Kalkulus II,Pertemuan-1

Integral Tak Tentu

Oleh: Nurul Ilma Hidayanty, S.Mat., M.Stat

Jum’at, 07 Februari 2025 (Pertemuan-1)

Materi Kuliah

• Definsi Integral Tak Tentu

• Aturan Pangkat Integral

• Aturan Trigonometri Pada Integral

• Integral Tak Tentu Sebagai Operator Linier

• Konsep Aturan Pangkat yang Digenalisir

Integral Tentu

Ingat...

• Integral tentu

(definite integral)

adalah integral yang memiliki batas-batas nilai, sehingga hasil akhirnya bisa ditentukan secara pasti.

• Notasi : _�^� �(�)�� = �(�) − �(�) ; � (batas bawah) dan � (batas atas)

Definsi Integral Tak Tentu

• Integral tak tentu

(indefinite integral)

adalah integral yang tidak memiliki batas-batas nilai tertentu, sehingga hanya diperoleh fungsi umumnya saja disertai suatu konstanta C

• Suatu fungsi F disebut anti-turunan dari fungsi pada selang tertentu jika:

�’(�) = �(�); ∀� dalam selang tersebut

• Notasi : �(�)�� = �(�) + �; dimana � = konstanta real

Perbedaan Integral Tentu dan Tak Tentu

• Integral tertentu memiliki batas bawah dan batas atas, sedangkan integral tak tentu tidak memiliki batas integralnya

• Hasil integral tentu berupa bilangan (tergantung batasnya), sedangkan hasil integral tak tentu adalah fungsi

• Penulisan integral;

Integral tentu : _�^� �(�)�� = �(�) − �(�) ; � (batas bawah) dan � (batas atas) Integral tak tentu : �(�)�� = �(�) + � ; � = konstanta real

Aturan Trigonometri Pada Integral

Berdasarkan pengertian integral tak tentu �(�)�� = �(�) + � ; �(�) adalah turunan dari fungsi �(�), sehingga:

• �(�) = ��� � → �(�) = ��� �; artinya ��� � �� = ��� � + �

• �(�) = ��� � → �(�) =− ��� �; artinya − ��� � �� = ��� � + � atau ��� � �� =− ��� � + �

• �(�) = ��� � → �(�) = ���² �; artinya ���² � �� = ��� � + �

• �(�) = ��� � → �(�) =− ���² �; artinya − ���² � �� = ��� � + � atau ���² � �� =− ��� � + �

• �(�) = ��� � → �(�) = ��� � ��� �; artinya ��� � ��� � �� = ��� � + �

• �(�) = ��� � → �(�) =− ��� � ��� �; artinya −��� � ��� � �� = ��� � + � ���� ��� � ��� � �� =− ��� � + �

Aturan Trigonometri Pada Integral

Contoh Soal: Tentukan hasil integral berikut.

a. 2 ��� � �� b. ��� � − ��� � �� c. ��� � +��� �

��� � ��

Penyelesaian :

a. 2 ��� � �� = 2 ��� � �� = 2(−��� �) + � = − 2��� � + � b. ��� � − ��� � �� =− ��� � − ��� � + �

Aturan Trigonometri Pada Integral

Contoh Soal: Tentukan hasil integral berikut.

a. 2 ��� � �� b. ��� � − ��� � �� c. ��� � +��� �

��� � ��

Penyelesaian : c. ��� � +��� �

��� � �� = ��� � +��� �

��� �

��� �

= (��� � + ��� �) ^{��� �}_{��� �} �� = ��� � . ^{��� �}_{��� �} + ��� �. ^{��� �}_{��� �} ��

=

��� � + ��� �. ��� � �� = ��� � − ��� � + �

Aturan Pangkat Integral

Teorema 1.

Jika � adalah sebagai bilangan rasional, kecuali −1, maka : �^��� = ^�_�+1^�+1 + �

Contoh Soal: carilah hasil integral berikut.

�(�) = �^{4 3} ��

Penyelesaian : �(�) = ^�

43+1

43+1 + � = ³₇ �⁷³ + �

Integral Tak Tentu Sebagai Operator Linier

Ingat...

�_� adalah suatu operator linear yang mempunyai sifat-sifat berikut.

• �_� ��(�) = ��_��(�)

• �_� �(�) + �(�) = �_��(�) + �_��(�)

• �_� �(�) − �(�) = �_��(�) − �_��(�) sehingga, diperoleh Teorema 2.

Integral Tak Tentu Sebagai Operator Linier

Teorema2.

Jika � dan � mempunyai anti turunan (integral tak tentu), serta � suatu konstanta, maka :

• ��(�) �� = � �(�) ��

• �(�) + �(�) = �(�) �� + �(�) ��

• �(�) − �(�) = �(�) �� − �(�) ��

Contoh Soal: Dengan menggunakan sifat kelinearan diatas, hitunglah:

a. (3�² + 4�)�� b. �^{3 2} − 3� + 14 �� c. 1 �² + � ��

Integral Tak Tentu Sebagai Operator Linier

Contoh Soal: Dengan menggunakan sifat kelinearan diatas, hitunglah:

Penyelesaian :

a. (3�² + 4�)�� = 3�²�� + 4���

= 3 �²�� + 4 ���

= 3 �³

3 + �¹ + 4 �²

2 + �²

= �³ + 2�² + (3�₁+4�₂)

= �³ + 2�² + �

Integral Tak Tentu Sebagai Operator Linier

Penyelesaian :

b. �^{3 2} − 3� + 14 �� = �^{3 2}�� − 3 � �� + 14 1 ��

= ²₅ �^{5 2} − ³₂ �² + 14� + �

c. 1 �² + � �� = �⁻² + �^{1 2} ��

= �⁻²�� − �^{1 2} ��

= ^�₋₁⁻¹ + ^�3₃²

2

+ � = − ¹_� + ²₃ �^{3 2} + �

Konsep Aturan Pangkat Diperumum

Teorema 3.

Jika � adalah suatu fungsi yang dapat diferensialkan dan � suatu bilangan rasional kecuali −1, maka : �(�) ^��’(�) �� = ^�(�) _�+1^�+1 + �

Note :

Untuk menerapkan Teorema 3, kita harus mampu mengenali fungsi � dan �’ dalam integran.

Contoh Soal: hitunglah,

a. (�⁴ + 3�)³⁰(4�³ + 3) �� b. ���¹⁰� ��� � ��

Konsep Aturan Pangkat Diperumum

Penyelesaian :

a. (�⁴ + 3�)³⁰(4�³ + 3) ��

jika �(�) = �⁴ + 3�; maka �’(�) = 4�³ + 3

,

sehingga menurut Teorema 3.

= �(�) ³⁰�’(�)��

= �(�) ³¹

31 + �

= �⁴ + 3� ³¹

31 + �

Konsep Aturan Pangkat Diperumum

Penyelesaian :

a. ���¹⁰� ��� � ��

jika �(�) = ��� � ; maka �’(�) = ��� �

,

sehingga menurut Teorema 3.

= �(�) ¹⁰�’(�)��

= �(�) ¹¹

11 + �

= ���¹¹� ³¹

11 + �

TERIMA KASIH