Metode Matriks – Metode Displacement

(1)

Pertemuan ke-9

Mata Kuliah: Analisis Struktur 2

Metode Matriks – Metode Displacement

Departemen Teknik Sipil, Program Studi S1 Teknik Sipil, Kelas D – Reguler

Dr.-Ing. Ir. Bobby Rio Indriyantho, S.T., M.T., IPM., ASEAN Eng.

1

4 2 6

3

5

(2)

Literatur

Mata Kuliah: Analisis Struktur 2

• Referensi:

1. Wang C K, ”Statically Indeterminate Structures”, Mc Graw Hill Co, 1953.

2. Wang C K, ”Introductory Structural Analysis with Matrix Method”, Prentice Hall Inc,1973.

3. William Weaver, Jr and James M. Gere, ”Matrix Analysis of Framed Structures”, Dvan Nostrand Company, Second Edition, 1980.

4. Popov, E.P., 1981, ”Mechanics of Materials”, Prentice Hall, Inc, New York.

5. Cheng Fa Hwa,1997, ”Statics and Strength of Materials, McGraw-Hill International Editions, New York.

6. S. Timoshenko, 1958, “Strength of material“, Robert E Krieger Publishing Co, Inc, New York.

(3)

Daftar Isi

Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK) Metode Matriks – Metode Displacement

Contoh

(4)

Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK)

(5)

Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK) Mata Kuliah: Analisis Struktur 2

Mahasiswa mampu memahami konsep Metode Matriks: Metode Displacement.

Mahasiswa mampu menghitung gaya-gaya dalam serta menggambarkan bidang gaya dalam (N,D,M) dan free body diagram dari struktur statis tak tentu menggunakan Metode Displacement.

(6)

Metode Matriks – Method Displacement

(7)

Metode Matriks – Metode Displacement Definisi

• Derajat Kebebasan (Degree of Freedom) → besaran yang menyatakan jumlah komponen bebas dari displacement di titik kumpul yang mungkin terjadi akibat diberikannya suatu pembebanan pada struktur.

• Derajat kebebasan dapat berupa translasi atau rotasi.

1 2

3 4

1

2

3

A

1 2

3 4

1

2 3

B

4 5

Derajat kebebasan struktur

= derajat kebebasan translasi + derajat kebebasan rotasi

(8)

• Derajat kebebasan translasi

di mana:

s = derajat kebebasan goyangan j = jumlah titik kumpul

f = jumlah tumpuan jepit h = jumlah tumpuan sendi r = jumlah tumpuan rol m = jumlah batang

Tinjauan A → Tinjauan B →

• Untuk rotasi

Tinjauan A → variabel rotasi = 2 DoF rotasi = 2 DoF struktur = 1 + 2 = 3

Tinjauan B → variabel rotasi = 3 DoF rotasi = 3 DoF struktur = 2 + 3 = 5

• Dimensi matriks kekakuan Baris dan kolom = DoF struktur

Sehingga, A → 3 × 3 = 3 persamaan, 3 unknown B → 5 × 5 = 5 persamaan, 5 unknown DoF struktur:

Metode Matriks – Metode Displacement Definisi

(9)

Matriks Kekakuan

• Jika gaya-gaya dan rotasi di ujung batang masing-masing dinotasikan sebagai F dan e, maka gaya dan rotasi di ujung i dan j dapat diilustrasikan sebagai berikut

• Dalam bentuk matriks, hubungan gaya (momen ujung) – displacement atau perpindahan (rotasi ujung) dapat ditulis

e_i

e_j F_j F_i

i j

EI L

Metode Matriks – Metode Displacement

(10)

• Gaya pada DoF dinotasikan sebagai P dan perpindahan dinotasikan sebagai x, sehingga diagram berikut adalah diagram P – x.

di mana P = gaya luar x = perpindahan

P₁ P₂

P₃

x₁ x₂

x₃

1 2

3

Diagram P – x Matriks Kekakuan

(11)

• Momen pada DoF dinotasikan sebagai F dan rotasi dinotasikan sebagai e, sehingga diagram berikut adalah diagram F – e.

di mana F = gaya dalam (momen ujung)

F₁

F₄

F₆ F₂

F₃

F₅

Diagram F – e

e₁

e₄

e₆ e₂

e₃

e₅ 1

4 2 6

3

5

Momen ujung Rotasi ujung

Matriks Kekakuan

(12)

• Kekakuan struktur merupakan matriks hubungan gaya (P) dan perpindahan (x) yang ditulis

• Untuk menurunkan matriks kekakuan K, langkah-langkahnya adalah:

1. Hubungan Gaya Luar (P) dan Gaya Dalam (F)

2. Hubungan Gaya Dalam (F) dan Rotasi Ujung (e) untuk semua batang pada struktur

3. Hubungan Rotasi Ujung (e) dan Perpindahan (Rotasi dan Translasi) (x)

di mana = matriks statis diperoleh dari keseimbangan statis

di mana = matriks kekakuan batang

di mana = matriks deformasi diperoleh dari pemberian deformasi maya

Langkah-Langkah

(13)

• Langkah-langkah (lanjutan):

4. Matriks kekakuan dan perpindahan

5. Hitung gaya dalam

substitusi persamaan pada langkah 2 ke dalam langkah 1

→

Sehingga, matriks kekakuan K adalah

→

Gaya total → Langkah-Langkah

substitusi persamaan pada langkah 3 ke dalam langkah 2

(14)

Contoh

(15)

8 m 2EI

EI EI 4 m

3 t/m

1 2

A B

2 t

1 2

3

1

4 2 6

3

5

Contoh

(16)

• Matriks A

F₁

F₂

H₁ H₁ H₁ F₂

F₃ P₁

F₃

F₄

P₂ F₆

P₃

F₅

F₆

H₂ H₂ H₂

Free Body Diagram Contoh

(17)

Contoh

(18)

• Matriks S • Matriks B Contoh

(19)

• Untuk mengisi kolom 1 • Untuk mengisi kolom 2

X₁= 1 X₂ = 0

X₃ = 0

x₁ = 1 x₂ = 0 x₃ = 0

e₁ = 0 e₂ = 1 e₃ = 1 e₄ = 0 e₅ = 0 e₆ = 0

X₁= 0 X₂= 1

X₃ = 0

x₁ = 0 x₂ = 1 x₃ = 0

e₁ = 0 e₂ = 0 e₃ = 0 e₄ = 1 e₅ = 0 e₆ = 1 Contoh

(20)

Sehingga

• Untuk mengisi kolom 3

X₁ = 1 X₂= 0 X₃ = 1

x₁ = 0 x₂ = 0 x₃ = 1

e₁ = -¼ e₂ = -¼ e₃ = 0 e₄ = 0 e₅ = -¼ e₆ = -¼ Contoh

(21)

• Matriks Beban • Analisis

3 t/m 2 t

Contoh

(22)

• Persamaan sistem

• Eliminasi Gauss

Sehingga Contoh

(23)

• Gaya dalam Contoh

(24)

• Gaya luar • Gaya total Contoh

(25)

• Free Body Diagram

3,0

8,9523

3,0476

3,0 11,5714

3,0

2,0 5,0 11,5714

8,9523 5,0 12,3810

12,4286

5,0

12,3809

7,6190

5,0

12,4286

Contoh

(26)

• Bidang normal dan geser

(–)

5,0000

11,5714 12,4286 (–) (+)

(+)

(–)

a b

11,5714

12,4286

3,0 5,0

Contoh

(27)

• Bidang momen

(+)

(–) (–)

(+)

8,9523 12,3810

12,3809 8,9523

13,3639

3,0476 7,6190

Contoh

(28)

Pertemuan ke-9

Mata Kuliah: Analisis Struktur 2