7 Pendugaan Parameter

(1)

Pendugaan Parameter

Debrina Puspita Andriani

www.debrina.lecture.ub.ac.id

E-mail : [email protected] / [email protected]

7

(2)

Outline

Pendahuluan

Pendugaan Titik

Pendugaan Interval

Pendugaan Parameter:

Kasus 1 Sampel Rataan Populasi Pendugaan Parameter:

Kasus 1 Sampel Proporsi

Kasus 2 sampel saling bebas & berpasangan selisih rataan dua populasi

Kasus 2 Sampel Selisih 2 Proporsi

2

(3)

Pendahuluan (1)

25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id

3

(4)

Pendahuluan (2) 4

•  Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui.

•  Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel

random yang diambil dari populasi bersangkutan.

•  Pendugaan = Penaksiran

•  Penduga adalah suatu statistik (harga sampel) yang digunakan untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga, dapat

diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak diketahui berada di sekitar sampel (statistik sampel)

•  Secara umum, parameter diberi lambang θ dan penduga diberi lambang xxx

(5)

Pendahuluan (3)

5

Kriteria penduga yang baik

 Tidak bias

  Efisien

  Konsisten

Populasi : Parameter

Sampel : Statistik

Statistik merupakan PENDUGA bagi parameter populasi

PENDUGA à TAK BIAS DAN MEMPUNYAI RAGAM

MINIMUM

(6)

STATISTIK

merupakan

PENDUGA

bagi

PARAMETER

TARGET

PENDUGA TITIK

PENDUGA SELANG

Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter populasi maka digunakan

pendugaan dalam bentuk selang interval Dalam setiap pendugaan mengandung PELUANG kesalahan

penduga selang à konsep probability à SELANG

Pendahuluan (4) 6

Dua jenis pendugaan parameter

(7)

Pendugaan Titik (1)

¡  Pendugaan tunggal atau titik (point estimate) ialah pendugaan yang terdiri dari satu nilai saja.

¡  Memberikan nilai yang kemungkinan besar berbeda dari nilai parameter yang sebenarnya.

7

TARGET

(8)

Pendugaan Titik (2) 8

x

(9)

Pendugaan Titik (3) 9

2

1 x

x −

p

2

1 ˆ

ˆ p

p −

Satu Populasi Dua Populasi

x p ˆ

µ 1 − µ 2 p 1 − p 2

2 2

2 1

s s

2 2

2 1

σ σ

s 2

σ 2

µ

(10)

Pendugaan Interval (1) 10

•  Pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak

memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya.

•  Jika kita menginginkan suatu pengukuran yang obyektif tentang derajat kepercayaan kita terhadap ketelitian pendugaan, maka kita sebaiknya menggunakan pendugaan interval (interval

estimation). Pendugaan ini akan memberikan nilai-nilai statistik dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal sebagai penduga parameter.

TARGET

PENDUGA SELANG

•  Pendugaan interval (selang) : pendugaan berupa interval, dibatasi dua nilai (batas bawah dan batas atas)

•  Pendugaan interval : interval kepercayaan atau interval keyakinan (confidence interval) yang dibatasi oleh batas keyakinan atas (upper confidence limit) dan batas keyakinan bawah (lower confidence limit)

•  Untuk membuat pendugaan interval harus ditentukan terlebih dahulu koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan yang diberi simbol 1 - α

(11)

Pendugaan Interval (2) 11

<

(12)

Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (1) 12

Misalnya : 1 - α = 0,90

α = 0,10 = 10 %.

α /2 = 0,05

jadi Z

_α/2

= Z 0,05 = (Z ⏐ P = 0,5 - α /2) = Z

0,5 – 0,05

= Z

_0,45

= 1,645 (lihat Tabel Normal).

Misalnya : 1- α = 0,98 dan n = 25 α = 0,02

α /2 = 0,01

jadi t

_{α/2 ; v}

= t

α/2 ; n – 1

= t

0,01 ; 25 –1

= t

_{0,01 ; 24}

= 2,492

( lihat tabel Distribusi t).

(13)

Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (2)

13

169) = 0.99

(14)

Menaksir Rataan 14

Pendugaan Titik untuk Rataan

Populasi Penduganya

µ

cenderung akan menjadi penduga µ yang amat tepat, jika n (ukuran sampel) besar

σ

2

x

s n^x

2

2 σ

=

(15)

15

(16)

16

(17)

17

(18)

18

(19)

CONTOH

Lihat di tabel dengan nilai 1-0,025 =0,9750

à z = 1,96

19

(20)

Dari soal sebelumnya, tentukan selang kepercayaan 99% untuk rataan nilai matematika semua mahasiswa tingkat sarjana

20

sebelumnya

CONTOH

(21)

21

(22)

Kasus Satu Sampel

Rataan Populasi

22

(23)

Rataan contoh merupakan PENDUGA tak bias bagi µ

s

²

merupakan penduga tak bias bagi σ

²

µ σ

²

x s

²

µ 1.96

σ

x ^1.96

σ

_x

SAMPLING ERROR

23

x

(24)

Dugaan Selang

z n n x

z

x σ

σ µ

α

α2

< < +

2

−

n t s

n x t s

x

₍_n ₁₎ ₍_n ₁₎

2

2 −

< < +

−

^α

µ

^α

Syarat : kondisi σ²

diketahui

Tidak diketahui

σ

²

diduga dengan s

²

24

Berlaku juga untuk

sampel kecil (n < 30)

(25)

Contoh 25

Survei dilakukan terhadap 20 RT disuatu kota untuk menduga besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT).

Datanya diperoleh sebagai berikut:

RT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Biaya

(juta Rp) ^2,30 ^4,50 ^4,00 ^5,00 ^3,80 ^7,20 ^6,25 ^5,75 ^6,70 ^7,80

RT 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Biaya

(juta Rp) ^6,80 ^5,30 ^8,00 ^15,10 ^13,20 ^4,50 ^2,00 ^4,70 ^5,75 ^10,10

a.  Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun

b.  Buatlah selang kepercayaan 95%, asumsikan biaya pendidikan mengikuti sebaran normal.

(26)

26

a.  Penduga rata-rata biaya pendidikan

b.  Selang kepercayaan 95%

44 .

ˆ = x = 6

µ

093 ,

2

732407 ,

0 20

/ 275422 ,

3 /

) 19

; 2 / 05 , 0

(

=

db= x

t

n s

s

Penyelesaian

970 ,

7 905

, 4

732 ,

0 093 ,

2 44

, 6 732

, 0 093 ,

2 44

, 6

≤

+

≤

−

µ

µ x

x

Nilai s Dicari dari rumus

S

²

= Σ (xi – xbar)

²

/ n-1

(27)

Kasus Satu Sampel

Proporsi

27

(28)

Proporsi contoh merupakan

PENDUGA tak bias bagi P

p

pˆ

p

1.96

σ

_p_ˆ ^1.96

σ

_p_ˆ

p ˆ 28

(29)

Dugaan Selang / interval

n p z p

p n P

p z p

p ˆ ( 1 ˆ )

) ˆ 1 ˆ

ˆ (

ˆ

2 2

+ −

<

− <

−

^α ^α

Selang kepercayaan (1- α )100% bagi p

29

p ˆ − t

₍α

2;n−1)

p(1 ˆ − p) ˆ

n < P < p ˆ + t

₍α

2;n−1)

p(1 ˆ − p) ˆ n

Sampel Besar

Sampel Kecil

(30)

Contoh 30

Dari sampel dengan n = 100 mahasiswa PTS “ABC”. Ternyata 25 mahasiswa memiliki IPK ≥ 3. Buatlah dugaan untuk proporsi

mahasiswa PTS “ABC” yang memiliki IPK ≥ 3 dengan interval keyakinan 95%.

Interval duga: p(0,206 < P < 0,335)

Penyelesaian :

(31)

Kasus Dua sampel saling bebas

Selisih rataan dua populasi

31

(32)

µ

₁

- µ

₂

32

2

1 x

x −

µ₁-µ₂ 1.96

2 1 x x −

σ

^1.96

2 1 x x −

σ

(33)

Dugaan Selang

2 2 2 1

2 1 2 2

1 2

2 2 1

2 1 2 2

1

) ( )

( x x z n n

n z n

x

x σ σ

µ σ µ

σ

α

+ < − < − + +

−

Syarat : σ₁²& σ₂²

diketahui

Tidak diketahui

σ₁²& σ₂² Tidak

sama

Formula 1

Formula 2

33

(34)

a. Formula 1:

Jika σ

₁

dan σ

₂

tdk diketahui dan diasumsikan sama:

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

+

−

<

−

⎟⎟ <

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

−

2 1

2 ) 2 (

1 2

) 2 (

1

1 ) 1

1 ( ) 1

( 2 x x t 2 s n n

n s n

t x

x α _v _gab

µ µ

α _v _gab

2 dan

2 ) 1 (

) 1 (

2 1 2

1

2 2 2

2 1 2 1

− +

− = +

− +

= − v n n

n n

s n

s s_gab n

34

b. Formula 2:

Jika σ

₁

dan σ

₂

tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama:

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

+

−

<

−

⎟⎟ <

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

−

2 2 2 1

2 1 )

2 ( 1

2 1

2 2 2 1

2 1 )

2 (

1 ) ₂ ( ) ₂

( n

s n

t s x

n x s n

t s x

x α _v

µ µ

α _v

( ) ( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

+ ⎛

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

1

1 ₂

2 2 2 1 2

2 1 2 1

2 2 2 2 1 2 1

n n n s

s n

s n s n

v

Note:

(35)

Interval Kepercayaan Selisih Rata-Rata Populasi ( σ diketahui)

Dua buah mesin A dan B dibandingkan dlm konsumsi BBM- nya. Random sampling mesin A sejumlah 50 dan B sejumlah 75 dipakai. Ternyata rata-rata konsumsi BBM mesin A adalah 36 mil/galon dan mesin B 42 mil/galon. Carilah interval

kepercayaan 96% bagi μ

_B

- μ

_A

bilamana diketahui standard deviasi populasi bagi A= 6 mil/galon dan B = 8 mil/galon

Contoh 35

(36)

Penyelesaian

Diket.

X

_sA

=36, X

_sB

= 42; n

_A

=50 dan n

_B

=75. σ

_A

=6 dan σ

_B

=8

Interval kepercayaan 96% bagi μ

_B

- μ

_A

:

3.43 < μ

_B

- μ

_A

< 8.57 .

Jadi beda rata2 konsumsi BBM antara mesin A dan mesin B berkisar antara 3.43 sampai 8.57 mil/galon

B B A

A A

B A

B B

B A

A A

B

x x z n n

n z n

x x

2 2

02 . 0 2

2 02

.

0

( ) ( )

)

( σ σ

µ σ µ

σ + < − < − + +

−

50 36 75

05 64 . 2 ) 36 42

( ) 50 (

36 75

05 64 . 2 ) 36 42

( − − + < µ

_B

− µ

_A

< − + +

36

(37)

Latihan 37

Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu

ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah :

¡  Dugalah beda kekuatan karton kedua perusahaan dengan selang kepercayaan 95%

Persh. A 30 35 50 45 60 25 45 45 50 40

Persh. B 50 60 55 40 65 60 65 65 50 55

(38)

Pendugaan Parameter:

Kasus dua sampel berpasangan

Selisih rataan dua populasi

38

(39)

Diberi pakan tertentu Ditimbang

kondisi awal : bobot kelinci

Ditimbang kondisi akhir : bobot kelinci

Setelah periode tertentu

Perubahan akibat pemberian pakan : selisih bobot akhir – bobot awal

39

(40)

µ

_d

d n

t s n d

t s

d

₍_n ₁₎ ^d _D ₍_n ₁₎ ^d

2

2 −

< < +

−

^α

µ

^α

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi µ_d

Dugaan Selang 40

(41)

Contoh 41

(42)

25 64 4 144

25 4 64

1 36 25 392

d

²

Jumlah: - 16

Contoh 42

(43)

Penyelesaian 43

(44)

Kasus Dua sampel

Selisih dua proporsi

44

(45)

p

₁

- p

₂

45

2

1 ˆ

ˆ p

p −

p₁-p₂ 1.96

2 1 ˆ

ˆ p

p −

σ

SAMPLING ERROR

1.96

2 1 ˆ

ˆ p

p −

σ

(46)

Dugaan Selang

2 2 2

1 1 2 1

1 2

2 2

1 1 2 1

1

ˆ ) 1 ˆ ( ˆ )

1 ˆ ( ˆ )

( ˆ 2 ) 1

1 ˆ ˆ ( ˆ )

1 ˆ ( ˆ )

( ˆ

2

2 n

p p

n p z p

p p P

n P p p

n p z p

p

p −

− + +

−

<

−

− <

− +

−

− α α

Selang kepercayaan (1- α )100% bagi p

₁

- p

₂

46

Sampel Besar

Sampel Kecil

( ˆp₁− pˆ₂)−tα

2;n1+n2−2

pˆ₁(1− pˆ₁)

n₁ + pˆ₂(1− pˆ₂)

n₂ < P1−P2 <( ˆp₁− pˆ₂)+tα

2;n1+n2−2

pˆ₁(1− pˆ₁)

n₁ + pˆ₂(1− pˆ₂) n₂

(47)

BKKBN melakukan penelitian di dua daerah (D₁ dan D₂) untuk

mengetahui apakah ada perbedaan antara persentase penduduk yang setuju KB di daerah tersebut. Kemudian akan dibuat

pendugaan interval mengenai besarnya selisih/perbedaan

persentase tersebut. Di daerah D₁ dan D₂ masing-masing dilakukan wawancara terhadap 120 orang, antara lain menanyakan

apakah mereka setuju KB atau tidak.

Dari D₁ ada 90 orang dan dari D₂ ada 78 orang yang setuju KB.

Buatlah pendugaan interval dari perbedaan persentase tentang pendapat penduduk yang setuju dengan KB, di kedua daerah tersebut,dengan tingkat keyakinan sebesar 90%.

Contoh 47

(48)

Penyelesaian 48

p

^{^}₁

= X

₁

n

₁

= 90

120 = 0, 75, p

^{^} ₂

= X

₂

n

₂

= 78

120 = 0, 65 p

^{^}₁

− p

^{^} ₂

= 0, 75 − 0, 65 = 0,10

2 2 2 1

1 1 2

1 2

2 2 1

1 1 2

1

ˆ ˆ ˆ

) ˆ ˆ ( ˆ

ˆ ˆ ˆ

) ˆ ˆ ( ˆ

2

n

q p n

q z p

p p

p n p

q p n

q z p

p

p − −

α

+ < − < − +

α

+

0,1 – 1,64 (0,059) < (P

₁

– P

₂

) < 0,1 + 1,64 (0,059) 0,003 < (P1 – P2) < 0,197

0,25 0,25

7 Pendugaan Parameter

Pendugaan Parameter

Pendahuluan (1)

Pendahuluan (3)

MINIMUM

STATISTIK

TARGET

Pendahuluan (4) 6

Dua jenis pendugaan parameter

Pendugaan Titik (1)

Pendugaan Interval (1) 10

Pendugaan Interval (2) 11

Pendugaan Titik untuk Rataan

CONTOH

sebelumnya

CONTOH

diketahui

diduga dengan s

a. Penduga rata-rata biaya pendidikan

Sampel Besar

Selisih rataan dua populasi

Jika σ

kepercayaan 96% bagi μ

Latihan 37

Pendugaan Parameter:

Dugaan Selang 40

Contoh 47

a.  Penduga rata-rata biaya pendidikan