Persamaan non-linear

(1)

LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI TEKNIK KIMIA PERSAMAAN NON-LINEAR

Disusun oleh:

Nama : Muhammad Agil Asshofy

NIM : 211910401081

Hari/Tanggal Praktikum : Rabu, 18 Oktober 2023

Assisten : Abdul Malik Karim Abdullah

PROGRAM STUDI S1 TEKNIK KIMIA JURUSAN TEKNIK MESIN

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS JEMBER

Oktober, 2023

(2)

1. JUDUL PERCOBAAN

Persamaan Non-Linear Metode Newton-Rapshon 2. TUJUAN PERCOBAAN

- Menguasai metode Newton Raphson yang digunakan dalam komputasi numerik.

- Mampu melakukan simulasi menggunakan metode Newton Raphson - Mampu menyelesaikan sistem persamaan non-linear menggunakan metode

Newton Raphson 3. DASAR TEORI

Metode numerik adalah suatu pendekatan atau teknik yang digunakan untuk menganalisis dan menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan teknik rekayasa dan ilmu pengetahuan dengan memanfaatkan operasi matematika perhitungan (Yahya & Nur, 2018). Umumnya, metode numerik digunakan untuk menemukan solusi dalam masalah matematika yang tidak dapat dipecahkan dengan menggunakan metode analitik konvensional. Metode numerik terbagi menjadi dua jenis sistem persamaan yaitu sistem persamaan linier dan sistem persamaan non-linier (Sunandar and Indrianto, 2020).

Materi yang bersifat non-linier membahas tentang bagaimana cara menentukan akar-akar dari persamaan non-linear yang melibatkan satu variable x, f(x) atau dengan kata lain mencari nilai-nilai x yang membuat persamaan f(x)

= 0 (Sunandar and Indrianto, 2020). Persamaan non-linier apabila digambarkan dalam koordinat cartesius, akarnya merupakan titik-titik di mana kurva f(x) bersilangan dengan sumbu-x. Konsep dasar dalam perhitungan numerik untuk menyelesaikan persamaan non-linear melibatkan beberapa algoritma dan metode iteratif untuk mencari akar secara berulang, sehingga proses perhitungannya menjadi cukup panjang dan memakan waktu (Ritongga, 2019).

Metode newton Raphson adalah salah satu metode atau solusi untuk menemukan aproksimasi akar suatu persamaan. Proses metode Newton-Raphson dilakukan pada satu variabel, yaitu x: f(x)=0. Metode ini dimulai dengan fungsi f yang didefinisikan pada domain bilangan real x, serta turunan pertama f’, dan tebakan awal x0 untuk solusi persamaan f(x)=0. Apabila fungsi tersebut

(3)

memenuhi asumsi yang diperlukan perhitungan turunan dan tebakan awal yang dekat dengan akar sebenarnya, maka pendekatan x1 dapat dihitung dengan menggunakan persamaan:

x_i=x₀−f(x0)

f^'(x0)………. (1)

Dalam konteks geometris, titik (x1, 0) digunakan sebagai titik perpotongan sumbu x dan garis singgung pada grafik fungsi f pada saat x = x0.

Proses iterasi akan terus berlanjut sampai tingkat akurasi yang memadai tercapai, sehingga secara umum, persamaan yang mendefinisikan metode Newton- Raphson adalah sebagai berikut:

x_i+1=x_i−f(x1)

f^'(x1)………... (2) (Batarius, 2018).

Metode Newton-Raphson adalah metode yang paling sering digunakan untuk berbagai jenis model. Apabila tebakan awal adalah x_i, maka garis singgung dapat ditambahkan dari garis

[

^xⁱ^{, f}⁽^xⁱ⁾

]

. Titik di mana garis singgung memotong sumbu x mengindikaskan pola pertumbuhan akar. Metode Newton- Raphson sebenarnya didasarkan pada persamaan geometri, yang merupakan pendekatan alternatif berdasarkan DeretTaylor. Turunan pertama pada ^xi adalah ekuivalen terhadap slope: f^'

(

^xⁱ

)

⁼^f

(

^xⁱ

)

⁻⁰

x_i−x_i+1, dapat diubah menjadi bentuk berikut:

x_i+1=x_i−f(x)

f^'(x) dan disebut rumus Newton-Raphson. Prosedur Metode Newton Raphson dimulai dengan memilih x₀ sebagai tebakan awal dan menggambar garis lurus melalui titik ini (x₀). Kemudian, sambungkan garis pada sumbu −x di titik x₁. Langkah-langkah ini diulang dengan menggunakan x₁ sebagai tebakan awal. Mengulangi langkah pertama, dan akan menemukan x₂, x₃, … … x_n bilangan real atau akar real yang akan mendekati sebenarnya (Wulan et al., 2017).

Metode Newton Raphson dan metode Secant pada dasarnya memiliki kesamaan dalam pendekatan untuk menemukan akar persamaan. Perbedaan

(4)

utama antara metode Secant dan Newton Raphson adalah persamaan atau rumus yang digunakan untuk menemukan akar persamaan. Metode Secant hanya mengandalakan satu rumus atau persamaan, yaitu nilai variabel x berikutnya.

Sedangkan untuk metode Newton-Raphson menggunakan dua rumus atau persamaan sekaligus yaitu rumus nilai absolut galat relatif dan formulasi nilai x selanjutnya. Meskipun sama sama memiliki untuk nilai x selanjutnya, rumus tersebut berbeda antara satu sama lain. Metode Secant cenderung memiliki rumus yang lebih rumit apabila dibandingkan dengan rumus pada metode Newton-Raphson. Kedua metode ini juga memiliki perbedaan dalam hal jumlah langkah yang diperlukan untuk mencapai akar akar persamaan. Perhitungan yang menggunakan Newton-Raphson biasanya memerlukan lebih sedikit langkah daripada metode Secant. Hal ini terjadi karena metode Newton-Raphson memasukkan nilai absolut galat relatif yang membantu dalam mengarahkan proses iterasi. Hasil yang diberikan oleh kedua metode ini seringkali tidak sama, meskipun perbedaannya mungkin tidak yang signifikan. Namun, metode Newton-Raphson memiliki kendala, yaitu menghitung nilai turunan fungsi.

Dalam beberapa fungsi tertentu menghitung nilai turunan secara manual akan sangat menyulitkan (Sunandar & Indrianto, 2020a).

4. ALGORITMA DAN FLOWCHART - Algoritma

1. Tentukan Harga fungsi f

(

^xⁿ

)

2. Tentukan Harga awal x_n

3. Tentukan Interval ¿ ¿dengan jumlah pembagi Δh

4. Tentukan toleransi kesalahan (ɛs) dan interaksi maksimum (n) 5. Hitung nilai fungsi f

(

^xⁿ

)

dan turunannya f '

(

^xⁿ

)

6. Hitung nilai x_n+1 menggunakan rumus:

x_n+1=x_n− f

(

^xn

)

f '

(

^xn

)

7. Hitung kesalahan dan bandingkan dengan toleransi kesalahan yang diizinkan

(5)

a. Jikaɛa>ɛs, maka ulangi langkah ke-2

b. Jika ɛa>ɛs, maka iterasi selesai dan x_n+1 sebagai akar persamaan 8. Akar persamaan adalah ^xn terakhir yang diperoleh

(6)

- Flowchart

X0; tol

Err=1; ite=0

Err>=tol

Ite=ite+1 f0=f(x0) g0=f’(x0) x1=x0-(f0/g0)

err=abs(f0) x0=x1

Disp x1; ite; err Mulai

Selesai

(7)

5. HASIL DAN PEMBAHASAN

Praktikum Komputasi Teknik Kimia modul 4 membahas tentang penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Newton-Rapshon.

Terdapat dua soal persamaan non-linear yang akan diselesaikan dengan menggunakan metode Newton-Rapshon yaitu, f(x)=sin(x)²+2 cos(x) dimulai dengan x0 = π/4 dan toleransinya 0,0001. Soal persamaan non-linear yang kedua yaitu x³+cos 2x−3=0 dimulai dengan x0=¿1 dan toleransinya 0,1. Kedua persamaan tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan software matlab metode Netwon-Raphson.

Langkah pertama untuk memulai penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Newton-Rapshon adalah menuliskan fungsi clc dan clear all yang berfungsi untuk membersihkan command window dan workspace supaya pada saat terjadi proses running hanya terdapat hasil dari script tersebut.

Langkah berikutnya adalah menuliskan fungsi disp. Tujuan dari penulisan fungsi disp adalah untuk memberikan sebuah keterangan yang nantinya akan muncul pada command window pada saat proses running. Langkah selanjutnya untuk penyusanan script metode Newton-Raphson adalah memasukkan nilai toleransi

= 0,0001, nilai awal x0 = π/4 atau 0,785 dan persamaan yang akan dicari.

Langkah selanjutnya ialah memasukkan nilai err=1 dan iter=0.

Langkah selanjutnya pada penyusunan script metode Newton-Raphson adalah memasukkan fungsi while−end. Perintah tersebut digunakan sebagai perintah pengulangan sebuah fungsi yang hanya menyatakan pada urutan berapa perintah akan berhenti untuk proses pengulangan (iterasi). Nilai toleransi yang dimasukkan harus lebih kecil dari nilai error yang dimasukkan sebelumnya (tol<Err). Dimana apabila terjadi pengulangan maka iter+1, yang berarti nilai iterasi akan terus bertambah hingga kondisi yang ditentukan telah mencapai kondisi tersebut. Langkah berikutnya adalah menuliskan nilai dari f(x)=f(x0), dimana fungsi pada soal pertama apabila dituliskan pada matlab maka akan menjadi f x=sin(x0)²+2∗cos(x0). Fungsi tersebut nantinya akan diturunkan menjadi faksen=2∗sin(x0)∗cos(x0)−(2∗sin(x0)). Untuk

(8)

mencari nilai x_n yang sesuai dengan rumus x_n+1=x_n− f

(

^xⁿ

)

f '

(

^xⁿ

)

, maka pada script matlab dituliskan xn=x0−(fx/faksen). Kemudian untuk mengetahui nilai error pada hasil maka digunakan rumus yaitu Err=|(|(xn−x0)/xn), nilai error masih dapat diterima apabila nilai tersebut bernilai lebih kecil daripada toleransi.

Proses pengulangan akan diulangi apabila kondisi tersebut terpenuhi.

Selanjutnya untuk iterasi maka akan digunakan nilai x0=xn begitu seterusnya sampai kondisi dimana nilai error bernilai lebih kecil daripada nilai toleransi.

Fungsi selanjutnya yang dituliskan pada script metode Newton-Raphson yaitu fprintf, dimana fungsi tersebut bertujuan untuk mencetak hasil yang diinginkan, dimana pada metode ini fprintf berfungsi untuk mencetak nilai iter , xn , f , Err. Fungsi while diakhiri dengan perintah end, dengan tujuan agar perintah while dapat dijalankan. Fungsi yang terakhir dalam metode Newton-Raphson adalah fprintf untuk mencetak nilai dari xn.

Berdasarkan praktikum yang telah dilakukan dengan menggunakan metode Newton-Rapshon dalam menyelesaiaan soal persamaan non-linear nomor 1 yang diberikan yaitu, f(x)=sin(x)²+2 cos(x) dimulai dengan x0 = π/4 dan toleransinya 0,0001 diperoleh nilai akar persamaannya ^xn=1,9979. Nilai tersebut diperoleh pada iterasi ke-4. Script yang digunakan sudah sesuai dengan algoritma dan flowchart sehingga dapat dijalankan dengan baik dan benar. Script keseluruhan serta hasil untuk metode Newton-Rapshon pada penyelesaian soal persamaan non-linear nomor 1 dapat dilihat seperti di bawah ini:

clc;

clear all;

disp ('======Laporan Praktikum Modul 4======') disp ('========Metode Newton Raphson========') disp ('Nama : Muhammad Agil Asshofy')

disp ('NIM : 211910401081') tol=0.0001;

x0=0.785;%hasil dari pi(3,14/4)

f=sin(x0)^2 + 2*cos(x0);%memasukkan fungsi iter=0;

Err=1;

(9)

disp('____________________________________');

disp('iter xn f(xn) Err');

disp('____________________________________');

while tol<Err

%Pencarian Akar Apabila Syarat Memenuhi toler<Err

fx=sin(x0)^2 + 2*cos(x0);

faksen=2*sin(x0)*cos(x0)-(2*sin(x0)); %turunan dari persamaan f(x)

xn=x0-(fx/faksen); %mencari iterasi x baru iterasi selanjutnya

Err=abs((xn-x0)/xn); %mencari nilai error x0=xn;

iter=iter+1;

fprintf('%2.0f %12.4f %12.4f %12.4f\

n',iter,xn,f,Err);

end

disp('---');

fprintf('maka akar persamaan tersebut adalah = %1.4f\

n',xn)

Gambar 1. Hasil Running Metode Newton-Raphson Soal 1

Pada dasarnya script untuk metode Newton-Rapshon pada praktikum modul 4 ini adalah sama persis, hanya terdapat perbedaan yaitu nilai dari persamaan non-linearnya. Sehingga, script tersebut dapat digunakan berulang kali menggunakan metode yang sama dengan cara mengubah nilai toleransi, x0, dan f (persamaan non-linearnya) pada script. Berdasarkan praktikum yang telah dilakukan dengan menggunakan metode Newton-Rapshon dalam menyelesaiaan soal persamaan non-linear nomor 2 yang diberikan yaitu, x³+cos 2x−3=0

(10)

dengan nilai faksen=(3∗x0³+2∗sin(2∗(x0)), dimulai dengan x0=¿1 dan toleransinya 0,1 diperoleh nilai akar persamaannya x_n=−0,6478. Nilai tersebut diperoleh pada iterasi ke-7. Script yang digunakan sudah sesuai dengan algoritma dan flowchart sehingga dapat dijalankan dengan baik dan benar. Script keseluruhan serta hasil untuk metode Newton-Rapshon pada penyelesaian soal persamaan non-linear nomor 1 dapat dilihat seperti di bawah ini:

clc;

clear all;

disp ('======Laporan Praktikum Modul 4======') disp ('========Metode Newton Raphson========') disp ('Nama : Muhammad Agil Asshofy')

disp ('NIM : 211910401081') tol=0.1;

x0=1;

f=(x0^3 + cos(2*x0));%memasukkan fungsi iter=0;

Err=1;

disp('____________________________________');

disp('iter xn f(xn) Err');

disp('____________________________________');

while tol<Err

%Pencarian Akar Apabila Syarat Memenuhi toler<Err

fx=(x0^3 + cos(2*x0));

faksen=(3*x0^2 - 2*sin(2*x0)); %turunan dari persamaan f(x)

xn=x0-(fx/faksen); %mencari iterasi x baru iterasi selanjutnya

Err=abs((xn-x0)/xn); %mencari nilai error x0=xn;

iter=iter+1;

fprintf('%2.0f %12.4f %12.4f %12.4f\

n',iter,xn,f,Err);

end

disp('---');

fprintf('maka akar persamaan tersebut adalah = %1.4f\

n',xn)

(11)

Gambar 2. Hasil Running Metode Newton-Rapshon Soal 2

Pengerjaan persamaan non-linear menggunakan metode numerik dinilai lebih cepat daripada menggunakan metode analitis (manual) karena dalam metode numerik, perhitungan dilakukan oleh software matlab, sementara dalam pendekatan analitis, perhitungan dilakukan secara manual. Metode numerik lebih efisien ketika ada banyak iterasi yang diperlukan, yang membuat prosesnya lebih mudah. Hasil yang diperoleh dari kedua metode, baik numerik maupun analitis menghasilkan hasil yang sama, jumlah iterasi untuk memenuhi kondisi tersebut juga sama, sehingga kedua metode tersebut dapat digunakan namun memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing dalam setiap metode.

(12)

6. KESIMPULAN DAN SARAN a. Kesimpulan

Berdasarkan praktikum modul 4 yang telah dilakukan, metode Newton- Raphson masih masih tetap menjadi metode yang sangat umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan f (x)=0. Pada praktikum yang dilakukan terdapat dua persoalan persamaan non-linear yang akan diselesaikan menggunakan metode Newton-Rapshon. Hasil yang diperoleh pada soal nomor 1 adalah x_n=1,9979 dan berhenti pada iterasi ke-4, sedangkan pada soal nomor 2 diperoleh hasil ^xn=−0,6478 dan berhenti pada iterasi ke-7.

Pengerjaan persamaan non-linear menggunakan metode numerik dinilai lebih cepat daripada menggunakan metode analitis (manual) karena dalam metode numerik, perhitungan dilakukan oleh software matlab, sementara dalam pendekatan analitis, perhitungan dilakukan secara manual.

b. Saran

Penting untuk memperhatikan penggunaan software matlab dalam penulisan script karena matlab sangat responsif terhadap kesalahan dalam script atau fungsi. Kesalahan kecil dalam penulisan tanda atau perintah juga dapat menyebabkan program tidak dapat dijalankan. Oleh karena itu, diperlukan tingkat ketelitian yang tinggi saat menjalankan praktikum komputasi dalam bidang Teknik Kimia.

(13)

7. DAFTAR PUSTAKA

Batarius, P. (2018). Perbandingan Metode Newton-Raphson Modifikasi Dan Metode Secant Modifikasi Dalam Penentuan Akar Persamaan. Seminar Nasional Riset Dan Teknologi Terapan 8, 53–63.

Ritongga, J. (2019). Perbandingan Kecepatan Konvergensi Akar Persamaan Non-Linier Metode Titik Tetap Dengan Metode Newton Raphson Menggunakan Matlab.

Suryana, Dede, 9(2), 51–64.

Sunandar, E., & Indrianto. (2020a). Perbandingan Metode Newton-Raphson & Metode Secant Untuk Mencari Akar Persamaan Dalam Sistem Persamaan Non-Linier.

Jurnal Pengkajian Dan Penerapan Teknik Informatika, 13(1), 72–79.

Sunandar, E., & Indrianto, I. (2020b). Perbandingan Metode Newton-Raphson &

Metode Secant Untuk Mencari Akar Persamaan Dalam Sistem Persamaan Non- Linier. PETIR, 13(1), 72–79. https://doi.org/10.33322/petir.v13i1.893

Wulan, E. R., Pajarudin, G., & Nuraiman, D. (2017). Solusi Numerik Persamaan Non- Linier Dengan Menggunakan Metode Newton-Raphson Modifikasi Fuzzy. x (2), 62–76.

Yahya, Y., & Nur, A. M. (2018). Pengaruh Aplikasi C# dalam Proses Perhitungan Numerik Terhadap Solusi Persamaan Non-Linier. Infotek: Jurnal Informatika Dan Teknologi, 1(2), 79–87. https://doi.org/10.29408/jit.v1i2.901

(14)

LAMPIRAN

Hasil cek plagiarism modul 4