Rotasi

ROTASI

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Kelompok Mata Kuliah Geometri Transformasi

Dosen Pengampu: Darwani, M.Pd.

Disusun Oleh: Kelompok 3

1. Nur Ersa Randini (220205051) 2. Naurah Rayyani (220205057) 3. Rifqah Navisa (210205078) 4. Dhia Rahidatul Aisy (220205081)

FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI AR-RANIRY BANDA ACEH

2023

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami ucapkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat-Nya sehingga makalah ini dapat tersusun sampai dengan selesai. Shalawat dan salam kepada Rasulullah yang menjadi teladan dalam segala sisi kehidupan yang tertuju kepada satu tujuan, yaitu keridhaan Allah. Tidak lupa kami mengucapkan terima kasih terhadap bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik pikiran maupun materinya. Penulis sangat berharap semoga makalah ini dapat menambah wawasan pengetahuan dan pengalaman bagi pembaca. Bahkan kami berharap lebih jauh lagi agar makalah ini bisa pembaca praktekkan dalam kehidupan sehari-hari. Bagi kami sebagai penyusun merasa bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan makalah ini karena keterbatasan pengetahuan dan pengalaman Kami. Untuk itu kami sangat, mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Banda Aceh, 11 Februari 2024

(Kelompok 3)

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i

DAFTAR ISI ... ii

BAB I ... 1

PENDAHULUAN ... 1

1. Latar Belakang ... 1

1. Rumusan Masalah ... 1

2. Tujuan Makalah ... 1

BAB II ... 2

PEMBAHASAN ... 2

A. Definisi Rotasi ... 2

B. Sifat-sifat dan Unsur-Unsur Rotasi ... 2

C. Jenis-Jenis Rotasi ... 4

D. Pembuktian Rumus Rotasi ... 9

BAB III ... 12

PENUTUP ... 12

DAFTAR PUTAKA ... 13

1

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang besaran, struktur, bagian ruang dan perubahan-perubahan yang ada pada suatu bilangan. Salah satu materi yang memperlajari kajian-kajian tentang perubahan itu adalah Geometri Transformasi.

Geometri Transformasi adalah suatu proses pemetaan titik-titik pada gambar ke suatu objek untuk membentuk gambar lain. Akhirnya jika sebuah objek berubah, maka proses pemetaan pun akan berubah. Geometri Transformasi pada bidang ini meliputi translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian). Dengan ini kami menulis makalah tentang salah satu dari keempat bagian tersebut, yaitu rotasi.

Rotasi (perputaran) adalah merupakan suatu tranformasi yang memindahkan titik ke titik lainnya dengan cara memutar. Namun, ada pula yang menyimpulkan sebagai peristiwa memindahkan suatu objek (gambar) melalui garis lengkung dengan pusat pada titik tertentu.

1. Rumusan Masalah A. Apa itu rotasi?

B. Apa saja sifat-sifat dan unsur-unsur rotasi?

C. Apa saja jenis-jenis rotasi?

D. Bagaimana bentuk pembuktian rumus rotasi?

2. Tujuan Makalah

A. Mengetahui definisi rotasi

B. Mengetahui sifat-sifat dan unsur-unsur rotasi C. Mengetahui jenis rotasi

D. Mengetahui pembuktian rumus rotasi

2

BAB II PEMBAHASAN

A. Definisi Rotasi

Rotasi (perputaran) adalah merupakan suatu tranformasi yang memindahkan titik ke titik lainnya dengan cara memutar. Namun, ada pula yang menyimpulkan sebagai peristiwa memindahkan suatu objek (gambar) melalui garis lengkung dengan pusat pada titik tertentu.

Rotasi ditentukan oleh titik pusat rotasi, besar sudut rotasi dan arah sudut rotasi. Jika arah perputaran berlawanan dengan arah jarum jam, maka nan dengan arah jarum jam, maka α dipandang sebagai sudut positif. Sebaliknya jika arah perputaran searah dengan jarum jam maka α dipandang sebagai sudut negatif. Titik pusat rotasi terbagi menjadi dua yaitu titik pusat (0,0) dan titik pusat P (a,b).

B. Sifat-sifat dan Unsur-Unsur Rotasi a. Sifat-Sifat Rotasi

Ada tiga sifat yang dimiliki oleh rotasi, yaitu:

1. Dua rotasi berturut-turut merupakan rotasi lagi dengan sudut putar sama dengan jumlah kedua sudut putar semula.

2. Bangun yang diputar tidak mengalami perubahan bentuk.

3. Bangun yang diputar mengalami perubahan posisi.

3 b. Unsur-Unsur Rotasi

Unsur rptasi adalah konsep penting dalam geomteri transformasi. Dalam konsep geometri transformasi, unsur-unsur rotasi digunakan untuk memodelkan perputaran objek di sekitar sumbu tertentu. Suatu rotasi (perputaran) ditentukan oleh unsur-unsur berikut:

1. Titik Pusat Rotasi

Titik pusat rotasi adalah suatu titik yang menjadi acuan pergerakan putaran dari titik awal ke titik akhir. Titik pusat rotasi dibagi menajdi dua, yaitu titik (0,0) dan titik (a, b)

- Jika tidak ingin merotasikan suatu bangun dari titik (0,0), itu artinya tersebut diputar sejauh α dari titik (0,0)

- Jika kita ingin merotasikan suatu bangun dari titik (a, b), itu artinya bangun tersebut diputar sejauh α dari titik (a, b)

2. Besar Sudut Rotasi

Sudut rotasi adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang menghubungkan pusat rotasi dengan dua titik pada objek sebelum dan setelah rotasu. Sudut rotasi ini menentukan seberapa jauh objek berputar. Jauh rotasi dinyatakan dalam bilangan pecahan terhadap satu kali putaran penuh (360^o) atau besar sudut dalam ukuran derajat (^o) atau radian (rad)

3. Arah Rotasi

Arah rotasi adalah putaran objek saat bergerak searah jarum jam, suatu rotasi dikatakan mempunyai arah positif (+) jika rotasi itu berlawanan dengan arah jarum jam, sedangkan suatu rotasi dikatakan mempunyai arah negatif (-) jika rotasi itu searah dengan jarum jam.

Contoh:

1. 𝛼 = 90°, artinya suatu titik diputar sejauh 90° berlawanan

dengan arah putar jarum jam.

4

2. 𝛼 = 90°, artinya suatu titik diputar sejauh 90° searah dengan arah putaran jarum jam.

c. Konsep Rotasi dalam Kehidupan Sehari-hari 1. Gerakan kemudi mobil

2. Gerakan kincir air 3. Grakan kincir angin 4. Gerakan roller coster

5. Gerakan kipas angin, untuk menghasilkan hembusan angin 6. Gerakan melepas baut

7. Gerakan memasang baut

8. Gerakan mate blender, untuk menghancurkan benda yang dimasukkan ke dalam blender

9. Gerakan roda mesin jahit, untuk menjahit

10. Gerakan gasing, untuk menjalankan permainan gasing 11. Gerakan meroda, untuk olahraga

12. Gerakan katrol, untuk mengangkat beban seperti timba sumur 13. Gerakan memutar tangan, untuk olahraga

14. Gerakan roda motor, untuk menjalankan motor 15. Gerakan roda sepeda, untuk menjalankan sepeda 16. Gerakan roda mobil, untuk menjalankan mobil

17. Gerakan jarum jam, untuk menunjukkan pergerakan waktu 18. Gerakan rotasi bulan, untuk mengitari bumi

19. Gerakan rotasi bumi berfungsi untuk pergantian siang dan malam C. Jenis-Jenis Rotasi

Berdasarkan titik pusat rotasinya, maka rotasi itu sendiri dibagi menjadi dua jenis, yaitu:

1) Rotasi dengan pusat (0,0)

Terbagi menjadi 3 jenis berdasarkan besaran sudut rotasinya, yaitu:

• Rotasi 90^o = rotasi – 270^o A (x, y) → A’ (-y, x)

5

• Rotasi 180^o = rotasi – 180^o A (x, y) → A’ (-x, -y)

• Rotasi 270^o = rotasi – 90^o A (x, y) → A’ (y, -x) 2) Rotasi dengan pusat (a, b)

Terbagi menjadi 3 jenis berdasarkan besaran sudut rotasinya, yaitu:

• Rotasi 90^o

• Rotasi 180^o terhadap titik pusat (a, b)

• Rotasi 270^o terhadap titik pusat (a, b)

Dalam mengerjakan soal-soal rotasi, terkadang tidak langsung menggunakan perintah lengkap namun dalam bentuk simbol rotasi. Berikut simbol penulisan rotasi dan maknanya berdasarkan jenis titik pusatnya:

➢ Rotasi titik pusat (0,0)

1. Simbol R [0, α] artinya rotasi dengan pusat (0.0) dengan sudut putaran sebesar α dan berlawanan arah jarum jam, nilai 𝜃 = α.

matriks rotasinya: M= cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼

2. Simbol R [O, -α] artinya rotasi dengan pusat (0,0) dengan sudut putaran sebesar α dan searah jarum jam, nilai 𝜃 = -α. matriks rotasinya: M= cos(−𝛼) − sin(−𝛼)

sin(−𝛼) cos(−𝛼)

➢ Rotasi titik pusat (a, b)

20. Simbol R [P (a, b), α] artinya rotasi dengan pusat (a, b) dengan sudut putaran sebesar α dan berlawanan arah jarum jam, nilai 𝜃 = α. matriks rotasinya: M= cos 𝛼 − sin 𝛼

sin 𝛼 cos 𝛼

21. Simbol R [P (a, b), -α] artinya rotasi dengan pusat (a, b) dengan sudut putaran sebesar α dan searah jarum jam, nilai 𝜃 = -α. Matriks rotasinya: M= cos(−𝛼) − sin(−𝛼)

sin(−𝛼) cos(−𝛼)

6 Untuk mencari bayangan oleh suatu rotasi menggunakan rumus umum transformasi geometri yaitu: bayangan = Matriks x awal. Untuk lebih detail penghitungan rotasi, kita bagi menjadi dua berdasarkan titik pusatnya yaitu:

1). Titik pusat (0.0):

𝑥^𝑖

𝑦^𝑖 = (cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼 ) (^𝑥

𝑦) 2). Titik pusat P (a, b):

𝑥^𝑖

𝑦^𝑖 = (cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼 ) (^𝑥−𝑎

𝑦−𝑏) + (^𝑎

𝑏)

‘’Dengan catatan karena besar sudut ada positif dan negative, Maka berpengaruh pada nilai sin dan cos sudut positif atau negative yaitu : cos (-α)

= cos α dan sin (-α) = -sin 𝜶’’

Contoh Soal

1. Tentukan bayangan titik masing-masing soal berikut ini:

a). Titik A (1,3) oleh rotasi sejauh 30° berlawanan arah jarum jam dengan pusat (0,0).

b). Titik B (-2,1) oleh rotasi sejauh 60° searah jarum jam dengan pusat (3,5).

Jawab:

a). Titik A (1.3) oleh rotasi sejauh 30° berlawanan arah jarum jam dengan pusat (0,0).

- Pusat (0.0) dan 30° (positif karena berlawanan).

- Menentukan bayangan titik A (1,3)

𝑥^𝑖

𝑦^𝑖 = (cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼 ) (^𝑥

𝑦)

= (cos 30⁰ − sin 30⁰ sin 30⁰ cos 30⁰ ) (¹

3)

7 =(

1

2 √3 −¹

2 1

2 1

2 √3) (¹

3) =(

1 2 √3−₂ ³

1

2 +₂ ³ √3)=(

1 2 (√3−3 ) 1

2 (1+3 √3))

Jadi bayangan titik A adalah A’=(¹

2 (√3 − 3 )), (₂ ¹(1 + 3 √3)),

b). Titik A (-2.1) oleh rotasi sejauh 60° searah jarum jam dengan pusat (3,5).

- Pusat (a.b) dan 60° (negatif karena searah).

- Menentukan bayangan titik A (3,5)

𝑥^𝑖

𝑦^𝑖 = (cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼 ) (^𝑥−𝑎

𝑦−𝑏) + (^𝑎

𝑏)

= (cos(−60⁰) − sin(−60⁰)

sin(−60⁰) cos(−60⁰) ) (⁻²⁻³

1−5) + (³

5)

= ( cos 60⁰ sin 60⁰

−sin 60⁰ cos 60⁰) (⁻²⁻³

1−5) + (³

5)

=(

1 2

1 2 √3

−¹

2 √3 ¹

2

) (⁻⁵

−4) + (³

5) = (

−5 2 +⁻⁴₂ √3

5

2 √3+⁻⁴₂ )+(³

5) = (

−5

2 +⁻⁴₂ √3+3 5

2 √3+⁻⁴₂ +5)

Jadi bayangan titik A adalah A’=(⁻⁵

2 +⁻⁴

2 √3 + 3 ), (⁵

2 √3 +⁻⁴

2 + 5), 2.

8 Jika lengkungan jembatan tersebut kita misalkan suatu fungsi kuadrat y = -x², maka:

a. Gambarkan grafik fungsi kuadrat tersebut!

b. Tentukan hasil tranlasi oleh (-2, 4) dari grafik tersebut!

c. Kemudian refleksikan terhadap sumbu horizontal!

d. Dari no. c, lanjutkan dilatasi dengan skala 3 sejajar sumbu x.

e. Kemudian, rotasikan sejauh 90^o dengan pusat (0,0).

Penyelesaian:

a. y = -x²

b. A’ = T + A A’ = (−2

4 ) + ( 1

−1) = (−1 3 ) B = T + B

B’ = (−2

4 ) + (−1

−1) = (−3 3 ) c. A (x, y) = A’ (x, -y)

A (1, -1) B (-1, -1)

9 A (-1, 3) = A’ (-1, -3)

B (x, y) = B’ (x, -y) B (-3, 3) = B’ (-3, 3) d. A (x, y) = A’ (kx, ky)

A (-1, 3) = A’ (3(-1), 3(-3)) A (-1, 3) = A’ (-3, -9) B (x, y) = B’ (kx, ky) B (-3, 3) = B’ (3(-3), 3(3)) B (-3, 3) = B’ (-9, 9) e. A’ = (𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼

𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ) (𝑥 𝑦) A’ = (𝑐𝑜𝑠 90° − 𝑠𝑖𝑛 90°

sin 90° 𝑐𝑜𝑠 90° ) (−3

−9) A’ = (0 −1

1 0 ) (−3

−9) = (−3 9 ) B’ = (𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼

𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ) (𝑥 𝑦) B’ = (𝑐𝑜𝑠 90° − 𝑠𝑖𝑛 90°

sin 90° 𝑐𝑜𝑠 90° ) (−3 9 ) B’ = (0 −1

1 0 ) (−3

9 ) = (−3

−9)

D. Pembuktian Rumus Rotasi

1. Berpusat rotasi di (0, 0). Rumus yang dapat digunakan adalah sebagai berikut.

cos 𝛽 = ^𝑥

𝑟 maka 𝑥 = 𝑟 cos 𝛽 sin 𝛽 = ^𝑦

𝑟 maka 𝑦 = 𝑟 sin 𝛽

• Cos (𝛼 + 𝛽) = ^𝑥′

𝑟

cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 = ^𝑥′

𝑟

cos 𝛼. ^𝑥

𝑟 − sin 𝛼. ^𝑦

𝑟 = ^𝑥′

𝑟

𝑥 cos 𝛼 − 𝑦 sin 𝛼 = 𝑥’

• Sin (𝛼 + 𝛽) = ^𝑦′

𝑟

10 sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 = ^𝑦′

𝑟

sin 𝛼. ^𝑥

𝑟 + cos 𝛼. ^𝑦

𝑟 = ^𝑦′

𝑟

𝑥 sin 𝛼 + 𝑦 cos 𝛼 = 𝑦’

Sehingga diperoleh:

𝑥’ = 𝑥 cos 𝛼 − 𝑦 sin 𝛼

𝑦’ = 𝑥 sin 𝛼 + 𝑦 cos 𝛼

Dapat dituliskan dalam bentuk matriks:

(𝑥′

𝑦′) = (cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛼 − cos 𝛼) (𝑥

𝑦)

2. jika berpusat rotasi di 𝑂(𝑚, 𝑛) cos 𝛽 = ^𝑥−𝑚

𝑟 maka 𝑥 − 𝑚 = 𝑟 cos 𝛽 sin 𝛽 = ^𝑦−𝑛

𝑟 maka 𝑦 − 𝑛 = 𝑟 sin 𝛽

• cos (𝛼 + 𝛽) = ^{𝑥′−𝑚}

𝑟 cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 = ^{𝑥′−𝑚}

𝑟

cos 𝛼. ^𝑥−𝑚

𝑟 − sin 𝛼. ^𝑦−𝑛

𝑟 =

(𝑥 − 𝑚) cos 𝛼 − (𝑦 − 𝑛) sin 𝛼 = 𝑥’ – 𝑚

• sin (𝛼 + 𝛽) = ^{𝑦′−𝑛}

𝑟

sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 = ^{𝑦′−𝑛}

𝑟 sin 𝛼. ^𝑥−𝑚

𝑟 + cos 𝛼. ^𝑦−𝑛

𝑟 = ^{𝑦′−𝑛}

𝑟 (𝑥 − 𝑚) sin 𝛼 + (𝑦 − 𝑛) cos 𝛼 = 𝑦’− 𝑛 Sehingga diperoleh:

𝑦’ − 𝑛 = (𝑥 − 𝑚) sin 𝛼 + (𝑦 − 𝑛) cos 𝛼 𝑥’− 𝑚 = (𝑥 − 𝑚) cos 𝛼 − (𝑦 − 𝑛) sin 𝛼 Dapat dituliskan dalam bentuk matriks:

(𝑥^′− 𝑚

𝑦^′− 𝑛) = (cos 𝛼 − sin 𝛼

sin 𝛼 cos 𝛼 ) (𝑥 − 𝑚 𝑦 − 𝑛 )

11 (𝑥′

𝑦′) = (cos 𝛼 − sin 𝛼

sin 𝛼 cos 𝛼 ) (𝑥 − 𝑚 𝑦 − 𝑛 ) + (

𝑚 𝑛)

12

BAB III PENUTUP

1. Kesimpulan

Rotasi (perputaran) adalah merupakan suatu tranformasi yang

memindahkan titik ke titik lainnya dengan cara memutar. Rotasi bernilai positif jika arahnya berlawanan dengan jarum jam, sedangkan rotasi bernilai negatif jika searah jarum jam.

Titik pusat rotasi terbagi menjadi dua, yaitu: pusat (0,0) dan pusat (a, b).

rotasi juga memiliki sifat-sifat seperti berikut: (1) Dua rotasi berturut-turut merupakan rotasi lagi dengan sudut putar sama dengan jumlah kedua sudut putar semula. (2) Bangun yang diputar tidak mengalami perubahan bentuk. (3) Bangun yang diputar mengalami perubahan posisi. Adapun unsur-unsur rotasi adalah titik pusat, besar sudut dan arah rotasi.

13

DAFTAR PUTAKA

(2024, February Minggu). Retrieved from Blog KoMa: https://www.konsep- matematika.com/2017/01/rotasi-pada-transformasi-geometri.html (2024, February Sabtu). Retrieved from Quipper:

https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/rotasi-matematika Arie Anang Setyo, A. S. (2021). Transformasi Geometri: Teori, Aplikasi &

Pemanfaatan Teknologi. Pontianak: Yudha English Gallery.