Distribusi Variabel Acak Diskret

DISTRIBUSI PEUBAH ACAK

DISKRET

BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG DISKRET

1. UNIFORM/SERAGAM DISKRET 2. BERNOULI

3. BINOMIAL

4. NEGATIF BINOMIAL 5. GEOMETRIK

6. HYPERGEOMETRIK

7. POISSON

UNIFORM/SERAGAM DISKRET

Bila peubah acak X mendapat nilai x

₁

, x

₂

, ...x

_k

, dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskret diberikan oleh:

f(x;k) = 1/k x = x

₁

, x

₂

, ...x

_k

UNIFORM/SERAGAM DISKRET

Contoh:

Bila sebuah bola lampu dipilih secara acak dari sekotak bola lampu yang berisi 1 bola lampu 40 watt, 60 watt, 75 watt dan 100 watt, maka tiap unsur ruang sampel T = {40, 60, 75, 100} muncul dengan peluang ¼. Jadi distribusinya seragam

dengan:

f(x;4) = 1/4 x = 40, 60, 75, 100

UNIFORM/SERAGAM DISKRET

Teorema:

Rataan dan variansi distribusi seragam diskret f(x; k) adalah:

k x

k i

å

i

=

=¹

µ k

x

i

å

i

=

-

=

¹

2 2

)

( µ

s

BERNOULLI

Dalam suatu percobaan, terdapat 2 event katakan E dan komplementnya E’.

Contoh:

- Muncul muka dan belakang pada pelemparan koin

- Rusak atau baik suatu komponen elektronik

- Sukses atau gagal suatu eksperimen

BERNOULLI

Jika E muncul dengan peluang p = P(E)

Dan E’ muncul dengan peluang q = P(E’) = 1 – p.

Trial/usaha dapat memiliki 2 kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses dan gagal. Bila trial dilakukan berulang-ulang dan sifatnya tidak berubah dari satu percobaan ke percobaan lain, prosesnya disebut: proses Bernoulli

Tiap usaha disebut sebagai usaha Bernoulli

BERNOULLI

Proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan sebagai berikut:

1. Percobaan terdiri atas n usaha yg berulang

2. Tiap usaha memberi hasil yg dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal

3. Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak

berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya

4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya

BERNOULLI

Dalam hal tertentu, jika sebuah eksperimen hanya dapat menghasilkan “sukses” dan “gagal” maka variabel bernouli yang sesuai

1 jika e Î E 0 jika e Ï E

Pdf dari X diberikan f(0)=q dan f(1)=p. Distribusinya disebut Distribusi Bernouli dengan pdf yang dapat dinyatakan sebagai

) = (e X

1 , 0 ,

)

( x = p q

^1-

x =

f

^{x x}

• Peubah acak X yang berdistribusi Bernoulli dikatakan p.a Bernoulli, yang ditulis

X ~ B( " ;1,p) à p.a X berdistribusi Bernoulli

denga peristiwa yang diperhatikan, baik

sukses maupun gagal dinyatakan dengan x, banyak eksperimen 1 kali, dan peluang

terjadinya peristiwa yang diperhatikan sebesar

p.

Parameter Distribusi Bernoulli

Rataan, Varian dan Fungsi Pembangkit Momen

• ! = #

• $

^%

= # 1 − #

• (

₎

* = 1 − # + #. -

^.

; * ∈ 1

Contoh 1

1. Apa arti dari

!~# $; 1,

⁽₎

, dan tuliskan fungsi peluang (pdf) 2. Jika 9~# :; 1, ; berdasarkan fungsi

pembangkit momen tentukan @ ABC@

_D

Distribusi Binomial

• Peristiwa sukses (S), dengan peluang P(S)= ! dan peristiwa gagal (G) dengan peluang P(G)=1- ! . Eksperiman diulang n kali secara bebas. Peristiwa S terjadi " kali, dan G (n- " ) kali.

S S S … S G G G … G

" kali (n- " ) kali Karena saling bebas,maka

P(S S S…SG G G…G)=P(S)P(S)…P(S)P(G)P(G)…P(G)

= ! . ! … ! (1- ! )(1- ! )…(1- ! )

= !

^"

(1- ! )

^{(n- ")}

BINOMIAL

Suatu usaha Bernoulli dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses (peristiwa sukses terjadi ! kali) dalam n usaha bebas (P(X= ! )) adalah

, x = 0, 1, 2, …,n

x n x

q x p

p n n x

b ÷÷

^-

ø çç ö

è

= æ ) ,

;

(

• Peubah acak yang berdistribusi Binomial dikatakan p.a binomial, ditulis X ~ B(";n,#)à p.a X berdistribusi

binomial dengan pengulangan eksperimen n kali, peluang sukses sebesar # dan bmyaknya peristiwa sukses terjadi ada ".

• Suatu eksperimen dikatan mengikuti distribusi binomial jika memenuhi:

1. Eksperimen terdiri atas dua peristiwa, seperti sukses dan gagal

2. Diulang beberapa kali dan ditentukan

3. Peluang terjadinya sukses dan gagal pada setiap pengulangan bersifat tetap

4. Pengulangan bersifat bebas

Parameter Distribusi Binomial

Teorema:

Distribusi Binomial b(X;n,p) mempunyai rataan, variansi dan fungsi pembangkit momen:

• ! = #$

• %

^&

= #$ 1 − $

• )

_*

+ = 1 − $ + $. .

^/

; + ∈ 2

Contoh 2

• Apa arti !~# $; 6,

⁽

)

, dan tentukan fungsi peluang (pdf)

• Diketahui fungsi pembangkit momen dari X

adalah *

₊

, =

⁽_.

+

⁽_.

0

^{1 5}

; , ∈ 4 . Tentukan

P(X=4) dan 5(0 ≤ 9 ≤ 1)

Contoh 3 :

Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah peluangnya bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

X : banyaknya suku cadang yang dapat menahan uji goncangan

!~#(4, 3 4 )

) ! = 2 = # 2; 4, 3

4 = 4

2 ( 3

4 )

^-

( 1

4 )

^-

= 27

128

BINOMIAL NEGATIF

Bila usaha yang saling bebas, dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p, sedangkan gagal dengan peluang q=1-p, maka distribusi peluang peubah acak X, yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k, diberikan oleh

,...

2 ,1

, 1 ,

) 1 ,

; (

* ÷÷ = + +

ø çç ö

è æ

-

= - p q

^-

x k k k k

p x k x

b

^{k x k}

Contoh 4:

Carilah peluang seseorang yang melantunkan tiga uang logam sekaligus akan mendapat semuanya muka atau semuanya belakang untuk kedua kalinya pada lantunan kelima.

257 27 4

. 3

! 3

!1

! 4 4

3 4

1 1

4 4

, 1 2

; 5

*

₅

3 3 2

=

÷ = ø ç ö è

÷ æ ø ç ö è

÷÷ æ ø çç ö è

= æ

÷ ø ç ö

è

b æ