Nama : Aisyah Pramudita NIM : K1321005
BAHAN PROYEK TURUNAN
Definisi – Turunan
Turunan fungsi 𝑓 adalah fungsi lain 𝑓′(dibaca f aksen)yang nilainya pada sebarang bilangan 𝑐 adalah
𝑓′(𝑐) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐)
ℎ
Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞
Teorema A – Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kontinuitas Jika 𝑓′(𝑐) ada maka 𝑓 kontinu di 𝑐
Teorema B – Aturan Fungsi Satuan Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥, maka 𝑓′(𝑥) = 1 yakni
𝐷𝑥(𝑥) = 1
Teorema C – Aturan Pangkat
Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, dengan 𝑛 bilangan bulat positif, maka 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 yakni, 𝐷𝑥(𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1
Teorema D – Aturan Kelipatan Konstanta
Jika 𝑘 suatu konstanta dan 𝑓 suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝑘𝑓)′ (𝑥) = 𝑘 . 𝑓(𝑥) yakni,
𝐷𝑥[𝑘 . 𝑓(𝑥)] = 𝑘 . 𝐷𝑥𝑓(𝑥)
Teorema E – Aturan Jumlah
Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝑓 + 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)
yakni,
𝐷𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) + 𝐷𝑥𝑔(𝑥)
Teroema F – Aturan Selisih
Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝑓 − 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)
yakni,
𝐷𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) − 𝐷𝑥𝑔(𝑥)
Teorema G – Aturan Hasil Kali
Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝑓. 𝑔)′(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)
yakni,
𝐷𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝐷𝑥 𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥)
Teorema H – Aturan Hasil kali
Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, dengan 𝑔(𝑥) ≠ 0 maka (𝑓
𝑔) ′(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑔2(𝑥)
yakni,
𝐷𝑥[𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)] = 𝑔(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝐷𝑥𝑔(𝑥) 𝑔2(𝑥)
Teorema A – Aturan Rantai
Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥).
Jika 𝑔 terdiferensiasikan di 𝑥 dan 𝑓 terdiferensiasikan di 𝑢 = 𝑔(𝑥),
maka fungsi komposit 𝑓 𝑜 𝑔, yang didefinisikan oleh (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), adalah terdiferensiasikan di 𝑥 dan
(𝑓 𝑜 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) Yakni
𝐷𝑥(𝑓(𝑔(𝑥))) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) Atau
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦
𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Sebuah tangki berbentuk kerucut dengan jari-jari lingkaran alasnya 75 cm dan tinggi 150 cm, kerucut tersebut dibalik kemudian diisi dengan air dengan laju 25 cm³/det. Carilah laju pertambahan jari-jari lingkaran yang dibentuk air dalam kerucut, pada saat tinggi air 50 cm.
PEMBAHASAN
Langkah 1 : Buatlah Gambar (diagram) r=75 cm
Langkah 2 : Nyatakan nilai-nilai yang diketahui dan yang akan dicari dalam bentuk turunan
Diketahui : 𝑑𝑉
𝑑𝑡 = 25 cm³/det Ditanya : 𝑑𝑟
𝑑𝑡 pada saat t = 50 cm Langkah 3 : Cari rumus yang berkaitan Volume kerucut V = 1
3 πr2t
Dari segitiga siku siku dengan sisi r dan t diperoleh hubungan
𝑟 𝑡 = 75
150 ⇔ t = 2r
Sehingga volume menjadi V = 1
3πr² 2r= 2
3πr³
Langkah 4 : Gunakan turunan untuk menentukan hal yang dicari dengan melihat hubungannya dengan yang diketahui.
𝑑𝑉 𝑑𝑟 = 𝑑
𝑑𝑟 (2
3πr³ ) = 2πr²
𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉
𝑑𝑟 𝑑𝑟
𝑑𝑡 𝑑𝑉
𝑑𝑡 = (2πr²) 𝑑𝑟
𝑑𝑡 𝑑𝑟
𝑑𝑡 = ( 1
2πr²) 𝑑𝑉
𝑑𝑡
t = 150 cm tair = 50 cm
Untuk t = 50 cm ⇔ r = 25 cm dan 𝑑𝑉
𝑑𝑡 = 25 cm3/det, maka
𝑑𝑟 𝑑𝑡 = ( 1
2πr²) 𝑑𝑉
𝑑𝑡 𝑑𝑟
𝑑𝑡 = ( 1
2π(25²)) 25
𝑑𝑟
𝑑𝑡 = ( 1
2π(25))
𝑑𝑟 𝑑𝑡 = ( 1
50π)
Jadi, laju pertambahan jari-jari lingkaran air pada saat t= 50 cm adalah 1
50π cm/det
