PENDUGAAN PARAMETER
Indah Nurhidayati
Ilustrasi
Jika kita adalah seorang manajer perusahaan, maka kita dituntut untuk membuat dugaan yang rasional ketika berhadapan dengan suatu kondisi yang penuh ketidakpastian, tanpa informasi yang lengkap. Agar dapat menjalankan tugasnya dengan baik, seorang manajer harus mengusai konsep pendugaan statistik. Pada pendugaan statistik, kita mengambil sampel untuk dianalisis, kemudian hasil analisis tersebut digunakan untuk menduga paramater populasi.
Statistik Inferensia Mencakup semua metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai suatu populasi. Menduga parameter atau karakteristik populasi berdasarkan data sampel.
• Pendugaan Parameter
• Pengujian Hipotesis
Pendugaan adalah proses menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui.
Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel, yang diambil dari populasi bersangkutan.
Jadi dengan pendugaan, keadaan parameter populasi dapat diketahui.
Seorang calon dalam suatu pemilihan ingin menduga proporsi sebenarnya dari pemilih yang akan memilihnya, dengan cara mengambil 100 orang secara acak untuk ditanyai pendapatnya. Proporsi pemilih yang menyukai calon tersebut dapat digunakan sebagai dugaan bagi proporsi populasi yang sebenarnya.
Kriteria Pendugaan Parameter
Populasi : Parameter
Sampel : Statistik
Tidak bias statistik sampel yang digunakan sebagai penduga harus sama atau mendekati parameter yang diduga
Efisien statistik sampel memiliki deviasi standar yang kecil
Konsisten jika ukuran sampel meningkat,
maka statistik sampel akan semakin
mendekati parameter populasinya.
Pendugaan Titik (Point Estimation)
01
Jenis Pendugaan
Pendugaan Interval (Interval Estimation)
02
Ilustrasi
Untuk menduga usia rata-rata mahasiswa UNS, diperoleh sampel acak sebanyak 50 mahasiswa, rata-rata berusia 20 tahun. Pada pendugaan titik nilai tersebut digunakan untuk menduga usia rata-rata populasi. Sedangkan pendugaan interval, maka kita membentuk suatu nilai interval duga yang dikembangkan dari nilai 20 tersebut. Misalnya interval duga tersebut adalah 20 ± 1 tahun. Dengan demikian maka kita dapat memperkirakan bahwa rata-rata populasi mahasiswa UNS berkisar antara 19 sampai 21 tahun.
TARGET
PENDUGA TITIK
PENDUGA SELANG
Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter populasi maka digunakan pendugaan dalam bentuk selang/ interval
Dalam setiap pendugaan mengandung Peluang kesalahan
Penduga selang konsep probability Selang Kepercayaan (Confidence Interval)
Pendugaan Titik
Pendugaan Interval
Statistik Merupakan Penduga Bagi Parameter
Penduga Titik
Penduga titik adalah suatu nilai angka tertentu sebagai estimasi untuk parameter yang tidak diketahui. Misalnya menduga μ dengan 𝑥
menduga 𝜎 dengan s
Satu Populasi Dua Populasi
p
x p ˆ s 2
2
2
1
x
x p ˆ 1 p ˆ 2
2
1
p
1 p
22 2
2 1
s s
2 2
2
1
Penduga Interval/ Selang
Pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya.
Jika kita menginginkan suatu pengukuran yang obyektif tentang derajat kepercayaan kita terhadap ketelitian pendugaan, maka kita sebaiknya menggunakan pendugaan interval (interval estimation). Pendugaan ini akan memberikan nilai-nilai statistik dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal sebagai penduga parameter.
Pendugaan interval (selang) merupakan pendugaan berupa interval yang dibatasi oleh dua nilai yang disebut dengan nilai batas bawah dan nilai batas atas.
Pendugaan interval itu akan merupakan interval kepercayaan atau interval keyakinan (confidence interval) yang dibatasi oleh batas keyakinan atas (upper confidence limit) dan batas keyakinan bawah (lower confidence limit).
Untuk membuat pendugaan interval harus ditentukan terlebih dahulu koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan yang diberi simbol 1 - .
Jika rata-rata sampel panjang ikan adalah 60 cm, maka rata-rata populasi bisa antara 55 cm – 65 cm atau antara 50 cm – 70 cm.
Misal
Semakin besar interval duga semakin kecil selang kepercayaan
semakin kecil interval duga semakin besar selang kepercayaan.
“Sedapat mungkin kita memperoleh interval duga yang kecil dengan selang kepercayaan yang besar.”
Untuk menduga interval μ harus didapatkan dua nilai statistik L dan N sedemikian sehingga
P (L ≤ μ ≤ N) = 1 – α
Interval hasilnya L ≤ μ ≤ N = dugaan interval dengan kepercayaan (1- α ) untuk μ (rataan populasi) yang tidak diketahui
L dan N = batas kepercayaan atas dan bawah
(1- α ) = koefisien kepercayaan atau derajat kepercayaan
α = 0.1, diperoleh selang kepercayaan
90%
Pendugaan Selang Untuk Nilai Tengah
Pendugaan Selang Rata-rata Jika Standar Deviasi Diketahui Untuk Sampel Besar (n > 30)
Bila adalah nilai tengah contoh acak berukuran n dari suatu populasi dengan ragam diketahui. Maka selang kepercayaan (1-α)100% bagi μ adalah
Z n n X
Z
X
/2
.
/2.
Jika 𝜎2tidak diketahui, tetapi sampel berukuran besar (n >30), 𝜎2 dapat diganti dengan 𝑠2
Contoh Rata-rata IPK 36 mahasiswa tingkat akhir adalah 3,6 dengan simpangan baku populasinya sebesar 0,3. Hitunglah selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rata-rata seluruh mahasiswa tersebut.
Jawab Selang Dengan Tingkat Kepercayaan 95%
• Nilai taksiran dari μ adalah 𝑥 = 3,6
• Nilai 𝜎 dapat ditaksir dengan s = 0,3 (n > 30)
• Selang kepercayaan 95% (1 – α = 0,95 sehingga α = 0,05)
• Nilai Z yang memberikan luas 0,025 (𝛼
2) sebelah kanan = -1,96
• Nilai Z yang memberikan luas 0,975 (α/2) sebelah kiri = 1,96 Lihat Tabel dengan nilai
1-0,025 = 0,975 Z
= 1,96
Z n n X
Z
X
/ 2
.
/ 2.
3,6 − 1,96 0,3
36 < 𝜇 < 3,6 + (1,96) 0,3
36
3,5 < 𝜇 < 3,7
Selang Dengan Tingkat Kepercayaan 99%
• Nilai taksiran dari μ adalah 𝑥 = ...
• Nilai 𝜎 dapat ditaksir dengan s = ...
• Selang kepercayaan 99% (1 – α = ... sehingga α = ...)
• Nilai Z yang memberikan luas ... (𝛼
2) sebelah kanan = ...
• Nilai Z yang memberikan luas ... (𝛼
2) sebelah kiri = ...
Z n n X
Z
X
/ 2
.
/2.
Bandingkan dengan jawaban sebelumnya, maka dapat
disimpulkan bahwa, untuk menaksir μ dengan derajat
ketepatan lebih tinggi diperlukan selang yang lebih lebar
Pendugaan Selang Untuk Nilai Tengah
Pendugaan Selang Rata-rata Jika Standar Deviasi Tidak Diketahui Untuk Sampel Kecil (n ≤ 30)
Bila 𝑥 dan s adalah nilai tengah dan simpangan baku sampel acak dari populasi normal dengan varian 𝜎2 tidak diketahui, maka selang kepercayaan (1-α )100%
untuk 𝜇 adalah
n t s
X n
t s
X
/ 2.
/ 2.
𝑡𝛼/2 adalah nilai t dengan v = n – 1
Contoh Terdapat tujuh jerigen berisi minyak tanah sebesar 9,8; 10,2;
10,4; 9,8; 10; 10,2; dan 9,6 liter. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah isi semua jerigen tersebut. Asumsikan data menyebar normal.
Jawab • Nilai 𝑥 = ...
• Nilai s = ...
• Selang kepercayaan 95% (α = ...)
• Nilai 𝑡
𝛼/2= 𝑡
……..= ... untuk v = ...
n t s
n X t s
X /2.
/2.Sampel acak diambil dari 225 penduduk sebuah kota untuk mengetahui tingkat pendapatan penduduk. Rata-rata pendapatan per tahun sebesar $20.500 dengan standar deviasi $6.000.
Buatlah selang dengan tingkat kepercayaan 95%
bagi rata-rata penduduk kota tersebut.
D DD
Latihan
Terima Kasih
