Modul 4: Persamaan Linier
Widhy Rafi Imani Dr. Lailatul Qomariyah, S.T.
Departemen Teknik Kimia Industri Institut Teknologi Sepuluh Nopember
28 Oktober 2023 1.0 Tujuan
Mempelajari dan membandingan metode-metode numerik untuk menyelesaikan permasalahan nonlinier yaitu metode eliminasi gauss, gauss Jordan, dan Dekomposisi LU.
2.0 Metode
2.1 Elimansi Gauss
Langkah-langkah dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss adalah sebagai berikut:
1. Jika matriks entrinya nol (0) semua, maka tidak ada penyelesaian.
2. Mencari kolom dari kiri yang berisi entri tidak nol (0), entri tidak nol (0) dalam baris pertama adalah satu (1).
3. Bila entri baris kolom pertama tidak sama dengan satu, maka dilakukan operasi baris elementer pada baris tersebut.
4. Kemudian untuk baris dibawahnya, mengikuti Langkah 2 dan 3, entri di bawah baris kolom pertama dibuat nol (0), dan seterusnya.
5. Jika terdapat baris-baris yang memiliki entri semuanya nol (0), maka baris- baris tersebut berada di bawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol (0).
6. Setelah terbentuk matriks segitiga atas, maka lakukan substitusi balik untuk memperoleh penyelesaian sistem.
Langkah-langkah tersebut dapat diringkas menjadi dua tahap, yakni tahap pertama, transformasi matriks yang diperbesar [AB] menjadi matriks [CD] dalam bentuk eselon baris dengan menggunakan operasi baris elementer. Tahap kedua, solusi dari sistem persamaan linier berkorespondensi matriks yang diperbesar [CD] menggunakan substitusi balik.
2.2 Metode Gauss Jordan
Langkah langkah dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan metode eliminasi gauss Jordan adalah sebagai berikut :
1. Tukar baris sehingga semua baris dengan semua entri nol berada di bawah.
2. Tukar baris sehingga baris dengan entri bukan nol terbesar bdan paling kiri berada di atas.
3. Kalikan baris teratas dengan scalar sehingga entri utama baris teratas menjadi 1.
4. Tambahkan atau kurangi kelupatan baris teratas ke baris lainnya sehingga semua entri lain dalam kolom yang memuat entri terdepan baris teratas semuanya nol.
5. Ulangi Langkah 2-4 untuk entri bukan nol paling kiri berikutnya hingga semua entri di depannya adalah 1.
6. Tukar baris-baris tersebut sehingga entri utama setiap baris bukan nol berada di sebelah kanan entri utama baris di atasnya.
2.3 Metode Dekomposisi LU Algoritma Dekomposisi LU
1. Masukkan matrik A, dan Vektor B beserta ukurannya
2. Lakukan langkah poin ke-4 s/d point 5 untuk memperoleh matriks U
3. Untuk baris ke- I dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,j sama dengan nol.
• Bila iya, lakukan row swapping antara baris ke- I dan baris ke- i+k≤n, dimana ai+Kj tidak sama dengan nol. Bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian.
• Bila tidak, lanjutkan
4. Untuk baris ke-, dimana j=i+1 s/d n, lakukan operasi baris elementer.
• Hitung c=aj,iai,i. untuk kolom k , dimana k=1 s/d n+1
• hitung aj,k=aj,k−ci.ai,k
5. Lakukan langkah poin ke-7 s/d poin 9 untuk memperoleh matriks L
6. Untuk diagonal matriks L isikan dengan nilai 1 dan elemen di atas diagonal dengan nilai nol
7. Untuk elemen dibawah diagonal isikan dengan faktor pengali operasi baris elementer matriks U.
3.0 Literatur Review 3.1 Matlab
Matlab (Matrix Labolatory) adalah suatu program yang digunakan untuk analisis dan komputasi numerik dan merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan menggunakan dasar pemkiran sifat dan bentuk matriks. Saat ini matriks telah berkembang menjadi sebuah environment pemrograman yang canggih yang berisi fungsi fungsi untuk melakukan tugas pengolahan sinyal, aljabar linear, dan kalkulasi matematis lainnya. Matlab merupakan merk software yang dikembangkan oleh Mathworks.Inc danmerupakan software yang paling efisien untuk perhitungan numerik berbasis matriks.
Dengan demikian jika di dalam perhitungan kita dapat menformulasikan masalah ke dalam format matriks, maka Matlab merupakan software terbaik untuk penyelesaian numeriknya.
Matlab yang merupakan bahasa pemrograman tingkat tinggi berbasis pada matriks sering digunakan untuk teknik komputasi numerik, untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan operasi matematika elemen, matriks, optimasi, aproksimasi dan lain-lain. Sehingga Matlab banyak digunakan pada :
1. Matematika dan Komputansi 2. Pengembangan dan Algoritma
3. Pemrograman modeling, simulasi, dan pembuatan prototype 4. Analisa data, eksplorasi dan visualisasi
5. Analisis numerik dan statistik 6. Pengembangan aplikasi Teknik 3.2 Persamaan Linier
Persamaa linier merupakan sebuah persamaan aljabar dimana tiap sukunya mangandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama dengan serta variabelnya. Pertama sekali bentuk umum persamaan linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Persamaan ini dikatakan linier karena jika di gambarkan dalam koordinat kartesius berbentuk garis lurus.
Pemecahan persamaan linier adalah urutan dari n bilangan sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila di substitusikan. Sebuah himpunan berhingga dari persamaan persamaan linier dalam peubah dinamakan sistem persamaan linier. Metode dasar untuk memecahkan sistem
persamaan linier adalah mengganti sistem yang diberikan dengan sistem baru yang mempunyai himpunan pemecahan yang sama dengan pemecahan yang lebih mudah (Nasution, et al., 2016).
3.3 Metode Eliminasi Gauss
Metode eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks menjadi matriks yang lebih sederhana dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Prosedur penyelesaian dari metode ini adalah dengan melakukan operasi baris menjadi matriks eselon-baris. Metode ini mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks augmentasi dan mengoperasikannya. Sistem persamaan linier merupakan salah satu sistem persamaan yang terdiri dari sejumlah persamaan dan variabel yang berhingga. Untuk dapat menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabelvariabel persamaan tersebut (Febri &
Anapranata, 2019).
3.4 Metode Gaus Jordan
Gauss Jordan merupakan salah satu cara untuk menemukan sistem solusi dari persamaan linier. Eliminasi Gauss Jordan menejelaskan bahwa eleminasi gauss menempatkan nol dibawah pada setiap pivot dalam matriks dimulai dari baris terastas dan bekerja ke bawah, metode elminasi gauss Jordan melangkah kebih maju dengan menempatkan nol diatas dan dibawah setiap pivot. Setiap matriks memiliki bentuk startum teredukasi dan metode eliiminasi gauss Jordan dipastikan dapat menemukannya.
Metode untuk menyelesaikan sistem linier dengan eliminasi gauss Jordan disebut sebagai algoritma. Metode Eliminasi gauss Jordan ini sangat cocok untuk menyelesaikan sistem linier di komputer (Funny, 2017).
3.5 Metode Dekomposisi LU
Metode Decomposisi LU (LU Decomposition) adalah suatu teknik dalam aljabar linear yang sering digunakan untuk membagi suatu matriks menjadi hasil perkalian dari dua matriks segitiga, yaitu matriks segitiga atas (upper triangular) dan matriks segitiga bawah (lower triangular). Tujuan dari metode ini adalah untuk meningkatkan efisiensi dalam proses pemecahan sistem persamaan linear. Setelah matriks mengalami proses dekomposisi, kita dapat dengan mudah menyelesaikan sistem persamaan linear melalui penggunaan substitusi maju dan substitusi mundur dengan memanfaatkan matriks hasil dekomposisi. Metode Decomposisi LU memiliki kegunaan yang luas dalam bidang analisis numerik dan penyelesaian sistem persamaan linear dalam berbagai bidang ilmiah dan teknis, terutama ketika terdapat perulangan perhitungan yang diperlukan.
Selain itu, metode ini juga bermanfaat dalam perhitungan determinan matriks dan invers matriks dengan tingkat efisiensi yang lebih baik daripada metode langsung (Dinkelbach, et al., 2021).
4.0 Hasil Praktikum
clc;
clear;
disp('Widhy Rafi Imani');
disp('2041221128');
disp('Kelas C');
disp('Metode 1');
disp('Eliminasi Gauss');
n=input('Masukkan nilai n= ');
a=[0.12 0.2 0.17 0.13; 0.4 0.35 0.31 0.5; 0.33 0.42 0.3 0.1; 0.15 0.03 0.22 0.27];
c=[0.282764;0.199641;0.227107;0.290488];
tic;
for r=1 : n-1 b=r;
for p=r+1:n
if abs(a(p,r))>abs(a(b,r)) b=p;
end end for k=1:n
temp=a(r,k);
a(r,k)=a(b,k);
a(b,k)=temp;
end
temp=c(r,1);
c(r,1)=c(b,1);
c(b,1)=temp;
for i=r+1:n
const=a(i,r)/a(r,r);
for j=1:n
a(i,j)=a(i,j)-a(r,j)*const;
end
c(i,1)=c(i,1)-c(r,1)*const;
end end
x(n)=c(n,1)/a(n,n);
for z=1:n-1
i=n-z ; jum=0;
for y=i+1:n
jum=jum+a(i,y)*x(y);
end
x(i)=(c(i,1)-jum)/a(i,i);
end for h=1:n
disp(['nilai x(h) adalah',num2str(x(h))]);
end toc;
disp('Metode 2');
disp('Gauss Jordan');
n=input('Masukkan nilai n= ');
a=[0.12 0.2 0.17 0.13; 0.4 0.35 0.31 0.5; 0.33 0.42 0.3 0.1; 0.15 0.03 0.22 0.27];
c=[0.282764;0.199641;0.227107;0.290488];
tic;
for r=1 : n if r~=n b=r;
for p=r+1:n
if abs(a(p,r))>abs(a(b,r)) b=p;
end end for k=1:n
temp=a(r,k);
a(r,k)=a(b,k);
a(b,k)=temp;
end
temp=c(r,1);
c(r,1)=c(b,1);
c(b,1)=temp;
end
const(r)=a(r,r);
for j=1:n
a(r,j)=a(r,j)/const(r);
end
c(r,1)=c(r,1)/const(r);
a;
c;
for h=1:n
const(h)=a(h,r);
if h~=r for z=1:n
a(h,z)=a(h,z)-const(h)*a(r,z);
end
c(h,1)=c(h,1)-const(h)*c(r,1);
end end end for y=1:n
disp(['nilai x(y) adalah',num2str(x(y))]);
disp(['nilai c(y,1) adalah',num2str(c(y,1))]);
end toc
disp('Metode 3');
disp('Dekomposisi LU');
n=input('Masukkan nilai n= ');
a=[0.12 0.2 0.17 0.13; 0.4 0.35 0.31 0.5; 0.33 0.42 0.3 0.1; 0.15 0.03 0.22 0.27];
c=[0.282764;0.199641;0.227107;0.290488];
tic;
for i=1:n u(i,i)=1;
L(i,1)=a(i,1);
end for i=2:n
u(1,i)=a(1,i)/L(1,1);
end j=2;
for i=2:n for p=i:n jumL=0;
for x=1:i-1
jumL=jumL+L(p,x)*u(x,i);
end
L(p,i)=a(p,i)-jumL;
end
for g=j+1:n jumu=0;
for y=1:j-1
jumu=jumu+L(j,y)*u(y,g);
end
a(j,g)=(a(j,g)-jumu)/L(j,j);
end j=j+1;
end
cnew(1,1)=c(1,1)/L(1,1);
for i=2:n
jumcnew=0;
for r=1:i-1
jumcnew=jumcnew+L(i,r)*cnew(r,1);
end
cnew(i,1)=(c(i,1)-jumcnew)/L(i,i);
end
for i=n:-1:1 jumx=0;
if i==n
x(n,1)=cnew(n,1);
else
for z=i+1:n
jumx=jumx+u(i,z)*x(z,1);
end
x(i,1)=cnew(i,1)-jumx;
end end L;
u;
cnew;
for i=1:n
disp(['nilai x(i) adalah',num2str(x(i))]);
end toc
4.1 TA Lampiran
4.2 Hasil Percobaan
Spesies Mol BM Massa Fraksi Massa
0.37 30.71 58 1781.18 0.282764
0.21 17.43 72.15 1257.575 0.199641
0.2 16.6 86.18 1430.588 0.227107
0.22 18.26 100.21 1829.835 0.290488
TOTAL
1 6299.177 1
Metode n X1 X2 X3 X4 Elapsed
Time (s) Eliminasi
Guass
4 -2.2162 0.53906 2.3217 0.35547 0.110384 Gauss
Jordan
4 -2.2162 0.53906 2.3217 0.35547 0.019925 LU
Dekomposisi
4 -8.086 2.346 1,4657 4.1132 0.019044
4.3 Pembahasan
Tujuan dari praktikum ini adalah untuk mempelajari dan membandingkan metode metode numerik untuk menyelesaikan persamaan linier yaitu metode Eliminasi Gauss, Gauss Jordan, dan Dekomposisi LU. Metode pertama yang digunakan yaitu Metode Eliminasi Gauss. Dari percobaan yang dilakukan dengan nilai n sebesar 4, didapatkan nilai penyelesaian X1 sebesar -2,2162; X2 sebesar 0, 53906; X3 sebesar 2,3217; X4 sebesar 0,35547 ; dan nilai Elapsed Time sebesar 0110384. Metode yang kedua yang digunakan adalah Metode Gauss Jordan. Dari
percobaan yang dilakukan dengan nilai n sebesar 4 ,didapatkan nilai penyelesaian X1 sebesar -2,2162; X2 sebesar 0, 53906; X3 sebesar 2,3217; X4 sebesar 0,35547 ; dan nilai Elapsed Time sebesar 0.019925 . Metode yang terakhir yang digunakan adalah Metode LU Dekomposisi.
Dari percobaan yang dilakukan dengan nilai n sebesar 4, didapatkan nilai penyelesaian X1 sebesar -8,086; X2 sebesar 2,346; X3 sebesar 1.4657; X4 sebesar 4.1132; dan nilai Elapsed Time sebesar 0,019044.
Metode eliminasi gauss dan LU Dekomposisi memerlukan jumlah komputasi yang lebih sedikit daripada metode elminasi gauss Jordan. hal tersebut membuat Metode Gaus Jordan lebih memuaskan untuk digunakan dalam sistem persamaan linier dibandingkan dengan metode yang lainnya (Maharani & Suprapto, 2018). Dari Aspek kecepatan, eliminasi gauss lebih efisien dibandingkan dengan metode gauss Jordan. Untuk case sitem yang memiliki skala kecil, dapat menggunakan metode gauss Jordan. Dan Eliminasi gauss lebih efisien jika digunakan dalam hal komputasi komputer. Pada praktikum ini metode LU Dekomposisi terdapat nilai X1 yang bertanda negative. Hal ini tidak mempengaruhi apapun, dikarenakan perhitungan yang digunakan menggunakan tanda mutlak. Dari ketiga metode yang telah digunakan, Metode gauss Jordan sangat efisien jika digunakan untuk aplikasi algoritma (Batrius & Samane, , 2021). menggunakan metode Eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan, jika dibandingkan keduanya memiliki nilai yang sama untuk nilai keempat rate massa pada X1, X2, X3, dan X4. Hal ini membuktikan bahwa metode Gauss Jordan merupakan metode variasi pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya jauh lebih sederhana (Anam & Arnas, 2019). Kedua metode ini memiliki tingkat keakuratan yang sama, yakni tidak cukup efisien untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berdimensi tinggi. Penyelesaian SPL dengan metode eliminasi Gauss-Jordan membutuhkan jumlah komputasi yang lebih banyak daripada metode eliminasi Gauss. Karena alasan itu, metode eliminasi Gauss sudah cukup memuaskan untuk digunakan dalam penyelesaian SPL (Maharani & Suprapto, 2018).
5.0 Kesimpulan
1. Nilai dari percobaan Eliminasi Gauss berturut-turut X1 sebesar -2,2162; X2 sebesar 0, 53906; X3 sebesar 2,3217; X4 sebesar 0,35547 ; dan nilai Elapsed Time sebesar 0110384.
Nilai dari percobaan Eliminasi Gauss Jordan berturut-turut X1 sebesar -2,2162; X2 sebesar 0, 53906; X3 sebesar 2,3217; X4 sebesar 0,35547 ; dan nilai Elapsed Time sebesar 0.019925. Nilai dari percobaan LU Domposition berturut-turut X1 sebesar -8,086; X2 sebesar 2,346; X3 sebesar 1.4657; X4 sebesar 4.1132; dan nilai Elapsed Time sebesar 0,019044.
2. Jika dibandingkan dari ketiga metode yang telah digunakan, metode yang paling efektif adalah dengan metode gauss Jordan karena jumlah komputasi yang lebih banyak dan memberikan cara penyelesaian sistem persamaan linier dengan cepat, akurat dan mudah untuk dipahami.
Daftar Pustaka
Anam, K. & Arnas, Y., 2019. Penerapan Metode Eliminasi Gauss Jordan Pada Rangkaian Listrik Menggunakan Scilab.. Jurnal Ilmiah Aviasi, 12(2), pp. 147-150.
Batrius , P. & Samane, , I., 2021. Analisis Metode Gauss Jordan Dalam Penentuan Arus Pada Rangkaian Listrik. Jurnal Ilmiah Matrik , pp. 279-290.
Dinkelbach, J. et al., 2021. Factorisation Path Based Refactorisation for High Performance LU Decomposition in Real-Time Power System Simulation Energies.
Febri, T. D. & Anapranata, 2019. Implementasi Metode Eliminasi Gaus Pada Sistem Informasi Investiasi Emas Menggunakan Octave. Jurnal Informatika Polinema , 5(2), pp. 53-58.
Funny, R. A., 2017. Using Matlab To Help Students Understand Gauss-Jordan Methods. Jurnal ilmiah bidang teknologi, 9(2), pp. 75-85.
Maharani & Suprapto, E., 2018. Analisis Numerik Berbasis Group Investigation Untuk Meningkatkan Kemampuan Berfikir Kritis. 1 ed. Solo: CV. AE MEDIKA GRAFIKA.
Mawati, A., 2017. Solusi Integral Numerik Dengan Metode Simpson (Simpson's rule) Pada Tranasformasi Hankel. Journal Massa, 5(1), pp. 81-86.
Nasution, Z., Sunandar, H., Lubis , I. & Sianturi, L. T., 2016. Penerapan Metode Simpleks Untuk Menganalisa Persamaan Linier Dalam Menghitung Keuntungan Maksimum.
Jurnal Riset Komputer, 3(4), pp. 42-48.
Ondara, K. & Rahmawan, G. A., 2020. Pemantauan Sedimentasi Menggunakan Data Batimetri High Frecuency Di Perairan Sayung, Demak Jawa Tengah. Journal Geomatika, 26(1), pp. 1-8.
Pandia, W. & Sitepu, I., 2021. Penentuan Akar Persamaan Non Linier Dengan Metode Numerik. Jurnal Mutiara Pendidikan , 6(2), pp. 122-129.
Sari, T. P., Rahmayanti, A., Priyadi, A. & Pamuji, F. A., 2019. Penerapan Metode Critical Trajectory Dalam Peletakan Super Capacitor Energy Storage (SCES) Berbasis Indeks Energi. SinarFE7, 7(2).
Sutrisno, T., 2023. Aplikasi Penyelesaian Numerik Pencarian Akar Persamaan Non-Linier Dan Penerapannya Dalam Menyelesaikan Analisis Break Even Point. Journal of Computer Science and Information System, 7(1), pp. 37-49.
Warsito, A. & Haning, A. E., 2018. Komparasi Solusi Kasus Fluks Magnetic disekitar Kawat Berarus Listrik Dengan Metode Analitik dan Komputasi. Journal Ilmu Dasar, 19(1), pp. 23-28.
LAMPIRAN
