Limit Fungsi Irasional di Ketakhinggaan
Cara mengalikan dengan faktor sekawan jika limit fungsi berbentuk
𝑥→∞lim{𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)}
, karena jika 𝑥 = ∞ disubstitusi langsung maka diperoleh bentuk ∞ − ∞ . Langkah-langkah penyelesaian limit tersebut sebagai berikut.
1) Kalikan faktor
{𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)}dengan faktor kawannya yaitu
{𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)}sehingga diperoleh
lim𝑥→∞{𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)}{𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)}
{𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)}= lim𝑥→∞(𝑓(𝑥)){𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)}2−(𝑔(𝑥))2
2) Selesaikan bentuk
lim𝑥→∞
(𝑓(𝑥))2−(𝑔(𝑥))2
{𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)}
dengan cara menentukan limit fungsi rasional yang telah dibahas sebelumnya.
Contoh. Tentukanlah limit fungsi berikut!
a.
lim𝑥→∞{√5𝑥 + 1 − √3𝑥 + 7}
b.
𝑥→∞lim{√3𝑥2− 2𝑥 + 5 − √𝑥2− 𝑥 + 1}c.
lim𝑥→∞{√2𝑥2− 𝑥 + 5 − √2𝑥2+ 5𝑥 − 6}
Jawab.
a. lim
𝑥→∞{√5𝑥 + 1 − √3𝑥 + 7}
= lim𝑥→∞{√5𝑥 + 1 − √3𝑥 + 7} .{√5𝑥 + 1 + √3𝑥 + 7}
{√5𝑥 + 1 + √3𝑥 + 7}
= lim𝑥→∞(√5𝑥 + 1)2− (√3𝑥 + 7)2 {√5𝑥 + 1 + √3𝑥 + 7}
= lim𝑥→∞ (5𝑥 + 1) − (3𝑥 + 7) {√5𝑥 + 1 + √3𝑥 + 7}
= lim𝑥→∞ 2𝑥 − 6
{√5𝑥 + 1 + √3𝑥 + 7}
Ambil suku dengan pangkat tertinggi dari 𝑥 baik pada pembilang maupun penyebut
= lim𝑥→∞ 2𝑥 {√5𝑥 + √3𝑥}
= lim𝑥→∞ 2𝑥 {√5 + √3}√𝑥
= lim𝑥→∞ 2√𝑥 {√5 + √3}
= ∞
{√5 + √3}
= ∞
b. 𝑥→∞lim{√3𝑥2− 2𝑥 + 5 − √𝑥2− 𝑥 + 1}
= lim𝑥→∞{√3𝑥2− 2𝑥 + 5 − √𝑥2− 𝑥 + 1}{√3𝑥2− 2𝑥 + 5 + √𝑥2− 𝑥 + 1}
{√3𝑥2− 2𝑥 + 5 + √𝑥2− 𝑥 + 1}
= lim
𝑥→∞
(√3𝑥2− 2𝑥 + 5)2− (√𝑥2− 𝑥 + 1)2 {√3𝑥2− 2𝑥 + 5 + √𝑥2− 𝑥 + 1}
= lim𝑥→∞ (3𝑥2− 2𝑥 + 5) − (𝑥2− 𝑥 + 1) {√3𝑥2− 2𝑥 + 5 + √𝑥2− 𝑥 + 1}
= lim𝑥→∞ 2𝑥2− 𝑥 + 4
{√3𝑥2− 2𝑥 + 5 + √𝑥2− 𝑥 + 1}
Ambil suku dengan pangkat tertinggi dari 𝑥 baik pada pembilang maupun penyebut
= lim𝑥→∞ 2𝑥2
√3𝑥2+ √𝑥2
= 2𝑥
√3 + √1
= ∞
c. 𝑥→∞lim{√2𝑥2− 𝑥 + 5 − √2𝑥2+ 5𝑥 − 6}
= lim𝑥→∞{√2𝑥2− 𝑥 + 5 − √2𝑥2+ 5𝑥 − 6}{√2𝑥2− 𝑥 + 5 + √2𝑥2+ 5𝑥 − 6}
{√2𝑥2− 𝑥 + 5 + √2𝑥2+ 5𝑥 − 6}
= lim𝑥→∞(√2𝑥2− 𝑥 + 5)2− (√2𝑥2+ 5𝑥 − 6)2 {√2𝑥2− 𝑥 + 5 + √2𝑥2+ 5𝑥 − 6}
= lim𝑥→∞ (2𝑥2− 𝑥 + 5) − (2𝑥2+ 5𝑥 − 6) {√2𝑥2− 𝑥 + 5 + √2𝑥2+ 5𝑥 − 6}
= lim𝑥→∞ −6𝑥 + 11
{√2𝑥2− 𝑥 + 5 + √2𝑥2+ 5𝑥 − 6}
Ambil suku dengan pangkat tertinggi dari 𝑥 baik pada pembilang maupun penyebut
= lim𝑥→∞ −6𝑥
√2𝑥2+ √2𝑥2
= lim𝑥→∞ −6𝑥 2√2𝑥
= − 3
√2
= −3√2 2
Contoh. Tentukan nilai
lim𝑥→∞{√𝑥2+ 2𝑥 − √𝑥2+ 3𝑥}
Jawab.
𝑥→∞lim{√𝑥2+ 2𝑥 − √𝑥2+ 3𝑥}
=
lim𝑥→∞
{√
𝑥2+ 2𝑥 −√
𝑥2+ 3𝑥}
×{√
𝑥2+ 2𝑥 +√
𝑥2+ 3𝑥} {√
𝑥2+ 2𝑥 +√
𝑥2+ 3𝑥}
=
lim𝑥→∞
(√
𝑥2+ 2𝑥)
2−(√
𝑥2+ 3𝑥)
2{√
𝑥2+ 2𝑥 +√
𝑥2+ 3𝑥}
=
lim𝑥→∞
(
𝑥2+ 2𝑥)
−(
𝑥2+ 3𝑥) {√
𝑥2+ 2𝑥 +√
𝑥2+ 3𝑥}
=
lim𝑥→∞
−𝑥
√
𝑥2+ 2𝑥 +√
𝑥2+ 3𝑥Ambil suku dengan pangkat tertinggi dari 𝑥 baik pada pembilang maupun penyebut
=
lim𝑥→∞
−𝑥
√
𝑥2+√
𝑥2=
lim𝑥→∞
−𝑥 𝑥 + 𝑥
=
lim𝑥→∞
−𝑥 2𝑥
