Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis

(1)

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS 1 Suprayogi

Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis

Distribusi Probabilitas Teoritis Diskret

Distribusi seragam diskret (discrete uniform distribution)

Distribusi hipergeometris (hypergeometric distribution)

Distribusi Bernoulli (Bernoulli distribution)

Distribusi binomial (Binomial distribution)

Distribusi binomial negatif atau Pascal (negative binomial or Pascal distribution)

Distribusi geometris (geometric distribution)

Distribusi Poisson (Poisson distribution)

(2)

Distribusi Seragam Diskret

X ∼ seragam diskret (a, b)

^Parameter:

a, b bulat; b ≥ a

Rataan:

Variansi:

Fungsi distribusi probabilitas:

( )

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧ = + −

+

= −

lainnya

; 0

, 1 ,

1 ; 1

x

b b

a a a x

x b f

L

2 b a

X

= + μ

( )

12 1 1

²

2

= b − a + −

σ

X

a : batas bawah b : batas atas

Contoh Histogram Distribusi Seragam Diskret

0.0200 0.0400 0.0600 0.0800 0.1000 0.1200 0.1400 0.1600 0.1800

f(x)

a = 1, b = 6

(3)

Probabilitas Variabel Random Berdistribusi Seragam Diskret

( )

1 1

+

= −

= x b a X

P

( ) ∑

=

− +

=

≤

^r

a

x

b a

r X

P 1

1 Contoh Perhitungan

Jumlah pesanan yang datang per hari diketahui berdistribusi seragam diskret dengan jumlah pesanan yang datang minimum 0 dan maksimum 10.

Probabilitas jumlah pesanan yang datang per hari adalah 4 atau kurang?

Rata‐rata jumlah pesanan per hari yang datang?

( )

0,4545

11 1 11

1 11

1 1 0 10 4 1

4

0

= +

+ +

+ + =

= −

≤

∑

x=

X P

5 , 2 5

1 10 + =

X

=

μ

(4)

Distribusi Hipergeometris

X ∼ hipergeometris (n, N, S)

Parameter:

Rataan:

Variansi:

( )

{ }

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧ =

=

−

lainnya

; 0

, min , , 1 , 0 C ;

C C

x

S n x

x f

N n

S N

x n S

x L

n, S, N bulat > 0 n ≤ N;

S ≤ N

N n S

X

= μ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= −

N S N

n S N

n N

X 1

1 σ2

Fungsi distribusi probabilitas:

Rumus Kombinasi

( ) !

! C !

r n r

n r

n

r

⎟⎟ = −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

(5)

Percobaan Hipergeometris

Dalam suatu populasi berukuran N, terdapat S obyek yang dikategorikan sukses S, dan

sisanya N – S dikategorikan gagal

Suatu sampel random berukuran n diambil dari populasi

Variabel random yang menyatakan banyaknya obyek berkategori sukses yang terpilih

merupakan variabel random hipergeometris

Contoh Histogram Distribusi Hipergeometris

0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000

0 1 2 3 4

x

f(x)

0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500

0 1 2 3 4

x

f(x)

0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500

f(x)

N = 10, S = 2, n = 4

N = 10, S = 4, n = 4

N = 10, S = 6, n = 4

(6)

Probabilitas Variabel Random Berdistribusi Hipergeometris

( )

_N

n S N

x n S

x

X

P C

C C

₋⁻

=

( ) ∑

=

−

=

−

≤

^r

x

N n

S N

x n S

r

x

X P

0

C

C C

Contoh Perhitungan

Suatu kotak mengandung 7 komponen yang terdiri dari 4 komponen merek A dan 3 bola komponen merek B.

Jika 3 komponen diambil secara random dari kotak, probabilitas bahwa tepat terdapat 2 komponen merek A yang terambil:

( )

0,5143

3!4!

7!

1!2!

3!

2!1!

4!

C C C C

C

2 C ₇

3 3 1 4 2 7

3 4 7

2 3 4

2 =

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

=

= ⁻⁻

X P

(7)

Distribusi Bernoulli

X ∼ Bernoulli (p)

^Parameter:

p (0 ≤ p ≤ 1) Rataan:

Variansi:

Fungsi distribusi probabilitas:

X

= p

( ) μ

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

−

=

lainnya

; 0

gagal

; 1

sukses

;

x x p x p x

f

( p )

X²

= 1 p − σ

Percobaan Bernoulli

Percobaan hanya menghasilkan dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal

Probabilitas sukses adalah p (probabilitas gagal, 1 – p)

Variabel random yang menyatakan munculnya

sukses atau gagal merupakan variabel random

Bernoulli

(8)

Contoh Histogram Distribusi Bernoulli

0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000

0 1

x

f(x)

0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000

0 1

x

f(x)

0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000

0 1

x

f(x)

p = 0,2

p = 0,5

p = 0,8

X = sukses = 1

= gagal = 0

Hubungan Distribusi Bernoulli dan Seragam Diskret

X ∼ seragam diskret (a, b); a = 0; b = 1

X ∼ Bernoulli (p); p = 0,5

(9)

Distribusi Binomial

X ∼ binomial (n, p)

^Parameter:

n bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1) Rataan:

Variansi:

Fungsi distribusi probabilitas:

X

= np μ

( p )

X

= np 1 − σ

2

( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − =

=

−

lainnya

; 0

, , 1 , 0

; 1

C

x

n x

p p

x f

x x n

n

x L

Percobaan Binomial

Percobaan terdiri atas n usaha yang saling independen

Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal.

Probabilitas tiap sukses untuk tiap usaha adalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)

Variabel random yang menyatakan banyaknya sukses dalam n usaha independen merupakan variabel random binomial

Percobaan binomial merupakan percobaan Bernoulli

yang independen yang dilakukan sebanyak n kali

(10)

Contoh Histogram Distribusi Binomial

0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500

0 1 2 3 4 5

x

f(x)

0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500

0 1 2 3 4 5

x

f(x)

0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500

0 1 2 3 4 5

x

f(x)

n= 5; p = 0,2

n= 5; p = 0,5

n= 5; p = 0,8

Probabilitas Variabel Random Berdistribusi Binomial

( X r )

ⁿ_x

p

^x

( p )

ⁿ ^x

P = = C 1 −

⁻

( ) ∑ ( )

=

−

=

≤

^r

x

x x n

n

x

p p

r X P

0

1 C

(11)

Contoh Perhitungan

Probabilitas suatu komponen tidak mengalami kerusakan dalam suatu pengujian adalah 0,75.

Probabilitas tepat terdapat 2 komponen yang tidak mengalami kerusakan jika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali:

Probabilitas terdapat 2 komponen atau lebih yang tidak rusak jika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2109 , 0 25 , 0 75 , 2!2! 0

! 75 4

, 0 1 75 , 0 C

2 ₂⁴ ² ⁴ ² ⎟ ² ² =

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

−

=

= ⁻

X P

( ) ( ) ( ) ( )

9492 , 0

0508 , 0 1

25 , 0 75 , 1!1! 0

! 25 4

, 0 75 , 0!2! 0

! 1 4

75 , 0 1 75 , 0 C 1 1 1

2

3 1 4

0 1

0 x

4 4

=

−

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

−

=

≤

−

=

≥

∑

=

−x x

X x

P X

P

Hubungan Distribusi Binomial dan Bernoulli

Y ∼ binomial (n, p) X

_i

∼ Bernoulli (p)

∑

=

ⁿ

i

X

i

Y

1

X_iindependen dan identik

(12)

Hampiran Distribusi Binomial terhadap Hipergeometris

X ∼ hipergeometris (n, S, N); n/N → 0

X ∼ binomial (n, p); p = S/N

Contoh Perhitungan

Suatu pabrik menerima pasokan material sebanyak 5000 unit dengan 1000 unit diantaranya adalah material jenis A. Jika 10 unit dipilih secara random, probabilitas tepat terdapat 3 unit material jenis A yang terpilih:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0,2 0,8 3!7!

0!

1

1 C

3

7 3

3 10 5000 3 1000 5000 10 1000 3

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

−

=

= ⁻

X P

(13)

Distribusi Binomial Negatif (Pascal)

X ∼ binomial negatif (k, p)

Parameter:

k bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1) Rataan:

Variansi:

( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − = +

=

− −

−

lainnya

; 0

, 1 ,

; 1

C ¹₁

x

k k x p

p x

f

k k x

x

k L

p k

X

= μ

( )

2

1 p p k

X

= − σ Fungsi distribusi probabilitas:

Percobaan Binomial Negatif

Percobaan terdiri atas n usaha yang saling independen

Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal.

Probabilitas tiap sukses untuk tiap usaha

adalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)

Variabel random yang menyatakan banyaknya usaha agar terjadi sukses ke‐k merupakan

variabel random binomial negatif

(14)

Contoh Histogram Distribusi Binomial Negatif

0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x

f(x)

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 0.0800 0.0900

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x

f(x)

k = 2; p = 0,2

k = 2; p = 0,5

Variabel random X Æ

banyaknya usaha untuk memperoleh k sukses

Probabilitas Variabel Random Berdistribusi Binomial Negatif

( ^X ^x )

_k^x

^p

^k

( ^p )

^x ^k

P = = C

₋⁻₁¹

1 −

⁻

( ) ∑ ( )

=

− −

−

=

≤

^r

k x

k k x

x

k

p p

r X

P C

¹₁

1

(15)

Contoh Perhitungan

Probabilitas produk cacat adalah 0,1.

Jika produk diambil satu per satu, probabilitas ditemukannya produk yang cacat yang ketiga pada pengambilan kelima?

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0,1 0,9 0,0049 2!2!

1 4!

, 0 1 1 , 0 C

5 = ⁵₃ ¹₁ ³ − ⁵ ³ = ³ ² =

= ⁻₋ ⁻

X P

Definisi Lain dari Variabel Random Binomial Negatif & Fungsi Dist. Prob.

Variabel random binomial negatif X dapat juga didefinisikan sebagai banyaknya gagal sebelum

memperoleh k sukses

( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − =

=

− +

lainnya

; 0

, 2 , 1 , 0

; 1

C ¹

x

x p p

x f

k x k x

x L

Parameter:

k bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1) Rataan:

Variansi:

p p k

X

) 1

= ( − μ

( )

2

1 p p k

X

= − σ

Fungsi distribusi probabilitas:

(

X x

)

^x_x ^k p^k

(

p

)

^x

P = =C ⁺ ⁻¹ 1−

(

^≤

)

⁼

∑

^r ⁺ ⁻

(

⁻

)

(16)

Contoh Histogram Distribusi Binomial Negatif

k = 2; p = 0,2

banyaknya gagal sebelum memperoleh k sukses

Contoh Perhitungan

Jika produk diambil satu per satu, probabilitas terambilnya produk baik (tidak cacat) sebanyak dua sebelum menghasilkan produk cacat ketiga?

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0,1 0,9 0,0049 2!2!

1 4!

, 0 1 1 , 0 C

2 = ²₂ ³ ¹ ³ − ² = ³ ² =

= ⁺ ⁻

X P

(17)

Distribusi Geometris

X ∼ geometris (p)

Parameter:

p (0 ≤ p ≤ 1) Rataan:

Variansi:

( ) ( )

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ − =

=

−

lainnya

; 0

, 2 , 1

;

1

¹

x

x p

p x

f

x

L

X

p

= 1 μ

2

1 p p

X

= − σ Fungsi distribusi probabilitas:

Percobaan Geometris

Percobaan terdiri atas n usaha yang saling independen

Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal.

Probabilitas tiap sukses untuk tiap usaha

adalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)

Variabel random yang menyatakan banyaknya usaha agar terjadi sukses pertama

merupakan variabel random geometris

(18)

Contoh Histogram Distribusi Geometris

0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x

f(x)

0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x

f(x)

p = 0,5 p = 0,2

banyaknya usaha untuk memperoleh sukses pertama

Probabilitas Variabel Random Berdistribusi Geometris

( X = x ) ( = p 1 − p )

^x⁻¹

P

( ) ∑ ( )

=

−

=

≤

^r

x

p

x

p r

X P

1

(19)

Contoh Perhitungan

Jika produk diambil satu per satu, probabilitas ditemukannya produk yang cacat pada pengambilan ketiga?

Rata‐rata banyaknya pengambilan untuk menemukan produk cacat?

( ) ( )( ) ( )( )

081 , 0 9

, 0 1 , 0 1

, 0 1 1 , 0

3 = − ³ ¹ = ² =

= ⁻

X P

1 10 , 0 1 =

X

= μ

Definisi Lain dari Variabel Random Geometris dan Fungsi Distribusi Probabilitas

Variabel random geometris X dapat juga didefinisikan sebagai

banyaknya gagal untuk

memperoleh sukses pertama Fungsi distribusi probabilitas:

( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − =

=

lainnya

; 0

, 2 , 1 , 0

; 1

x

x p p x

f

x L

Parameter:

p (0 ≤ p ≤ 1) Rataan:

Variansi: p p

X

= 1− μ

2

2 1

p p

X

= −

(

X x

) (

p p

)

^x σ P = = 1−

( ) ∑

^r

( )

(20)

Contoh Histogram Distribusi Geometris

p = 0,2

banyaknya gagal sebelum memperoleh sukses pertama

Contoh Perhitungan

Jika produk diambil satu per satu, probabilitas diperoleh dua produk baik (tidak cacat) sebelum diperoleh produk cacat?

Rata‐rata banyaknya produk baik (tidak cacat) yang diperoleh sebelum menemukan produk cacat?

( ) ( )( ) ( )( )

081 , 0 9 , 0 1 , 0 1

, 0 1 1 , 0

2 = − ² = ² =

= X P

(21)

Hubungan Distribusi Binomial Negatif dan Geometris

X ∼ binomial negatif (k, p); k = 1

X ∼ geometris (p)

Distribusi Poisson

X ∼ Poisson ( λ )

^Parameter:

λ > 0

Rataan:

Variansi:

( )

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧ =

=

−

lainnya

; 0

, 2 , 1 , 0

! ;

x x x e x

f

x

λ L

λ

λ μ

_X

= Fungsi distribusi probabilitas:

λ Æ rata‐rata kejadian

per interval waktu atau daerah tertentu

(22)

Ciri‐Ciri Proses Poisson

Jumlah kejadian yang terjadi dalam suatu interval waktu atau daerah tertentu adalah independen terhadap jumlah kejadian dalam interval waktu atau daerah yang lain.

Probabilitas suatu kejadian yang terjadi pada interval waktu atau daerah yang sangat kecil adalah proporsional terhadap panjang interval waktu atau luas daerah dan tidak tergantung pada jumlah kejadian yang terjadi di luar interval waktu atau daerah ini.

Probabilitas lebih dari satu kejadian dalam interval waktu atau daerah yang sangat kecil adalah diabaikan

Contoh Histogram Distribusi Poisson

0.1400 0.1600 0.1800 0.2000 0.0000

0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x

f(x)

λ = 2

λ = 5

(23)

Probabilitas Variabel Random Berdistribusi Poisson

( )

! x x e

X P

λ

x λ

=

−

=

( ) ∑

=

−

≤

^r

x

x r e

X P

0

! λ

λ

Contoh Perhitungan

Banyaknya gangguan mesin yang terjadi per hari diketahui berdistribusi Poisson dengan rata‐rata 10 gangguan per hari.

Probabilitas bahwa terdapat paling sedikit terdapat 5 gangguan per hari?

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

02925 ,

0

01892 ,

0 00045

, 0 00005 ,

0

! 4

10

! 1

10

! 0 10

! 10

4 1

5

4 10 1

10 0

10 4

0 10

=

+ + +

=

+ + +

=

≤

−

=

≥

−

=

∑

−

L

L e

e e

x e

X P X

P

x

(24)

Hampiran Distribusi Poisson terhadap Binomial

X ∼ binomial (n, p); n → ∞; p → 0

X ∼ Poisson ( λ ); λ = np

Contoh Perhitungan

Probabilitas suatu produk yang harus dibuang karena rusak adalah 0,01.

Jika terdapat sebanyak 1000 produk, probabilitas terdapat 10 produk yang dibuang karena rusak?

( )( )

( )

^{( )}

( )

10 10 01

, 0 1000

10 5

=

e−

λ

(25)

Ciri Reproduktif Variabel Random Poisson

X

_i

∼ Poisson ( λ

_i

)

∑

=

ⁿ

i

X

i

Y

1

Y ∼ Poisson ( λ ), λ = λ

₁

+ λ

₂

+ ... + λ

_n

X

_i

Æ saling independen

Contoh Perhitungan

Banyaknya gangguan mesin A yang terjadi per hari diketahui berdistribusi Poisson dengan rata‐rata 10 gangguan per hari.

Banyaknya gangguan mesin B yang terjadi per hari diketahui berdistribusi Poisson dengan rata‐rata 5 gangguan per hari.

Probabilitas banyaknya gangguan sebanyak 5 per hari adalah:

( ) ( )

00194 ,

0

! 5 5 15

15 5 10

15 5 2 1

=

= +

=

e−

X P

λ λ λ

Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis