Pertemuan 3 & 4-1

UKURAN PEMUSATAN DAN

LETAK DATA

Distribusi frekuensi kumulatif ?

Kurang dari Lebih dari

Tabulasi suatu data

Distribusi Frekuensi Relatif

• Frekuensi setiap kelas dibandingkan dengan frekuensi total

• Tujuan ; Untuk memudahkan membaca data secara tepat dan tidak kehilangan makna dari kandungan data

Penyajian Data

• Batas kelas

– Nilai terendah dan tertinggi

• Batas kelas dalam suatu interval kelas terdiri dari dua macam :

– Batas kelas bawah – lower class limit

• Nilai teredah dalam suati interval kelas

– Batas kelas atas – upper class limit

• Nilai teringgi dalam suatu interval kelas

Contoh

Frekuensi relatif (%)

= [ 14 / 20 ] x 100 %

= 70 %

Distribusi Frekuensi Relatif

Kelas Interval Jumlah Frekuensi (F) Frekuensi relatif (%)

1 215 2121 14 70

2 2122 4028 3 15

3 4029 5935 1 5

4 5936 7842 1 5

5 7843 9749 1 5

Contoh Batas Kelas

Batas kelas bawah

Batas kelas atas

Kelas Frekuensi

1 215 2122 IIIII IIIII IIII

2 2123 4030 IIII

3 4031 5938 I

4 5939 7846 I

5 7847 9754 I

Interval

Nilai Tengah

• Tanda atau perinci dari suatu interval kelas dan merupakan suatu angka yang dapat

dianggap mewakili suatu interval kelas

• Nilai tengah kelas kelasnya berada di tengah- tengah pada setiap interval kelas

Contoh Nilai Tengah

Nilai tengah Kelas ke 1

= [ 215 + 2122] / 2

= 1168

Kelas Nilai tengah

1 215 2121 1168

2 2122 4028 3075

3 4029 5935 4982

4 5936 7842 6889

5 7843 9749 8796

Interval

Nilai Tepi Kelas – Class Boundaries

• Nilai batas antara kelas yang memisahkan nilai antara kelas satu dengan kelas lainnya

• Penjumlahan nilai atas kelas dengan nilai bawah kelas diantaranya dan di bagi dua

Contoh Nilai Tepi Kelas

Nilai tepi kelas ke 2

= [ 2122 +2123 ] / 2

= 2122,5

Kelas Interval Jumlah Frekuensi (F) Nilai Tepi Kelas

1 215 2121 14 214.5

2 2122 4028 3 2121.5

3 4029 5935 1 4028.5

4 5936 7842 1 5935.5

5 7843 9749 1 7842.5

        9749.5

Nilai tepi kelas atas

= Batas kelas atas + 0,5 Nilai tepi kelas bawah

= Batas kelas atas - 0,5

=

Frekuensi Kumulatif

• Menunjukan seberapa besar jumlah frekuensi pada tingkat kelas tertentu

• Diperoleh dengan menjumlahkan frekuensi pada kelas tertentu dengan frekuensi kelas selanjutnya

• Frekuensi kumulatif terdiri dari ;

– Frekuensi kumulatif kurang dari – Frekuensi kumulatif lebih dari

Frekuensi kumulatif kurang dari

• Merupakan penjumlahan dari mulai

frekuensi terendah sanpai kelas tertinggi dan jumlah akhirnya merupakan jumlah data (n)

0 + 0 = 0 0 + 14 = 14

Kelas Interval Nilai Tepi Kelas Frekuensi kumulatif

        Kurang dari

1 215 2121 214.5 0

2 2122 4028 2121.5 14

3 4029 5935 4028.5 17

4 5936 7842 5935.5 18

5 7843 9749 7842.5 19

      9749.5 20

Frekuensi kumulatif lebih dari

• Merupakan pengurangan dari jumlah data (n) dengan frekuensi setiap kelas dimulai dari kelas terendah dan jumlah akhirnya adalah nol

20 – 0 = 20 20 – 14 = 6

Kelas Interval Nilai Tepi Kelas Frekuensi kumulatif

        Lebih dari

1 215 2121 214.5 20

2 2122 4028 2121.5 6

3 4029 5935 4028.5 3

4 5936 7842 5935.5 2

5 7843 9749 7842.5 1

      9749.5 0

Jadi Frekuensi Kumulatif

Kelas Interval Nilai Tepi Kelas Frekuensi kumulatif

       

Kurang dari Lebih dari

1 215 2121 214.5 0 20

2 2122 4028 2121.5 14 6

3 4029 5935 4028.5 17 3

4 5936 7842 5935.5 18 2

5 7843 9749 7842.5 19 1

      9749.5 20 0

Distribusi Frekuensi Kumulatif

Kelas  

Interval  

Nilai Tepi Kelas

 

Frekuensi kumulatif Kurang dari Lebih dari

1 215 - 2121 214.5 0 20

2 2122 - 4028 2121.5 14 6

3 4029 - 5935 4028.5 17 3

4 5936 - 7842 5935.5 18 2

5

  7843 - 9749 7842.5 19 1

9749.5 20 0

Distribusi Frekuensi Kumulatif

Distribusi kumulatif ada dua macam:

a. Distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).

b. Distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).

Kelas

 

Interval

 

Tepi Kelas Bawah

Tepi Kelas Atas 1 215 - 2121 214.5 2121,5 2 2122 - 4028 2121.5 4028,5 3 4029 - 5935 4028.5 5935,5 4 5936 - 7842 5935.5 7842,5 5 7843 - 9749 7842.5 9749,5

Tepi Kelas Bawah

Frekuensi Kumulatif Lebih Dari

≥ 214.5 20

≥ 2121.5 6

≥ 4028.5 3

≥ 5935.5 2

≥ 7842.5 1

Tepi Kelas Atas

Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

≤ 2121,5 14

≤ 4028,5 17

≤ 5935,5 18

≤ 7842,5 19

≤ 9749,5 20

Catatan

Nilai tepi kelas atas

= Batas kelas atas – 0,5 Nilai tepi kelas bawah

= Batas kelas atas + 0,5

 Merupakan nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan data pengamatan dimana nilai

tersebut menunjukkan pusat data.

Yang termasuk ukuran pemusatan : 1. Mean

2. Median 3. Modus

4. Rata-rata ukur

5. Rata-rata harmonis

UKURAN PEMUSATAN

1. MEAN

Rumus umumnya :

1. Untuk data (tunggal) yang tidak mengulang

2. Untuk data (berkelompok) yang mengulang dengan frekuensi tertentu

data nilai

Banyaknya

data nilai

semua Jumlah

hitung rata

-

Rata 

n X n

X ...

X

X X¹  ²   ⁿ 

f fX f

...

f f

X f ...

X f X

X f

n 2

1

n n 2

2 1

1















 

Rata-rata nilai hitung

MEAN (lanjutan)

3. Data (Tertimbang atau terbobot) yang

memiliki bobot di tiap masing-masing nilai

Keterangan:

  = rata-rata tertimbang xi  = nilai data ke-i

wi = bobot data ke-i n  = jumlah data

Usia tujuh orang mahasiswa Program Studi Pendidikan Kimia UNDANA Kupang adalah:

18,19,20,21,22,23,24,25,26. Rata-rata usia ketujuh orang mahasiswa tersebut adalah:

MEAN (lanjutan)

7 21,5

26

24 23

21 20

19

X 18       

CONTOH

1. Data tunggal

MEAN (lanjutan)

2. Data berkelompok (dalam tabel distribusi frekuensi)

Interval Kelas Nilai Tengah

(X) Frekuensi (f)

fX

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

15 28 41 54 67 80 93

3 4 4 8 12 23 6

45 112 164 432 804 1840

558 Σf = 60 ΣfX = 3955

65,92 60

3955 f

X fX  





CONTOH

MEAN (lanjutan)

3. Dengan pembobotan

Masing-masing data diberi bobot.

Misal Mahasiswa A memperoleh nilai 65 untuk tugas, 76 untuk mid dan 70 untuk ujian akhir.

Bila nilai tugas diberi bobot 2, Mid 3 dan Ujian Akhir 4, maka rata-rata hitungnya adalah :

70,89 4

3 2

(4)70 (3)76

(2)65

X 







 

Nilai

Tengah

2. Untuk data berkelompok

kelas interval

jarak

c

median kelas

frekuensi

f

median mengandung

yang kelas

sebelum kelas

semua frekuensi

jumlah

F

median kelas

bawah batas

L

f F 2 - n c L

Med

0

0





























1. Untuk data tunggal

2. MEDIAN

Usia tujuh orang mahasiswa Program Studi Pendidikan Kimia UNDANA Kupang adalah:

18,19,20,21,23,24,26. Berapa nilai median dari usia ketujuh orang mahasiswa tersebut?

1. Data tunggal

MEDIAN (lanjutan)

CONTOH

MEDIAN (lanjutan)

Letak median ada pada data ke 30, yaitu pada interval 61- 73, sehingga :

L₀ = 60,5 F = 19 f = 12

Interval

Kelas Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60

72,42 12

19 2 -

60 13

60,5

Med 



















 CONTOH

2. Data Berkelompok

3. MODUS

Untuk data berkelompok

kelas interval

jarak

c

modus kelas

sesudah kelas

satu tepat

frekuensi

dengan modus

kelas frekuensi

antara selisih

b

modus kelas

sebelum kelas

satu tepat

frekuensi

dengan modus

kelas frekuensi

antara selisih

b

modus kelas

bawah batas

L

b b

c b L

Mod

2 1 0

2 1

1 0











 





 



Nilai yang paling

sering muncul

MODUS (lanjutan)

Contoh :

Data yang paling sering muncul adalah pada interval 74-86,

sehingga : L₀ = 73,5

b₁ = 23-12 = 11 b₂ = 23-6 =17

Interval

Kelas Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60

78,61 17

11 13 11

73,5

Mod  



 





 



Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data :

1) Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri. (data terdistribusi

normal)

2) Jika Mod<Med<rata-rata hitung, maka kurva miring ke kanan. (data terdistribusi tidak

normal)

3) Jika rata-rata hitung<Med<Mod, maka kurva miring ke kiri. (data terdistribusi tidak

normal)

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS

HUBUNGAN MEAN – MEDIAN - MODUS 1. = Md= Mo

2. Mo < Md < 

3.  < Md < Mo

02 46 108 12

0 5 10 15

231 Mo Md Rt 663 807

0 5 10 15

231 375 Rt Md Mo 807

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS (lanjutan)

Jika distribusi data tidak simetri, maka terdapat hubungan :

Rata-rata hitung-Modus = 3 (Rata-rata hitung-Median)

 X Med 

3 Mod

-

X  

LATIHAN

Kelas Interval Frekuensi

1 215 – 2121 14

2 2122 – 4028 3

3 4029 – 5935 1

4 5936 – 7842 1

5 7843 – 9749 1

1. Hitunglah:

a) Nilai Mean b) Nilai Median c) Nilai Modus

2. Bagaimana keadaan kurva? Jelaskan Arah kurva tersebut

4. RATA-RATA UKUR

Digunakan apabila nilai data satu dengan yang lain berkelipatan.

Untuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompok

n X1.X2....Xn

G 



 



  

n X antilog log

G



 







 

f X log antilog f

G

RATA-RATA UKUR (lanjutan)

Contoh data tidak berkelompok:

Berapakah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8?

Jawab:



 



 

3

8 log +

4 log +

2 antilog log

G



 



 

3

0,90309 +

0,60206 +

0,30103 antilog

G



 



 

3 1,80618 antilog

G = 4

RATA-RATA UKUR (lanjutan)

Contoh data berkelompok:

Interval

Kelas Nilai Tengah

(X) Frekuensi log X f log X

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

15 28 41 54 67 80 93

3 4 4 8 12 23 6

1,18 1,45 1,61 1,73 1,83 1,90 1,97

3,54 5,8 6,44 13,84 21,96 43,7 11,82

Σf = 60 Σf log X = 107,1

60,95 60

1 , antilog 107

G  



 



 

5. RATA-RATA HARMONIS

Biasanya digunakan apabila data dalam bentuk pecahan atau desimal.

Untuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompok



 



 



X 1 RH n



 



 

 

X f RH f

RATA-RATA HARMONIS (lanjutan)

Contoh data tidak berkelompok:

Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia

mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20

km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?

Jawab:

Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam!

Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!

Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik

RATA-RATA HARMONIS (lanjutan)

RATA-RATA HARMONIS (lanjutan)

Contoh data berkelompok:

Interval

Kelas Nilai Tengah

(X) Frekuensi f / X

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

15 28 41 54 67 80 93

3 4 4 8 12 23 6

0,2 0,143 0,098 0,148 0,179 0,288 0,065 Σf = 60 Σf / X = 1,121

53,52 121

, 1

RH  60 

1. Kuartil

Kelompok data yang sudah diurutkan

(membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar.

Ada 3 jenis yaitu kuartil pertama (Q₁) atau kuartil bawah, kuartil kedua (Q₂) atau kuartil tengah, dan kuartil ketiga (Q₃) atau kuartil atas.

KUARTIL, DESIL, PERSENTIL

UKURAN LETAK: KUARTIL

Definisi:

Kuartil adalah ukuran letak yang membagi 4 bagian yang sama. K1 sampai 25% data, K2 sampai 50% dan K3 sampai 75%.

Rumus letak kuartil:

DATA TIDAK BERKELOMPOK DATA BERKELOMPOK

K1 = [1(n + 1)]/4 1n/4

K2 = [2(n + 1)]/4 2n/4

K3 = [3(n + 1)]/4 3n/4

0 K1 K2 K3 n

0% 25% 50% 75% 100%

KUARTIL (lanjutan)

Untuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompok

L₀ = batas bawah kelas kuartil F = jumlah frekuensi semua

kelas sebelum kelas kuartil Q_i f = frekuensi kelas kuartilQ_i

c = jarak interval kelas

  _{, i 1,2,3}

4 1 n - i ke nilai

Q_i   

1,2,3 i

f , F 4 -

in c L

Q_{i 0} 





















^Contoh data tidak berkelompok :

Hasil pendataan usia, dari 12 anak balita (dalam tahun) diketahui sebagai berikut 4,3,4,4,2,1,1,2,1,3,3,4 , tentukan :

a. Kuartil bawah (Q1) b. Kuartil tengah (Q₂) c. Kuartil atas (Q3)

KUARTIL (lanjutan)

Jawab :

Data diurutkan : 1,1,1,2,2,3,3,3,4,4,4,4

a.Letak Q₁ = data ke – = data ke- 3

4

) 1 12

(

1 

4 1

KUARTIL (lanjutan)

Nilai Q₁ = data ke-3 + (data ke4 – data ke3)

= 1 + (2 – 1) = 1 4

1

4 1

b. Letak Q₂ = data ke = data ke 6

Nilai Q₂ = data ke 6 + (data ke7 – data ke6)

= 3 + (3 – 3) = 3

4

) 1 12 (

2 

2 1

2 1

2 1

KUARTIL (lanjutan)

c. Letak Q₃ = data ke = data ke 9

Nilai Q₃ = data ke 9 + (data ke10 - data ke 9) = 4 + (4 – 4)

= 4

4

) 1 12

(

3 

4 3

4 3

4 3

KUARTIL (lanjutan)

KUARTIL (lanjutan)

Contoh data berkelompok :

Q₁ membagi data menjadi 25 % Q₂ membagi data menjadi 50 % Q₃ membagi data menjadi 75 % Sehingga :

Q₁ terletak pada 48-60 Q₂ terletak pada 61-73 Q₃ terletak pada 74-86

Interval Kelas

Nilai Tengah

(X)

Frekuensi Frekuensi Kumulatif kurang dari 9-21

22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

15 28 41 54 67 80 93

3 4 4 8 12 23 6

3 7 11 19 31 54 60 Σf = 60

KUARTIL (lanjutan)

Untuk Q₁, maka :

Untuk Q₂, maka :

Untuk Q₃, maka :

8 54 11 4 -

1.60 13

47,5

Q₁ 





















72,42 12

19 4 -

2.60 13

60,5

Q₂ 





















81,41 23

31 4 -

3.60 13

73,5

Q₃ 





















2. Desil

Kelompok data yang sudah diurutkan

(membesar atau mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar.

KUARTIL, DESIL, PERSENTIL (lanjutan)

Untuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompok

L₀ = batas bawah kelas desil D_i F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil D_i f = frekuensi kelas desil D_i

c = jarak interval kelas

DESIL (lanjutan)

  _{, i 1,2,3,...,9}

10 1 n - i ke nilai

D_i   

9 1,2,3,..., i

f , F 10 -

in c L

D_{i 0} 





















Contoh data tidak berkelompok:

Nilai tes kimia dari 5 orang siswa adalah sebagai berikut : 7,6,7,8,7 Tentukan nilai D₇

DESIL (lanjutan)

Jawab :

Data diurutkan : 6,7,7,7,8 Letak D₇ = data ke

= data ke 4

Nilai D₇ = data ke 4 + (data ke5 - data ke4) = 7 + ( 8 – 7 ) = 7 atau 7,2

DESIL (lanjutan)

10 ) 1 5 ( 7 

5 1

5 1

5 1

5 1

DESIL (lanjutan)

Contoh data berkelompok :

D₃ membagi data 30%

D₇ membagi data 70%

Sehingga :

D₃ berada pada 48-60 D₇ berada pada 74-86

Interval Kelas

Nilai Tengah

(X)

Frekuensi Frekuensi Kumulatif kurang dari 9-21

22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

15 28 41 54 67 80 93

3 4 4 8 12 23 6

3 7 11 19 31 54 60 Σf = 60

58,875 8

11 10 -

3.60 13

47,5

D₃ 





















79,72 23

31 10 -

7.60 13

73,5

D₇ 





















DESIL (lanjutan)

0%

0

20%

D2

40%

D4

60%

D6

80%

D'8

100%

n

GRAFIK LETAK DESIL

KUARTIL, DESIL, PERSENTIL (lanjutan) 2. Persentil

Kelompok data yang sudah diurutkan

(membesar atau mengecil) dibagi seratus bagian yang sama besar.

Untuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompok

PERSENTIL (lanjutan)

  _{, i 1,2,3,...,99}

100 1 n - i ke nilai

P_i   

99 1,2,3,..., i

f , F 100 -

in c

L

P_{i 0} 



















 ^L0 = batas bawah kelas persentil P_i

F = jumlah frekuensi semua

kelas sebelum kelas persentil P_i f = frekuensi kelas persentil P_i

c = jarak interval kelas

Contoh data tidak berkelompok :

Diketahui data : 9,3,8,4,5,6,8,7,5,7 Tentukan P₂₀ dan P₇₀

PERSENTIL (lanjutan)

Jawab :

Data diurutkan : 3,4,5,5,6,7,7,8,8,9

Letak P20 = data ke = data ke 2

Nilai P20 = data ke 2 + (data ke 3 –data ke2) = 4 + (5 – 4) = 4 atau 4,2

100 ) 1 10 (

20 

5 1

5 1

5 1

5 1

5 1

PERSENTIL (lanjutan)

Letak P₇₀ = data ke = data ke 7

Nilai P₇₀ = data ke 7 + (data ke8 - data ke7) = 7 + ( 8 – 7 ) = 7 atau 7,7

100 ) 1 10 (

70 

10 7

10 7

10

7 10

7

10 7

PERSENTIL (lanjutan)

PERSENTIL (lanjutan)

Contoh data berkelompok :

P₉₉ membagi data 99%

Sehingga :

P₉₉ berada pada 87- 99

Interval Kelas

Nilai Tengah

(X)

Frekuensi Frekuensi Kumulatif kurang dari 9-21

22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

15 28 41 54 67 80 93

3 4 4 8 12 23 6

3 7 11 19 31 54 60 Σf = 60

6 98,2 54 100 -

99.60 13

86,5

P₉₉ 





















1%

P1

3%

P3

…

…

…

…

…

…

99%

P99

UKURAN LETAK PERSENTIL

1. Hasil tes penerimaan pegawai baru suatu perusahaan tercatat sebagai berikut :

_{Nilai Frekuensi}

30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

3 8 10 20 18 14 7

Jika perusahaan akan menerima 75% dari pendaftar yang mengikuti tes tersebut,

berapakah nilai minimum yang dapat diterima?

LATIHAN

2. Nilai hasil ulangan mata pelajaran kimia dari 50 siswa kelas III pada salah satu SMA adalah sebagai berikut:

Tentukan nilai P₄₀ dari data tersebut!

Nilai F 50-59

60-69 70-79 80-89 90-99

107 1512

6