pendugaan parameter 1 klp 6 ppt compress

24 April 2023

STATISTIKA INFERENSIA | PENDUGAAN PARAMETER 1

PENDUGAAN PARAMETER 1

I NN

Kelompok VI

STATISTIKA INFERENSIA | PENDUGAAN PARAMETER 1

NN

NURNADIRAH (20700121006) NURWAHYUNI (20700121008)

II

ISI MATERI

Materi Pendugaan Parameter 1 yang akan dibahas:

• Pengertian Pendugaan dan Penduga

• Ciri-ciri Penduga Yang Baik

• Jenis-jenis Pendugaan

• Pendugaan Interval untuk Rata-rata

• Pendugaan Interval untuk Proporsi

STATISTIKA INFERENSIAL | PENDUGAAN PARAMETER1

NN

III

Pendugaan Parameter

IV NN

 Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan atau

keadaan parameter populasi yang tidak diketahui.

 Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel, dalam hal ini sampel random, yang diambil dari populasi bersangkutan.

 Penduga adalah suatu statistik (harga sampel) yang digunakan untuk menduga suatu parameter.

 Dengan penduga, dapat diketahui seberapa jaauh suatu parameter populasi yang tidak diketahui berada disekitar sampel.

Pengertian Pendugaan dan Penduga

V

Secara umum, parameter diberi lambang 𝜃 dan penduga diberi lambang 𝜃 . Untuk lebih jelaskan, perhatikan tabel disamping.

NN

Parameter (𝜽) Penduga (𝜽 )

𝜇 (rata-rata populasi) 𝑋 atau 𝜇

P (proporsi/presentase) 𝑝

𝜎 2 (varians) 𝑆 2 atau 𝑆 2

𝜎 (simpangan baku) S atau 𝑆

r (koefisien korelasi) 𝜌 atau 𝑟

b (koefisien regresi) B atau 𝑏

Karena penduga merupakan fungsi dari nilai-nilai sampel maka penduga termasuk

variabel random dan memiliki distribusi damping (distribusi pemilihan sampel).

CIRI-CIRI PENDUGA YANG BAIK VI

Tidak Bias

Nilai penduga = nilai parameternya Contoh:

𝑋 merupakan penduga tidak bias bagi 𝜇, sebab 𝐸 𝑋 = 𝜇.

Suatu penduga disebut bias bagi parameternya jika nilai penduga ≠ nilai parameternya.

Contoh:

𝑆² = ^{𝑥;𝑥 2}

𝑛² merrupakan pendugaan yang bias bagi 𝜎²,sebab 𝐸(𝑆²) ≠ 𝜎²

.

Efisien

Suatu 𝜃 dikatakan efisien bagi 𝜃 apabila penduga memiliki varians yang kecil.

Contoh:

Ada dua penduga tidak bias, dimana varians penduga 1 lebih kecil dari penduga 2 maka penduga 1 yang lebih efisien dibanding penduga 2.

Konsisten

 Jika ukuran sampel semakin besar maka penduga akan mendekati perameternya.

 Jika ukuran sampel bertambah tak hingga maka distribusi sampling penduga akan mengecil menjadi suatu garis tegak lurus diatas parameter sebenarnya dengan probalitas sama dengan 1

Contoh:

Median sampel dapat konsisten untuk menduga parameter, namun rata-rata sampel lebih baik sebagai penduga untuk parameter, karena disamping konsisten juga efisien.

E(penduga) = parameternya

JENIS-JENIS PENDUGAAN

Berdasarkan cara penyajiannya

 Pendugaan tunggal (titik)

 Pendugaan interval Berdasarkan jenis paramaternya

 Pendugaan rata-rata

 Pendugaan proporsi

 Pendugaan varians 𝜎

²

 Pendugaan simpangan baku

VII

NN

VIII

Pendugaan tunggal

Pengertian

Pendugaan tunggal adalah pendugaan yang hanya mempunyai atau menyebutkan satu nilai sebagai estimasi suatu parameter yang tidak diketahui.

 Penduga untuk 𝜇 adalah rata-rata dari sampel 𝑋 yang dirumuskan:

𝑋 =

^{𝑋1:𝑋2:𝑋3:⋯:𝑋𝑛}

𝑛

 Pendugaan untuk 𝜎² adalah varians dari sampel 𝑆² yang dirumuskan:

𝑆

²

= 𝑋

_𝑖

− 𝑋

²

𝑛 − 1

Contoh

Pendugaan tunggal yang hanya memiliki satu nilai tidak memberikan gambaran mengenai selisih atau jarak antara penduga dengan nilai sebenarnya (nilai parameternya). Pendugaan tunggal memberikan nilai yang kemungkinan besar berbeda dari nilai parameter sebenarnya, meskipun dalam sampel yang berulang-ulang, kecuali diberikan besarnya kesalahan yang mungkin terjadi. Oleh karena itu, sebagai ganti digunakan pendugaan interval atau interval keyakinan.

NN

BERDASARKAN CARA PENYAJIANNYA

STATISTIKA INFERENSIA | PENDUGAAN PARAMETER1

Pendugaan Interval NN

Catatan

Tingkat keyakinan atau koefisien keyakinan atau kepercayaan diberi simbol 𝐶 = 1 − 𝛼.

Selang kepercayaan ∶ 1 − 𝛼 𝑥 100 %

𝛼 = besarnya kesalahan yang ditolerir dalam membuat keputusan.

Pengertian

Pendugaan interval adalah pendugaan yang mempunyai dua nilai sebagai daerah pembatasan yaitu nilai batas bawah dan nilai batas atas.

Pada pendugaan interval digunakan tingkat keyakinan (confidence) terhadap daerah yang nilai sebenarnya atau parameternya akan berada.

Rumus

Interval keyakinan secara umum dirumuskan:

𝑠𝑡 − 𝑍

𝛼

2

𝜎

_𝑠𝑡

< 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 < 𝑠𝑡 + 𝑍

𝛼 2

𝜎

_𝑠𝑡

atau

,

𝑃 𝑠𝑡 − 𝑍

𝛼

2

𝜎

_𝑠𝑡

< 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 < 𝑠𝑡 + 𝑍

𝛼

2

𝜎

_𝑠𝑡

= 1 − 𝛼

Keterangan:

𝑠𝑡 − 𝑍^𝛼

2

𝜎_𝑠𝑡 = 𝑏 = batas bawah pendugaan interval 𝑠𝑡 + 𝑍^𝛼

2

𝜎_𝑠𝑡 = a = batas atas pendugaan interval 𝑠𝑡 = penduga (statistik sampel)

𝑍^𝛼

2 = koefisien yang sesui dengan interval keyakinan yang digunakan dalam pendugaan interval.

𝜎_𝑠𝑡 = simpangan baku penduga 𝑍^𝛼

2

𝜎_𝑠𝑡 = kesalahan duga

IX

Contoh

pendugaan interval rata-rata dengan tingkat keyakinan 95%, dituliskan:

𝑋 − 𝑍^𝛼

2

𝜎_𝑋 < 𝜇 < 𝑋 + 𝑍^𝛼

2

𝜎_𝑋 𝑋 − 𝑍_0,025𝜎_𝑋 < 𝜇 < 𝑋 + 𝑍_0,025𝜎_𝑋

𝑋 − 1,96 𝜎_𝑋 < 𝜇 < 𝑋 + 1,96 𝜎_𝑋 Atau,

P(𝑋 − 1,96 𝜎_𝑋 < 𝜇 < 𝑋 + 1,96 𝜎_𝑋 ) = 0,95

Pendugaan Rata-rata

Pengertian

Pendugaan rata-rata 𝜇 adalah pendugaan mengenai nilai parameter 𝜇 yang sebenarnya berdasarkan informasi rata-rata sampel.

Pendugaan rata-rata 𝜇 atau interval rata-rata dengan tingkat keyakinan 90%, dengan 𝑋 = 30 dan 𝜎

_𝑋

= 0,83 adalah

Contoh soal

𝑋 − 𝑍

^𝛼

2

𝜎

_𝑋

< 𝜇 < 𝑋 + 𝑍

^𝛼

2

𝜎

_𝑋

⇒ 30 − 𝑍

_0,05

. 0,83 < 𝜇 < 30 + 𝑍

_0,05

. 0,83

⇒ 30 − 1,645 . 0,83 < 𝜇 < 30 + 1,645 . 0,83 28,63 < 𝜇 < 31,37

Penyelesaian soal

X

BERDASARKAN JENIS PARAMETERNYA

Pendugaan Proporsi

Pengertian

Pendugaan proporsi adalah pendugaan dari proporsi populasi yang tidak diketahui.

Pendugaan proporsi atau interval rata- rata dengan tingkat keyakinan 90%, dengan 𝑝 = 0,07 dan 𝑆

_𝑝

= 0,0114 adalah

Contoh soal 𝑝 − 𝑍

^𝛼2

𝑆

_𝑝

< 𝑃 < 𝑝 + 𝑍

^𝛼

2

𝑆

_𝑝

⇒ 0,07 − 𝑍

_0,05

. 0,0114 < 𝑃 < 0,07 + 𝑍

_0,05

. 0,0114 ⇒ 0,07 − 1,645 . 0,0114 < 𝑃 < 0,07 + 1,645 . 0,0114

0,051 < 𝑃 < 0,089

Penyelesaian soal

XI

Pendugaan Varians 𝜎 2

Pengertian

Pendugaan varians 𝜎

²

adalah pendugaan dari varians populasi yang tidak diketahui .

Pendugaan varians (interval varains 𝜎

²

) dengan tingkat keyakinan 95%, dengan 𝑛 = 14 dan 𝑆

²

= 9 adalah

Contoh soal

Penyelesaian soal

XII

(𝑛 − 1)𝑆

²

𝑋

_𝑏²

< 𝜎

²

< (𝑛 − 1)𝑆

²

𝑋

_𝑎²

Dari tabel 𝑋

²

dengan 𝑑𝑏 = 𝑛 − 1 = 13 ← 𝑋

_𝑏²

= 𝑋

_0,025²

= 24,73 𝑋

_𝑎²

= 𝑋

_0.975²

= 5,00 (13)(9)

24,73 < 𝜎

²

< (13)(9)

5,00

4,73 < 𝜎

²

< 23,14

Pendugaan Simpangan Baku

Pengertian

Pendugaan simpangan baku adalah pendugaan dari simpangan baku populasi (parameter) yang tidak diketahui .

Pendugaan simpangan baku dengan tingkat keyakinan 90%, dengan 𝑛 = 16 dan 𝑆

²

= 25 adalah

Contoh soal

Penyelesaian soal

XIII

(𝑛 − 1)𝑆

²

𝑋

_𝑏²

< 𝜎 < (𝑛 − 1)𝑆

²

𝑋

_𝑎²

𝑋

_𝑏²

= 𝑋

_0,05²

= 24,996

𝑋

_𝑎²

= 𝑋

_0,95²

= 7,261

(15)(25)

24,996 < 𝜎 < (15)(25)

7,261

3,873 < 𝜎 < 7,186

PENDUGAAN INTERVAL UNTUK RATA-RATA

Untuk Sampel Besar (𝒏 > 𝟑𝟎)

Untuk populasi tidak terbatas atau populasi terbatas yang pengambilan sampelnya dengan pengembalian dan 𝜎 diketahui

Penyelesaian:

𝑛 = 300 𝑋 = 406.000 𝜎 = 165.000 1 − 𝛼 = 95%

𝛼 = 5%

𝑍

^𝛼

2<𝑍_0,025<1,96

𝑋 − 𝑍

^𝛼

2

. 𝜎

𝑛 < 𝜇 < 𝑋 + 𝑍

^𝛼

2

. 𝜎 𝑛 406.000−𝑍

_0,025

.

^165.000

300

< 𝜇 < 406.000 + 𝑍

_0,025

.

^165.000

300

406.000−(1,96) .

^165.000

300

< 𝜇 < 406.000 + (1,96) .

^165.000

300

387.328,49 < 𝜇 < 424.671,51

Jadi, rata-rata pengeluaran karyawan yang berada di antara 𝑅𝑝. 387.328,49 sampai 𝑅𝑝. 424.671,51 akan benar 95% dari keseluruhan waktu, jika pendugaan itu dilakukan berulang-ulang dengan cara yang sama.

XIV

1

𝑋 − 𝑍

𝛼 2

. 𝜎

𝑛 < 𝜇 < 𝑋 + 𝑍

𝛼 2

. 𝜎

𝑛 Contoh soal:

Warung nasi SUM-SUM mengadakan perkiraan pengeluaran karyawan

perusahaan yang digunakan untuk membeli makanan di warungnya selama setahun. Untuk keperluan penelitian tersebut diambil sampel yang terdiri dari 300 karyawan. Ternyata, rata- rata pengeluaran untuk membeli makanan adalah Rp. 406.000,00 setahun dengan simpangan baku Rp. 165.000,00 . Dugalah rata- rata penegluaran karyawan untuk membeli makanan dalam setahun dengan interval keyakinan 95%.

Lanjutan untuk sampel besar (𝑛 > 30)

Untuk populasi terbatas pengambilan sampel tanpa pengembalian dan 𝜎 diketahui

Penyelesaian:

𝑁 = 300 𝑛 = 35 𝑋 = 39,76

𝜎 = 0,93 1 − 𝛼 = 90%

𝛼 = 10%

𝑍

^𝛼

2<𝑍_0,05<1,65

Jadi, rata-rata jam kerja karyawan Perusahaan PT MAJU TERUS dengan tingkat keyakinan 90% berada antara 39,53 jaam per minggu

XV

Contoh soal:

Perusahaan PT MAJU TERUS memiliki karyawan 250 orang. Untuk keperluan tertentu, ingin dikethui rata-rata lama jam kerjanya per minggu. Untuk itu, diambil sampel sebanyak 35 orang dan diperoleh data bahwa rata-rata jam kerja karyawan tersebut adalah 39,76 jam per minggu. Jika simpangan rata-rata jam kerjanya 0,93 jam, dugalah dengan tingkat keyakinan 90%, rata-rata jam kerja karyawan tersebut

𝑋 − 𝑍

^𝛼

2

. 𝜎 𝑛

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1 < 𝜇 < 𝑋 + 𝑍

^𝛼

2

. 𝜎 𝑛

𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1

𝑋 − 𝑍

^𝛼

2

.

^𝜎

𝑛

𝑁;𝑛

𝑁;1

< 𝜇 < 𝑋 + 𝑍

^𝛼

2

.

^𝜎

𝑛

𝑁;𝑛 𝑁;1

39,76 − 1,65 0,93

35

250 − 35

250 − 1 < 𝜇 < 39,76 + 1,65 0,93 35

250 − 35

250 − 1

39,53 < 𝜇 < 39,99

Untuk Sampel Kecil (𝒏 ≤ 𝟑𝟎)

Untuksampel kecil yang pengambilan sampel dengan pengembalian 𝜎 tidak

diketahui 𝑋 = 145 9 = 16,11

1 − 𝛼 = 99%

𝛼 = 1%

𝑛 − 1 = 9 − 1 = 8 𝑡

_{0,005 ,8}

= 3,355

Jadi, rata-rata waktu yang digunakan oleh karyawan perusahaan dengan interval keyakinan 99% berkisar antara 13,985 menit sampai 18,235 menit.

XVI 2

Contoh soal:

Suatu sampel random yang terdiri atas 9 orang karyawan disebuah perusahaan memiliki waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan sebuah pekerjaan, yaitu 14; 17; 15; 18; 18; 14; 15; 19; 15 menit. Dugalah rata-rata waktu yang digunakan bagi karyawan tersebut dengan interval keyakinan 99%.

𝑋 − 𝑡

^𝛼

2 ,𝑛;1

. 𝑠

𝑛 < 𝜇 < 𝑋 + 𝑡

^𝛼

2 ,𝑛;1

. 𝑠 𝑛 𝑠 = 𝑋

²

𝑛 − 1 − ( 𝑋)

²

𝑛(𝑛 − 1)

Penyelesaian

𝑛 = 9 𝑋 = 145 𝑋

²

= 2.365

𝑠 =

^2.365

8

−

⁽¹⁴⁵⁾²

72

= 1,9

𝑋 − 𝑡

^𝛼

2 ,𝑛;1

. 𝑠

𝑛 < 𝜇 < 𝑋 + 𝑡

^𝛼

2 ,𝑛;1

. 𝑠 𝑛

16,11 − 3,355 1,9

3 < 𝜇 < 16,11 + 3,355 1,9

3

13,985 < 𝜇 < 18,235

PENDUGAAN INTERVAL UNTUK PROPORSI

Untuk Sampel Besar (𝒏 > 𝟑𝟎)

Untuk populasi tidak terbatas

Penyelesaian :

𝑝 = 9

60 = 0,15 1 − 𝛼 = 99%

𝛼 = 1%

𝑍

^𝛼

2 <𝑍_0,005<2,58

Jadi, persentase kerusakan barang dalam peti kemas tersebut pada interval keyakinan 99% berada antara 3,11% sampai 26,89%.

XVII

1

Contoh soal:

Sebuah peti kemas milik perusahaan PT GLOBAL diperiksa untuk menaksir presentase barang yang rusak. Untuk keperluan tersebut, diambil 60 buah barang yang ada dalam peti kemas itu dan diperoleh 9 buah yang rusak.

Dugalah persentase barang yang ruusak dalam peti tersebut, gunakan interval keyakinan 99%.

𝑝 − 𝑍

^𝛼

2

. 𝑝 (1 − 𝑝 )

𝑛 < 𝑃 < 𝑝 + 𝑍

^𝛼

2

. 𝑝 (1 − 𝑝 ) 𝑛 𝑝 =

^𝑋

𝑛

𝑛 = 60 𝑋 = 406.000

𝑝 − 𝑍

^𝛼

2

. 𝑝 (1 − 𝑝 )

𝑛 < 𝑃 < 𝑝 + 𝑍

^𝛼

2

. 𝑝 (1 − 𝑝 ) 𝑛

0,15 − 2,58 0,15 1 − 0,15

60 < 𝑃 < 0,15 − 2,58 0,15 1 − 0,15 60

0,0311 < 𝑃 < 0,2689

3,11% < 𝑃 < 26,89%

Lanjutan untuk sampel besar (𝑛 > 30)

Untuk populasi terbatas dan pengambilan sampel tanpa pengembalian

Penyelesaian:

𝑁 = 300 𝑛 = 90 𝑋 = 25

𝑝 = 25

90 = 0,28 1 − 𝛼 = 97%

𝛼 = 3%

𝑍

^𝛼

2<𝑍_0,015<2,17

Jadi, mahasiswa yang senang sepeda motor buatan perusahaan tersebut

dengan interval keyakinan 97%, diduga berkisar antara 19,38% sampai 36,62%.

XVIII

Contoh soal:

Sebuah perusahaan sepeda motor ingin memasarkan produknya kepada mahasiswa.

Mereka merencanakan kredit khusus untuk mahasiswa. Untuk itu, diadakan penelitian berapa banyak mahasiswa yang senang sepeda motor tersebut. Dari ppulasi mahasiswa sebanyak 300 orang, diambil sampel sebanyak 90 orang. Dari 90 mahasiswa yang diinterview, 25 orang menyatakan senang. Dugalah dengan interval dengan keyakinan 97% proporsi mahasiswa yang senang sepeda motor itu.

𝑝 − 𝑍

𝛼

2

. 𝑝 (1 − 𝑝 ) 𝑛

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1 < 𝑃 < 𝑝 + 𝑍

𝛼

2

. 𝑝 (1 − 𝑝 ) 𝑛

𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1

𝑝 − 𝑍

^𝛼

2

. 𝑝 (1 − 𝑝 ) 𝑛

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1 < 𝑃 < 𝑝 + 𝑍

^𝛼

2

. 𝑝 (1 − 𝑝 ) 𝑛

𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1

0,28 − 2,17 0,202 90

210

290 < 𝑃 < 0,28 + 2,17 0,202 90

210 290 0,1938 < 𝑃 < 0,3662

19,38% < 𝑃 < 36,62%

Untuk Sampel Kecil (𝒏 ≤ 𝟑𝟎)

Untuksampel kecil yang pengambilan sampel dengan pengembalian 𝜎 tidak diketahui

Penyelesaian:

𝑛 = 20 𝑋 = 6

𝑝 = 6

20 = 0,3 1 − 𝛼 = 95%

𝛼 = 5%

𝑛 − 1 = 20 − 1 = 19 𝑡

^𝛼

2 ,𝑛;1

= 𝑡

_{0,025 ,19}

= 2,093

Proporsi karyawan yang punya mobil berkisar antara 8,55% sampai 51,45%.

XIX 2

Contoh soal:

Penelitian terhadap sampel sebanyak 20 karyawan sebuah perusahaan, 6 di antaranya memiliki mobil. Dengan interval keyakinan 95%, tentukan proporsi karyawan yang memiliki mobil.

𝑝 − 𝑡

^𝛼

2 ,𝑛;1

. 𝑝 (1 − 𝑝 )

𝑛 < 𝑃 < 𝑝 + 𝑡

^𝛼

2 ,𝑛;1

. 𝑝 (1 − 𝑝 ) 𝑛

Rumus di atas kurang sesuai dengan distribusi 𝑡, namun hasilnya dianggap lebih baik daripada distribusi 𝑍. Beberapa ahli cenderung mengganti varians proporsi dengan cara membuat maksimum 𝑝 (1 − 𝑝 ) yaitu jika 𝑝 =

¹

2

maka 𝑝 1 − 𝑝 =

¹

4

. Dirumuskan:

𝑝 − 𝑡

𝛼

2 ,𝑛;1

. 1 4

𝑛 < 𝑃 < 𝑝 + 𝑡

𝛼

2 ,𝑛;1

. 1 4 𝑛

𝑝 − 𝑡

^𝛼

2 ,𝑛;1

. 𝑝 (1 − 𝑝 )

𝑛 < 𝑃 < 𝑝 + 𝑡

^𝛼

2 ,𝑛;1

. 𝑝 (1 − 𝑝 ) 𝑛

0,3 − 2,093 0,3 0,7

20 < 𝑃 < 0,3 − 2,093 0,3 0,7 20 0,0855 < 𝑃 < 0,5145

8,55% < 𝑃 < 51,45%

TERIMA KASIH

XX

Ada Pertanyaan ?

NN