀

=140−2 ( 400 ) S

₂₀=

140

−

800 S

₂₀

=−660

S

₁₉=7

( 19 )

−2

( 19 )

²

S

₁₉

= 133 − 2 ( 361 ) S

₁₉

=133−722 S

₁₉=−589

U

₂₀=

S

₂₀−

S

₁₉

U

₂₀

=−660−(−589 ) U

₂₀

=−660+ 589 U

₂₀=−71

Jadi nilai suku ke-20 adalah

− 71

AYO BERDISKUSI

Selesaikan tugas berikut secara berkelompok.

1. Budi menabung setiap bulan di sebuah bank. Pada bulan pertama Budi menabung sebesar Rp 120.000,00 dan pada bulan berikutnya uang yang ditabung selalu Rp 10.000,00 lebih besar dari uang yang ditabung pada bulan sebelumnya. Jumlah uang tabungan Budi selama satu tahun adalah . . . .

2. Jika jumlah

n

suku pertama deret aritmetika adalah 525, dan suku tengah deret tersebut adalah 25, maka banyaknya suku deret aritmetika tersebut adalah….

3. Dalam suatu Gedung pertunjukan terdapat 8 baris kursi. Pada baris pertama terdapat 7 kursi, pada baris kedua 11 kursi, baris ketiga 15 kursi, baris keempat 19 kursi dan seterusnya mengikuti pola yang sama. Dalam suatu pertunjukan terisi penonton sebanyak tiga perempat dari kapasitas seluruh kursi. Tentukan benar atau salah pernyataan berikut berdasarkan informasi diatas!

Pernyataan Benar Salah

Banyak kursi yang kosong (tidak terisi) lebih dari 40 Jika harga tiket per orang Rp. 50.000,00, pendapatan saat itu adalah Rp. 6.000.000,00

4. Sebuah kontraktor mempekerjakan 15 karyawan dari hari Senin sampai Jum’at setiap minggu. Untuk mempercepat pekerjaan tersebut, setiap minggu jumlah karyawan ditambah 12 orang. Setelah 8 minggu pekerjaan tersebut dapat diselesaikan. Besar dana yang harus dikeluarkan oleh bagian keuangan jika upah tiap karyawan Rp115.000,00 per hari adalah….

5. Dalam rangka memperingati hari kemerdekaan Republik Indonesia, Desa

Y

mengadakan lomba mengambil kelereng dari wadah dengan aturan sebagai berikut:

a. Setiap tim terdiri dari 5 orang dan setiap anggota kelompok harus mengambil kelereng sesuai urutannya.

b. Pada pengambilan putaran pertama (5 orang secara bergantian) hanya diperbolehkan mengambil masing-masing dua kelereng

c. Pada putaran kedua, orang pertama setiap kelompok mengambil 3 kelereng dan selalu bertambah 2 kelereng untuk peserta pada urutan berikutnya dalam kelompok tersebut

d. Pada putaran selanjutnya, setiap anggota tim mengambil 2 kelereng lebih banyak dari yang diambil anggota sebelumnya.

Tim C beranggotakan Ari, Betta, Cici, Dian, dan Endah (urutan pengambilan kelereng susuai dengan urutan abjad awal nama). Bersamaan dengan

habisnya waktu, ternyata Tim C berhasil mengumpulkan 205 kelereng. Banyak kelereng yang berhasil diambil pada pengambilan terakhir oleh salah seorang anggota Tim C adalah….

AYO BERLATIH

Pilihlah jawaban yang benar.

1. Seorang peternak ayam petelur mencatat banyak telur yang dihasilkan selama 12 hari. Setiap hari, banyaknya telur yang dihasilkan bertambah 4 buah. Jika hari pertama telur yang dihasilkan berjumlah 20 buah, jumlah seluruh telur selama 12 hari adalah...

A. 480 B. 496 C. 504 D. 512 E. 520

2. Garantung merupakan salah satu alat musik Batak Toba, Sumatera Utara. Jika jumlah bilah ada 11 dengan selisih panjang tiap bilah Garantung yang berdekatan selalu tetap, dan Sigapiton ingin membuat garantung dengan bilah terpanjang 33 cm dan bilah terpendek 13 cm.

Berapa minimal total panjang bilah yang harus disediakan Sigapiton?

A. 251 cm B. 252 cm C. 253 cm D. 254 cm E. 255 cm

3. Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 4 dan 6 adalah….

A. 240 B. 348 C. 432 D. 480 E. 864

4. Jika jumlah

n

suku pertama suatu deret didefinisikan sebagai

S

_n

= 12 n − n

² maka suku kelima deret tersebut adalah….

A. – 3 B. – 1 C. 0 D. 1 E. 3

5. Suatu barisan aritmetika diketahui

U

₁+

U

₂+

…

+

U

₁₁+

U

₁₂=

3

dan

U

₅

+ U

₇

= 1

. Maka nilai

U

₂₀₂₃

adalah….

A. – 1004 B. – 1005 C. – 1007 D. – 1008 E. – 1009

6. Diantara bilangan 4 dan 100 disisipkan sebelas bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika. Jumlah semua bilangan yang disisipkan yaitu….

A. 572 B. 530 C. 480 D. 420 E. 360

7. Dari deret aritmetika diketahui suku tengahnya 25 dan suku terakhirnya 60. Jika suku ke-11 deret tersebut adalah 40, jumlah semua suku deret tersebut adalah….

A. 375 B. 400 C. 425 D. 450 E. 525

8. Jumlah suatu deret aritmetika 884 dengan banyak suku 17. Suku

pertamanya 100 dan

U

_n

−U

_n−1

=−6

. Nilai suku tengahnya adalah….

A. 40 D. 58

B. 46 E. 64

C. 52

9. Jika suku pertama, ke-3, dan ke-6 suatu barisan aritmetika masing- masing adalah

b−a

^,

a

, dan 36 serta jumlah 9 suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah 180, maka beda barisan tersebut adalah….

A. 18 B. 16 C. 12 D. 9

E. 8

10. Misalkan

U

_k dan

S

_k berturut-turut menyatakan suku ke-

k

dan jumlah

k

suku pertama suatu barisan

aritmetika. Jika

U

₁+U₃+

U

₅+

U

₇+

U

₉+U₁₁=138 maka

S

₁₁

=… .

A. 127 B. 244 C. 253 D. 284 E. 312

2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI 2.1. BARISAN GEOMETRI

Barisan geometri dapat didefinisikan sebagai suatu barisan bilangan dimana setiap pasangan suku yang berurutan memiliki nilai perbandingan yang sama. Perbandingan t ersebut disebut rasio dan dilambangkan dengan huruf

r

. Ayo bereksplorasi melipat kertas beberapa kali seperti gambar dibawah ini!

Jumlah melipat kertas 1 kali 2 kali 3 kali 4 kali

Banyaknya bagian sama

besar yang terbentuk 2 bagian ... bagian ... bagian ... bagian Untuk mencari rasio dapat dilakukan dengan cara membandingkan dua suku yang berurutan:

r

= U U

²

1

= ❑

❑ =¿

atau r

= U U

³

2

= ❑

❑ =¿

atau r

= U U

⁴

3

= ❑

❑ =¿

Kita dapat menentukan banyak bagian kertas sama besar yang terbentuk pada pola ke-5 dengan menemukan pola umum dari barisan diatas :

Pola ke-1 (U1) = 2

Pola ke-2 (U2) = 4 = 2 X ... (2 dikali 2 sebanyak … kali) = 2 × 2^…

Pola ke-3 (U3) = … = 2 X ... X ... (2 dikali 2 sebanyak … kali) = 2 × 2^… Pola ke-4 (U4) = … = 2 X ... X ... X ... (2 dikali 2 sebanyak … kali) = 2 × 2^…

Sehingga untuk susunan ke-5 (U5) kita peroleh: U5 = 2 × 2^… = …

Suku ke-n (

U

_n) Suku pertama (

a

) rasio

(r )

^(n-1)

a. Bentuk umum barisan geometri

Secara matematis, bentuk umum barisan geometri sebagai berikut.

U

₁

,U

₂

,U

₃

,U

₄

, … ,U

_n

a , ( ar ) , ( a r

²

) , ( a r

³

) , … , ( a r

ⁿ⁻¹

)

Keterangan:

U

₁=

a

=

suku pertama r= U

₄

U

₃

= U

₂

U

₁

= U

_n

U

_n−1

b. Rumus suku ke-

n

U

₁

U

₂

U

₃

U

₄ …

U

_n

a ar a r

²

a r

³ …

a r

ⁿ⁻¹

Misalkan suatu barisan geometri dengan suku pertama

a

dan rasio

r

. rumus suku ke-

n

yaitu:

Keterangan:

U

_n = suku ke-

n a

= suku pertama

r

= rasio Contoh 1.

Suku ke-3 dan suku ke-7 suatu barisan geometri berturut-turut adalah 16 dan 256.

Berapakah suku ke-15 barisan tersebut?

Alternatif Penyelesaian.

U

₃

=a r

²

=16 U

₇=

a r

⁶=

256

a r

⁶

a r

²

= 256

16 r

⁴=

16 r= √

⁴

16=± 2

r=2

a r

²

=16 a ( 2 )

²=

16 4 a

=

16 a = 4

U

_n

=a r

ⁿ⁻¹

U

₁₅=4

( 2 )

¹⁴

U

₁₅

=(2 )

²

. ( 2)

¹⁴

U

₁₅=2¹⁶

Jadi suku ke-15 barisan tersebut adalah

2

¹⁶

Contoh 2.

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 2, dan suku kelima 162. Jika

U

_n=1.458, maka berapakah

n

?

Alternatif Penyelesaian.

U

₅

=a r

⁴

r= √

⁴

81=± 3

r

=3

U

_n

=a r

ⁿ⁻¹

3

ⁿ⁻¹

=3

⁶

n − 1 = 6

U

_n

=a r

ⁿ⁻¹

162=2 r

⁴

r

⁴

= 162

2 = 81

1.458=2 .3

ⁿ⁻¹

3

ⁿ⁻¹

= 1.458

2 = 729

n=7

Jadi jika

U

_n=1.458, maka

n

adalah 7 Contoh 3.

Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap 5 menit. Pada waktu 15 menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Berapa banyak bakteri pada waktu 30 menit pertama?

Alternatif Penyelesaian.

r=2

Menit ke-15 adalah

U

₃

U

₃

= a r

²

= 400 a ( 2 )

²=

400 4 a

=

400 a = 100

Menit ke-30 adalah

U

₆

U

₆=

a r

⁵

U

₆

=100 ( 2)

⁵

U

₆

=100 ( 32) U

₆=3.200

Jadi banyak bakteri pada waktu 30 menit pertama adalah 3.200

c. Suku tengah barisan geometri

Misalkan suatu barisan geometri dengan banyak suku adalah ganjil

( 2 k − 1 )

^,

dengan

k ∈

bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah barisan geometri itu adalah suku ke-

k

atau

U

_k dan rumus suku tengah

U

_k ditentukan oleh:

Contoh.

Ditentukan barisan geometri

1 8 , 1

4 , 1

2 , … , 128

.

Banyaknya suku pada barisan geometri ini adalah ganjil. Tentukan:

1) suku tengahnya

2) suku keberapakah suku tengahnya tersebut?

3) berapakah banyaknya suku barisan tersebut?

Alternatif Penyelesaian.

1) Barisan geometri

1 8 , 1

4 , 1

2 , … , 128 a = 1

8

^,

r = 1 4 × 8

1 = 2 U

_k=

√ U

¹

×U

^2k−1

U

Jadi suku tengahnya adalah 4_k

= √ 1 8 .128 = √ 16 = 4

2)

U

_k=a r^k−1

4 = 1

8 . ( 2)

^k−1

32=2

^k−1

2

⁵

= 2

^k−1

k

−

1

=

5 k = 6

Jadi suku tengahnya adalah suku yang ke-6

3) Banyaknya suku barisan tersebut:

2 k−1=2 (6 )−1

¿ 12−1=11

U

_k

= √ U

¹

×U

^2k−1

d. Sisipan pada barisan geometri

Misalkan diantara dua bilangan

x

dan

y

disisipkan sebanyak

k

buah bilangan (

k

∈ bilangan asli) sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Nilai rasio barisan geometri yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan:

Dengan

x

dan

y

bilangan real,

x ≠ y

, dan

k

∈ bilangan asli

Contoh.

Tentukan rasio dan barisan geometri yang terbentuk pada soal berikut ini!

1) Diantara bilangan-bilangan

1

4

dan 8 disisipkan sebanyak 4 buah bilangan 2) Diantara bilangan-bilangan 2 dan 162 disisipkan sebanyak 3 buah bilangan Alternatif Penyelesaian.

1)

x = 1

4

^,

y = 8

dan

k = 4

(genap) maka nilai

r

hanya 1 kemungkinan:

r=

^k+1

√ y x = √

⁵

8 1 4 = √

⁵

32=2

Jadi, nilai rasio dan barisan geometri yang terbentuk adalah

r

=2 dan barisan geometri itu adalah

1

4 . 1

2 . 1.2. 4. 8.

2)

x=2

^,

y=162

^{, dan}

k =3

(ganjil) maka nilai

r

ada 2 kemungkinan:

r =+

^k+1

√ x y =+ √

⁴

162 2 =+ 3 ,

atau

r =−

^k+1

√ x y =− √

⁴

162 2 =− 3

Jadi, nilai rasio dan barisan geometri yang terbentuk adalah

r =3

^atau

r=−3

Untuk

r

=3, barisan geometri yang terbentuk adalah

2 , 6 , 18 , 54 , 162

Untuk

r =−3

, barisan geometri yang terbentuk adalah

2 ,−6 , 18 ,−54 ,162

Catatan:

1. Untuk

k

genap, nilai

r

yang diperoleh hanya ada 1 kemungkinan, yaitu:

r =

^k+1

√ x y

2. Untuk

k

ganjil, nilai

r

yang diperoleh ada 2 kemungkinan, yaitu:

r =+

^k+1

√ y x

^atau

r =−

^k+1

√ y x

r =

^k+1

√ y x

AYO BERDISKUSI

Selesaikan tugas berikut secara berkelompok.

1. Pertambahan penduduk setiap tahun suatu desa mengikuti aturan barisan geometri. Pertambahan penduduk pada tahun 2020 sebesar 24 orang dan pada tahun 2022 sebesar 96 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2025 adalah….

2. Gambar disamping menunjukkan suatu segitiga sama sisi ABC yang Panjang sisinya 20 cm. Di dalamnya terdapat segitiga sama sisi kedua dengan menghubungkan titik-titik tengah sisi-sisi segitiga pertama. Hal yang sama untuk segitiga ketiga, keempat, kelima, dan keenam.

a. Apakah keliling segitiga membentuk barisan geometri? Berapa rasionya?

b. Berapa keliling segitiga sama sisi keempat?

3. Dalam suatu barisan geometri, diketahui suku ketiga 3 lebihnya dari suku pertama, dan jumlah suku kedua dan suku ketiga ialah 6. Nilai suku ke-8 adalah….

4. Hasil observasi pada penderita suatu penyakit tertentu, ditemukan bakteri yang menyebabkan luka pada bagian kaki penderita akan semakin melebar. Untuk mencegah pertumbuhan dan sekaligus mengurangi jumlah bakteri hingga sembuh, penderita diberikan obat khusus yang diharapkan dapat mengurangi bakteri sebanyak 20% pada setiap tiga jamnya. Jika pada awal observasi (jam 09.00) terdapat sekitar 6.250 bakteri dan langsung diberikan obat yang pertama, perkiraan jumlah bakteri setelah pemberian obat pada pukul 21.00 adalah…

5. Diketahui barisan geometri

1 , 8 , 64 ,512 , …

. Diantara dua suku yang berurutan disisipkan dua bilangan sehingga terbentuk barisan geometri yang baru.

a. Tuliskan barisan geometri yang baru b. Suku yang bernilai delapan kali suku ke-8

AYO BERLATIH

Pilihlah jawaban yang benar.

1. Diketahui barisan geometri

6 , 2 √ 3 , 2 , 2 3 √ 3 , . . .

Suku ketujuh barisan tersebut adalah….

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 9

D.

1 3 √ 3

E.

2 9 √ 3

2. Misalkan

U

_n menyatakan suku ke-

n

dari barisan geometri. Jika

U

₃−U2=6 dan

U

₄−U2=18, maka

U

₆+

U

₄ adalah….

A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 E. 140

3. Perhatikan perubahan zat radioaktif dalam satuan jam saat meluruh yang disajikan dalam tabel berikut:

Berapa massa zat radioaktif saat meluruh pada pukul 14.00?

A. 50 gr B. 100 gr C. 150 gr D. 200 gr E. 250 gr

4. Jika suku pertama barisan geometri adalah 8 dan suku ke-4 adalah 216, maka 52.488 adalah suku ke….

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11

5. Hasil kali 5 suku pertama dari barisan geometri adalah 32. Jika jumlah suku ketiga dan suku keempat barisan tersebut adalah 6, maka suku kedelapan barisan tersebut adalah….

A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 E. 128

6. Jika diantara

7

^dan

448

disisipkan lima bilangan positif sehingga membentuk suatu barisan geometri, maka jumlah suku ketiga dan suku ketujuh adalah….

A. 126 B. 231 C. 238 D. 455 E. 476

7. Suatu barisan geometri mempunyai suku sebanyak 9 buah, jika suku pertamanya adalah 5 dan suku terakhirnya adalah 1.280, maka jumlah suku tengah dan suku ke-8 adalah….

A. 580 B. 640 C. 720 D. 1.080 E. 1.360

8. Diketahui suku ke-2 dan suku ke-5 barisan geometri berturut-turut adalah 12 dan 768. Rumus suku ke- n barisan tersebut adalah….

A.

3 . 4

ⁿ⁺¹

B.

3 . 4

ⁿ C.

3 .2

ⁿ⁺¹

D.

3 .2

²ⁿ⁻¹ E.

3 .2

²ⁿ⁻²

9. Jika

p

−

q

,

2 p

+

q

,

11 p

+

3 q

adalah suku barisan geometri yang berurutan, maka rasionya adalah….

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

10. Diketahui barisan geometri tak konstan

a , b , c , . . .

^Jika

abc

=27

dan

9 a+ b+ c

=33 ^maka

6 a+3 b + 1

3 c

adalah….

A. 18 B. 20 C. 23 D. 27 E. 31

2.2 DERET GEOMETRI Definisi deret geometri:

Rumus jumlah

n

suku pertama deret geometri:

Contoh 1.

Diketahui suku ke-2 dan suku ke-6 suatu deret geometri dengan suku positif berturut- turut adalah 6 dan 96. Berapakah jumlah 7 suku pertama deret tersebut?

Alternatif Penyelesaian.

U

₂

= ar = 6 U

₆=a r⁵=

96

a r

⁵

ar = 96

6 r

⁴=

16 r

=

± 2 r = 2

ar=6 a ( 2)=6 a=3

S

_n

= a( r

ⁿ

−1 ) ( r − 1 ) S

₇

= 3 ((2 )

⁷

−1)

( 2 − 1 ) S

₇

=3 (128−1) S

₇

=3 (127 )=381

Jadi jumlah 7 suku pertama deret tersebut adalah 381

Contoh 2.

Suku pertama dan rasio deret geometri berturut-turut adalah 2 dan 3. Jika jumlah

n

suku pertama deret tersebut adalah 80, maka berapakah banyak sukunya?

Alternatif Penyelesaian.

S

_n

= a ( r

ⁿ

− 1 ) ( r−1 ) 80 = 2( 3

ⁿ

−1)

( 3 − 1 ) 80=3

ⁿ−1

81

=

3

ⁿ

3

⁴

=3

ⁿ

n= 4

Jadi banyak suku deret geometri tersebut adalah 4

Contoh 3.

Seorang anak diminta mengisi bola pada 5 kotak yang diberi label A, B, C, D, dan E mengikuti aturan barisan geometri. Jika kotak B diisi bola sebanyak 12 buah dan kotak E diisi sebanyak 96 buah, maka berapakah jumlah seluruh bola yang diisikan ke dalam 5 kotak tersebut?

Alternatif Penyelesaian.

U

₂

=ar=12 U

₅=

a r

⁴=

96

ar

=12

a ( 2 )= 12 a = 6

S

_n

= a ( r

ⁿ

− 1 ) ( r −1)

Jika

U

₁

,U

₂

,U

₃

, … ,U

_n merupakan barisan geometri, maka

U

₁

+ U

₂

+ U

₃

+ … + U

_n dinamakan sebagai deret geometri.

Jumlah

n

suku pertama deret geometri:

U

₁

+ U

₂

+ U

₃

+ … + U

_n−1

+ U

_n

ditentukan dengan menggunakan rumus:

S

_n

= a ( 1 − r

ⁿ

)

( 1−r ) ,untuk r <1 atau S

_n

= a ( r

ⁿ

− 1 )

( r −1 ) ,untuk r > 1

dengan

n

= banyaknya suku,

a

= suku pertama, dan

r

= rasio.

a r

⁴

ar = 96

12 r

³=

8

=

2

³

r

=

2

S

₅

= 6 ((2 )

⁵

−1) ( 2−1) S

₅

=6 (32−1 ) S

₅

= 6 ( 31 )= 186

jumlah seluruh bola yang diisikan ke dalam 5 kotak tersebut 186 buah

2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Pada deret geometri untuk

n → ∞

maka deret tersebut dikatakan deret geometri tak hingga.

Bentuk umum deret geometri tak hingga adalah:

a

+

ar

+

a r

²+

a r

³+

…

Deret geometri tak hingga tersebut akan konvergen (mempunyai jumlah) jika

−1<

r

<

1

dan jumlahnya adalah:

Jika

r

terletak pada

r

←

1

^atau

r

>1, maka deret tersebut dinamakan divergen (tidak mempunyai jumlah).

Contoh 1.

Diketahui deret geometri:

5 + 5 2 + 5

4 + 5

8 + …

. Tentukanlah jumlah deret itu!

Alternatif Penyelesaian.

a = 5 , r = 1 2 S

_∞

= a

1 − r = 5 1− 1

2

= 5 1 2

=5 ( 2 )= 10

Jadi jumlah dari

5 + 5 2 + 5

4 + 5

8 + …

adalah 10.

Contoh 2.

Sebuah bola tenis dijatuhkan dari tempat yang tingginya 1 meter. Setiap kali setelah bola memantul, ia mencapai ketinggian yang sama dengan

2

3

dari tinggi yang dicapainya sebelum pemantulan terakhir. Tentukan panjang lintasan bola itu sampai terhenti!

Alternatif Penyelesaian.

Panjang lintasan bola:

S

_∞

= a 1−r

S

_∞

= a ± ∞

1−r = ± ∞

S

_∞

=1+ 2 3 + 2

3 + 4 9 + 4

9 + 8 27 + 8

27 + … S

_∞

=1+2 ( 3 2 + 4 9 + 27 8 + … )

S

_∞

=1+2 ( 1 − 3 2 2 3 ) =1+ 2 ( 2 3 1 3 ) =1+ 2 ( 2)=1+ 4 =5

Jadi panjang lintasan bola sampai terhenti adalah 5 m.

AYO BERDISKUSI

Selesaikan tugas berikut secara berkelompok.

1. Sebuah tali dipotong menjadi 4 bagian sehingga setiap potongan membentuk barisan geometri. Jika potongan tali terpendek 8 cm dan terpanjang 27 cm, maka panjang tali semula adalah....cm

2. Jumlah

n

suku pertama suatu deret geometri dirumuskan dengan

S

_n=2³ⁿ−1^. Rasio deret tersebut adalah….

3. Hasil produksi suatu pabrik setiap tahunnya meningkat mengikuti aturan barisan geometri. Produksi pada tahun pertama sebanyak 200 unit dan pada tahun keempat sebanyak 1.600 unit. Hasil produksi selama enam tahun adalah....

4. Jika jumlah tak hingga deret

a + 1 + 1 a + 1

a

²

+ …

adalah

4 a

^{. Nilai}

a

^adalah….

5. Seekor semut berjalan pada suatu koordinat cartesius dimulai dari titik asal

( 0 ,0 )

^,

kemudian naik 2 unit, terus bergerak 1 unit ke kanan, turun

1 2

^unit,

1

4

unit ke kiri,

1

8

unit ke atas, … sampai berhenti pada suatu koordinat tertentu. Koordinat tersebut adalah….

AYO BERLATIH

Pilihlah jawaban yang benar.

1. Diketahui suatu deret geometri dengan rumus suku ke-

n

adalah

U

_n

= 243

3

ⁿ⁻¹. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah….

A. 121 B. 162 C. 243 D. 363 E. 486

2. Rumus suku ke-

n

suatu deret geometri

U

_n

=64 × 2

⁻ⁿ. Rumus jumlah

n

suku pertama deret tersebut adalah…

A.

32 ( 1−2

⁻ⁿ

)

B.

32 ( 1−2

ⁿ

)

C.

64 ( 1−2

⁻ⁿ

)

D.

64 ( 1−2

ⁿ

)

E.

64 ( 2

ⁿ

− 1 )

3. Jika

−2 , ( a+ 3) ,( a−1)

membentuk barisan geometri, maka jumlah 11 suku pertama yang mungkin adalah....

A. – 2 B. – 1 C. 0 D. 1 E. 2

4. Lima bilangan asli membentuk suatu barisan geometri dengan rasio positif. Jika jumlah tiga suku terbesar dan tiga jumlah suku terkecil barisan geometri tersebut berturut-turut adalah 171 dan 76 maka jumlah 5 bilangan tersebut adalah….

A. 125 B. 130 C. 180 D. 211 E. 347

5. Diketahui barisan geometri

U

_n, dengan

U

₃

+U

4

=9 ( U

¹

+ U

²

)

^dan

U

₁

.U

₄

=18 U

₂. Jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah….

A. 66 B. 72 C. 78 D. 80 E. 88

6. Nilai

x

yang memenuhi

2+ 2

²

+2

³

+ …+ 2

^x+1

=4.094

adalah….

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 E. 14

7. Jumlah deret geometri tak hingga

3+ 3 2 + 3

4 + 3

8 +…

adalah….

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 14

8. Jumlah tak hingga deret geometri

6 + 2 √ 3 + 2 + 3 2 √ 3 + …

^adalah….

A.

3 + 3 √ 3

B.

3+ 9 √ 3

C.

9 + 3 √ 3

D.

9+ 6 √ 3

E.

18+ 6 √ 3

9. Rumus suku ke-

n

suatu deret geometri tak hingga adalah

U

_n=24

× 2

¹⁻²ⁿ. Jumlah semua sukunya adalah….

A. 16 B. 20 C. 30 D. 36 E. 48

10. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga sama dengan 8, sedangkan jumlah semua suku pada urutan genap sama dengan

8

3

^{. Suku}

ke-5 deret tersebut adalah….

A.

1 4

B.

2 3

C. 2 D. 3 E. 4

3. APLIKASI BARISAN DAN DERET 3.1 PERTUMBUHAN

Pertumbuhan merupakan deskripsi dari konsep barisan dan deret aritmetika maupun geometri naik. Pertumbuhan merupakan kenaikan atau pertambahan nilai suatu besaran terhadap besaran sebelumnya. Peristiwa yang termasuk pertumbuhan

diantaranya adalah pertumbuhan jumlah penduduk, bunga majemuk di bank, dan perkembangbiakan bakteri. Terdapat dua jenis pertumbuhan, yaitu pertumbuhan linier (aritmetika) dan pertumbuhan eksponensial (geometri).

Secara umum:

U

₁

,U

_2,

U

₃

, … ,U

_n dengan

U

₁

< U

₂

< U

₃

< … < U

_n. a. Rumus pertumbuhan aritmetika

b. Rumus pertumbuhan geometri

Keterangan:

M

_n = jumlah/nilai suatu objek setelah

n

waktu

i

= persentase pertumbuhan

M

₀ = jumlah/nilai suatu objek mula-mula

n

= jangka waktu pertumbuhan

b

= nilai beda pertumbuhan

r

= rasio pertumbuhan

Contoh 1.

Eko mulai bekerja pada suatu pabrik di awal tahun 2021 dengan gaji Rp3.000.000,00 per bulan. Eko mendapatkan kenaikan gaji secara berkala setiap tahunnya sebesar Rp200.000,00. Berapakah gaji yang akan diterimanya per bulan pada tahun 2027?

Alternatif Penyelesaian.

Diketahui :

M

₀=3.000 .000,

b

=

200.000

,

n

=

2027

−

2021

=

6

Ditanya :

M

₆

=…

?

Jawab :

M

_n=

M

₀+

bn

M

₆

= 3.000 .000 +( 200.000 ) 6 M

₆

=3.000 .000+ 1.200 .000 M

₆=

4.200 .000

Jadi, gaji Eko per bulan pada tahun 2027 adalah Rp4.200.000,00 Contoh 2.

Disebuah kota pada tahun 2020, jumlah penduduknya sebanyak 2.000.000 jiwa.

Menurut perhitungan, tingkat pertumbuhan penduduk sebesar 2% tiap 2 tahun. Berapa kah perkiraan jumlah penduduk di kota tersebut pada tahun 2028?

Alternatif Penyelesaian.

Diketahui :

M

₀=

2.000 .000

,

i=2 %=0 , 02

^,

n = 2028 − 2020

2 = 8

2 = 4

Ditanya :

M

₄=… ? Jawab :

M

_n

= M

₀

(1+ i)

ⁿ

M

₄=2.000 .000

( 1+ 0 , 02 )

⁴

M

₄

= 2.000 .000 ( 1 ,02 )

⁴

M

_n

= M

₀

( 1 +¿ )

^atau

M

n=

M

₀+

bn

M

_n

= M

₀

( 1 + i )

^{n atau}

M

_n

= M

₀

× r

ⁿ

M

₄

=2.000 .000 (1,0824 ) M

₄

= 2.164 .800

Jadi, perkiraan jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2028 sebanyak 2.164.800 jiwa

Contoh 3.

Modal sebesar Rp5.000.000,00 didepositokan di bank dengan bunga majemuk 3% tiap 3 bulan. Berapakah besar modal setelah 1 tahun?

Alternatif Penyelesaian.

Diketahui :

M

₀

=5.000 .000

,

i = 3 % = 0 , 03

,

n= 12 3 = 4

Ditanya :

M

₄

= …

? Jawab :

M

_n=

M

₀

( 1+ i )

ⁿ

M

₄

= 5.000 .000 ( 1 + 0 ,03 )

⁴

M

₄=

5.000 .000 ( 1 , 03 )

⁴

M

₄

=5.000 .000 ( 1,1255 ) M

₄

=5.627 .500

Jadi, besar modal setelah 1 tahun adalah Rp5.627.500,00

3.2 PELURUHAN

Peluruhan merupakan kebalikan dari pertumbuhan dan merupakan deskripsi konsep dari barisan dan deret aritmetika maupun geometri turun. Peluruhan merupakan penurunan atau pengurangan nilai suatu besaran terhadap nilai besaran sebelumnya.

Peristiwa yang termasuk dalam peluruhan (penyusutan) diantaranya adalah peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga barang. Terdapat dua jenis peluruhan, yaitu peluruhan linier (aritmetika) dan peluruhan eksponensial (geometri).

Secara umum:

U

₁

,U

_2,

U

₃

, … ,U

_n dengan

U

₁>U2>

U

₃>

…> U

_n. a. Rumus peluruhan aritmetika

b. Rumus peluruhan geometri

Keterangan:

M

_n = jumlah/nilai suatu objek setelah

n

waktu

i

= persentase peluruhan

M

₀ = jumlah/nilai suatu objek mula-mula

n

= jangka waktu peluruhan

b

= nilai beda peluruhan

r

= rasio peluruhan Contoh 1.

Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp200.000.000,00. Jika setiap tahun harganya mengalami penyusutan sebesar 10% dari harga awalnya, maka berapakah harga mobil setelah dipakai selama 5 tahun?

Alternatif Penyelesaian.

M

_n

= M

₀

( 1−i n )

^atau

M

_n

= M

₀

− bn

M

_n=

M

₀

( 1−i )

^{n atau}

M

n=

M

₀

× r

ⁿ

Diketahui :

M

₀

= 200.000 .000

,

i=10 %=0 , 1

,

n=5

^.

Ditanya :

M

₅=

…

? Jawab :

M

_n

= M

₀

( 1−¿)

M

₅

=200.000 .000 ( 1−( 0 ,1 ) 5 )

M

₅=

200.000 .000 ( 1

−

( 0 , 5 ) ) M

₅

=200.000 .000 ( 0 ,5) M

₅

=100.000 .000

Jadi harga mobil setelah dipakai selama 5 tahun adalah Rp100.000.000,00 Contoh 2

Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp200.000.000,00. Jika setiap tahun harganya mengalami penyusutan sebesar 10% dari harga tahun sebelumnya, maka berapakah harga mobil setelah dipakai selama 5 tahun?

Alternatif Penyelesaian.

Diketahui :

M

₀=

200.000 .000

,

i=10 %=0 , 1

^,

n=5

^. Ditanya :

M

₅

=…

?

Jawab :

M

_n=

M

₀

( 1−i )

ⁿ

M

₅

=200.000 .000 ( 1−0 ,1)

⁵

M

₅=200.000 .000

( 0 , 9 )

⁵

M

₅

= 200.000 .000 ( 0,59049 ) M

₅

=118.098 .000

Jadi harga mobil setelah dipakai selama 5 tahun adalah Rp118.098.000,00 Contoh 3.

Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 125 gram mengalami reaksi kimia sehingga menyusut 12% dari ukuran sebelumnya setiap 12 jam secara eksponensial.

Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 3 hari!

Alternatif Penyelesaian.

Diketahui :

M

₀=125,

i=12 %=0 , 12

Peluruhan terjadi setiap 12 jam, sehari peluruhan terjadi 2 kali, 3 hari = 72 jam terjadi 6 kali peluruhan atau

n= 72

12 =6

. Ditanya :

M

₆=

…

?

Jawab :

M

_n

= M

₀

( 1−i )

ⁿ

M

₆=125

( 1−0 , 12 )

⁶

M

₆

=125 ( 0 , 88 )

⁶

M

₆

=125 ( 0,4644 )=58 ,05

. Jadi ukuran bahan radioaktif setelah 3 hari adalah 58,05 gram

AYO BERDISKUSI

Selesaikan tugas berikut secara berkelompok.

1. Hasil pengamatan amoeba yang berkembang biak secara membelah diri, diperoleh kesimpulan bahwa jumlah amoeba meningkat sebanyak 30% setiap 20 menit. Jika pada pukul 10.00 sebanyak 500 amoeba dikembangbiakkan dan diperkirakan tidak ada amoeba yang mati selama pengamatan, banyak amoeba pada pukul 12.00 adalah….

2. Jumlah penduduk yang mengidap penyakit diabetes terus meningkat. Diperkirakan tiap 10 tahun naik menjadi

1 1

2

kali lipat. Menurut data statistik, pada tahun 2020 di sebuah kota besar terdapat 742.500 orang yang mengidap penyakit diabetes.

Maka pada tahun 1990, jumlah penduduk yang mengidap penyakit diabetes sebanyak….

3. Bu Ima meminjam uang ke bank sebesar Rp100.000.000,00 dengan bunga majemuk 10 % per tahun. Jika Bu Ima meminjam selama 3 tahun, maka besarnya bunga pada akhir tahun ke-3 adalah....

4. Fuji menyimpan uangnya di sebuah bank sebesar Rp2.000.000,00. Setelah tiga tahun uang tabungan Fuji menjadi Rp2.662.000,00. Jika bank tersebut menerapkan sistem bunga majemuk, maka besar bunga per tahun adalah….

5. Dana menabung Rp1.000.000,00 di suatu bank dengan bunga tunggal sebesar 4% per tahun. Dani juga menabung Rp1.000.000,00 dengan bunga majemuk 4%

per tahun. Setelah 5 tahun, tabungan yang lebih banyak adalah….

AYO BERLATIH

Pilihlah jawaban yang benar.

1. Seorang pedagang berencana untuk menabung di KSP “Mekar” yang bunganya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah….

A.

2i=2 (

¹⁰

√ 2−1 )

B.

2i=2 ( √

⁵

2−1 )

C.

2i=2 ( √ 2 )

D.

2i=2 ( √

⁵

2 )

E.

2i=2 (

¹⁰

√ 2 )

2. Dani menabung 1 juta rupiah dengan bunga majemuk. Jika di akhir tahun ke-5, tabungan Dani menjadi 2 juta rupiah, maka agar menjadi 8 juta rupiah, Dani harus menabung selama … tahun.

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 E. 25

3. Rudi menabung uang sebesar Rp500.000,00 di sebuah bank dengan bunga majemuk per tahun. Setelah 5 tahun, saldonya menjadi Rp2.000.000,00. Besar saldo Rudi setelah menabung selama 15 tahun adalah….

A. Rp4.000.000,00 B. Rp8.000.000,00

C. Rp16.000.000,00 D. Rp32.000.000,00 E. Rp64.000.000,00

4. Novi dan Dinda menabung dengan bunga majemuk di bank yang sama. Setelah 12 tahun, uang yang dimiliki Novi 8 juta rupiah lebih banyak dari uang Dinda. Jika pada tahun ke-24 selisih uang Novi dan Dinda menjadi 14 juta rupiah, maka selisih uang Novi dan Dinda mula-mula adalah … rupiah.

A. 5 juta B.

4 6

7

^juta

C.

4 4 7

^juta

D.

4 2 7

^juta

E. 4 juta

5. Dua orang peneliti sedang melakukan pengamatan perkembangbiakkan sel.

Peneliti pertama mengembangbiakkan 8 sel jenis A. Setiap sel membelah diri menjadi 3 setiap 2 menit. Setelah beberapa waktu banyak sel menjadi 17.496 sel.

Peneliti kedua mengembangbiakkan juga 8 sel jenis B. Setiap sel membelah diri menjadi 3 setiap 7 menit. Berapa banyak sel yang didapatkan peneliti kedua dengan waktu dua kali peneliti pertama?

A. 648 B. 324 C. 216 D. 144 E. 72

6. Seorang peneliti melakukan pengamatan terhadap bakteri tertentu. Setiap 30 menit bakteri membelah diri menjadi dua. Pada pengamatan awal terdapat 4 bakteri. Jika setiap 2 jam, seperempat dari jumlah bakteri mati, maka banyak bakteri setelah 4 jam adalah….

A. 1.024 B. 768 C. 576 D. 512 E. 192

7. Dari hasil sensus penduduk suatu daerah, tercatat jumlah penduduk bertambah 3% setiap 2 tahun. Jika tahun 2022 jumlah penduduk tersebut sebesar 2400 jiwa, maka pada tahun 2030 diperkirakan jumlah penduduk daerah tersebut adalah . . . jiwa.

A. 2526 B. 2601 C. 2686 D. 2701 E. 2775

8. Setiap tahun harga jual tanah di perumahan “Asri Damai” mengalami kenaikan 15% dari tahun sebelumnya, dan harga jual bangunan mengalami penurunan 5%

dari tahun sebelumnya. Harga jual rumah (tanah dan bangunan) saat ini adalah 350 juta rupiah dengan perbandingan harga tanah dan bangunan

4 :3

. Perkiraan harga jual rumah 5 tahun mendatang adalah….

A.

{ 200 ( 23 20 )

⁴

+150 ( 19 20 )

⁴

}

juta rupiah B.

{ 150 ( 23 20 )

⁴

+200 ( 19 20 )

⁴

}

juta rupiah C.

{ 200 ( 17 20 )

⁵

+ 150 ( 19 20 )

⁵

}

juta rupiah D.

{ 150 ( 23 20 )

⁵

+200 ( 19 20 )

⁵

}

juta rupiah E.

{ 200 ( 23 20 )

⁵

+ 150 ( 19 20 )

⁵

}

juta rupiah

9. Sebuah zat radio aktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pada pukul 08.00 massa zat tersebut 2.400 gram, massa zat yang tersisa pada pukul 20.00 adalah … gram.

A. 150 B. 300 C. 450 D. 600 E. 750

10. Sebuah sepeda motor dibeli dengan harga Rp22.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 80% dari harga sebelumnya. Nilai jual sepeda motor tersebut setelah 3 tahun adalah….

A. Rp17.600.000,00 B. Rp15.400.000,00 C. Rp14.080.000,00 D. Rp11.264.000,00 E. Rp10.400.000,00

PENILAIAN SUMATIF

A. Pilihlah jawaban yang benar.

1. Diketahui suku tengah suatu barisan aritmetika adalah 54. Maka jumlah suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir adalah….

A. 108 B. 154 C. 162 D. 176 E. 192

2. Diketahui deret bilangan:

10 + 11 + 12 + 13 + … + 69

P