PENDUGAAN PARAMETER
(Populasi tunggal)
Pendugaan
Proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga/ menaksir parameter
populasi yg tidak diketahui
Penduga : suatu statistik yg digunakan untuk menduga suatu parameter
Estimasi: Pengukuran terhadap nilai
parameternya (populasi) dari data sampel yang diketahui
Ciri-ciri Penduga yang Baik
1. Tidak Bias (Unbiased) :
apabila nilai penduga sama dengan nilai yg diduganya
2. Efisien:
apabila penduga memiliki varians yg kecil 3. Konsisten:
Jika ukuran sampel semakin bertambah maka penduga akan mendekati parameternya
Jika ukuran sampel bertambah tak berhingga maka distribusi sampling penduga akan mengecil menjadi tegak lurus di atas parameter yg
sebenarnya dgn probabilitas sama dgn satu
Jenis-jenis pendugaan berdasarkan cara penyajiannya
Pendugaan interval
Pendugaan yg mempunyai dua nilai sbg pembatasan/
daerah pembatasan
Digunakan tingkat keyakinan thd daerah yg memuat nilai sebenarnya/ nilai duga parameternya akan berada
Nilai (1-α) disebut koefisien kepercayaan
Nilai duga parameter dinyatakan sebagai nilai dengan Selang kepercayaan : (1-α) x 100%
Pendugaan interval untuk rata-rata
1. Untuk sampel besar (n > 30)
a. Untuk populasi tdk terbatas/ populasi terbatas yg nilai σ diketahui
Z n n X
Z
X
/ 2 . / 2 .
Penaksiran rata-rata sampel adalah menentukan interval nilai rata-rata sampel yang dapat memuat parameter rata-rata populasi, jika dipakai distribusi probabilitas normal, confedence interval untuk rata- rata ditentukan.
Didapat dua batas kepercayaan
1 / 2 2 / 2
ˆ x z dan ˆ x z
n n
z
zα/2 -zα/2 0
α/2
α/2 1‒
α/21‒
α/2
Contoh: Rata-rata IP sampel acak 36 mahasiswa tingkat S-1 adalah 2.6. Hitung selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-1! Anggap bahwa standar deviasi populasinya 0.3.
Solusi:
Diketahui x-bar = 2.6; σ = 0.3; z0.025 = 1.96; z0.005 = 2.575
› Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-I:
› Interpretasi: Dapat dipercaya sebesar 95% bahwa rata- rata IP semua mahasiswa S-1 antara 2.50 hingga 2.70
0.3 0.3
2.6 1.96 2.6 1.96
36 36
2.50 2.70
Selang kepercayaan 99% untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-I:
Interpretasi: Dengan tingkat kesalahan 1%, dapat dinyatakan bahwa rata-rata IP semua mahasiswa S-1 antara 2.47 hingga 2.73.
--00--
Perhatikan:
0.3 0.3
2.6 2.575 2.6 2.575
36 36
2.47 2.73
x z / 2
n
x z / 2
n
x
gala t
b. Untuk populasi terbatas, pengambilan sampel tanpa pengembalian dan σ
diketahui atau n/N > 5%
. 1 1 .
.
.
/22
/
N
n N
Z n N X
n N
Z n
X
2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30)
n t s
n X t s
X / 2 . / 2 .
) 1 (
) (
1
2 2
n n
X n
s X
SOAL
Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang diperlukan oleh
sebuah mesin yang digunakan untuk memproduksi satu jenis kain. Diambil
secara acak 36 pis kain, waktu rata-rata yang diperlukan untuk memproduksi 1 pis kain adalah 15 menit. Jika diasumsikan
standar deviasi populasi 3 menit, tentukan estimasi interval rata-rata dengan tingkat confidence (tingkat kepercayaan) 95% ?
JAWABAN
X (Rata-rata) = 15 menit n = 36
Simpangan Baku = 3
Nilai standar Deviasi = = 3 : √36 = 0.5 Tingkat Kepercayaan 95%, dari tabel distribusi normal diperoleh Ztabel = 1.96
14.02 < µ < 15.98
n
Contoh
2. Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur beratnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah pendugaan interval rata-ratanya dgn
tingkat keyakinan 99%
Pendugaan Interval Untuk Proporsi
1. Untuk sampel besar (n > 30)
a. Untuk populasi tidak terbatas
b. Untuk populasi terbatas dan pengambilan sampel tanpa pengembalian
n p Z p
p n P
p Z p
p (1 )
) . 1
. ( / 2
2 /
1 )
1 . (
1 )
1
. ( /2
2
/
N n N n
p Z p
p N P
n N n
p Z p
p
Konsep Dasar Estimasi Interval Mean PopulasiKonsep Dasar Estimasi Interval Mean Populasi
1. Distribusi Sampling
2. Pertimbangan Lebar Interval
3. Tingkat Kepercayaanx z x x x zx
Tingkat
Kepercayaan
Skor Z Bentuk umum estimate interval
90 % 1,645
95 % 1,960
99 % 2,575
x x
x x
x1,645 1,645
x x
x x
x1,960 1,960
x x
x x
x2,575 2,575
: error standar dari mean x
μx : Mean populasi
Z : nilai skor z yg ditentukan dg probabilitas estimate interval
Contoh
Sebuah peti kemas diperiksa untuk
menaksir persentase barang rusak. Untuk keperluan tersebut, diambil 60 buah barang yang ada dalam peti dan diperoleh 9 buah rusak. Dugalah persentase barang yang
rusak. Digunakan interval keyakinan 99 persen
n = 60 X = 9
p = 9:60 = 0.15 1- α = 99%
α = 1% = 0.01
Zα/2 = Z0.005 = 2.575
2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30)
n p t p
p n P
p t p
p (1 )
) . 1
. ( /2
2 /
Sebuah Sampel sebanyak 25 buah apel, 8 diantaranya apel kualitas rusak. Dengan
interval keyakinan 95%, tentukan proporsi apel yang rusak ?
Contoh kasus
1. Sebuah perusahaan memproduksi baut, menggunakan mesin otomatis dengan
diameter menyebar mengikuti distribusi normal yang standar deviasinya (populasi) 0,02 milimeter. Diambil sampel acak empat buah baut untuk suatu pemeriksaan,
ternyata rata-rata diameternya sebesar 24,98mm. Buatlah selang kepercayaan
dengan tingkat kepercayaan 98 persen bagi rata-rata baut.
2. Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur beratnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah
pendugaan interval rata-ratanya dgn tingkat keyakinan 99%
3. Dari sampel random 400 orang yg makan
siang di restoran NIKMAT selama beberapa hari Sabtu, diperoleh data 125 org yg
menyukai makanan tradisional. Tentukan
pendugaan interval bagi proporsi sebenarnya, orang yg menyukai makanan tradisional utk
makan siangnya pd hari Sabtu di restoran tersebut dgn menggunakan interval
keyakinan 98%
