Kalkulus II, Pertemuan-2

JUMLAHAN RIEMANN & INTEGRAL TENTU

Oleh:

Nurul Ilma Hidayanty, S.Mat., M.Stat

Kalkulus II

210701603W004

• Konsep jumlahan dan sigma

• Integral Riemann

CAPAIAN

PEMBELAJARAN

Jumlahan Riemann

� = �₀ <  �₁ <  �₂ < … <  �_� = �

�₀ = �,  �₁ = � + ∆�,  �₂ = � + 2 ∆�,  …,  �_� = � 

�

Misalkan � �  adalah fungsi yang terdefinisi pada interval [a,b]. Kita  membagi interval tersebut menjadi n subinterval   

 

Penjumlahan Riemann adalah pendekatan untuk menghitung integral tentu menggunakan sejumlah kecil area di bawah kurva. Konsep ini menjadi dasar bagi definisi integral Riemann.

Contoh

� 0 1

2

1 3

2 2

� � 0 1

4

1 2

3 4

1

∆� =  1 2

Riemann sum =

₀²

� �  ∆� =  0

¹₂

+  

¹₄ ¹₂

+

¹₂ ¹₂

+

³₄ ¹₂

+ 1

¹₂

=

¹⁰₈

� �   =

¹₂

�

Contoh

∆� =   1 4

Riemann sum =

₀²

� �  ∆� = 0

¹₄

+  

¹₈ ¹₄

+

²₈ ¹₄

+

³₈ ¹₄

+

⁴₈ ¹₄

+

⁵₈ ¹₄

+

⁶₈ ¹₄

+

� 0 1

4

2 4

3 4

4 4

5 4

6 4

7 4

8 4

� � 0 1

8

2 8

3 8

4 8

5 8

6 8

7 8

1

� �   =

¹₂

�

Definisi Integral Tentu

 Secara umum,

_�^�

� �  �� menyatakan batasan luas daerah yang tercakup diantara kurva � = � � dan sumbu � dalam selang [�, �] , yang berarti bahwa tanda positif akan diberikan pada luas bagian-bagian yang berada di bagian atas sumbu � , dan tanda negative diberikan untuk luas bagian-bagian yang berada di bawah sumbu � .

�

� �  �� =  �

_����

−  �

_{����ℎ}

• Integral tentu (definite integral) adalah integral yang memiliki batas-batas nilai,

sehingga hasil akhirnya bisa ditentukan secara pasti.

1.Sifat Linearitas

a. Konstanta dapat dikeluarkan

•

_�^�

� � �  �� = � 

_�^�

� �  ��

b. Distribusi terhadap penjumlahan dan pengurangan

•

_�^�

� � + � �  �� =  

_�^�

� �  �� +  

_�^�

� �  ��

•

_�^�

� � − � �  �� =  

_�^�

� �  �� −  

_�^�

� �  ��

Sifat Sifat Integral Tentu

0

2

10�

²

+ 10 ��

Contoh Soal

=

0

2

10 �

²

+ 1 ��

= 10

0

2

�

²

+ 1 ��

=  1

3 �³ + �  2 0

=  10 1

3 2 ³ + 2  − 1

3 0 ³ + 0 

= 10  14 3

= 140

3

2. Sifat Addivitas (Pemisahan Integral)

Misalkan � terintegralkan pada interval yang memuat titik �, � dan � maka

�

�

 � �  �� =

�

�

� �  �� +  

�

�

� �  ��

3. Sifat Batas Integral

�

�

� � �� = 0

�

�

� � �� =   −  

�

�

� � ��

6

−10

� �  �� = 23 dan

₋₁₀⁶

� �  �� =− 9 . Tentukan nilai dari

₋₁₀⁶

2� � − 10� � ��

Contoh Soal

=− 2 

6

−10� �  �� − 10 

−10

6 � �  ��

=   − 2 23 − 10 −9

=  44

−10

6 2 � � − 10 � �  �� =  

−10

6 2� �  �� −  

−10

6 10 � �  ��

= 2 

−10

6 � �  �� − 10 

−10

6 � �  ��

4. Sifat Perbandingan

Jika � dan � dapat di integralkan pada [�, �] dan jika � � ≤ � � untuk semua � in [�, �] , maka

�

�

� � ��  ≤  

�

�

� � ��  

Misal � � kontinu pada interval [�, �] dan � � adalah anti turunan dari � � , maka :

�

�

� �  �� =

^{� �   �}

�

= � � − � �

Teorema Dasar Kalkulus

2

0

�

²

+ 1 ��   =

¹₃

�

³

+ �

0 2

Contoh

= 1

3 2

³

+ 2 − 1

3 0

³

+ 0

= 14

3

Contoh

1

2

�

²

+ �

⁻²

 ��

Contoh

1

2

�

²

+ �

⁻²

 ��

Contoh

0

1

4� − 6

³

�

²

��

Contoh

0

1

4� − 6

³

�

²

��

Aturan Substitusi untuk Integral Tentu

Misalkan � adalah fungsi turunan dan misalkan F adalah antiturunan dari fungsi �. 

Maka

�

� � � � � ′ � �� = � � � + �

�

�

� � �

�

�

^′

� ��

��

=

� �

� �

� � �� = [� � ] � �

� � = � � � − � � �

Contoh

0

1 � + 1 �² + 2� ²�� = 1 2 ₀

12 � + 1 �² + 2� ²��

0

1 � + 1 �² + 2� ²��

� = �² + 2�, �� = 2� + 2 �� = 2 � + 1 ��

� = 0   →    � = 0

� = 1   →    � = 3

= 1 2 ₀

3�²��

= 1 2  

1

3 �³ 3

1 0 3

Contoh

6

9 � + 1

�² + 2� + 6 ²  ��

� = �² + 2� + 6, �� = 2� + 2 �� = 2 � + 1 ��

� = 0   →    � = 6

� = 1   →    � = 9

6

9 � + 1

�² + 2� + 6 ²  �� = 1 2 ₆

9 2 � + 1

�² + 2� + 6 ² ��

= 1 2 ₉

9�⁻² ��

= − 1 2 �

1

� 9 6

= − 1

18 − − 1 12

Teorema Nilai Rata-Rata Untuk Integral

Jika � fungsi kontinu pada [�, �] maka terdapat sebuah bilangan � pada [�, �] 

sedemikian sehingga:

�

�

� �  �� = � � � − �

atau

� � = 1

� − �

_�

�

� �  ��

Contoh

Tentukan nilai rata−rata fungsi � � =  �

²

+ 1 pada interval [1,3]

Penyelesaian:

� =   1

� − �

_�

�

� �  ��

=   1

3 − 1

₁

3

�

²

+ 1  ��

=   1 2

�

³

3 + �

₁

3

=   16

3

Tugas

1.  

1

2 4�³ + 7 ��

2.  

1

2 �^{4 3} − 2�^{1 3} ��

3.  

1

2�² �³ + 5 ⁹��

4.  

0

1 �² + 1 ¹⁰ 2� ��

5.  

0

� 2

���²�sin �  ��

THANK YOU!