ISOMETRI

i

ISOMETRI

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Kelompok Mata Kuliah Geometri Transformasi

Dosen Pengampu: Darwani, M.Pd.

Disusun Oleh: Kelompok 3

1. Nur Ersa Randini (220205051) 2. Naurah Rayyani (220205057) 3. Rifqah Navisa (210205078) 4. Dhia Rahidatul Aisy (220205081) 5. Kiramim Bararah (190205081)

FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI AR-RANIRY BANDA ACEH

2023

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami ucapkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat-Nya sehingga makalah ini dapat tersusun sampai dengan selesai. Shalawat dan salam kepada Rasulullah yang menjadi teladan dalam segala sisi kehidupan yang tertuju kepada satu tujuan, yaitu keridhaan Allah. Tidak lupa kami mengucapkan terima kasih terhadap bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik pikiran maupun materinya. Penulis sangat berharap semoga makalah ini dapat menambah wawasan pengetahuan dan pengalaman bagi pembaca. Bahkan kami berharap lebih jauh lagi agar makalah ini bisa pembaca praktekkan dalam kehidupan sehari-hari. Bagi kami sebagai penyusun merasa bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan makalah ini karena keterbatasan pengetahuan dan pengalaman Kami. Untuk itu kami sangat, mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Banda Aceh, 10 Maret 2024

(Kelompok 3)

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i

DAFTAR ISI ... ii

BAB I ... 1

PENDAHULUAN ... 1

1. Latar Belakang ... 1

2. Rumusan Masalah ... 1

3. Tujuan Penulisan ... 1

BAB II ... 3

PEMBAHASAN ... 3

A. Pengertian Isometri ... 3

B. Sifat-Sifat Isometri ... 3

C. Cororally (Teorema Akibat) ... 8

D. Isometri Langsung dan Berlawanan ... 9

BAB III ... 12

PENUTUP ... 12

A. Kesimpulan ... 12

DAFTAR PUSTAKA ... 13

1

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Matematika sebagai salah satu mata pelajaran dasar pada setiap jenjang pendidikan formal yang memegang peran penting. Matematika merupakan alat yang dapat memperjelas dan menyederhakan suatu keadaan atau situasi melalui abstrak, ideaslisasi, atau generalisasi untuk menjadi suatu studi ataupun pemecahan masalaha.

Di dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita menjumpai kegiatan yang berhubungan dengan Ilmu Matematika. Salah satunya “Transformasi Geometri”. Transformasi Geometri telah dikenal sejak lama, dari zaman Babilonia, Yunani, para ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15 dan dilanjutkan matematikawan eropa abad ke-18 dua dekade pertama abad ke- 19. Transformasi geometri digunakan sebagai contoh seseorang yang berada di eskalator. Ketika seseorang berada di eskalator, yang berubah adalah tempat atau posisi orang tersebut tidak berputar, tidak bertambah tinggi, tidak memendek atau tidak berubah bentuk, namun eskalator yang membawa orang tersebut berpindah dari atas ke bawah atau dari bawah ke atas. Aplikasi yang lainnya bisa kita lihat, seperti ukir-ukiran bali, gapura dan arsitektur pura di Bali.

2. Rumusan Masalah

A. Apa yang dimaksud Isometri?

B. Apa saja sifat-sifat isometri?

C. Apa yang dimaksud dengan Corollary?

D. Apa yang dimaksud dengan isomateri yang langsung dan berlawanan?

3. Tujuan Penulisan

A. Mengetahui pengertian isometri B. Mengetahui sifat-sifat isometri

2 C. Mengetahui pengetahuan corollary

D. Mengetahui maksud dari isometri yang langsung dan berlawanan

3

BAB II PEMBAHASAN

A. Pengertian Isometri

Isometri merupakan suatu transformasi atas refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran) dan translasi (pergeseran) pada sebuah garis yang mengawetkan atau mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis).

B. Sifat-Sifat Isometri

a) Memetakan garis menjadi garis.

b) ambilMempertahankan ukuran dua garis.

c) Mempertahankan kesejajaran.

Bukti:

a) Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri, kita akan membuktikanm bahwa T(g) = h adalah suatu garis juga.

Ambil A є g dan B є g. Maka A’ = T (A) є h, B’ = T(B) є h; melalui A’

dan B’ ada satu garis. Misalnya h’.

Untuk ini akan dibuktikan h’ ⊂ h dan h ⊂ h’

(i) Bukti h’ ⊂ h

Ambil X’ є h’. Oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides. Kita andaikan (A’ X B’), artinya A’X + XB’ = A’B’. Oleh larena T suatu

A B

G

B’

A’

H

.

. . . .

.

4 Isometri. Jadi suatu transformasi maka ada X sehingga T (X) = X’ dan oleh karena T suatu isometri maka AX = A’X; begitu pula XB = XB’.

Jadi AX + XB = AB.

Ini berarti bawah A.X.B segaris pada g. ini berarti bahwa X = T(X) ∈ h sehingga h’ ⊂ h sebab bukti serupa berlaku untuk posisi X dengan (XA’B’) atau (A’B’X).

(ii) Bukti h ⊂ h’

Ambil lagi y ∈ h

Maka ada y ∈ g sehingga T(y) = y dengan y misalnya (A Y B). Artinya Y

∈ g dan AY + YB = AB. Oleh karena T sebuah isometri maka

A’Y = AY, YB’ = YB, A’B’ = AB. Sehingga A’Y + YB’ = A’B’. ini berarti bahwa A’. Y. B’ segaris, yaitu garis yang melalui A’ dan B’. Oleh karena h’

satu-satunya garis melalui A’ dan B’ maka y ∈ h’. jadi haruslah h ⊂ h’.

Bukti serupa berlaku untuk keadaan (Y A B) atau (A B Y). sehingga h = h’. Jadi kalau g sebuah garis maka h = T(g) adalah sebuah garis.

AB = A’B’

5 Bukti:

b) Ambil sebuah ∠ ABC

Andaikan A'= T(A), B'= T(B), C'= T(C). Menurut (a) maka A' B' dan B' C' adalah garis lurus. Oleh karena ∠ ABC = BA ∪ BC maka ∠ A' B'C'= B'A'

∪ B'C' sedangkan A'B' = AB, B'C' = BC, C'A' = CA. Sehingga ∆ ABC = ∆ A'B'C'. Jadi ∠ A' B'C' = ∠ ABC sehingga suatu isometri Mempertahankan besarnya sebuah sudut.

c)

Kita harus memperhatikan bahwa a’//b’.

Andaikan a’, memotong b’ di sebuah titik P jadi P ∈a dan P∈b. Oleh karena T sebuah transformasi maka ada P sehingga T (B)= P dengan P ∈ a dan P ∈ b. Ini berarti bahwa a memotong b di p.

Jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa a// b, maka pengandaian bahwa a' memotong b' salah.

Jadi haruslah a'//b'.

6 Contoh soal:

Diketahui garis g = {(x, y) | y = - x} dan garis h = {(x, y) | y = 2x -3}. Apabila Mg adalah refleksi pada garis g. tetukanlah persamaan garis h’= mg (h).

Penyelesaiannya:

Oleh karena Mg sebuah refleksi pada g jadi isometri, maka menurut siaft isometri h; adalah sebuah garis. Garis h’ akan melalui titik potong antara h dan g.

Persamaan y = 2x – 3 Misalkan,

▪ y = 0 𝑦 = 2𝑥 − 3 0 = 2𝑥 − 3 −2𝑥 = −3 𝑥 =³

2 ( ³

2, 0)

▪ 𝑥 = 0 𝑦 = 2𝑥 − 3 𝑦 = 2(0) − 3 𝑦 = −3 (0, −3)

Kemudian di refleksikan menjadi (0, −³

2) dan (3,0) Rumus persamaan garis:

𝑦 − 𝑦₁

𝑦₂− 𝑦₁ = 𝑥 − 𝑥₁ 𝑥₂− 𝑥₁ 𝑦 − (−3

2) 0 − (−3

2)

=𝑥 − 0 3 − 0

7 𝑦 +3

2 3 2

=𝑥 3

3 (𝑦 +3

2) = (3 2) 𝑥 3𝑦 +⁹

2= ³

2𝑥 kedua ruas di kali 2

6𝑦 + 9 = 3𝑥

−3𝑥 + 6𝑦 + 9 = 0 kedua ruas di kali -3 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0

Dengan demikian persamaan h’ adalah : h’ = {(x,y) y = 2x -3 = 0 }.

Perhatikan gambar berikut:

8 C. Cororally (Teorema Akibat)

Akibat: salah satu akibat dari sifat 𝑏 Teorema 1.3 adalah apabila 𝑎 ⊥ 𝑏 maka 𝑇(𝑎) ⊥ 𝑇(𝑏) dengan 𝑇 sebuah isometri.

Bukti:

Dipunyai 𝑎 ⊥ 𝑏 akan ditunjukkan 𝑇(𝑎) ⊥ 𝑇(𝑏). Andaikan 𝑇(𝑎) tidak tegak lurus 𝑇(𝑏), maka terdapat sudut antara 𝑇(𝑎) dengan 𝑇(𝑏) yang tidak sama dengan 90°, karena isometri mengawetkan besarnya sudut antara dua garis maka sudut yang dibentuk oleh 𝑎 dan 𝑏 tidak sama dengan 90°.

Hal ini kontradiksi dengan 𝑎 ⊥ 𝑏. Jadi, pengandaian tersebut harus dibatalkan. Artinya 𝑇(𝑎) ⊥ 𝑇(𝐵). Jadi, apabila a⊥b maka 𝑇(𝑎) ⊥ 𝑇(𝑏) dengan 𝑇 sebuah isometri.

Contoh Soal:

Berikut adalah beberapa contoh soal dari materi isometri.

1) Transformasi T untuk sembarang P (x, y) didefinisikan oleh T(P) = P’ = (x, -y). apakah transformasi T isometri?

Penyelesaian:

Misalkan, dua titik A (a1, a2) dan B (b1, b2) dimana A, B, ϵ V.

T(A) = T (a1, a2) = (a1, -a2) → A’

T(B) = T (b1, b2) = (b1, -b2) → B’

Syarat isometri adalah AB = A’B’

A’B’ = (√(𝑎₁− 𝑏₁)²+ (−𝑎₂− (−𝑏₂))²) A’B’ = (√(𝑎₁− 𝑏₁)²+ (−𝑎₂+ 𝑏₂)²) A’B’ = (√(𝑎₁− 𝑏₁)²+ (𝑎₂− 𝑏₂)²) A’B’ = AB

Maka terbukti bahwa T(P) adalah isometri.

2) Diketahui titik-titik A (1, -1), B (4, 0), C (-4, 1), dan D (-2, k). apabila T suatu isometri sehingga T(A) = C dan T(B) = D, tentukanlah k.

9 Penyelesaian:

Karena T isometri, maka haruslah |AB| = |CD|. Jadi, dengan menggunakan rumus jarak dua titik, dapat ditulis:

√(𝑥_𝐴− 𝑥_𝐵) + (𝑦_𝐴− 𝑦_𝐵)² = √(𝑥_𝑐 − 𝑥_𝑝) + (𝑦_𝑐− 𝑦_𝑝)²

√(1 − 4)²+ (−1 − 0)² = √(−4 + 2)²+ (1 − 𝑘)² 9 + 1 = 4 + (1 − 𝑘)²

6 = (1 − 𝑘)² (1 – k) = ± √6 k = 1 ± √6

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k = 1 ± √6 D. Isometri Langsung dan Berlawanan

Definisi:

Misalkan (P, Q, R) adalah ganda tiga titik yang tidak kolinier (tak segaris). Apabila urutan perputaran P, Q, R sesuai dengan perputaran jarum jam, maka P, Q, R disebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila urutan perputaran P, Q, R berlawanan dengan perputaran jarum jam maka, P, Q, R disebut memiliki orientasi positif.

Definisi:

Suatu transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika transformasi itu mempertahankan orientasi sedangkan transformasi T disebut transformasi lawan jika dan hanya jika transformasi itu mengubah orientasi.

Definisi:

Misalkan T suatu transformasi T disebut mempertahankan orientasi apabila untuk setiap ganda tiga titik P, Q, R yang tidak kolinear (tak segaris) orientasinya sama dengan orientasi dari petanya. Sedangkan lainnya di sebut mengubah orientasi.

10 CONTOH:

• ISOMETRI LAWAN

Misalnya sebuah refleksi (pencerminan)

P R P’ Q’

Q R’

PQR berlawanan denga jarum jam (+) sedangkan P’Q’R’ searah dengan jarum jam (-)

• ISOMETRI LANGSUNG Misalnya suatu rotasi (perputaran)

P R’

Q R P’ Q’

PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan P’Q’R’ tetap berlawanan dengan jarum jam (+).

Sifat yang penting dalam geometri transformasi adalah:

• Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adalah suatu isometri lawan

11

• Akan tetapisetiap isometri adalah isometri lawan, ini dapat di liat pada gambar yaitu rotasin (perputaran) adalah sebuah isometri langsung.

• Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri lawan.

12

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan

Sebuah bidang V kita anggap sebagai bidang euclides, artinya himpunan titik-titik V diberlakukan sistem aksioma euclides. (Axioma euclides yaitu:

apabila ada dua garis a dan b dipotong garis ketiga c di titik A^є a dan titik B^є b sehingga jumlah besarnya dua sudut dalam sepihak di A dan di B kurang dari 180° maka adan b akan berpotongan pada bidang yang terbagi oleh garis c yang memuat keduasudut dalam sepihak itu.

13

DAFTAR PUSTAKA

Arie Anang Setyo, A. S. (2021). Transformasi Geometri: Teori, Aplikasi &

Pemanfataan Teknologi. Pontianak: Yudah English Gallery.

Rawuh. (1993). Geometri Transformasi. Bandung: Perpustakaan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.