LAPORAN PENELITIAN DASAR KEILMUAN (PDK ... - SIMAKIP

i

LAPORAN

PENELITIAN DASAR KEILMUAN (PDK)

PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GRAF DIAMOND DAN GRAF BUNGA SEPATU

Oleh :

Ketua : Fitri Alyani, S.Pd., M.Si. (0321098901) Anggota : Hella Jusra, M.Pd. (0311088901)

Nomor Surat Kontrak Penelitian : 129/F.03.07/2019 Nilai Kontrak : Rp 10.000.000,-

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

2019

i

LAPORAN

PENELITIAN DASAR KEILMUAN (PDK)

PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GRAF DIAMOND DAN GRAF BUNGA SEPATU

Oleh :

Ketua : Fitri Alyani, S.Pd., M.Si. (0321098901) Anggota : Hella Jusra, M.Pd. (0311088901)

Nomor Surat Kontrak Penelitian : 129/F.03.07/2019 Nilai Kontrak : Rp 10.000.000,-

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

2019

ii

TINIVERSITAS

MUHAMMADIYAH

PROF. DR"

HAMKA

LEMBAGA PEI\ELTTTAT{ DAl\ PENGEMBAI\GAI\

Jln. Tanah Merdeka, Pasar Rebo, Jakarta Timur Telp. 021-8416S24, A7T91809; Fax. 82291809

SURAT PEIIJANJIAN KONTRAK KERJA PENELITIAN LEI\{BAGA PENELITIAN DAhI PENGE $TBA}I{GAN UNIVERSITAS MUHAM}IADI}'AH PROF DR

HA}IKA

Ncrmor :i$

iF.$.a7l2aw

Tanggal

: 28 Februari ₂₀₁₉

B is m i Iluhi rru hman ir rah im

Paiia hari ini, Kamis. tanggal dua puluh delapan, bulan Februari, tahun ciua ribu sembilan belas, 1'ang bertanda tangan di baivah ini Prol. Dr.

ttj.

Suswandari, M.Ptl, Ketua Lembaga penelitian dan Pengembangan Universitas Muhammadiyah Prot. DR. HAh4KA, selanjutnya tlisebut sebagai PII-{AK PERT'AMA; F ITRI ALYANI M.Si , selanjutnya disebut sebagai PIITAK KEDt-iA.

PIHAK PERTAMA dan PIHAK KEDUA sepakat untuk mengadakan Perjanjian Konrrak Kerja Penelitian yan-q didanai oleh RAPB Universitas Muhamnradiyah Prof. DR. r{AMKA 20l ^g - 2019.

Pasal ¹

PIHAK KEDUA akan melaksanakan kegiatan penelitian _dengan .judul : pelatrelan Harmonis Ganjil Pada Graf Diamond dan Graf Bunga Sepatu _dengan luaran wajib sesuai data usulan penelitian Bacth 2 Tahun 2018 mclatui simakip.uhanrtria.ac.icl dar luaran tambaha, (bila ada).

Pasal 2

Bukti luaran penelitian harus berstatus sudah published sebagaitnana vang 6ijanjikan dalar, ^pasal I wajib dilallpirkan dalatn laporan penelitian yang diunggah rnelalui simakip.uhamka.ac.id.

Pasal 3

Kegiatan tersebut dalam Pasal

I

^akan dilaksanakan oleh PIHAK KEDUA nrulai tanggal 28 Febr-Lrari 2019 dan selesai pada ranggai 30 Juli Z{}$.

Pasal 4

PII{AK PERTAMA menyediakan dana sebesar Rp.10.000.000,- (Terbilang : Sepulult Juta')kcpada PIHAK KEDUA _untuk melaksanakan kegiatan tersebut <lalam Pasal

l.

Sumber biaya yang dimaksud berasal dari Penelitian dan Pengembarrgan Llniversitas Muhantmadiyah prof. _DR.

HAMKA melalui Lembaga Penelitian elan pengernbangan.

Pasal 5

Pembayaran dana tersebut dalam Pasal 4 akan dilakukan claiarn 2 (dua) tennin sebagai berikut:

(l)

Ternrin

I70 %:

^sebesar Rp.7.000.000,r (Terbilang

:

Tujuh .htta Rrrltitti) setelah pIHAK

I

"/

{

KEDUA menyerahkan proposal i,ang telah direview clan diperbaiki sesuai saran revier,ver pada kegiatan tersebut pada pasal _1.

(2) Tennin

Il

30 Yo: sebesar Rp.3.000.000,-

KEDUA menverahkan iaporan akhir ber-ikut penelitian tersebut dalam pasal l.

(Terbiiang

:

Tiga Jrna Rupialr) setelah PIHAK luaran vang telah dijanjikan dalarn kegiatan

Pasal 6

(1)PTHAK KEDUA rn"ajib melaksanakan kegiatan tersebur dalam ^pasal

I

dalamu..aktuyang ditenrukan dalam pasal 3.

(2) PIHAK PERTAN4A akan melakukan monitoring dan evaluasi pelaksanaan kegiatan tersebut sebagaimarla yang disebutkan tlalam pasal I _"

(3) PIHAK PERTAMA akan nrendencia Pll{AK KEDUA setiap hari keterlambatan penyerahan faporan hasil kegiatan _{sebesar 0,5o/* (setengah} persen) maksinral 20o,i (fl113 pullh persen) dar:ijumlah dana tersebut dalam pasal 4.

('4.1 Dana Penelitian dikenakan Pajak Pertambahan Niiai (PPN) pada poin honor peneliti _seiresar

5 9i, (lima persen).

Jakarta, 28 Februai 2019

PII-{AK KEDUA

Pcneliti,

FITRI ALYANI NI.Si Mengetahui

Wakil Rektor Ii UHAI\{KA

ZAMAH SARI M.Ag.

iii

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga dapat menyelesaikan proposal penelitian dengan judul

“Pelabelan Harmonis Ganjil Pada Graf Diamond dan Graf Bunga Sepatu”.

Proposal penelitian ini dibuat untuk menikuti skema penelitian Penelitian Dasar Keilmuan (PDK) yang didanai oleh Lemlitbang Universitas Muhammadiyah Prof.Dr.Hamka (UHAMKA). Melalui penelitian ini, diharapkan dapat memperoleh teorema baru khususnya dalam teori graf yang merupakan cabang bidang keilmuan matematika. Selain itu, peneliti berharap melalui penelitian ini dapat memperkuat dan memotivasi khususnya dosen di prodi pendidikan matematika dalam bidang keilmuan matematika.

Peneliti menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan proposal ini untuk itu diharapkan dapat memberikan saran dan kritik yang membangun.

Semoga hasil penelitian ini dapat bermanfaat bagi peneliti khususnya dan pembaca pada umumnya serta perkembangan ilmu pengetahuan dimasa yang akan datang.

Jakarta, Agustus 2019 Peneliti

Fitri Alyani, S.Pd., GCert.Ed., M.Si.

iv

ABSTRAK

Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) dengan V adalah himpunan tidak kosong dari objek-objek yang disebut titik dan E adalah himpunan bagian dari pasangan tak terurut dari titik-titik di G yang disebut dengan sisi. Banyaknya anggota atau kardinalitas himpunan titik dan himpunan sisi pada graf G dinotasikan berturut-turut dengan |V| dan |E|.

Pelabelan harmonis ganjil merupakan suatu fungsi injektif yang didefinsikan sebagai f: V(G) → {0,1,2, … 2q − 1} dan menginduksi suatu fungsi bijektif f^∗: E(G) → {1,3,5, … 2q − 1} dimana f^∗(uv) = f(u) + f(v). Fungsi f tersebut dikatakan fungsi pelabelan harmonis ganjil. Graf C4

adalah salah satu bagian dari graf cycle dimana graf cycle merupakan graf dengan n titik dengan simpul n ≥ 3 dimana setiap titik saling terhubung dan membentuk cincin. Setiap titik pada graf cycle berderajat dua. Pada penelitian kali ini akan dilakukan pengembangan dari graf cycle yang diberi nama diamond graph dan hibiscus graph. Graf Diamond merupakan pengembangan dari graf sikel yang dibentuk dengan menggandakan graf C4 sebanyak k kali dan menghubungkan v_i^jv_i^j+1, untuk i ganjil, j ganjil, dan v_i^jv_i^j+1 untuk i genap, j genap dengan j = 1, … , k dan i = 1, … ,4. Sedangkan Graf bunga sepatu merupakan graf yang dibentuk dari graf kincir angin Belanda C₄^(k) dengan menambahkan k simpul daun yang terhubung dengan simpul pusat persekutuan v₀. Graf kincir angina Belanda sendiri adalah graf yang dibentuk dari k graf lingkaran C₄ yang mempunyai satu simpul pusat persekutuan v₀.

Kata Kunci : Graf lingkaran C4, Graf Diamond, Graf kincir angin Belanda, Graf bunga sepatu, Pelabelan Harmonis Ganjil

v

DAFTAR ISI

HALAMAN PENGESAHAN ii

SURAT KONTRAK PENELITIAN iii

ABSTRAK iv

DAFTAR ISI v

I.PENDAHULUAN

A. Latar Belakang 1

B. Rumusan Masalah 2

C. Tujuan Penelitian 2

D. Urgensi Penelitian 2

II. KAJIAN PUSTAKA 4

A. State of Arts 4

B. Pengertian Graf 4

C. Pelabelan Graf 8

D. Roadmap Penelitian 9

III.METODOLOGI PENELITIAN 10

A. Model dan Tahapan Penelitian 10

B. Bagan Alir Penelitian 12

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 13

V. KESIMPULAN DAN IMPLIKASI 19

VI. LUARAN YANG DICAPAI 20

DAFTAR PUSTAKA 22

Lampiran 23

1

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pelabelan graf merupakan bagian dari teori graf. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf yang mana adalah bagian dari rumpun ilmu matematika. Objek kajian graf secara umum yang direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan asli yang disebut label. Ada berbagai jenis pelabelan graf yang salah satunya adalah pelabelan harmonis ganjil. Pelabelan graf dimulai dari memberikan label pada titik (vertex) lalu memberi label pada sisi (edge) sesuai dengan jenis pelabelan graf yang digunakan. Pemanfaatan teori pelabelan graf sangat dirasakan peranannya, terutama pada sector system komunikasi dan transportasi, navigasi geografis, radar, penyimpanan data computer dan desain integrated circuit pada komponen elektronik.

Pelabelan graf pertama kali diperkenalkan oleh Sedlacek pada tahun 1963. Banyak hasil riset yang telah ditemukan dari pelabelan graf dan hasil riset tersebut dikumpulkan oleh Gallian dan terus diperbaharui secara teratur. Salah satu jenis pelabelan graf yang masih baru adalah pelabelan harmonis ganjil yang diperkenalkan oleh Liang dan Bai pada tahun 2009. Pada paper ini dibatasi untuk graf sederhana, berhingga dan tidak berarah. Graf 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) dengan 𝑉(𝐺) himpunan simpul dan 𝐸(𝐺) himpunan busur dikatakan sebagai graf 𝐺(𝑝, 𝑞) jika memenuhi 𝑝 = |𝑉(𝐺)| simpul dan 𝑞 = |𝐸(𝐺)| busur. Graf 𝐺(𝑝, 𝑞) dikatakan graf harmonis ganjil jika terdapat fungsi injektif 𝑓: 𝑉(𝐺) → {0,1,2, … 2q − 1} sedemikian sehingga menginduksi fungsi 𝑓^∗: 𝐸(𝐺) → {1,3,5, … 2q − 1} yang bersifat bijektif, yang didefinisikan oleh 𝑓^∗(𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) dan fungsi f dikatakan fungsi pelabelan harmonis ganjil dari graf 𝐺(𝑝, 𝑞).

Liang dan Bai telah menunjukkan sifat-sifat graf yang mempunyai pelabelan harmonis ganjil, sebagai berikut (Liang dan Bai, 2009):

1. Jika 𝐺 adalah graf harmonis ganjil maka 𝐺 adalah bipartit.

2. Jika graf 𝐺(𝑝, 𝑞) adalah harmonis ganjil maka 2√𝑞 ≤ 𝑝 ≤ 2𝑞 − 1.

Liang dan Bai juga telah membuktikan bahwa graf lingkaran 𝐶_𝑛 adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4), graf komplit 𝐾_𝑛 adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑛 = 2, graf komplit k-partit 𝐾(𝑛₁, 𝑛₂, … , 𝑛_𝑘) adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑘 = 2, graf kincir angin 𝐾_𝑛^𝑡 adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑛 = 2.

2

Vaidya dan Shah membuktikan bahwa graf shadow dan graf split dari graf lintasan 𝑃_𝑛 dan graf bintang 𝐾_1,𝑛 adalah graf harmonis ganjil (Vaidya, S.K., Shah, 2011). Saputri, Sugeng dan Froncek membuktikan bahwa graf dumbel 𝐷_𝑛,𝑘,.2, 𝑛 ≡ 𝑘 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4) dan 𝑛 ≡ 𝑘 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4) dan graf 𝐶_𝑛⨀𝐾₁, 𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4) adalah graf harmonis ganjil, graf 𝐶_𝑛× 𝑃_𝑚 adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4) (Saputri, Sugeng&Froncek, 2013).

Telah dibuktikan bahwa graf ular 𝑘𝐶₄, 𝑘 ≥ 1, graf ular 𝑘𝐶₈, 𝑘 ≥ 1 dan graf gelang 𝐶₄^+(1,𝑘)adalah graf harmonis ganjil (Alyani, Firmansah, Giyarti, Sugeng, 2013). Selain itu, gabungan graf ular 𝑘𝐶₄ ∪ 𝑘𝐶₄, 𝑘 ≥ 1 dan graf ular berlipat 𝑘𝐶₄(𝑟), 𝑘 ≥ 1, 𝑟 ≥ 1 telah terbukti adalah graf harmonis ganjil (Firmasnah, 2016).

Jenis graf lainnya juga telah dibuktikan bahwa Graf Dutch Windmill 𝐶₄^(𝑘)dengan 𝑘 ≥ 1, gabungan Graf Dutch Windmill 𝐶₄^(𝑘)∪ 𝐶₄^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil (Firmansah, Sugeng, 2015). Selanjtnya, penulis akan melanjutkan penelitian tersebut yaitu Graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 dan graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) dengan 𝑘 ≥ 1 memenuhi pelabelan harmonis ganjil sedemikian sehingga Graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 dan graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil.

B. Rumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas pada penelitian ini adalah bagaimana pelabelan harmonis ganjil pada pengembangan graf cycle C4 yakni graf diamond dan Graf bunga sepatu.

C. Tujuan Masalah

Berdasarkan perumusan masalah diatas, maka tujuan dari penelitian ini adalah merancang pelabelan harmonis ganjil pada pengembangan graf cycle C4 yakni graf diamond dan Graf bunga sepatu.

D. Urgensi Penelitian

Pelabelan graf tergolong baru dalam bidang fokus teori graf. Ada beberapa jenis pelabelan graf salah satunya adalah pelabelan graf harmonis ganjil. Dalam proyek ini peneliti mendefinisikan graf baru dari pengembangan graf cycle C4 yakni graf diamond dan graf bunga sepatu.

3

Jumlah penelitian dan temuan yang relatif masih sedikit, maka dengan adanya penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi pada kajian tentang pelabelan graf khususnya dan matematika pada umumnya.

Di Indonesia teori graf cukup diminati, teori graf merupakan kajian utama di bidang kombinatorika. Indonesian Combinatorial Society (InaCombS) atau Masyarakat Kombinatorika Indonesia merupakan organisasi profesi yang bersifat keilmuan, mandiri, nirlaba, dan independen sebagai wadah bagi kombinatorikawan (combinatorist), pengguna, dan pengemar kombinatorika serta mereka yang menaruh minat untuk memajukan kombinatorika di Indonesia [www.inacombs.org/ad-art]. Publikasi jurnal bidang kombinatorika telah dikelola secara professional oleh Indonesian Journal of Combinatorics (IJC). Oleh karena itu, dalam analisis penelitian ini akan dikonsultasikan dan divalidasi oleh para pakar yang ada di InaCombS. Hasil penelitian ini pun diharapkan dapat dipublikasi pada jurnal IJC.

4

BAB II

KAJIAN PUSTAKA A. State of Arts

Terkait dengan penelitian ini, terlebih dahulu ditemukan dari pelabelan graf dan hasil riset tersebut dikumpulkan oleh Gallian dan terus diperbaharui secara teratur. Salah satu jenis pelabelan graf yang masih baru adalah pelabelan harmonis ganjil yang diperkenalkan oleh Liang dan Bai pada tahun 2009. Pada paper ini dibatasi untuk graf sederhana, berhingga dan tidak berarah.

Dari penelitian tersebut, Liang dan Bai telah menunjukkan sifat-sifat graf yang mempunyai pelabelan harmonis ganjil, sebagai berikut :

1. Jika 𝐺 adalah graf harmonis ganjil maka 𝐺 adalah bipartit.

2. Jika graf 𝐺(𝑝, 𝑞) adalah harmonis ganjil maka 2√𝑞 ≤ 𝑝 ≤ 2𝑞 − 1.

Liang dan Bai juga telah membuktikan bahwa graf lingkaran 𝐶_𝑛 adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4), graf komplit 𝐾_𝑛 adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑛 = 2, graf komplit k-partit 𝐾(𝑛₁, 𝑛₂, … , 𝑛_𝑘) adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑘 = 2, graf kincir angin 𝐾_𝑛^𝑡 adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑛 = 2.

Dari penelitian tersebut diperoleh teorema baru untuk jenis graf tertentu. Hasil penelitian inilah yang terus dikembangkan dalam melakukan penelitian pelabelan graf harmonis ganjil berdasarkan sifat-sifat graf pelabelan harmonis ganjil. Kemudian teori inilah yang nantinya dihubungkan dengan proses penelitian yang dilakukan oleh peneliti sesuai dengan topik penelitian yang telah ditentukan. Untuk itu peneliti akan menjelaskan teori-teori yang berkaitan secara langsung maupun tidak langsung mengenai graf dan pelabelan graf.

B. Graf

Pada tahun 1736, seorang matematikawan bernama Leonard Euler memperkenalkan konsep tentang teori graf. Euler memecahkan permasalahan Jembatan Konigsberg yang telah lama menjadi misteri. Di tempat tersebut mengalir sebuah sungai yang bernama Pregel yang mengalir mengitari sebuah pulau lalu bercabang menjadi dua buah anak sungai dan di sana terdapat tujuh jembatan. Euler membuktikan bahwa tidak mungkin seseorang melewati semua jembatan tepat satu kali dan kembali ke tempat asal.

5

Gambar 2.1 Permasalahan Jembatan Konigsberg

Graf G (V,E), adalah koleksi atau pasangan dua himpunan dimana himpunan V yang elemennya disebut simpul atau vertex dan Himpunan E yang merupakan pasangan tak terurut dari simpul disebut busur atau edge. Banyaknya simpul (anggota V) disebut order Graf G, sedangkan banyaknya busur (anggota E) disebut size graf G.

Gambar 2.2 (G1) graf sederhana, (G2) multigraf, dan (G3) mutligraf

Setiap sisi memiliki satu atau dua titik yang dihubungkan olehnya, titik-titik itu disebut endpoint. Misalkan e = {u, v} = uv adalah suatu sisi pada graf G dengan u dan v merupakan titik yang dihubungkan oleh e. Titik u dan v disebut titik yang bertetangga (adjacent vertices), sedangkan sisi e dan titik u dikatakan bersisian/insiden (incident), begitu pula dengan sisi e dan titik v. Jika e1 dan e2 adalah dua sisi berbeda di G yang berinsiden dengan suatu titik yang sama, maka e1 dan e2 disebut sisi-sisi yang bertetangga (adjacent edges). Derajat, 𝛿(v), dari titik v pada graf G adalah banyaknya tetangga dari titik v.

Sebuah sisi yang menghubungkan suatu titik ke titik itu sendiri disebut gelung atau loop. Graf memiliki sisi berganda (multiple edge) jika terdapat dua sisi yang menghubungkan sepasang titik yang sama. Graf yang tidak memiliki sisi berganda dan gelung disebut graf sederhana. Sebagai ilustrasi, pada gambar 2.1, sisi e5 dan e7 adalah sisi berganda dan e1 adalah gelung. Titik v5 dinamakan titik terpencil (isolated vertex) yaitu titik yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.

A C

D

B

A

C

D

B

6

e1 v5

v1 e2 v2

e3 e4 e5 e7

v3 e6 v4

Gambar 2.2. Graf G

Misalkan G = (V, E) suatu graf. Graf H = (V(H), E(H)) dikatakan subgraf dari G, jika V(H) ⊆ V dan E(H) ⊆ E, dinotasikan dengan H ⊆ G. Suatu subgraf G dapat diperoleh dengan menghapus suatu titik atau sisi di G. Misalkan v ∈ V(G) dan |V(G)| ≥ 2, maka G – v adalah subgraf dari G dengan V(G − v) = V(G) \ {v} dan E(G − uv) = E(G) \ {uv| uv ∈ E(G)}. Misalkan u ∈ E(G), maka G – e adalah subgraf dari G dengan E(G − e) = E(G) \ {e}. Gambar 2.2. menunjukkan graf G dan subgrafnya yang diperoleh dengan menghapus suatu sisi atau titik.

v v

e

G G – e G – v

Gambar 2.3. Graf dan subgrafnya

Sebuah jalan J dari titik v ke titik w pada graf G dengan panjang k adalah suatu barisan titik

𝑣 = 𝑣₀, 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑘−1, 𝑣_𝑘 = 𝑤 sedemikian sehingga

𝑣₀𝑣₁, 𝑣₁𝑣₂, … , 𝑣_𝑘−1𝑣_𝑘

merupakan sisi-sisi pada graf G. Selanjutnya v dan w disebut titik ujung dari jalan J. Bila v

= w, maka jalan J disebut jalan tertutup. Bila jalan J tersebut memiliki sisi-sisi yang semuanya berbeda, maka J disebut trail. Selanjutnya, bila jalan J memiliki titik-titik yang semuanya berbeda, maka J disebut lintasan (path).

Titik v dikatakan terhubung dengan w pada graf G jika terdapat suatu lintasan dengan titik v dan titik w sebagai titik ujungnya. Suatu graf G dikatakan terhubung jika setiap dua titiknya terhubung, sedangkan graf yang tidak demikian disebut tak terhubung.

7

Graf G dan H disebut isomorfik, dinotasikan dengan 𝐺 ≅ 𝐻, jika terdapat fungsi bijektif 𝜑 ∶ 𝑉(𝐺) → 𝑉(𝐻) sedemikian sehingga berlaku uv ∈ E(G) jika dan hanya jika 𝜑(𝑢)𝜑(𝑣) ∈ 𝐸(𝐻). Fungsi 𝜑 yang demikian disebut isomorfisma. Pada gambar 2.3.

diberikan graf G1 yang isomorfik dengan G2 . Sebagai contoh, fungsi 𝜑 ∶ 𝑉(𝐺₁) → 𝑉(𝐺₂) yang didefinisikan dengan

𝜑(𝑣₁) = 𝑣₁, 𝜑(𝑣₂) = 𝑣₂, 𝜑(𝑣₃) = 𝑣₉, 𝜑(𝑣₄) = 𝑣₅, 𝜑(𝑣₅) = 𝑣₄, 𝜑(𝑣₆) = 𝑣₃, 𝜑(𝑣₇) = 𝑣₁₀, 𝜑(𝑣₈) = 𝑣₈, 𝜑(𝑣₉) = 𝑣₇, 𝜑(𝑣₁₀) = 𝑣₆

G1 G2

Gambar 2.4. Graf yang isomorfik, 𝐺₁ ≅ 𝐺₂

Beberapa kelas graf sederhana di antaranya graf lintasan (path graph), graf lengkap (complete graph), graf lingkaran (cycle graph), graf roda (wheel graph) dan graf pohon (tree graph). Graf lintasan dengan n titik dinotasikan dengan Pn, yaitu graf yang terdiri dari lintasan tunggal. Pn memiliki n-1 sisi.

v1 v2

v1 v1 v2 v1 v2 v3

e1 e1 e2

v4 v3

P1 P2 P3 P4

Gambar 2.5. Graf Lintasan P1 , P2 , P3 dan P4

Graf lengkap dengan n titik dinotasikan dengan Kn yaitu sebuah graf dengan setiap titiknya bertetangga dengan titik lainnya. Setiap titik pada Kn berderajat n – 1.

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v10

v8

v9

v1

v2

v7

v5

v9

v3

v4

v6 v8

v10

8

v1 v1 v2 v1 v1 v2

K1 K2

v2 v3

K3 v₃ v4

K4

Gambar 2.6 Graf lengkap K1 , K2 , K3 , dan K4

Graf lingkaran adalah graf terhubung yang setiap titiknya berderajat dua. Graf lingkaran dengan n titik dinotasikan dengan Cn , 𝑛 ≥ 3, adalah graf dengan n titik yaitu v ₁, v ₂,…, v _ndan sisi – sisinya ( v ₁, v₂), (v₂, v ₃), …., ( v _n-1, v _n), ( v _n , v ₁).

v1

v1 v1 v4

v2 v5

v2 v3 v2 v3 v3 v4

C3 C4 C5

Gambar 2.7 Graf lingkaran C3 , C4 , dan C5

C. Pelabelan Graf

Pelabelan graf adalah sebarang pemetaan atau fungsi yang memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan (biasanyan bilangan positif). Jika domain dari pemetaan adalah titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik (vertex labeling). Jika domain pelabelannya simpul atau sisi maka disbeut pelabelan sisi (edge labeling), dan jika domainnya titik dan sisi maka disebut pelabelan total (total labeling). Pada graf terdapat banyak jenis pelabelan, salah satunya adalah pelabelan harmonis ganjil.

Graf 𝐺(𝑝, 𝑞) dikatakan graf harmonis ganjil jika terdapat fungsi injektif 𝑓: 𝑉(𝐺) → {0,1,2, … 2q − 1} sedemikian sehingga menginduksi fungsi 𝑓^∗: 𝐸(𝐺) → {1,3,5, … 2q − 1} yang bersifat bijektif, yang didefinisikan oleh 𝑓^∗(𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) dan fungsi f dikatakan fungsi pelabelan harmonis ganjil dari graf 𝐺(𝑝, 𝑞). Pelabelan harmonis pertama kali diperkenalkan oleh Graham dan Sloane pada tahun 1980 dan pelabelan harmonis ganjil yang diperkenalkan oleh Liang dan Bai.

Liang dan Bai telah menunjukkan sifat-sifat graf yang mempunyai pelabelan harmonis ganjil, sebagai berikut :

3. Jika 𝐺 adalah graf harmonis ganjil maka 𝐺 adalah bipartit.

4. Jika graf 𝐺(𝑝, 𝑞) adalah harmonis ganjil maka 2√𝑞 ≤ 𝑝 ≤ 2𝑞 − 1.

9

Liang dan Bai juga telah membuktikan bahwa graf lingkaran 𝐶_𝑛 adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4), graf komplit 𝐾_𝑛 adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑛 = 2, graf komplit k-partit 𝐾(𝑛₁, 𝑛₂, … , 𝑛_𝑘) adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑘 = 2, graf kincir angin 𝐾_𝑛^𝑡 adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑛 = 2.

Vaidya dan Shah [5] membuktikan bahwa graf shadow dan graf split dari graf lintasan 𝑃_𝑛 dan graf bintang 𝐾_1,𝑛 adalah graf harmonis ganjil. Saputri, Sugeng dan Froncek [4] membuktikan bahwa graf dumbel 𝐷_𝑛,𝑘,.2, 𝑛 ≡ 𝑘 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4) dan 𝑛 ≡ 𝑘 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4) dan graf 𝐶_𝑛⨀𝐾₁, 𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4) adalah graf harmonis ganjil, graf 𝐶_𝑛× 𝑃_𝑚 adalah graf harmonis ganjil jika dan hanya jika 𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4). Alyani, Firmansah, Giyarti dan Sugeng [1] membuktikan bahwa graf ular 𝑘𝐶₄, 𝑘 ≥ 1, graf ular 𝑘𝐶₈, 𝑘 ≥ 1 dan graf gelang 𝐶₄^+(1,𝑘)adalah graf harmonis ganjil. Firmansah [2] membuktikan bahwa gabungan graf ular 𝑘𝐶₄ ∪ 𝑘𝐶₄, 𝑘 ≥ 1 dan graf ular berlipat 𝑘𝐶₄(𝑟), 𝑘 ≥ 1, 𝑟 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil. Firmansah dan Sugeng [3] telah membuktikan bahwa graf kincir angin belanda 𝐶₄^(𝑘)dengan 𝑘 ≥ 1, gabungan graf kincir angin belanda 𝐶₄^(𝑘)∪ 𝐶₄^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil.

D. Roadmap Penelitian

Penelitian Terdahulu

• Teorema graf

• Teorema pelabelan graf

• Karakteristik pelabelan graf

Jenis Graf

• Teorema baru jenis graf tertentu

• Bentuk umum dari pelabelan graf harmonis ganjil untuk kelas beberapa kelas graf

Aplikasi Pelabelan Graf

• Penggunaan teorema yang telah ditemukan

10

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

A. Model dan Tahapan Penelitian

Penelitian ini menggunakan model Penelitian Analisis. Berikut tahap- tahap analisis yang akan dilakukan :

1. Analisis konstruksi definisi dari Graf bunga sepatu. Berikut draft konstruksi definisi yang telah disusun :

“Graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf yang dibentuk dari Graf Kincir Angin Belanda 𝐶₄^(𝑘) dengan menambahkan k simpul daun yang terhubung dengan simpul pusat persekutuan 𝑣₀.”

Pada gambar diilustrasikan notasi simpul dan konstruksi Graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1

u0

w1

w2

wk

u1

u2

uk

1

v1 v₁²

1

v2

2

v2 1

vk 2

vk

Gambar Notasi simpul dan konstruksi dari Graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘)dengan 𝑘 ≥ 1

Draf definisi graf di atas perlu dilakukan analisis validasi dengan berkonsultasi kepada pakar di InaCombs. Salah satu syarat validnya suatu definisi graf yaitu berlaku secara umum untuk 𝑘 ≥ 1. Selanjutnya, analisis unsur-unsur graf ini digunakan berkenaan dengan pelabelan harmonis ganjil.

2. Analisis konstruksi definisi dari graf diamond. Berikut draf konstruksi definisi yang telah disusun :

11

“Graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) adalah graf yang dibentuk dengan mengcopy graf 𝐶₄ dengan himpunan simpul {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄} sebanyak 𝑘 kali dan menghubungkan simpul 𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖^𝑗+1, untuk i ganjil, j ganjil, dan 𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖^𝑗+1 untuk i genap, j genap dengan 𝑗 = 1, … , 𝑘 dan 𝑖 = 1, … ,4.”

Pada gambar diilustrasikan notasi simpul dari konstruksi graf diamond

𝐷^(𝑘)(𝐶₄) dengan 𝑘 ≥ 1.

v

¹2

v

²²

v

³²

v

¹¹

v

¹³

v

^1k

v

¹³

v

²³

v

³³

v

¹⁴

v

³⁴

v

^k4

v

¹²

v

^k2

v

^k3

v

²⁴

Gambar Notasi simpul dan konstruksi dari graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄)dengan 𝑘 ≥ 1

3. Analisis pelabelan harmonis ganjil

Hasil analisis konstruksi definisi graf diamond dan Graf bunga sepatu yang telah divalidasi akan digunakan untuk mengkonstruksi Teorema pelabelan harmonis ganjil pada graf diamond dan Graf bunga sepatu. Selanjutnya teorema tersebut harus dianalisis pembuktiannya dan langkah terakhir yaitu dibuat contoh-contoh ilustrasi pelabelan harmonis ganjil pada graf diamond dan bunga sepatu untuk 𝑘 ≥ 1.

12

B. Bagan Alir Penelitian

Luaran/Indikator Pencapaian

--- Definisi Graf Diamond dan Graf bunga sepatu

--- Teorema Pelabelan Harmonis Ganjil

--- Jurnal/Proceeding Internasional/Nasional

Tidak Tidak

Konstruksi Definisi Graf Diamond dan Graf

bunga sepatu

Valid

Konstruksi Teorema Pelabelan

Terbukti Analisis

Definisi

Analisis Pembuktian

Publikasi Ilmiah

13

BAB 1V

HASIL DAN PEMBAHASAN

Hasil penelitian yang sudah dilakukan adalah mengkonstruksi graf baru yang merupakan pengembangan dari graf cycle. Graf tersebut yaitu graf bunga sepatu dan graf diamond. Berikut definisi dan konstruksi dari graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 dan graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) dengan 𝑘 ≥ 1. Dari definisi kedua graf tersebut diturunkan menjadi teorema.

A. Definisi dan kontruksi dari graf bunga sepatu 𝑯𝒇^(𝒌) dengan 𝒌 ≥ 𝟏

Berikut diberikan definisi, notasi simpul dan kontruksi dari graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 yang diperoleh dengan mengembangakan definisi graf kincir angin belanda 𝐶₄^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1. Selanjutnya didefinisikan himpunan simpul dan himpunan busur dari graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1.

Definisi 1. [3] Graf kincir angin belanda 𝐶₄^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf yang dibentuk dari 𝑘 graf lingkaran 𝐶₄ yang mempunyai satu simpul pusat persekutuan 𝑣₀.

Definisi 2. Graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf yang dibentuk dari graf kincir angin belanda 𝐶₄^(𝑘) dengan menambahkan k simpul daun yang terhubung dengan simpul pusat persekutuan 𝑣₀.

Notasi simpul dan kontruksi dari graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 diberikan pada Gambar 1 sebagai berikut :

u0

w1

w2

wk

u1

u2

uk

1

v1 _v1²

1

v2

2

v2 1

vk 2

vk

14

Gambar 1. Notasi simpul dan kontruksi dari graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘)dengan 𝑘 ≥ 1.

Berdasarkan notasi simpul dan kontruksi pada Gambar 1 didefinisikan himpunan simpul dan himpunan busur dari graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah

𝑉(𝐻𝑓^(𝑘)) = {𝑢₀} ∪ {𝑣_𝑖^𝑗|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 𝑗 = 1,2} ∪ {𝑢_𝑖|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘} ∪ {𝑤_𝑖|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘} dan 𝐸(𝐻𝑓^(𝑘)) = {𝑢₀𝑣_𝑖^𝑗|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 𝑗 = 1,2} ∪ {𝑣_𝑖^𝑗𝑢_𝑖|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 𝑗 = 1,2} ∪ {𝑢₀𝑤_𝑖|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘}.

B. Definisi dan kontruksi dari graf diamond 𝑫^(𝒌)(𝑪_𝟒) dengan 𝒌 ≥ 𝟏

Berikut diberikan definisi, notasi simpul dan kontruksi dari graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) dengan 𝑘 ≥ 1, selanjutnya didefinisikan himpunan simpul dan himpunan busur dari graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) dengan 𝑘 ≥ 1.

Definisi 3. Graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) adalah graf yang dibentuk dengan mengcopy graf 𝐶₄ dengan himpunan simpul {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄} sebanyak 𝑘 kali dan menghubungkan simpul 𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖^𝑗+1, untuk i ganjil, j ganjil, dan 𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖^𝑗+1 untuk i genap, j genap dengan 𝑗 = 1, … , 𝑘 dan 𝑖 = 1, … ,4.

Notasi simpul dan kontruksi dari graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) dengan 𝑘 ≥ 1 diberikan pada Gambar 2 sebagai berikut :

v

¹²

v

²²

v

³²

v

¹¹

v

¹³

v

^1k

v

¹³

v

²3

v

³³

v

¹⁴

v

³⁴

v

^k4

v

1²

v

^k2

v

^k3

v

²⁴

Gambar 2. Notasi simpul dan kontruksi dari graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄)dengan 𝑘 ≥ 1

15

Berdasarkan notasi simpul dan kontruksi pada Gambar 2 didefinisikan himpunan simpul dan himpunan busur dari graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄)dengan 𝑘 ≥ 1 adalah

𝑉(𝐷^(𝑘)(𝐶₄) ) = {𝑣_𝑖^𝑗| 𝑖 = 1,2,3,4, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘} dan

𝐸(𝐷^(𝑘)(𝐶₄) ) = {𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖+1^𝑗 |𝑖 = 1,2,3, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘} ∪ {𝑣₄^𝑗𝑣₁^𝑗|1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘} ∪

{𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖^𝑗+1|𝑖 = 1,3, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘, 𝑗 ganjil} ∪ {𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖^𝑗+1| 𝑖 = 2,4 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘, 𝑗 genap }

HASIL DAN PEMBAHASAN

1. Pelabelan harmonis ganjil pada bunga sepatu 𝑯𝒇^(𝒌) dengan 𝒌 ≥ 𝟏

Berikut diberikan sifat yang menyatakan bahwa graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil, selanjutnya diberikan contoh untuk memperjelas sifat tersebut.

Teorema 3. Graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil.

Bukti. Misalkan 𝐻𝑓^(𝑘) adalah graf bunga sepatu dengan 𝑘 ≥ 1. Himpunan simpul dan himpunan busur 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 didefinisikan oleh

𝑉(𝐻𝑓^(𝑘)) = {𝑢₀} ∪ {𝑣_𝑖^𝑗|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 𝑗 = 1,2} ∪ {𝑢_𝑖|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘} ∪ {𝑤_𝑖|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘} dan 𝐸(𝐻𝑓^(𝑘)) = {𝑢₀𝑣_𝑖^𝑗|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 𝑗 = 1,2} ∪ {𝑣_𝑖^𝑗𝑢_𝑖|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 𝑗 = 1,2} ∪ {𝑢₀𝑤_𝑖|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘}

maka 𝑝 = |𝑉(𝐻𝑓^(𝑘))| = 4𝑘 + 1 dan 𝑞 = |𝐸(𝐻𝑓^(𝑘))| = 5𝑘

Definisikan pelabelan simpul 𝑓: 𝑉(𝐹^(𝑘)) → {0,1,2,3 … ,10𝑘 − 1} sebagai berikut : 𝑓(𝑢₀) = 0

𝑓(𝑣_𝑖^𝑗) = 4𝑖 + 2𝑗 − 5, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 𝑗 = 1,2 𝑓(𝑢_𝑖) = 8𝑘 − 8𝑖 + 4, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘

𝑓(𝑤_𝑖) = 8𝑘 + 2𝑖 − 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘

Fungsi pelabelan 𝑓 akan menginduksi pelabelan 𝑓^∗: 𝐸(𝐻𝑓^(𝑘)) → {1,3,5,7, … ,10𝑘 − 1} yang didefinisikan oleh 𝑓^∗(𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣), sehingga didapatkan fungsi pelabelan busur 𝑓^∗ sebagai berikut :

𝑓^∗(𝑢₀𝑣_𝑖^𝑗) = 4𝑖 + 2𝑗 − 5, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 𝑗 = 1,2 𝑓^∗(𝑣_𝑖^𝑗𝑢_𝑖) = 8𝑘 − 4𝑖 + 2𝑗 − 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 𝑗 = 1,2 𝑓^∗(𝑢₀𝑤_𝑖) = 8𝑘 + 2𝑖 − 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘

Dapat ditunjukkan bahwa fungsi 𝑓 memenuhi pemetaan injektif sedemikian sehingga menginduksi fungsi 𝑓^∗ yang bijektif. Akibatnya graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil ∎

16

Contoh 1. Diberikan contoh pelabelan harmonis ganjil dari graf bunga sepatu 𝐻𝑓⁽⁵⁾ pada Gambar 3.

0

1 3

5

7

9

11 13 15 17 4 19

12 20

28 36

41

43

45 47

49

Gambar 3. Pelabelan harmonis ganjil pada graf bunga sepatu ^𝐻𝑓(5).

2. Pelabelan harmonis ganjil pada graf diamond 𝑫^(𝒌)(𝑪_𝟒) dengan 𝒌 ≥ 𝟏

Berikut diberikan sifat yang menyatakan bahwa graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil, selanjutnya diberikan contoh untuk memperjelas sifat tersebut.

Teorema 3. Graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil.

Bukti. Misalkan 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) adalah graf diamond dengan 𝑘 ≥ 1. Himpunan simpul dan himpunan busur 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) dengan 𝑘 ≥ 1 didefinisikan oleh

𝑉(𝐷^(𝑘)(𝐶₄) ) = {𝑣_𝑖^𝑗| 𝑖 = 1,2,3,4, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘} dan

𝐸(𝐷^(𝑘)(𝐶₄) ) = {𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖+1^𝑗 |𝑖 = 1,2,3, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘} ∪ {𝑣₄^𝑗𝑣₁^𝑗|1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘} ∪

{𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖^𝑗+1|𝑖 = 1,3, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘, 𝑗 ganji} ∪ {𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖^𝑗+1| 𝑖 = 2,4 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘, 𝑗 genap } maka 𝑝 = |𝑉(𝐷^(𝑘)(𝐶₄) )| = 4𝑘 dan 𝑞 = |𝐸(𝐷^(𝑘)(𝐶₄) )| = 6𝑘 − 2.

Definisikan pelabelan simpul 𝑓: 𝑉(𝐷^(𝑘)(𝐶₄) ) → {0,1,2,3 … ,12𝑘 − 5} sebagai berikut : 𝑓(𝑣_𝑖^𝑗) = {6𝑗 + 𝑖 − 7 , i = 1,2,3, j ≡ 1 (mod 4)

6𝑗 + 𝑖 − 5 , i = 4 , j ≡ 1 (mod 4) 𝑓(𝑣_𝑖^𝑗) = {6𝑗 + 𝑖 − 8, 𝑖 = 2,3,4, j ≡ 2 (mod 4)

6𝑗 + 𝑖 − 2, 𝑖 = 1, j ≡ 2 (mod 4) 𝑓(𝑣_𝑖^𝑗) = {6𝑗 + 3𝑖 − 7, 𝑖 = 1,2, j ≡ 3 (mod 4)

6𝑗 + 𝑖 − 9, 𝑖 = 3,4, j ≡ 3 (mod 4)

17

𝑓(𝑣_𝑖^𝑗) = {

6𝑗 + 𝑖 − 6, 𝑖 = 1,2, j ≡ 0 (mod 4) 6𝑗 + 𝑖 − 4, 𝑖 = 3, j ≡ 0 (mod 4) 6𝑗 + 𝑖 − 10, 𝑖 = 4, j ≡ 0 (mod 4)

Fungsi pelabelan 𝑓 akan menginduksi pelabelan 𝑓^∗: 𝐸(𝐷^(𝑘)(𝐶₄) ) → {1,3,5,7, … ,12𝑘 − 5}

yang didefinisikan oleh 𝑓^∗(𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣), sehingga didapatkan fungsi pelabelan busur 𝑓^∗ sebagai berikut :

untuk 𝑗 ≡ 1 (mod 4)

𝑓^∗(𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖+1^𝑗 ) = {12𝑗 + 2𝑖 − 13, 𝑖 = 1,2 12𝑗 + 2𝑖 − 11, 𝑖 = 3 𝑓^∗(𝑣₄^𝑗𝑣₁^𝑗) = 12j − 7

untuk 𝑗 ≡ 2(mod 4)

𝑓^∗(𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖+1^𝑗 ) = { 12𝑗 + 2𝑖 − 9, 𝑖 = 1 12𝑗 + 2𝑖 − 15 , 𝑖 = 2,3 𝑓^∗(𝑣₄^𝑗𝑣₁^𝑗) = 12𝑗 − 5

untuk 𝑗 ≡ 3 (mod 4) 𝑓^∗(𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖+1^𝑗 ) = {

12𝑗 + 6𝑖 − 11, 𝑖 = 1 12𝑗 + 4𝑖 − 15, 𝑖 = 2 12𝑗 + 2𝑖 − 17, 𝑖 = 3

𝑓^∗(𝑣₄^𝑗𝑣₁^𝑗) = 12j − 9

untuk 𝑗 ≡ 0 (mod 4) 𝑓^∗(𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖+1^𝑗 ) = {

12𝑗 + 2𝑖 − 11, 𝑖 = 1 12𝑗 + 2𝑖 − 9, 𝑖 = 2 12𝑗 + 2𝑖 − 23, 𝑖 = 3

𝑓^∗(𝑣₄^𝑗𝑣₁^𝑗) = 12j − 11

dan fungsi pelabelan busur 𝑓^∗ yang menghubungkan antar 𝐶₄ 𝑓^∗(𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖^𝑗+1) = {12𝑗 + 2𝑖 − 3 , 𝑖 = 1

12𝑗 + 2𝑖 − 9 , 𝑖 = 3, untuk j ≡ 1 (mod 4) 𝑓^∗(𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖^𝑗+1) = {12𝑗 + 4𝑖 − 9 , 𝑖 = 2

12𝑗 + 2𝑖 − 11 , 𝑖 = 4, untuk j ≡ 2 (mod 4) 𝑓^∗(𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖^𝑗+1) = {12𝑗 + 4𝑖 − 7 , 𝑖 = 1

12𝑗 + 2𝑖 − 7 , 𝑖 = 3, untuk j ≡ 3 (mod 4) 𝑓^∗(𝑣_𝑖^𝑗𝑣_𝑖^𝑗+1) = {12𝑗 + 2𝑖 − 7 , 𝑖 = 2

12𝑗 + 2𝑖 − 9 , 𝑖 = 4, untuk j ≡ 0 (mod 4)

Dapat ditunjukkan bahwa fungsi 𝑓 memenuhi pemetaan injektif sedemikian sehingga menginduksi fungsi 𝑓^∗ yang bijektif. Akibatnya graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil ∎

18

Contoh 2. Diberikan contoh pelabelan harmonis ganjil dari graf diamond 𝐷⁽⁴⁾(𝐶₄) pada Gambar 4.

0 0 0

1

2

5 6

7 8

11

12 13

14

18 17

19

20

23

Gambar 4. Pelabelan harmonis ganjil pada graf diamond 𝐷⁽⁴⁾(𝐶4).

19

BAB V

KESIMPULAN DAN IMPLIKASI

Pada penelitian ini telah dikonstruksikan pelabelan harmonis ganjil pada graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 dan graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) dengan 𝑘 ≥ 1 sedemikian sehingga graf bunga sepatu 𝐻𝑓^(𝑘) dengan 𝑘 ≥ 1 dan graf diamond 𝐷^(𝑘)(𝐶₄) dengan 𝑘 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil. Saat ini penulis sedang memperluas kasus tersebut, sehingga memungkinkan untuk dilakukan penelitian lebih lanjut.

20

BAB VI

LUARAN YANG DICAPAI IDENTITAS JURNAL 1 Nama

Jurnal

CAUCHY (Jurnal Matematika Murni dan Aplikasi

2 Website Jurnal

http://ejournal.uin-malang.ac.id/index.php/Math/index

3 Status Makalah

Submitted

4 Jenis Jurnal

Jurnal Nasional Terkakreditasi SINTA 3

5 Tanggal Submit

15 Agustus 2019

21

6 Bukti Screenshot submit

22

DAFTAR PUSTAKA

Alyani, F., Firmansah, F., Giyarti, W., Sugeng, K. A., The odd Harmonious Labeling of kCn- Snake Graphs for Spesific Values of n, that is, for n = 4 and n = 8. IICMA, 225-230, 2013.

Firmansah, F. 2016. Pelabelan Harmonis Ganjil pada Gabungan Graf Ular dan Graf Ular Berlipat. Konferensi Nasional Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP 1), Diselenggarakan oleh Program Studi Pendidikan Matematika, UMS, 12 Maret 2016 Surakarta: Muhammadiyah University Press.

Firmansah, F., dan Sugeng, K. A. 2015. Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Dutch Windmill dan Gabungan Graf Kincir Angin Belanda. Magistra, No 94 Th. XXVII, ISSN 0215-9511, 56-92

Gallian, J. A., Dynamic Survey of Graph Labeling. Electronic Journal of Combinatorics 17, 2014.

Liang, Z., Bai, Z., On The Odd Harmonious Graphs with Applications, J. Appl. Math. Comput., 29, 105-116, 2009.

Saputri, G. A., Sugeng, K. A., Froncek, D. The Odd Harmonious Labeling of Dumbbell and Generalized Prims Graphs, AKCE Int, J. Graphs Comb., Vol 10, No 2, 221-228, 2013 Vaidya, S. K., Shah, N.H., Some New Odd Harmonious Graphs. IJMSC, Vol 1, No 1, 9-16,

2011.

23

Lampiran 1. Justifikasi Anggaran Penelitian A. Peralatan Penunjang

No. Material Justifikasi

Pemakaian Kuantitas

Harga Satuan (Rp)

Jumlah

1 Software LateX

Analisis dan penulisan

temuan

1 2.450.000 2.450.000

2 Flashdisk Backup Data 1 150.000 150.000

Sub Total (Rp) 2.600.000 B. Barang Habis Pakai

No. Material Justifikasi

Pemakaian Kuantitas

Harga Satuan (Rp)

Jumlah

1

Penggandaan dan softcover proposal

Penggandaan dan softcover proposal

2 50.000 100.000

2 ATK Alat Tulis 1 Paket 200.000 200.000

3 Validasi Definisi Temuan

Validasi

Definisi temuan

1 500.000 500.000

4 Validasi Teorema Temuan

Validasi

Teorema temuan

1 500.000 500.000

5 Kertas A4 Cetak Dokumen 5 rim 50.000 250.000

6 Refill Tinta Infus Printer Canon 2000

Cetak Dokumen 1 Paket 500.000 500.000

7 Pulsa Handphone Komunikasi 1 100.000 100.000

Sub Total (Rp) 2.150.000 C.Perjalanan

No. Material Justifikasi

Pemakaian Kuantitas

Harga Satuan (Rp)

Jumlah

1 Konsultasi Pakar ke UI

Konsultasi pakar: Validasi definisi, analisis pembuktian, dan analisis

pelabelan

4 kali 100.000 400.000

D.Pengolahan data, laporan, publikasi seminar, pendaftaran HKI dan lain-lain

No. Material

Justifikasi Pemakaian

Kuantitas Harga Satuan (Rp)

Jumlah

1. Publikasi Jurnal Internasional

Bereputasi

Publikasi artikel 1 3.850.000 3.850.000

24

2. Pendaftaran HKI Pendaftaran HKI 1 600.000 600.000 3. Laporan Penelitian Laporan

Penelitian

4 100.000 400.000

Sub Total (Rp) 4.850.000 TOTAL ANGGARAN YANG DIPERLUKAN (Rp) 10.000.000

Terbilang Sepuluh Juta Rupiah

25

Lampiran 2. Susunan Organisasi dan Pembagian Tugas Tim Peneliti

No Nama/NIDN Instansi Asal

Bidang Ilmu

Alokasi Waktu

(jam/minggu) Uraian Tugas 1 Fitri Alyani,

S.Pd., G.Cert.Ed., M.Si / 0321098901 (Ketua Peneliti)

UHAMKA Matematika, Pendidikan Matematika

10 • Ketua Peneliti

• Penanggung Jawab Penelitian

• Pengkonstruksian dan analisis pelabelan

• Analisis pembuktian

• Publikasi Jurnal Internasional Bereputasi 2 Hella Jusra,

M.Pd. / 0311088901 (Anggota Peneliti)

UHAMKA Pendidikan Matematika

8 • Anggota Peneliti

• Analisis Teori

• Membuat Laporan

26

Lampiran 3.a. Biodata Ketua Peneliti

27

28

Lampiran 3.b. Biodata Anggota Peneliti

29

30

Lampiran 4. Surat Pernyataan Peneliti

31