MODUL STATISTIK 2 (IND125)
MODUL SESI 4
INTERVAL ESTIMASI PARAMETER POPULASI (PART I)
DISUSUN OLEH RIZKA BRITANIA, S.T., M.T.
UNIVERSITAS ESA UNGGUL 2020
INTERVAL ESTIMASI PARAMETER POPULASI (PART I) RATA-RATA
A. Kemampuan Akhir yang Diharapkan
Setelah mempelajari modul ini, diharapkan mahasiswa mampu memiliki ketepatan dalam memahami :
a Estimasi rata-rata single sample b. Estimasi rata-rata dua sample
B. Uraian
Pada modul sebelumnya, kita telah membahas mengenai karakteristik sampling terkait nilai rata-rata (mean) dan variansinya. Telah dibahas juga bahwa Teorema Central Limit mengenai distribusi rata-rata sample (𝑋̅). Distribusi sampling 𝑋̅ melibatkan rata-rata populasi (𝜇). Sehingga, segala kesimpulan mengenai 𝜇 yang diambil dari rata-rata sampel bergantung pada distribusi sampling 𝑋̅. Analogi yang sama berlaku untuk 𝑆2 dan 𝜎2, dimana segala kesimpulan mengenai 𝜎2 yang diambil dari rata-rata sampel bergantung pada distribusi sampling 𝑆2.
Pada modul ini, kita akan mulai membahas kegunaan dari statistik inferensial.
Statistik inferensial terdiri dari metode-metode yang digunakan untuk membuat inferensi (penarikan kesimpulan/penaksiran) terkait suatu populasi. Statistik inferensial dapat dibagi menjadi dua area besar; estimasi dan uji hipotesis. Pada Modul 04, 05, dan 06 akan dibahas mengenai estimasi, dan uji hipotesis akan dibahas pada Modul 07, 08, 09, dan 10. Untuk membedakan estimasi dan uji hipotesis, perhatikan contoh berikut:
a. Estimasi; seorang candidat mengestimasi proporsi pemilih yang memilihnya dalam Pemilu dengan menggunakan pendapat dari 100 orang sampel.
Proporsi pemilih pada sampel yang diambil dapat digunakan untuk mengestimasi proporsi pemilihnya secara keseluruhan (populasi).
b. Uji hipotesis; seseorang ingin menguji apakah detergent A lebih bersih daripada detergent B. Seorang analis dapat membuat hipotesis “detergent A
lebih baik daripada detergent B”. Setelah melakukan pengujian dengan tepat, ia dapat menolak atau menerima hipotesis yang dibuatnya tersebut. Dalam hal ini, analis tersebut tidak bertujuan mengestimasi nilai suatu parameter, tapi ingin mengambil keputusan dari hipotesis yang dibuatnya.
Pembahasan statistik inferensial diawali dengan topik mengenai estimasi interval parameter populasi. Terdapat 3 hal yang dibahas terkait hal tersebut, :
a. estimasi interval untuk rata-rata (Modul 04), b. estimasi interval untuk proporsi (Modul 05), dan c. estimas interval untuk variansi (Modul 06).
Pada setiap sub bab tersebut, akan dikaji pada permasalahan yang melibatkan satu sample dan dua sampel. Untuk lebih jelasnya, lihat Gambar 1.
Gambar 1. Topik Pembahasan Estimasi Interval Parameter Populasi
I. Estimasi Interval untuk Rata-rata pada Single Sample
Distribusi sampling 𝑋̅ berpusat di 𝜇. Nilai rata-rata sample (𝑥̅) digunakan sebagai estimator titik untuk 𝜇. Ingat kembali bahwa 𝜎𝑋̅2 = 𝜎2⁄𝑛, sehingga ukuran sampel (n) yang besar akan menghasilkan nilai 𝑋̅ dari suatu distribusi sampling
Es tim asi In ter val
Estimasi Interval Rata- Rata
Single Sample
Variansi Diketahui
Variansi tidak Diketahui
Selisih dua nilai rata- rata (dua sampel)
Variansi Diketahui
Variansi tidak Diketahui
Variansi kedua populasi sama Variansi kedua populasi berbeda Estimasi Interval
Proporsi
Single sample
Dua Sample
Estimasi Interval Variansi
Single Sample Rasio Variansi (Dua
Sample) Modul 04
Modul 05
Modul 06
dengan variansi yang kecil. Sehingga dapat dikatakan 𝑥̅ akan akurat dalam mengestimasi 𝜇 saat nilai n besar.
Estimasi nilai 𝜇 dapat berupa titik (melalui 𝑥̅ sebagai point estimator), atau berupa suatu interval. Jika sampel yang diambil berasal dari populasi normal, atau jika ukuran sample (n) cukup besar, kita dapat membuat suatu selang kepercayaan (confidence interval) untuk nilai 𝜇 dengan menggunakan distribusi sampling 𝑋̅.
Selang kepercayaan yang dimaksud adalah kita yakin sekian persen bahwa nilai 𝜇 berada pada interval (selang) yang terbentuk.
Berdasarkan Central Limit Theorem, distribusi sampling 𝑋̅ terdistribusi normal dengan rerata 𝜇𝑋̅= 𝜇 dan standard deviasi 𝜎𝑋̅= 𝜎/√𝑛. Suatu nilai, 𝑧𝛼/2, merupakan nilai z dimana probabilitas 𝛼/2 berada di atasnya, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2 di bawah.
Gambar 2.
Dari Gambar 2, dapat ditulis:
, dimana Sehingga dapat ditulis:
Pembahasan terkait estimasi interval untuk single sampel, terbagi ke dalam dua bagian, yaitu untuk kondisi variansi populasi 𝜎2 diketahui, dan variansi populasi 𝜎2 tidak diketahui.
I.1 Estimasi Interval untuk Rata-rata pada Single Sample saat 𝝈𝟐 Diketahui
Definisi:
Jika 𝑥̅ merupakan rata-rata dari random sampel dengan ukuran n dari populasi yang diketahui memiliki variansi 𝜎2, selang kepercayaan atau confidence interval 100(1-𝜶)% untuk 𝝁 adalah:
Saat variansi populasi (𝜎2) diketahui, perhitungan menggunakan distribusi normal.
Contoh:
Rata-rata konsentrasi zinc dari pengukuran 36 sample pada lokasi sungai yang berbeda adalah 2.6 gram/mm. Tentukan confidence interval 95% untuk rata-rata populasi konsentrasi zinc. Asumsikan standard deviasi populasi adalah 0.3gr/mm Jawab:
𝑥̅ = 2.6, 𝜎= 0.3 n = 36
𝛼 = 0.05, 𝑧𝛼/2= 𝑧0.025 = 1.96 (lihat di Tabel Distribusi Normal)
Selang kepercayaan (confidence interval):
Hal ini berarti nilai 𝜇 terletak diantara 2.50 dan 2.70.
I.1.1 Error pada Estimasi
Selang kepercayaan 100(1-𝛼)% menyatakan estimasi akurasi dari estimasi point. Jika nilai 𝜇 pada kenyataanya merupakan pusat dari selang kepercayaan yang dihitung, maka nilai 𝑥̅ mengestimasi 𝜇 tanpa error. Namun, pada kebanyakan kasus, nilai 𝑥̅ tidak tepat sama dengan 𝜇, sehingga estimasi point akan memiliki error. Besarnya error ini adalah nilai absolut selisih antara 𝑥̅ dengan 𝜇, dan kita dapat yakin 100(1 − α)% bahwa error yang dihasilkan tidak melebihi 𝑧𝛼/2𝜎/√𝑛.
Pada contoh sebelumnya, nilai error yang ada adalah < 𝑧𝛼/2𝜎/√𝑛, yang jika dihitung maka nilainya adalah (1.96)(0.3)/√36 = 0.1.
I.1.2 Ukuran Sample Terkait Error
Jika 𝑥̅ digunakan sebagai estimasi μ, kita dapat yakin 100(1 − α)% bahwa error yang dihasilkan tidak melebihi error yang ditentukan saat ukuran sample :
, dimana e adalah batasan error yang ditentukan.
Contoh:
Pada contoh sebelumnya, berapa ukuran sample yang dibutuhkan jika diharapkan error estimasi < 0.05?
I.1.3 Batas Interval Satu Sisi untuk Estimasi Rata-Rata, Single Sampel, 𝝈𝟐 diketahui
Terdapat kondisi dimana kita hanya menggunakan satu sisi batas kepercayaan dalam menentukan estimasi. Contoh:
Batas bawah saja: Pengukuran kekuatan tarik, dimana engineer hanya menerima informasi terkait batas bawah saja. Terkait kekutan tarik, semakin besar nilainya semakin baik, sehingga analis hanya memperhatikan nilai minimum saja. Batas ini menunjukkan scenario terburuk
Batas atas saja: pengukuran komposisi mercury pada sungai. Yang kita perhatikan hanya nilai maksimum merkuri yang terkandung pada sungai.
Jika 𝑋̅ merupakan rata-rata dari random sampel dengan ukuran n dari populasi yang dikethaui memiliki variansi 𝜎2, batas SATU SISI selang kepercayaan 100(1-𝛼)%
untuk 𝜇 adalah:
batas satu sisi atas: 𝑥̅ + 𝑧𝛼𝜎/√𝑛;
batas satu sisi bawah: 𝑥̅ − 𝑧𝛼𝜎/√𝑛 Contoh:
Pada eksperimen psikologi, 25 orang dipilih dan diukur waktu berekasinya terhadap stimulus yang diberikan. Data masa lampau menyatakan bahwa variansi waktu reaksi adalah 4 detik. Rata-rata waktu reaksi sampel adalah 6.2 detik. Berapa rata- rata waktu reaksi populasi untuk batas atas 95%?
Jawab:
𝑥̅ = 6.2, 𝜎= 4 n = 25
𝛼 = 0.05, 𝑧𝛼 = 𝑧0.05 = 1.645
I.2 Estimasi Interval untuk Rata-rata pada Single Sample saat 𝝈𝟐 TIDAK Diketahui
Dalam kondisi dimana variansi populasi tidak diketahui, variabel random T dapat digunakan untuk menentukan selang kepercayaan 𝜇. Sesuai pembahasan pada Modul 03, variabel random T memiliki distribusi t, dengan degree of freedom (derajat kebebasan) sebesar n-1. Prosedur menentukan selang kepercayaan 𝜇 pada kondisi 𝝈𝟐 TIDAK Diketahui, pada dasarnya sama dengan pembahasan sebelumnya, yaitu pada kondisi 𝝈𝟐 Diketahui, namun nilai 𝝈 diganti oleh S, dan distribusi standard normal diganti dengan distribusi t.
Nilai variabel random T diperoleh melalui formula:
Berdasarkan Gambar 3,
𝑡𝛼/2 merupakan nilai t dengan degree of freedom n-1, dimana area 𝛼/2 berada di sebelah kanannya, dan -𝑡𝛼/2 merupakan nilai t dengan degree of freedom n-1, dimana area 𝛼/2 berada di sebelah kirinya.
Gambar 3.
Dengan mengganti variabel T sesuai formula diatas, maka:
Definisi:
Jika 𝑥̅ dan s merupakan rata-rata dan standard deviasi dari random sampel dengan ukuran n dari populasi yang tidak dikethaui variansinya 𝝈𝟐, selang kepercayaan atau confidence interval 100(1-𝜶)% untuk 𝝁 adalah:
I.2.1 Batas Interval Satu Sisi untuk Estimasi Rata-Rata, Single Sampel, 𝝈𝟐 Tidak diketahui
Batas SATU SISI selang kepercayaan 100(1-𝛼)% untuk 𝜇 pada kondisi 𝝈𝟐 Tidak diketahui adalah:
batas satu sisi atas: 𝑥̅ + 𝑡𝛼𝑠/√𝑛;
batas satu sisi bawah: 𝑥̅ − 𝑡𝛼𝑠/√𝑛
Contoh:
Kandungan dari 7 container berisi asam sulfide adalah 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, and 9.6 liters. Tentukan confidence interval 95% untuk rata-rata kandungan, asumsikan terdistribusi normal.
Jawab:
x1, x2, …x7 = 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2,9.6 𝑥̅ = (9.8+ 10.2+10.4+9.8+10.0+10.2+9.6)/7 = 10.0
, s = 0.283 n = 7
𝛼 = 0.05
v = degree of freedom = n-1 = 6
𝑡𝛼/2= 𝑡0.025 = 2.447 (untuk degree of freedom v = 6), lihat di Tabel Distribusi t
Sehingga confidence interval 95% untuk 𝜇 =
Hal ini berarti nilai 𝜇 terletak diantaran 9.74 dan 10.26.
II. Estimasi Interval untuk Selisih Dua Nilai Rata-Rata
Jika terdapat dua populasi dengan rata-rata 𝜇1 dan 𝜇2, dan variansi 𝜎12 dan 𝜎22, maka estimasi point untuk selisish 𝜇1 - 𝜇2 adalah statistic 𝑋̅̅̅ − 𝑋1 ̅̅̅2. Untuk mendapatkan estimasi point untuk 𝜇1 - 𝜇2, kita harus mengambil dua random sampel yang independent (satu dari masing-masing populasi), dengan ukuran sampel n1 dan n2, dan menghitung nilai 𝑥̅̅̅- 1 𝑥̅̅̅. Oleh karena itu, kita harus 2 memperhatikan distribusi sampling 𝑋̅̅̅1- 𝑋̅̅̅2.
Berdasarkan pembahasan pada Modul 02, distribusi sampling 𝑋̅̅̅1- 𝑋̅̅̅2 approximately terdistribusi normal dengan rata-rata 𝜇𝑋̅̅̅̅− 𝑋1 ̅̅̅̅2= 𝜇1 - 𝜇2, dan standard deviasi
𝜎𝑋̅̅̅̅− 𝑋1 ̅̅̅̅2 = √𝜎12 𝑛1 +𝜎22
𝑛2 Probabilitas (1-𝛼) dari variabel normal standard:
akan terletak diantara −𝑧𝛼/2 dan 𝑧𝛼/2. Seperti pada Gambar 1,
Pembahasan terkait estimasi interval untuk selisih dua nilai rata-rata, terbagi ke dalam dua bagian, yaitu untuk kondisi variansi populasi 𝜎2 diketahui, dan variansi populasi 𝜎2 tidak diketahui.
II.1 Estimasi Interval untuk Selisih Dua Nilai Rata-Rata, 𝝈𝟐 Diketahui
Definisi:
Jika 𝑥̅̅̅ 𝑑𝑎𝑛 𝑥1 ̅̅̅̅2 adalah rata-rata dari random sampel dengan ukuran n1 dan n2 dari populasi dengan variansi 𝜎12 dan 𝜎22 diketahui, maka confidence interval 100(1- 𝛼)% untuk 𝜇1 - 𝜇2 adalah:
Dimana 𝑧𝛼/2 merupakan nilai z dimana probabilitas 𝛼/2 berada di atasnya
Contoh:
Sebuah studi terkait dua tipe mesin, A dan B. penggunaan gas (dalam ml/gallon) diukur. 50 eksperimen dilakukan pada mesin tipe A, dan 75 ada mesin tipe B. Rata- rata penggunaan gas mesin A = 36, dan mesin B = 42. Tentukan confidence interval 96% untuk μA - μB. Asumsikan standard deviasi mesin A = 6, dan mesin B = 8.
Jawab
nA = 50, nB = 75, x̅̅̅ = 36, xA ̅̅̅̅B = 42, 𝜎𝐴2 = 6 dan 𝜎𝐵2 = 8, α = 0.04 Point estimasi 𝜇𝐵 - 𝜇𝐴= 𝑥̅̅̅̅B - 𝑥̅̅̅ = 42-36 = 6. A
𝑧α/2 = 𝑧0.02 = 2.05 Selang kepercayaan:
Hal ini berarti selisih rata-rata mesin B dikurangi mesin A akan terletak diantara nilai 3.43 dan 8.57.
II.2 Estimasi Interval untuk Selisih Dua Nilai Rata-Rata, 𝝈𝟐 Tidak Diketahui Jika variansi 𝜎12 dan 𝜎22 tidak diketahui, dan distribusi kedua populasi normal, maka gunakan distribusi t, seperti pada single sample. Jika normalitas tidak diasumsikan, namun ukuran sampel (n) > 30, maka standard deviasi sampel (𝑠1 dan 𝑠2) analog standard deviasi populasi (𝜎1 dan 𝜎2).
II.2.1 Estimasi Interval untuk Selisih Dua Nilai Rata-Rata, 𝝈𝟏𝟐 dan 𝝈𝟐𝟐 Sama tetapi Tidak Diketahui
Untuk kondisi dimana 𝜎12 dan 𝜎22 tidak diketahui, namun keduanya bernilai sama (𝜎12 = 𝜎22), maka bentuk variabel normal standard Z adalah:
Variabel random memiliki distribusi Chi-
Squared dengan degree of freedom n1-1 dan n2-1. Jumlah kedua variabel random tersebut:
memiliki distribusi Chi-Squared dengan degree of freedom n1+ n2-2.
Nilai ‘statistik’ T untuk kondisi ini dapat dinyatakan dalam:
,
‘Statistik’ T tersebut memiliki distribusi t, dengan degree of freedom n1+ n2-2.
Estimasi point untuk variansi 𝜎2 pada formula di atas dapat diperoleh dengan menyatukan variansi sample dari kedua populasi, yang disebut pooled estimate of variance dan dinotasikan dalam 𝑆𝑝2.
Subsitusi 𝑆𝑝2 ke dalam formula ‘statistik’ T di atas, diperoleh:
Dengan menggunakan ‘statistik’ T, diperoleh:
Dimana t𝛼/2adalah nilai t dengan degree of freedom n1+n2-2, dimana probabilitas 𝛼/2 berada di atasnya.
Definisi:
Jika 𝑥̅̅̅ 𝑑𝑎𝑛 𝑥1 ̅̅̅̅2 adalah rata-rata dari random sampel dengan ukuran n1 dan n2 dari populasi dengan variansi tidak diketahui, namun 𝜎12 = 𝜎22, maka confidence interval 100(1-𝛼)% untuk 𝜇1 - 𝜇2 adalah
, dimana
Contoh:
Dua lokasi ditentukan untuk dilakukan sampling. Dari 12 data sampel pada lokasi 1, rata-ratanya adalah 3.11 dengan standard deviasi 0.771. dari 10 data sampel pada lokasi 2, rata-ratanya adalah 2.04 dengan standard deviasi 0.448. tentukan confiedence interval 90% untuk selisih rata-rata dua populasi lokasi tersebut.
Asumsikan populasi terdistribusi normal dengan variansi yang sama Jawab:
n1 = 12, n2 = 10, 𝑥̅̅̅ = 3.11, 𝑥1 ̅̅̅̅2 = 2.04, s1 = 0.771, s2 = 0.448, 𝛼 = 0.1
, 𝑆𝑝= √𝑆𝑝2 = 0.646
t𝛼/2= t0.05 untuk degree of freedom v = 12+10-2 = 20 = 1.725
sehingga confidence interval 90% untuk selisih rata-rata populasi 1 dan 2 adalah :
Hal ini berarti selisih rata-rata populasi 1 dikurangi populasi 2 terletak diantara 0.593 s/d 1.547.
II.2.2 Estimasi Interval untuk Selisih Dua Nilai Rata-Rata, 𝝈𝟏𝟐 dan 𝝈𝟐𝟐 Berbeda dan Tidak Diketahui
Untuk kondisi variansi populasi yang tidak diketahui dan berbeda nilainya,
‘statistik’ yang digunakan adalah
, dengan degree of freedom:
, jika nilai v hasil perhitungan bukan merupakan bilangan bulat, maka dibulatkan ke bawah.
Definisi:
Jika 𝑥̅̅̅ 𝑑𝑎𝑛 𝑥1 ̅̅̅̅2 adalah rata-rata, 𝑠12 dan 𝑠22adalah variansi dari random sampel dengan ukuran n1 dan n2 dari populasi dengan variansi tidak diketahui dan berbeda nilainya, maka confidence interval 100(1-𝛼)% untuk 𝜇1 - 𝜇2 adalah
dengan t𝛼/2 adalah nilai t dengan degree of freedom
dimana probabilitas 𝛼/2 berada di atasnya.
Contoh:
Sebuah studi dilakukan untuk mengestimasi perbedaan kandungan kimia pada dua lokasi sungai. 15 sampel dikumpulkan pada lokasi 1, dan 12 sampel pada lokasi 2.
sampel 1 menghasilkan rata-rata 3.84 dengan standard deviasi 3.07, sementara sampel 2 menghasilkan rta-rata 1.49 dengan standard deviasi 0.85. Tentukan confiedence interval 95% untuk selisih rata-rata dua populasi lokasi tersebut.
Asumsikan kedua populasi terdistribusi normal dengan variansi berbeda.
Jawab:
n1 = 15, n2 = 12, 𝑥̅̅̅ = 3.84, 𝑥1 ̅̅̅̅2 = 1.49, s1 = 3.07, s2 = 0.85, 𝛼 = 0.05
Estimasi point untuk 𝜇1 - 𝜇2 adalah
t𝛼/2= t0.025 untuk degree of freedom v = 16 = 2.12,
Sehingga confidence interval 95% untuk 𝜇1 - 𝜇2 adalah
Hal ini berarti selisih rata-rata populasi 1 dikurangi populasi 2 terletak diantara 0.60 s/d 4.10.
LATIHAN
1. Ketebalan suatu plat baja terdistribusi normal dengan standard deviasi populasi 0.070 inch. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk rata-rata ketebalan seluruh modul,jika dari 80 random sampel yang diambil diperoleh rata-rata sampel 0.5 inch.
2. Data berikut menunjukkan panjang tumbuhan dengan dua jenis treatment pemupukan.
Treatment 1 Treatment 2 n1 = 50 n2 = 40 𝑥1
̅̅̅ = 40 𝑥̅̅̅ = 35 2 𝑠12 = 1.8 𝑠22 = 2.2
Tentukan selang kepercayaan 95% untuk perbedaan rata-rata 𝝁𝟏− 𝝁𝟐 terkait rata-rata panjang tumbuhan. Asumsikan variansi populasi kedua pengobatan sama.
KUNCI JAWABAN
1. 0.485 < μ < 0.515 2. 4.407 < μ1- μ2<5.592
Referensi:
Walpole, et al. 2011. Probability & Statistics for Engineers & Scientist 9th Ed.
Prentice Hall.
https://www.researchgate.net/publication/277242805_INTERVAL_SELISIH_RA TA-RATA_DENGAN_METODE_BOOTSTRAP_PERSENTIL
Lampiran
Tabel Distribusi Normal Z
Tabel Distribusi Normal Z (Lanjutan)
Lampiran 2.
Tabel distribusi t
Tabel distribusi t (lanjutan)
Lampiran 3
Tabel distribusi Chi-Squared
Tabel distribusi Chi-Squared (lanjutan)
Lampiran 4 Tabel Distribusi F
Tabel Distribusi F (lanjutan)
Tabel Distribusi F (lanjutan)
Tabel Distribusi F (lanjutan)
