Bentuk Bilangan, Kongruensi slide

(1)

Bentuk Bilangan, Kongruensi

Nabil Nabawi Wibisono

Institut Teknologi Bandung

January 1, 2022

(2)

Topik Bahasan

1 Pendahuluan

2 Bentuk Bilangan

3 Kongruensi

(3)

Pendahuluan

(4)

Apa itu Teori Bilangan?

Teori Bilanganadalah cabang matematika yang mempelajari tentang sifat-sifat bilangan bulat.

Pada Teori Bilangan, kita hanya fokus ke bilangan bulatsaja.

(5)

Bentuk Bilangan

(6)

Sejak SD kita sudah diajarkan cara membagi sebuah bilangan dengan bilangan lain:

2 9 4 8 1

7 45 6 42 3

22 100 4 88 12

5 60 12 5 10 10 0

73 2021 27 146

561 511 50 Ada 4 isitilah penting disini:

Bilangan yang kamu bagi, atau kita sebut aja yang dibagi.

Bilangan yang paling kiri, atau disebut pembagi.

Bilangan yang paling atas, atau disebut hasil bagi.

(7)

Sejak SD kita sudah diajarkan cara membagi sebuah bilangan dengan bilangan lain:

2 9 4 8 1

7 45 6 42 3

22 100 4 88 12

5 60 12 5 10 10 0

73 2021 27 146

561 511 50 Keempat bilangan tersebut dapat dituliskan dalam satu persamaan:

9 = 2·4 + 1 45 = 7·6 + 3 100 = 22·4 + 12 60 = 5·12 + 0

(8)

Teorema Hasil Bagi dan Sisa Bagi

Ada sebuah teorema mengenai hal ini:

Teorema Hasil Bagi dan Sisa Bagi

Jikaadibagi b̸= 0, maka terdapat k danr sehingga a=bk +r dengan 0≤r <b.

a= yang dibagi.

b = pembagi.

(9)

Perhatikan bahwa terdapat syarat bagi “sisa bagi”, yaitu 0≤r <b.

Misalkan ajab= 2, yang artinya kamu membagi suatu bilangan dengan 2.

Tentu sisa bagi yang kamu dapatkan pasti kalau bukan 0 ya 1.

Dan hal ini selaras dengan teorema : ketika suatu bilangana dibagi 2, maka terdapatk danr sehingga

a= 2k+r dengan 0≤r <2.

Maka hanya ada 2 kemungkinan:

Jika r = 0 =⇒ a= 2k, atau bilangan yang habis dibagi 2.

Jika r = 1 =⇒ a= 2k+ 1, atau bilangan yang jika dibagi 2 bersisa 1.

Yang mana biasa kita sebut denganbilangan genapdan bilangan ganjil.

(10)

2k dan 2k+ 1 tadi, disebut juga bentuk bilangan.

Jadi kamu bisa bilang bahwa bilangan genap itu berbentuk 2k.

Sedangkan bilangan ganjil berbentuk 2k+ 1.

Jadi jika kamu membagi bilangan dengan 2, maka semua bilangan bulat dapat dibagi jadi 2 kelompok (berdasarkan sisanya):

berbentuk 2k =⇒ {. . . ,−8,−6,−4,−2,0,2,4,6,8, . . .}

berbentuk 2k+ 1 =⇒ {. . . ,−7,−5,−3,−1,1,3,5,7,9, . . .}

(11)

Tentu bentuk bilangan tidak hanya 2k dan 2k+ 1.

Sekarang coba kamu bagi bilangan dengan 3.

Dari teorema : ketika suatu bilangana dibagi 3, maka terdapatk danr sehingga a= 3k+r dengan 0≤r <3.

Maka ada 3 kemungkinan:

Jika r = 0 =⇒ a= 3k, atau bilangan yang habis dibagi 3.

(12)

Jadi jika kamu membagi bilangan dengan 3, maka semua bilangan bulat dapat dibagi jadi 3 kelompok (berdasarkan sisanya):

berbentuk 3k =⇒ {. . . ,−12,−9,−6,−3,0,3,6,9,12, . . .}

berbentuk 3k+ 1 =⇒ {. . . ,−11,−8,−5,−2,1,4,7,10,13, . . .}

berbentuk 3k+ 2 =⇒ {. . . ,−10,−7,−4,−1,2,5,8,11,14, . . .}

Tentu dengan cara yang sama kamu bisa membagi dengan bilangan berapapun, dan akan mendapat berbagai macam bentuk bilangan.

Bentuk bilangan sangat berguna untuk melihat sifat-sifat bilangan bulat.

(13)

Bilangan Genap dan Ganjil

Sifat penjumlahan / pengurangan:

1 genap ±genap = genap.

2 genap ±ganjil = ganjil.

3 ganjil± ganjil = genap.

Sifat perkalian:

4 genap ×genap = genap.

5 genap ×ganjil = genap.

6 ganjil× ganjil = ganjil.

(14)

Contoh 1 : Dari dua bilangan berurutan, pasti terdapat satu bilangan genap.

(15)

Contoh 2 : Dari tiga bilangan berurutan, pasti terdapat satu bilangan kelipatan 3.

(16)

Contoh 3 : Perkalian tiga bilangan berurutan pasti merupakan kelipatan 6.

(17)

Contoh 4 : Apakah mungkin sebuah bilangan kuadrat bersisa 2 ketika dibagi 3.

(18)

Contoh 5 : Apakah mungkin sebuah bilangan kuadrat mempunyai satuan 2?

(19)

Contoh 6 : Adakah bilangan ganjila,b yang memenuhi 1

a+ 1 b = 1

5 ?

(20)

Contoh 7 : Misalkan Sita menuliskan bilangan 1 sampai 10 pada papan secara berurutan. Diantara setiap 2 bilangan yang berurutan, dia memberi tanda + atau−, lalu menghitung hasilnya. Mungkinkah hasilnya 0?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(21)

Contoh 8 : Misalkan n bilangan ganjil dan a1,a2,a3, . . . ,an adalah bilangan bulat.

Jika diketahui

a₁+a₂+a₃+. . .+a_n= ganjil,

buktikan bahwa pada bilangana₁,a₂,a₃, . . . ,a_n ada sebanyak ganjil bilangan ganjil .

(22)

Kongruensi

(23)

Kongruensi

Definisi Kongruensi

Jikaadan b memiliki sisa yang sama ketika dibagid >0, maka kita katakan a kongruen b dalam modulo d. Dinotasikan:

a≡b (mod d).

Contoh:

4≡6 (mod 2). Benar karena 4 dan 6 bersisa 0 ketika dibagi 2.

22≡4 (mod 9). Benar karena 22 dan 4 bersisa 4 ketika dibagi 9.

9² ≡26 (mod 11). Benar karena 81 dan 26 bersisa 4 ketika dibagi 11.

19≡ −2 (mod 7). Benar karena 19 dan −2 bersisa 5 ketika dibagi 7.

(24)

6≡0 (mod 3). Benar karena 6 bersisa 0 ketika dibagi 3.

−31≡5 (mod 6). Benar karena −31 bersisa 5 ketika dibagi 6.

Kongruen dengan sisa bagi Jikaadibagi d bersisa r, maka

a≡r (modd).

(25)

Misalkanx adalah suatu bilangan sehinggax ≡0 (mod 2).

Berdasarkan hasil sebelumnya, makax harus bersisa 0 ketika dibagi 2.

Artinya,x adalah suatu bilangan genap.

Apakah semua bilangan genap memenuhi? Ya.

Makax={. . . ,−8,−6,−4,−2,0,2,4,6,8, . . .}. Ataux = 2k.

Jadi,

x ≡0 (mod 2) sama saja artinya dengan x= 2k Dan

. . .≡ −8≡ −6≡ −4≡ −2≡0≡2≡4≡6≡8≡. . . (mod 2).

(26)

Maka semua bilangan pasti masuk di salah satu kelompok, 0 (mod 2) atau 1 (mod 2).

. . .≡ −8≡ −6≡ −4≡ −2≡0≡2≡4≡6≡8≡. . . (mod 2).

. . .≡ −7≡ −5≡ −3≡ −1≡1≡3≡5≡7≡9≡. . . (mod 2).

Semua bilangan pasti masuk di salah satu kelompok, 0 (mod 3),1 (mod 3), atau 2 (mod 3).

. . .≡ −12≡ −9≡ −6≡ −3≡0≡3≡6≡9 ≡12≡. . . (mod 3).

. . .≡ −11≡ −8≡ −5≡ −2≡1≡4≡7≡10≡13≡. . . (mod 3).

. . .≡ −10≡ −7≡ −4≡ −1≡2≡5≡8≡11≡14≡. . . (mod 3).

(27)

Sifat-sifat Dasar Kongruensi

1 a≡a (mod d).

2 Jika a≡b (mod d), makab≡a (mod d).

3 Jika a≡b (mod d) danb≡c (mod d), makaa≡c (mod d).

Catatan : Sampai disini, sifat “kongruensi” (≡) sama seperti “sama dengan” (=).

(28)

Sifat-sifat Lain Kongruensi

Jikaa≡b (mod d) danc suatu bilangan bulat, maka:

1 a+c ≡b+c (modd).

2 a−c ≡b−c (modd).

3 ac ≡bc (mod d).

Catatan : Sampai disini, sifat “kongruensi” (≡) masih sama seperti “sama dengan”

(=).

(29)

Sifat-sifat Lain Kongruensi

Jikaa≡b (mod d) danx ≡y (modd), maka:

4 a+x ≡b+y (mod d).

5 a−x ≡b−y (mod d).

6 ax ≡by (modd).

Catatan : Disini, sifat “kongruensi” (≡) berbeda dari “sama dengan” (=).

(30)

Pembagian pada Kongruensi

Kita tahu bahwa 16≡8 (mod 4). Jika dibagi 2, didapat 8≡4 (mod 2).

Apakah benar? Ya.

Sekarang kita coba pada kongruensi 12≡8 (mod 4). Jika dibagi 2, didapat 6≡4 (mod 4).

Apakah masih benar? tidak.

Jadipembagian tidak selalu bisa dilakukan pada kongruensi.

(31)

Pangkat pada Kongruensi

Kita tahu bahwa 5≡2 (mod 3). Apakah:

5² ≡2² (mod 3) ? 5³ ≡2³ (mod 3) ? 5⁴ ≡2⁴ (mod 3) ? 5⁵ ≡2⁵ (mod 3) ? 5²⁰⁰⁰ ≡2²⁰⁰⁰ (mod 3) ? Ingat sifat ke−6 kongruensi:

Jikaa≡b (mod d) danx ≡y (modd), maka ax ≡by (mod d).

Jika kita piliha=x = 5 danb=y= 2, maka

(32)

Untuk yang lainnya, kita bisa gunakan sifat ke−6 lagi:

Jikaa≡b (mod d) danx ≡y (modd), maka ax ≡by (mod d).

Karena 5²≡2² (mod 3) dan 5≡2 (mod 3), maka

5²×5≡2²×2 (mod 3) =⇒ 5³ ≡2³ (mod 3).

Karena 5³≡2³ (mod 3) dan 5≡2 (mod 3), maka

5³×5≡2³×2 (mod 3) =⇒ 5⁴ ≡2⁴ (mod 3).

Karena 5⁴≡2⁴ (mod 3) dan 5≡2 (mod 3), maka

5⁴×5≡2⁴×2 (mod 3) =⇒ 5⁵ ≡2⁵ (mod 3).

(33)

Dari hal diatas, dapat disimpulkan Sifat Pangkat pada Kongruensi Jikaa≡b (mod d), maka

aⁿ≡bⁿ (mod d) untuk semuan bilangan asli.

(34)

Contoh 9 : Tentukan sisa bagi dari 3²⁰⁰⁰ ketika dibagi 13.

(35)

Contoh 10 : Tentukan angka satuan dari 19²⁰⁰⁰.

(36)

Contoh 11 : Tentukan bilangan aslik terkecil sehingga 2⁶⁹+k merupakan kelipatan 127.

(37)

Contoh 12 : Tentukan sisa bagi dari 2005²⁰⁰⁷²⁰⁰⁹ ketika dibagi 7.

(38)

Contoh 13 : Tentukan bilangan asli terkecil yang bersisa 1 ketika dibagi dengan 3,4 dan 5.

(39)

Contoh 14 : Tentukan bilangan asli terkecil yang bersisa 1 ketika dibagi 2, bersisa 5 ketika dibagi 6, dan bersisa 3 ketika dibagi 7.

(40)

Contoh 15 : Tentukan dua digit terakhir dari 7²⁰⁰⁰.

(41)

Contoh 16 : Berapakah sisa bagi dari 6²⁷³+ 8²⁷³ ketika dibagi dengan 49?

(42)

Bentuk Bilangan, Kongruensi slide