ﯽﺸﻫوﮋﭘ ﯽﻤﻠﻋ ﻪﻣﺎﻨﻫﺎﻣ
ﯽﺳﺪﻨﻬﻣ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ
سرﺪﻣ
mme.modares.ac.ir
ﺮﯿﻏ ﻪﺘﺷاداو تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻞﯿﻠﺤﺗ ﻧﺎﻧ ﯽﻄﺧ
ﻮ ﻂﯿﺤﻣ رد ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ داﻮﻣ زا هﺪﺷ ﻪﺘﺧﺎﺳ يﺎﻫﺮﯿﺗ يﺎﻫ
رد ﺎﺑ ﯽﺗراﺮﺣ ﺮﯿﻏ و ﯽﺤﻄﺳ ﺶﻨﺗ تاﺮﺛا ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ
ﯽﻌﺿﻮﻣ
فﺮﺷارﻮﭘ ﻪﻌﯿﻠﻃ هﺪﯿﺳ ،
1يرﺎﺼﻧا ﺎﺿر
2
*
1 - يﻮﺠﺸﻧاد ﯽﺳﺎﻨﺷرﺎﮐ
،ﺪﺷرا ﯽﺳﺪﻨﻬﻣ
،ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ هﺎﮕﺸﻧاد
،نﻼﯿﮔ ﺖﺷر
2 -
،رﺎﯿﺸﻧاد ﯽﺳﺪﻨﻬﻣ
،ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ هﺎﮕﺸﻧاد
،نﻼﯿﮔ ﺖﺷر
*
،ﺖﺷر قوﺪﻨﺻ ﯽﺘﺴﭘ 3756
ﻪﻟﺎﻘﻣ تﺎﻋﻼﻃا هﺪﯿﮑﭼ
ﻞﻣﺎﮐ ﯽﺸﻫوﮋﭘ ﻪﻟﺎﻘﻣ :ﺖﻓﺎﯾرد 16 دادﺮﻣ 1393رﻮﯾﺮﻬﺷ06 :شﺮﯾﺬﭘ 1393 نﺎﺑآ06 :ﺖﯾﺎﺳ رد ﻪﺋارا 1393
ﻦﯾا رد ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ ﻪﺘﺷاداو تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻞﯿﻠﺤﺗ ياﺮﺑ ،ﺶﻫوﮋﭘ ﻪﺘﺧﺎﺳ يﺎﻫ
رد ﺎﺑ ﯽﺗراﺮﺣ ﻂﯿﺤﻣ رد ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ داﻮﻣ زا هﺪﺷ ﺶﻨﺗ تاﺮﺛا ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ
ﯽﻣ ضﺮﻓ .ﺖﺳا هﺪﺷ دﺎﻬﻨﺸﯿﭘ ﻖﯿﻗد ﻞﺣ شور ﮏﯾ ،ﯽﻌﺿﻮﻣﺮﯿﻏ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يرﻮﺌﺗ و ﯽﺤﻄﺳ ﯽﮑﯾﺰﯿﻓ صاﻮﺧ ﻪﮐ دﻮﺷ
ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ زا هﺪﺷ ﻪﺘﺧﺎﺳ يﺎﻫ
داﻮﻣ ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ ﻨﺒﻣ ﺮﺑ ﻞﺻا زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ،ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ و ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ ﺖﮐﺮﺣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ .ﺪﻨﻨﮐ ﺮﯿﯿﻐﺗ ﺖﻣﺎﺨﺿ يﺎﺘﺳار رد ﯽﻧاﻮﺗ ﺶﺨﭘ نﻮﻧﺎﻗ يﺎ
ﺮﻠﯾوا ﺮﯿﺗ يرﻮﺌﺗ يﺎﻨﺒﻣ ﺮﺑ نﻮﺘﻠﯿﻤﻫ -
ﯽﻣ جاﺮﺨﺘﺳا ﯽﻟﻮﻧﺮﺑ يرﻮﺌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ .دﻮﺷ
ﻦﯿﺗرﻮﮔ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يﺎﻫ -
ﻪﺑ ،ﻦﮕﻨﯾرا و كادرﻮﻣ ﺶﻨﺗ تاﺮﺛا ﺐﯿﺗﺮﺗ
ﻣﺮﯿﻏ تاﺮﺛا و ﯽﺤﻄﺳ ﻪﺑ تﻻدﺎﻌﻣ رد ﯽﻌﺿﻮ
ﻪﺑ هﺪﻣآ ﺖﺳد ﻪﺑ .ﺪﻧﺪﺷ ﻪﺘﻓﺮﮔ رﺎﮐ
اﺪﺘﺑا ،ﺰﯿﻧ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﻞﺣ رﻮﻈﻨﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺶﻫﺎﮐ ياﺮﺑ ﻦﯿﮐﺮﻠﮔ شور
ﻢﮐﺎﺣ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ
ﯽﺋﺰﺟ تﺎﻘﺘﺸﻣ ﺎﺑ ﻪﺑ ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﮏﯾ ﻪﺑ
ﯽﻣ ﻪﺘﻓﺮﮔ رﺎﮐ شور زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﺪﯾﺪﺟ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻦﯾا .دﻮﺷ
سﺎﯿﻘﻣ تﺎﺷﺎﺸﺘﻏا ﮔﺪﻨﭼ يﺎﻫ
ﻪﺑ ﻪﻧﺎ ﯽﻣ ﻞﺣ ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ترﻮﺻ ﯽﻧاﻮﺗ نﻮﻧﺎﻗ ﺺﺧﺎﺷ ﻞﻣﺎﺷ ﻒﻠﺘﺨﻣ يﺎﻫﺮﺘﻣارﺎﭘ تاﺮﺛا ،ﺞﯾﺎﺘﻧ ﺖﻤﺴﻗ رد .دﻮﺷ
،
ﺶﻨﺗ ﯽﻣ راﺮﻗ ﯽﺳرﺮﺑ درﻮﻣ ﺎﻫﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ ﻪﺘﺷاداو تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﺦﺳﺎﭘ ﺮﺑ ﺎﻣد تاﺮﯿﯿﻐﺗ و يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ ،ﯽﻌﺿﻮﻣﺮﯿﻏ ﺮﺘﻣارﺎﭘ ،ﯽﺤﻄﺳ ﺞﯾﺎﺘﻧ ،ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .دﺮﯿﮔ
يرﻮﺌﺗ ﻮﮔ ،ﮏﯿﺳﻼﮐ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يﺎﻫ ﻦﯿﺗر
- ﯽﻣ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﺮﮕﯾﺪﮑﯾ ﺎﺑ ﻦﮕﻨﯾرا و كادرﻮﻣ ﯽﻣ هداد نﺎﺸﻧ .ﺪﻧﻮﺷ
ﺶﻨﺗ ﺮﺛا ،ﺖﻣﺎﺨﺿ ﺶﻫﺎﮐ ﺎﺑ ﻪﮐ دﻮﺷ
ﯽﻣ ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﯽﮔﺪﻧﻮﺷ ﺖﺨﺳ ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ ﯽﮔﮋﯾو ﻞﯾﺪﻌﺗ ﺐﺒﺳ ﯽﺤﻄﺳ ﺖﻣﺎﺨﺿ رد ﺮﯿﺛﺄﺗ ﻦﯾا و دﻮﺷ
ﯽﻣ ،ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳا دﻮﻬﺸﻣ رﺎﯿﺴﺑ ﻦﯿﯾﺎﭘ يﺎﻫ ناﻮﺗ
ﺧﺮﯿﻏ رﺎﺘﻓر ،ﯽﻌﺿﻮﻣﺮﯿﻏ ﺮﺘﻣارﺎﭘ ﺶﯾاﺰﻓا ﺎﺑ ﻪﮐ ﺖﻓﺎﯾرد ﯽﻣ ﺪﯾﺪﺸﺗ ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﯽﮔﺪﻧﻮﺷ ﺖﺨﺳ ﯽﻄ
.دﻮﺷ
:نﺎﮔژاو ﺪﯿﻠﮐ ﻮﻧﺎﻧ ﺮﯿﺗ ﻪﺘﺧﺎﺳ هﺪﺷ زا داﻮﻣ ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ
تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻪﺘﺷاداو ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ
ﺮﺛا ﺶﻨﺗ ﯽﺤﻄﺳﯽﻌﺿﻮﻣﺮﯿﻏﺮﺛا
ﻞﺣ ﻖﯿﻗد
Nonlinear forced vibration analysis of functionally graded nanobeams in thermal environments by considering surface stress and nonlocal effects
Seyedeh Talieh Pourashraf, Reza Ansari*
Department of Mechanical Engineering, Guilan University, Rasht, Iran
* P.O.B. 3756, Rasht, Iran, [email protected]
ARTICLE INFORMATION ABSTRACT
Original Research Paper Received 07 August 2014 Accepted 28 August 2014 Available Online 28 October 2014
In this investigation, an exact solution is proposed for the nonlinear forced vibration analysis of nanobeams made of functionally graded materials (FGMs) in thermal environment by considering the effects of surface stress and nonlocal elasticity theory. The physical properties of FGM nanobeams are assumed to vary through the thickness direction on the basis of the power law distribution. The geometrically nonlinear equations of motion and corresponding boundary conditions are derived using Hamilton’s principle on the basis of the Euler-Bernoulli beam theory.
Using the Gurtin-Murdoch and Eringen elasticity theories, the surface stress and nonlocal effects are taken into account in the obtained equations, respectively. For the solution purpose, first, the Galerkin procedure is employed in order to reduce the nonlinear partial differential governing equation into a nonlinear ordinary differential equation. This new equation is solved analytically by the multiple scales perturbation method. In the results section, the influences of different parameters including power law index, surface stress, nonlocal parameter, boundary conditions and temperature changes on the nonlinear forced vibration response of nanobeams are investigated. Also, comparisons are made between the results obtained from the classical, Gurtin- Murdoch and Eringen elasticity theories. It is shown that as the thickness decreases, the surface stress effect moderates the hardening-type nonlinear behavior of nanobeams. This effect is more prominent at low magnitudes of thickness. Moreover, it is shown that by increasing the nonlocal parameter, the hardening-type response of nanobeams is intensified.
Keywords:
Functionally Graded Nanobeam Nonlinear Forced Vibration Surface Stress Effect Nonlocal Effect Exact Solution
1 - ﻪﻣﺪﻘﻣ ﻮﻧﺎﻧ و وﺮﮑﯿﻣ ﺖﯿﻤﻫا هزوﺮﻣا هزﺎﺳ
ﺶﯿﭘ رد ﺎﻫ ﺮﺑ ﻒﻠﺘﺨﻣ ﻊﯾﺎﻨﺻ ﻪﻌﺳﻮﺗ و دﺮﺑ
ﻢﺘﺴﯿﺳوﺮﮑﯿﻣ رد تاﺰﯿﻬﺠﺗ ﻦﯾا ناواﺮﻓ يﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ .ﺖﺴﯿﻧ هﺪﯿﺷﻮﭘ ﯽﺴﮐ يﺎﻫ
وﺮﺘﮑﻟا - ﯽﮑﯿﻧﺎﮑﻣ ﻢﺘﺴﯿﺳﻮﻧﺎﻧ و1
وﺮﺘﮑﻟا يﺎﻫ -
ﯽﮑﯿﻧﺎﮑﻣ نﺎﻘﻘﺤﻣ ﺐﯿﻏﺮﺗ ﺚﻋﺎﺑ1
نآ رﺎﺘﻓر ﻞﯿﻠﺤﺗ ياﺮﺑ ﻪﺑ و ﺖﺳا هﺪﺷ ﺎﻫ
ﺶﻫوﮋﭘ زا يرﺎﯿﺴﺑ ﻞﯿﻟد ﻦﯿﻤﻫ ﻪﺑ ﺎﻫ
1- micro-electro-mechanical systems (MEMS)
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2023-12-27 ]
ﯽﻣ فﻮﻄﻌﻣ ﻪﻨﯿﻣز ﻦﯾا ]دﻮﺷ
1،2 هزﺎﺳﻮﻧﺎﻧ نﺎﯿﻣ رد .[
ﻮﻧﺎﻧ ،ﻒﻠﺘﺨﻣ يﺎﻫ ﺎﻫﺮﯿﺗ
]ﺪﻨﺘﺴﻫ ﯽﻧاواﺮﻓ و ﻢﻬﻣ يﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ ياراد 3،4
هدﺎﻣآ ﻪﮐ ﺎﺠﻧآ زا .[
مﺎﺠﻧا و يزﺎﺳ
ﺶﯾﺎﻣزآ ر ﯽﺳرﺮﺑ ياﺮﺑ ﯽﺑﺮﺠﺗ يﺎﻫ ﻮﻧﺎﻧ رﺎﺘﻓ
ﺮﭘ و ﺖﺨﺳ رﺎﯿﺴﺑ ﺎﻫﺮﯿﺗ ﻪﻨﯾﺰﻫ
لﺪﻣ ﺎﺒﻟﺎﻏ ،ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻪﺑ رﻮﻈﻨﻣ ﻦﯾﺪﺑ يرﻮﺌﺗ يﺎﻫ
ﯽﻣ ﻪﺘﻓﺮﮔ رﺎﮐ يرﻮﺌﺗ .ﺪﻧﻮﺷ
يﺎﻫ
ﯽﮑﯿﻧﺎﮑﻣ تﺎﺼﺨﺸﻣ ﯽﺳرﺮﺑ ياﺮﺑ ﺶﺨﺑﺮﺛا ﯽﻠﺣ هار ،ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ﻂﯿﺤﻣ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ ﯽﻣ (ﻪﺑﺎﺸﻣ دراﻮﻣ و ﺶﻧﺎﻤﮐ ،ﺶﻤﺧ ،ﻪﺘﺷاداو و دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا) ﺎﻫﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ .ﺪﻨﺷﺎﺑ
يرﻮﺌﺗ ﮏﯿﻧﺎﮑﻣ يﺎﻫ ﺶﯿﭘ رد ﮏﯿﺳﻼﮐ ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ﻂﯿﺤﻣ
ﯽﮑﯿﻧﺎﮑﻣ يﺎﻫرﺎﺘﻓر ﯽﻨﯿﺑ
ﺎﺑ ﺎﺗ ﺖﺷاد نآ ﺮﺑ ار ناﺮﮕﺸﻫوﮋﭘ ﺺﻘﻧ ﻦﯾا و ﺪﻨﺘﺴﻫ ناﻮﺗﺎﻧ هزاﺪﻧا ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو يرﻮﺌﺗ ﻪﺋارا يرﻮﺌﺗ .ﺪﻧزﺎﺳ ﻊﻔﺗﺮﻣ ار ﻞﮑﺸﻣ ﻦﯾا ،هﺪﺷ حﻼﺻا يﺎﻫ ﺪﻨﻧﺎﻤﻫ ﯽﯾﺎﻫ
ﺶﻧﺮﮐ نﺎﯾداﺮﮔ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا هﺪﺷ ﻞﭘﻮﮐ ﺶﻨﺗ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا ،2
ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا و3
ﯿﻏ ﺮ ﻦﮕﻨﯾرا ﯽﻌﺿﻮﻣ اراد ار هزاﺪﻧا ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو تاﺮﺛا ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﯽﯾﺎﻧاﻮﺗ4
ﯽﻣ ]ﺪﻨﺷﺎﺑ 5،6،7 .[
ﺮﯿﻏ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يرﻮﺌﺗ ﻞﯿﻠﺤﺗ و ﯽﺳرﺮﺑ ياﺮﺑ لﻮﻤﻌﻣ يراﺰﺑا ﯽﻌﺿﻮﻣ
هزﺎﺳ ]ﺪﺷ حﺮﻄﻣ ﻦﮕﻨﯾرا ﻂﺳﻮﺗ ﻪﮐ ﺖﺳا ﮏﭼﻮﮐ دﺎﻌﺑا ﺎﺑ ﯽﯾﺎﻫ 7،8،9
ﻦﯾا رد .[
ﺮﺑ يرﻮﺌﺗ ﻪﺑ ﻪﻄﻘﻧ ﮏﯾ رد ﺶﻨﺗ ،ﮏﯿﺳﻼﮐ يرﻮﺌﺗ فﻼﺧ ﺶﻧﺮﮐ مﺎﻤﺗ
يﺎﻫ
ﻪﻨﻣاد رد دﻮﺟﻮﻣ ﺶﻫوﮋﭘ يرﻮﺌﺗ ﻦﯾا يﺎﻨﺒﻣ ﺮﺑ .ﺖﺳا ﻪﺘﺴﺑاو ﺺﺨﺸﻣ يا
يﺎﻫ
ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﯽﮑﯿﻧﺎﮑﻣ رﺎﺘﻓر ﯽﺳرﺮﺑ ياﺮﺑ ﯽﻧاواﺮﻓ ] مﺎﻣا .ﺖﺳا هﺪﺷ مﺎﺠﻧا ﺎﻫ
10 زا [
ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﯽﺸﻧﺎﻤﮐ ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ رﺎﺘﻓر يزﺎﺴﻟﺪﻣ ياﺮﺑ يرﻮﺌﺗ ﻦﯾا هدﺮﮐ هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﻫ
] يﺎﺗ .ﺖﺳا 11
ﻠﺤﺗ ياﺮﺑ يرﻮﺌﺗ ﻦﯾا زا ﺰﯿﻧ [ تﺎﺷﺎﻌﺗرا و ﺶﻧﺎﻤﮐ ،ﺶﻤﺧ ﻞﯿ
.ﺖﺳا هدﺮﺑ هﺮﻬﺑ ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﯽﻄﺧ دازآ لﺎﺳ رد هزﺎﺳ زا يرﺎﯿﺴﺑ ﺮﯿﺧا يﺎﻫ داﻮﻣ زا ﮏﭼﻮﮐ دﺎﻌﺑا ﺎﺑ ﺎﻫ
ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ
5
ﯽﻣ ﻪﺘﺧﺎﺳ و وﺮﮑﯿﻣ رد داﻮﻣ ﻦﯾا دﺎﯾز رﺎﯿﺴﺑ دﺮﺑرﺎﮐ ﺮﻣا ﻦﯾا ﻞﯿﻟد .ﺪﻧﻮﺷ
ﻮﻧﺎﻧ ﻢﺘﺴﯿﺳ وﺮﺘﮑﻟا يﺎﻫ - ﻪﻨﯿﻣز ﻦﯾا رد ﺰﯿﻧ ﯽﺗﺎﻘﯿﻘﺤﺗ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳا ﯽﮑﯿﻧﺎﮑﻣ
ا ]ﺖﺳا هﺪﺷ مﺎﺠﻧ 12،13
] ﺰﻣوا .[
14 ﻪﺘﺧﺎﺳ ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﯽﻄﺧ ﻪﺘﺷاداو تﺎﺷﺎﻌﺗرا [
ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ درﻮﻣ ﯽﻌﺿﻮﻣﺮﯿﻏ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يرﻮﺌﺗ يﺎﻨﺒﻣ ﺮﺑ ار ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ داﻮﻣ زا هﺪﺷ و ﮏﺴﻤﯿﺳ ،ﯽﻌﺿﻮﻣﺮﯿﻏ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يرﻮﺌﺗ سﺎﺳا ﺮﺑ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .داد راﺮﻗ ] ﻮﮑﺗرﻮﯾ 15 ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ [ ﺳ ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﯽﺸﻧﺎﻤﮐ و ﯽﺸﻤﺧ رﺎﺘﻓر ﺮﺑ ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ يا هﺪﺷ ﻪﺘﺧﺎ
ﺮﻠﯾوا ﺮﯿﺗ لﺪﻣ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ داﻮﻣ زا -
ﯽﻟﻮﻧﺮﺑ ﻮﮑﻨﺷﻮﻤﯿﺗ و6
.ﺪﻧدﺮﮐ ﻪﺋارا7
ﻪﺑ نآ ﻞﯿﻟد ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﻪﮐ ،ﺪﻨﺘﺴﻫ رادرﻮﺧﺮﺑ ﯽﯾﻻﺎﺑ ﻢﺠﺣ ﻪﺑ ﺢﻄﺳ ﺖﺒﺴﻧ زا ﺎﻫ
ﯽﺤﻄﺳ ﺶﻨﺗ تاﺮﺛا هزﺎﺳ ﻦﯾا ﯽﮑﯿﻧﺎﮑﻣ رﺎﺘﻓر رد ﯽﻬﺟﻮﺗ ﻞﺑﺎﻗ ﺶﻘﻧ8
.دراد ﺎﻫ
ﻦﯿﺗرﻮﮔ كادرﻮﻣ و9
]10
16 ﻪﺘﺴﯿﺘﺳﻻا يرﻮﺌﺗ [ ﻪﮐ ﺪﻧداد ﻪﺋارا ﯽﮑﯿﺳﻼﮐﺮﯿﻏ
رد ﻪﺑ ردﺎﻗ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ ﺢﻄﺳ يرﻮﺌﺗ ﻦﯾا رد .ﺖﺳا ﯽﺤﻄﺳ ﺶﻨﺗ تاﺮﺛا ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ ضﺮﻓ (ﯽﺿﺎﯾر ﺮﻈﻨﻣ زا) ﺮﻔﺻ ﺖﻣﺎﺨﺿ ﺎﺑ يﺪﻌﺑ ود (ﯽﮑﯾﺰﯿﻓ ﺮﯿﻏ) ءﺰﺟ ﮏﯾ
ﯽﻣ ﻢﺠﺣ ﻦﯾا ﺮﺑ ﯽﺷﺰﻐﻟ ﻪﻧﻮﮔ ﭻﯿﻫ و ﺖﺳا هدﺮﮐ ﻪﻃﺎﺣا ار ﯽﻠﮐ ﻢﺠﺣ ﻪﮐ دﻮﺷ
ﻫوﮋﭘ زا يرﺎﯿﺴﺑ رد يرﻮﺌﺗ ﻦﯾا .دراﺪﻧ ﻞﮐ ﺶ
ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ يﺎﻫ ﻪﺑ ﺎﻫ
رﺎﮐ
]ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺘﻓﺮﮔ 17،18
.[
ﻖﯿﻗد ﻪﭼﺮﻫ ﺖﻓﺎﯾرد ياﺮﺑ ﻮﻧﺎﻧ ﯽﮑﯿﻧﺎﮑﻣ رﺎﺘﻓر ﺮﺗ
ﺮﯿﺗ ﯽﻣ ،ﺎﻫ ﺮﺑ ﯽﻟﺪﻣ ناﻮﺗ
ﺮﯿﻏ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يرﻮﺌﺗ يﺎﻨﺒﻣ ﺶﻨﺗ تاﺮﺛا ﻪﮐ دﺮﮐ ﻪﺋارا ﯽﻌﺿﻮﻣ
ار ﯽﺤﻄﺳ يﺎﻫ
رد كادرﻮﻣ و ﻦﯿﺗرﻮﮔ يرﻮﺌﺗ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ رد لﺪﻣ ﻦﯾا يﺮﺗﺮﺑ .دﺮﯿﮕﺑ ﺮﻈﻧ
ﺶﯿﭘ ﻪﺼﺨﺸﻣ ﯽﻨﯿﺑ رد ﺎﺑ هزاﺪﻧا ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﯽﮑﯿﻧﺎﮑﻣ يﺎﻫ
ﺎﻣاﻮﺗ ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ ن
ﺖﺳا هﺪﺷ مﺎﺠﻧا ﻪﻨﯿﻣز ﻦﯾا رد ﻪﮐ ﯽﺗﺎﻘﯿﻘﺤﺗ زا .ﺖﺳا ﯽﺤﻄﺳ ﺶﻨﺗ تاﺮﺛا
1- nano-electro-mechanical systems (NEMS)
2- strain gradient elasticity 3- couple stress elasticity 4- Eringen’s nonlocal elasticity 5- Functionally graded material (FGM) 6- Euler-Bernoulli
7- Timoshenko 8- surface stress 9- Gurtin 10- Murdach
ﯽﻣ ﺶﻫوﮋﭘ ﻪﺑ ناﻮﺗ يﺎﻫ
نآ .دﺮﮐ هرﺎﺷا ﺶﻧارﺎﮑﻤﻫ و ﯽﻤﺷﺎﻫ ﯽﻨﯿﺴﺣ ﺮﯿﺛﺎﺗ ﺎﻫ
ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﯽﻄﺧ ﺮﯿﻏ دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﺮﺑ ﯽﺤﻄﺳ ﺶﻨﺗ زا هﺪﺷ ﻪﺘﺧﺎﺳ يﺎﻫ
داﻮﻣ
ﺮﯿﻏ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يرﻮﺌﺗ يﺎﻨﺒﻣ ﺮﺑ ار ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ ]ﺪﻧدﺮﮐ ﯽﺳرﺮﺑ ﯽﻌﺿﻮﻣ
19 .[
ﻢﻫ ] ﺮﮕﯾد ﯽﺸﻫوﮋﭘ رد ﻦﯿﻨﭼ 20
نآ [ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﮏﯿﺳﻼﮐ ﺮﯿﻏ ﯽﻟﺪﻣ ﺎﻫ
ﺮﯿﻏ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يرﻮﺌﺗ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ياﺮﺑ كادرﻮﻣ و ﻦﯿﺗرﻮﮔ يرﻮﺌﺗ و ﯽﻌﺿﻮﻣ
ﮏﯾﺮﺘﮑﻟاوﺰﯿﭘ داﻮﻣ زا هﺪﺷ ﻪﺘﺧﺎﺳ ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ11
ا .ﺪﻧدﺮﮐ ﻪﺋار
ﺮﯿﻏ ﯽﻟﺪﻣ ﯽﻟﺎﺧ يﺎﺟ ﻦﯿﺸﯿﭘ تﺎﻘﯿﻘﺤﺗ رد ﻊﻣﺎﺟ ﯽﺳرﺮﺑ ياﺮﺑ ﯽﻄﺧ
ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﻪﺘﺷاداو تﺎﺷﺎﻌﺗرا رد ﺎﺑ ﺎﻫ
هزﺎﺳ ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ تاﺮﺛا مﺎﻤﺗ ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ يﺎﻫ
ﯽﻣ هﺪﻫﺎﺸﻣ ،ﮏﭼﻮﮐ دﺎﻌﺑا رد ﺎﺑ ،ﺮﺿﺎﺣ ﺶﻫوﮋﭘ رد رﻮﻈﻨﻣ ﻦﯾﺪﺑ .دﻮﺷ
ﺮﻈﻧ
و كادرﻮﻣ و ﻦﯿﺗرﻮﮔ يرﻮﺌﺗ يﺎﻨﺒﻣ ﺮﺑ ﯽﺤﻄﺳ ﺶﻨﺗ تاﺮﺛا ﻦﺘﻓﺮﮔ ﻪﺘﺴﺑاو تاﺮﺛا
ﺮﯿﻏ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يرﻮﺌﺗ يﺎﻨﺒﻣ ﺮﺑ هزاﺪﻧا و دﺎﻌﺑا ﻪﺑ ﺮﯿﻏ ﯽﻟﺪﻣ ،ﻦﮕﻨﯾرا ﯽﻌﺿﻮﻣ
ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﻪﺘﺷاداو تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﯽﺳرﺮﺑ ياﺮﺑ ﯽﻄﺧ ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ داﻮﻣ زا هﺪﺷ ﻪﺘﺧﺎﺳ يﺎﻫ
ﺎﺑ ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ و ﺖﮐﺮﺣ تﻻدﺎﻌﻣ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺋارا ﯽﺗراﺮﺣ ﻂﯿﺤﻣ رد نآ نﻮﺘﻠﯿﻤﻫ ﻞﺻا زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﺎﻫ ﻪﺑ12
هﺪﻣآ ﺖﺳد ﺶﺨﭘ نﻮﻧﺎﻗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ .ﺪﻧا
ﯽﻧاﻮﺗ هﺪﺷ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﺮﯿﻐﺘﻣ ﺖﻣﺎﺨﺿ يﺎﺘﺳار رد ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ داﻮﻣ صاﻮﺧ13
ﻪﺑ و ﺖﮐﺮﺣ تﻻدﺎﻌﻣ ﻖﯿﻗد ﻞﺣ ياﺮﺑ .ﺖﺳا ﻪﺑ ﯽﺴﻧﺎﮐﺮﻓ ﺦﺳﺎﭘ ندروآ ﺖﺳد
ﻦﯿﮐﺮﻠﮔ شور زا ﺐﯿﺗﺮﺗ سﺎﯿﻘﻣ شور و14
ﻪﻧﺎﮔﺪﻨﭼ يﺎﻫ .ﺖﺳا هﺪﺷ هدﺎﻔﺘﺳا15
،ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﺖﻣﺎﺨﺿ تاﺮﺛا ﺖﯾﺎﻬﻧ رد ﮏﭼﻮﮐ سﺎﯿﻘﻣ ﺮﺘﻣارﺎﭘ
يﺎﻣد تاﺮﯿﯿﻐﺗ ،16
ﻪﯿﮑﺗ ﻂﯾاﺮﺷ ،ﻂﯿﺤﻣ ﺮﺘﻣارﺎﭘ ﺮﮕﯾد و توﺎﻔﺘﻣ ﯽﻫﺎﮔ
تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﺮﺑ ﺮﺛﻮﻣ يﺎﻫ
ﻪﺑ ﻪﺘﺷاداو .ﺖﺳا ﻪﺘﻓﺮﮔ راﺮﻗ ﯽﺳرﺮﺑ درﻮﻣ ﻞﻣﺎﮐ ترﻮﺻ
2 - ﻪﺑﺎﺟ ناﺪﯿﻣ ﺖﮐﺮﺣ ﺮﺑ ﻢﮐﺎﺣ تﻻدﺎﻌﻣ و يرﺎﺘﺧﺎﺳ ﻂﺑاور ،ﯽﯾﺎﺟ
ﻞﮑﺷ 1 ﺮﯿﺗ ﮏﯾ ﺮﯾﻮﺼﺗ ﻪﺑ ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ داﻮﻣ زا هﺪﺷ ﻪﺘﺧﺎﺳ
لﻮﻃ ﺖﻣﺎﺨﺿ و ارℎ
،ﺖﺳا هﺪﺷ ﻞﯿﮑﺸﺗ ﮏﯿﻣاﺮﺳ زا نآ ﻦﯿﯾﺎﭘ ﺢﻄﺳ و ﺰﻠﻓ زا نآ يﻻﺎﺑ ﺢﻄﺳ ﻪﮐ ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ﮏﯿﻧﻮﻣرﺎﻫ يوﺮﯿﻧ ﺮﺛا ﺖﺤﺗ .ﺪﻫد
ﯽﻣ ار ﺮﯿﺗ ﻦﯾا ﺮﺛﻮﻣ صاﻮﺧ ﻪﺑ ناﻮﺗ
) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ 1
:دﺮﮐ ﻒﯾﺮﻌﺗ (
) 1 - (ﻒﻟا ( ) = ( − ) ( ) +
) 1 - (ب ( ) = ( − ) ( ) +
) 1 - ( ) = ( − ) ( ) + (ج
) ﻪﻄﺑار رد 1
،(
،ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا لوﺪﻣ ، و نﻮﺳاﻮﭘ ﺐﯾﺮﺿ
ﺐﯾﺮﺿ
ﻢﻫ .ﺪﻨﺘﺴﻫ ﯽﺗراﺮﺣ طﺎﺴﺒﻧا ،ﻦﯿﻨﭼ
ﻪﻄﺑار زا و ﺖﺳا ﯽﻤﺠﺣ ﺮــﺴﮐ ﻊﺑﺎﺗ ( )
( ) = + ﻪﺑ
ﯽﻣ ﺖﺳد ﻪﮐ ﺪﯾآ .ﺖﺳا ناﻮﺗ نﻮﻧﺎﻗ ﺺﺧﺎﺷ
ﺮﻠﯾوا ﺮﯿﺗ يرﻮﺌﺗ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ -
] ﯽﻟﻮﻧﺮﺑ 12 ﺮﻔﺻ ﺮﯿﻏ ﻪﻔﻟﺆﻣ ﺎﻬﻨﺗ ،[
و ﺶﻧﺮﮐ
) ﻪﻄﺑار زا ﺶﻨﺗ ﺮﻔﺻ ﺮﯿﻏ ﻪﻔﻟﺆﻣ ﺎﻬﻨﺗ ًﺎﺒﻗﺎﻌﺘﻣ 2
ﯽﻣ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ( :ﺪﻧﻮﺷ
ﻞﮑﺷ 1 ﻮﻧﺎﻧ زا ﯽﯾﺎﻤﻧ نآ ﯽﺳﺪﻨﻫ تﺎﺼﺨﺸﻣ و ﺮﯿﺗ
11- piezoelectric
12- Hamilton’s principal 13- power-law distribution 14- Galerkin procedure 15- multiple scales method 16- small scale parameter
y b z
x h z
L cos(Ω )
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2023-12-27 ]
) 2 -
= − ̅ +1 (ﻒﻟا 2
) 2 -
= − ̅ +1 (ب
2 − Δ
= ⁄(1 − )
ﺶﻨﺗ لوﺪﻣ -
و ﺎﻣد
Δ = −
ﯽﻣ ﻪﮐ ﺪﻨﺷﺎﺑ
ﻢﻫ .ﺖﺳا ﻊﺟﺮﻣ يﺎﻣد ﻦﯿﻨﭼ
و ﻪﺑﺎﺟ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑ رد ﯽﺜﻨﺧ رﺎﺗ ﯽﯾﺎﺟ
يﺎﺘﺳار و ﯽﻣ و ﺪﻨﺷﺎﺑ ) زا و ﺖﺳا ﯽﺜﻨﺧ رﻮﺤﻣ نﺎﮑﻣ ̅
3 ﻪﺑ ( ﯽﻣ ﺖﺳد :ﺪﯾآ
) 3 (
̅= − , =∫ ( )
∫ ( )
] كادرﻮﻣ و ﻦﯿﺗرﻮﮔ يرﻮﺌﺗ سﺎﺳا ﺮﺑ 16
،[
و ﺶﻧﺮﮐ ﺎﺑ ﯽﺤﻄﺳ ﺶﻨﺗ ﻪﻄﺑار
ﻪﺑﺎﺟ ﯽﯾﺎﺟ :زا ﺖﺳا ترﺎﺒﻋ ﺎﻫ
) 4 -
= + ( + 2 ) −1 (ﻒﻟا 2
) 4 -
= (ب
ﮏﯿﺘﺳﻻا هدﺎﻣ ﮏﯾ رد ﯽﺸﻧﺮﮐ يژﺮﻧا ﻪﺑ ،
) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ 5
ﯽﻣ نﺎﯿﺑ ( :دﻮﺷ
) 5 (
Π =1
2 +1
2 +
=1
2 ( + ) +1
2
−( + )
،ﻪﻄﺑار ﻦﯾا رد و
ﻪﺑ ﻪﺠﺘﻨﻣ يوﺮﯿﻧ ﺮﮕﻧﺎﯿﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺠﺘﻨﻣ روﺎﺘﺸﮔ و
ﺲﯾﻮﻧﻻﺎﺑ و ﺪﻨﺘﺴﻫ يﺎﻫ
و و ﺪﻧراد هرﺎﺷا ﺢﻄﺳ و ﮏﻟﺎﺑ ﻪﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑ
ﻪﺑ ) ﻂﺑاور ترﻮﺻ 6
ﯽﻣ ( :ﺪﻨﺷﺎﺑ
) 6 - (ﻒﻟا
= +1
2 − −
) 6 -
= +1 (ب
2 − −
) 6 - (ج
= ̅ +1
2 − ℎ
2 Δ + ̅ 1−1
2
) 6 - (د
= ℎ
2 Δ +1
2 − ℎ
4 ̅ + ℎ
2 Δ 1−1 2
) ﻂﺑاور رد ﻪﮐ 6
،(
̅ = + 2 + + 2
،
Δ = + 2 − −2
،
̅ = +
و
Δ = −
.
ﻢﻫ ﻦﯿﻨﭼ ) ﻪﻄﺑار زا
7 ﯽﻣ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ( دﻮﺷ
:
) 7 (
= 1
̅̅
وﺮﯿﻧ ،ﻦﯾا ﺮﺑ هوﻼﻋ يﺎﻫروﺎﺘﺸﮔ و ﺎﻫ
ﻪﺠﺘﻨﻣ ) ﻪﻄﺑار ﺎﺑ ﻖﺑﺎﻄﻣ ﯽﺗراﺮﺣ 8
(
:ﺪﺷ ﺪﻨﻫاﻮﺧ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ
= ( ( ̅)− ) )
8
= ( ( ̅)− ) ̅ (
رد ﺎﺑ ﺮﯿﺗ ﯽﺸﺒﻨﺟ يژﺮﻧا ﺮﻈﻧ
ﻪﺑ ﺢﻄﺳ تاﺮﺛا ﻦﺘﻓﺮﮔ ) ﻪﻄﺑار ﻞﮑﺷ
9 نﺎﺸﻧ (
ﯽﻣ هداد :دﻮﺷ
) 9 Π =1 (
2 ̇ + ̇
) ﻪﻄﺑار رد ﻪﮐ 9
،(
= + ̅
و
=∫
ﻦﯾا ﺮﺑ هوﻼﻋ . دﺎﻤﻧ
) ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد ﻪﻄﻘﻧ 9
.ﺖﺳا نﺎﻣز ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ﻖﺘﺸﻣ ﺮﮕﻠﻤﻋ ﻊﻗاو رد (
وﺮﯿﻧ رﺎﮐ تاﺮﯿﯿﻐﺗ ﯽﻓﺮﻃ زا ﯽﺟرﺎﺧ يﺎﻫ
يوﺮﯿﻧ ﻞﻣﺎﺷ) (ﮏﯾﺮﺤﺗ ﮏﯿﻧﻮﻣرﺎﻫ
ﻪﺑ ﺰﯿﻧ زﻮﮑﺴﯾو ﯽﯾاﺮﯿﻣ يوﺮﯿﻧ تاﺮﯿﯿﻐﺗ و ) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ
10 ﻪﺘﺷﻮﻧ (
ﯽﻣ ]دﻮﺷ 21 :[
) 10 - (ﻒﻟا
= ( + cos(Ω ) )
+ 0 + 0 + 0
) 10 -
Π =−B ̇ + ̇ (ب
) ﻪﻄﺑار رد 10
،(
، ، ، و ﻪﺑ و يرﻮﺤﻣ يﺎﻫوﺮﯿﻧ ﺮﮕﻧﺎﯿﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ
ﯽﺸﻤﺧ روﺎﺘﺸﮔ و ﯽﺷﺮﺑ و يرﻮﺤﻣ يﺎﻫوﺮﯿﻧ ،ﺮﯿﺗ ﺮﺑ دراو لﻮﻃ ﺪﺣاو ﺮﺑ يدﻮﻤﻋ ﻢﻫ .ﺪﻨﺘﺴﻫ ﺮﯿﺗ يﺎﻬﺘﻧا ود ﺮﺑ دراو ﻦﯿﻨﭼ
و ﻪﺑΩ
و ﻪﻨﻣاد ﺮﮕﻧﺎﯿﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ
و ﺪﻨﺘﺴﻫ ﮏﯾﺮﺤﺗ ﺲﻧﺎﮐﺮﻓ ﺮﺘﺴﺑ زا ﯽﺷﺎﻧ ،زﻮﮑﺴﯾو ﯽﯾاﺮﯿﻣ ﺖﺑﺎﺛ نآ رد
ﻪﺑ تﻻدﺎﻌﻣ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ .ﺖﺳا ﺮﯿﺗ ﯽﺟرﺎﺧ ﺖﺳد
يژﺮﻧا ياﺮﺑ هﺪﻣآ و ﻞﯿﺴﻧﺎﺘﭘ يﺎﻫ
ﻪﺑ ﻪﮐ نﻮﺘﻠﯿﻤﻫ ﻞﺻا زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ،ﯽﺸﺒﻨﺟ ترﻮﺻ
∫ ( Π − Π + + Π ) = 0
ﺖﮐﺮﺣ ﺮﺑ ﻢﮐﺎﺣ تﻻدﺎﻌﻣ ،ﺖﺳا
ﻮﻧﺎﻧ ﻪﺑ ﺮﯿﺗ ) ترﻮﺻ 11 ﻣ ﻂﯾاﺮﺷ و ( ﻪﺑ ﺰﯿﻧ يزﺮ
) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ 12
ﻪﺑ ( ﺖﺳد
ﯽﻣ :ﺪﻨﯾآ
) 11 - + − ̇ = ̈ (ﻒﻟا
) 11 - ب + + cos(Ω )− ̇ = ̈ (
) 12 - (ﻒﻟا
− = 0 = 0
) 12 - ب
− + = 0 = 0 (
) 12 - ج
− = 0 = 0 (
) ﻂﺑاور رد 11
) و ( 12 ﻪﮐ دﻮﺷ ﻪﺟﻮﺗ ﻪﺘﮑﻧ ﻦﯾا ﻪﺑ ًﺎﻤﺘﺣ (
= +
و
= +
.
لاﺮﮕﺘﻧا و ﺶﻨﺗ ياﺮﺑ ﯽﻌﺿﻮﻣﺮﯿﻏ ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا يرﻮﺌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ زا يﺮﯿﮔ
ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ نآ لاﺮﮕﺘﻧا و ﺖﻣﺎﺨﺿ رد ﺶﻨﺗ بﺮﺿ ﺎﺑ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ و ﺖﻣﺎﺨﺿ
يﺮﯿﮔ
ﯽﻣ ،نآ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ يرﺎﺘﺧﺎﺳ تﻻدﺎﻌﻣ ناﻮﺗ
ﻪﻄﺑار زا ار روﺎﺘﺸﮔ و وﺮﯿﻧ ﯽﻌﺿﻮﻣﺮﯿﻏ
) 13 ﻪﺑ ( ]دروآ ﺖﺳد 22
:[
) 13 - (ﻒﻟا
−( ) = +1
2
− + ̅ +1
2 − ℎ
2Δ + ̅ 1−1
2 −
−( ) = +1
2
− + ℎ
2 Δ +1
2
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2023-12-27 ]
) 13 - ب ( − ℎ
4 ̅ + ℎ
2 Δ 1−1
213) ﻪﻄﺑار رد ﺮﺘﻣارﺎﭘ ﺮﯿﻏ ﺐﯾﺮﺿ (
ار هزاﺪﻧا تاﺮﺛا ﻪﮐ ﺖﺳا ﯽﻌﺿﻮﻣ
ﯽﻣ تﻻدﺎﻌﻣ دراو و ﺪﻨﮐ
ﻪﻧاد دﺎﻌﺑا ﺪﻨﻧﺎﻤﻫ) ﯽﻠﺧاد ﻪﺼﺨﺸﻣ لﻮﻃ نآ رد و (1
هدﺎﻣ ﺖﺑﺎﺛ ﻪﺑ ﻪﮐ ﺖﺳا يا يﺎﻫرادﻮﻤﻧ ﻖﯿﺒﻄﺗ ﻖﯾﺮﻃ زا ﺎﯾ و ﯽﺑﺮﺠﺗ ترﻮﺻ
ﻪﺑ جاﻮﻣا رﺎﺸﺘﻧا ﻪﺑ ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ ترﻮﺻ
ﯽﻣ ﺖﺳد .ﺪﯾآ
) ﻂﺑاور زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ 11
ﺎﺑ ،يرﻮﺤﻣ ﯽﺳﺮﻨﯾا و وﺮﯿﻧ زا ندﺮﮐ ﺮﻈﻨﻓﺮﺻ و (
) ﻂﺑاور ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ 13
) ﻂﺑاور ،(
14 ﻪﮐ ( ﺮﯿﻏ مﺮﻓ ،ﺪﻨﺘﺴﻫ روﺎﺘﺸﮔ و وﺮﯿﻧ ﯽﻌﺿﻮﻣ
ﯽﻣ ﻞﺻﺎﺣ :ﺪﻧﻮﺷ
) 14 - (ﻒﻟا
= +1
2 −
+ ̅ +1
2 − ℎ
2 Δ + ̅ 1−1
2 −
) 14 - (ب
= +1
2 −
+ ℎ
2 Δ +1
2 − ℎ
4 ̅ + ℎ
2 Δ 1 −1
2 −
+(e0a)2 I1Ẅ-∂
∂x N∂W
∂x -P0cos(Ωt)+BẆ
) ﻪﻄﺑار هﺪﺷ ﻪﺘﻔﮔ تﺎﯿﺿﺮﻓ ﺎﺑ 11
- ﻪﺑ (ﻒﻟا ترﻮﺻ ﯽﻣ رد = 0
ﺎﺑ .ﺪﯾآ
يﺎﺟ ) ﻪﻄﺑار يراﺬﮔ 14
- لاﺮﮕﺘﻧا رﺎﺑود ﺲﭙﺳ ،ﻪﻄﺑار ﻦﯾا رد (ﻒﻟا ﻪﻟدﺎﻌﻣ زا يﺮﯿﮔ
لﺎﻤﻋا ﺰﯿﻧ و ﻞﺻﺎﺣ
(0, ) = 0
و
( , ) = 0
مﺪﻋ يزﺮﻣ طﺮﺷ ﻪﮐ ،
) ﻪﻄﺑار ،ﺖﺳا يرﻮﺤﻣ كﺮﺤﺗ 15
ﯽﻣ ﻞﺻﺎﺣ ( ﻪﻄﺑار ،ﻪﻄﺑار ﻦﯾا ﮏﻤﮐ ﻪﺑ و دﻮﺷ
) 11 - (ب ﻪﺑ ﺰﯿﻧ ) ترﻮﺻ 16 زﺎﺑ ( ﯽﻣ ﯽﺴﯾﻮﻧ :دﻮﺷ
) ﻂﺑاور رد 15
) و ( 16 ﺐﯾاﺮﺿ ( ﺎﺗ
ﻪﺑ ) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ 17
ﻪﺑ ( ﺖﺳد
ﯽﻣ :ﺪﻨﯾآ
1- granular size
ﯽﺑ ياﺮﺑ ندﺮﮐ ﺪﻌﺑ ) ﻪﻄﺑار
16 ﺮﺘﻣارﺎﭘ ،(
ﯽﺑ يﺎﻫ ﻪﺑ يﺪﻌﺑ ترﻮﺻ ، =
، =
و =
ﺮﺘﻣارﺎﭘ ﻦﯾا زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ و هدﺮﮐ ﻒﯾﺮﻌﺗ =
،ﺎﻫ
) ﻪﻄﺑار 16 ﻪﺑ ( ﯽﺑ ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ ) ﺪﻌﺑ
18 ﯽﻣ ﯽﺴﯾﻮﻧزﺎﺑ ( ﻪﮐ ﺖﺳا ﺮﮐذ ﻞﺑﺎﻗ .دﻮﺷ
و ﯽﻣ ﺰﻠﻓ ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ ﺮﯾدﺎﻘﻣ .ﺪﻨﺷﺎﺑ
) 18 (
− − (1, )− (0, ) +
× − + + ̅ ̈ − ̈
− + ̇ − ̇ = 0
) ﻪﻄﺑار رد ﻪﮐ 18
ﯽﺑ ﺐﯾاﺮﺿ ،(
ﻪﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺪﻌﺑ ) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ
19 ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ (
هﺪﺷ :ﺪﻧا
) 19 (
= + +
ℎ , = −
2
= ℎ , =ℎ
, = ,
= −
, = ℎ
̅= , = , =Ω
3 - ﺮﯿﻏ ﻞﯿﻠﺤﺗ يرﺎﺒﺟا تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﯽﻄﺧ
ﺎﺑ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﯾﺪﺒﺗ ياﺮﺑ ) ﯽﺋﺰﺟ تﺎﻘﺘﺸﻣ
18 ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻪﺑ (
ﯽﻣ هدﺎﻔﺘﺳا ﻦﯿﮐﺮﻠﮔ ﻞﺣ شور زا ،نﺎﻣز تﺎﻘﺘﺸﻣ ﺎﺑ ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ .دﻮﺷ
ﻪﺑﺎﺟ ﻊﺑﺎﺗ شور ﻦﯾا لﺎﻤﻋا ياﺮﺑ ﻪﺑ ار ﯽﺿﺮﻋ ﯽﯾﺎﺟ
ﻊﺑﺎﺗ ود بﺮﺿ ترﻮﺻ
مﺮﻓ ﻪﺑ نﺎﮑﻣ و نﺎﻣز ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو
( , ) = ( ) ( )
رد ﻦﯾا رد ﻪﮐ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ
ﺖﻟﺎﺣ ﯽﯾﺎﻬﺘﻧا ﻂﯾاﺮﺷ ياﺮﺑ نآ ﻊﺑﺎﺗ ﻪﮐ ﺖﺳا ﺮﯿﺗ ﯽﻄﺧ ﯽﺷﺎﻌﺗرا ﺪﻣ ( )
لوﺪﺟ رد ﺮﯿﺗ ﻒﻠﺘﺨﻣ 1
هﺪﺷ ﻪﺋارا ﻢﻫ .ﺖﺳا ﻦﯿﻨﭼ نﺎﻣز ﺎﺑ ﺮﯿﻐﺘﻣ ﯽﻌﺑﺎﺗ ( )
.دﻮﺷ ﺺﺨﺸﻣ ﺪﯾﺎﺑ ﻪﮐ ﺖﺳا ﺎﺑ
نداد راﺮﻗ
( , ) = ( ) ( )
ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد
) 18 ﺪﻣ ﻞﮑﺷ ﻊﺑﺎﺗ رد ﻞﺻﺎﺣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ بﺮﺿ و ( لاﺮﮕﺘﻧا و ( )
رد نآ زا يﺮﯿﮔ
ﺗ لﻮﻃ ) ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺮﯿ 20 ﯽﻣ ﻞﺻﺎﺣ ( :دﻮﺷ
) 20 (
̈+ + + + ̇= cos
) ﻪﻄﺑار رد ﻪﮐ 20
ﻪﺑ ﺐﯾاﺮﺿ ،(
) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ 21
:ﺪﻨﺘﺴﻫ (
لوﺪﺟ 1 ﻒﻠﺘﺨﻣ ﯽﯾﺎﻬﺘﻧا ﻂﯾاﺮﺷ ﺎﺑ ﺮﯿﺗ ياﺮﺑ ﺪﻣ ﻊﺑﺎﺗ
ﺮﯿﺗ ﯽﯾﺎﻬﺘﻧا ﻂﯾاﺮﺷ
( )
ود ﻞﺼﻔﻣ ﺮﺳ sin( ) , = , = 2 , = 3
ود ﺮﺳ رادﺮﯿﮔ sinh −sin + (cosh −sin )
= sinh −sin
−cosh
= 4.7300, = 7.8532, = 10.9956
ﮏﯾ ﻞﺼﻔﻣ ﺮﺳ - ﮏﯾ -
ﺮﯿﮔ ﺮﺳ راد sin −sinh + (cosh −sin )
= sin −sinh + cosh
= 3.9966, = 7.0685, = 10.2101
) 15 (
=( − ) 2
+ ( , )− (0, ) + −
) 16 (
−( ) +
× −( − )
+ −
−( + ) + ( − )
× +
− ̇ −( ) ̇
+ cos( )
= ̈ −( ) ̈
= + ̅ , =− − ℎ
2Δ , = ̅ )
17 (
= + ℎ
2Δ , = , = ℎ 2 Δ
= ℎ 4 ̅
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2023-12-27 ]
) 21 (
= + ( − ) −( − )
̅( − )
= ( − )
̅( − ) , = ( − )
̅( − )
= ̅, = (̅ − ), =
= , =
= | − |
= | − |
=
= , =
) ﻪﻄﺑار ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ﻞﺣ ياﺮﺑ 20
سﺎﯿﻘﻣ تﺎﺷﺎﺸﺘﻏا شور زا ،(
ﺪﻨﭼ يﺎﻫ ﻪﻧﺎﮔ
ﯽﻣ هدﺎﻔﺘﺳا .دﻮﺷ
ﯽﻣ ار ﻢﺘﺴﯿﺳ ﯽﻧﺎﻣز ﺦﺳﺎﭘ ،تﺎﺷﺎﺸﺘﻏا ﮏﯿﻨﮑﺗ يﺎﻨﺒﻣ ﺮﺑ لﻮﺣ ناﻮﺗ
ﻪﺑ ) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ 22
:داد ﻂﺴﺑ (
) 22 ( ; ) = ( , , ,. . ) + ( , , ,. . ) (
+ ( , , ,. . ) +⋯
ﺪﯾﺎﺑ شور ﻦﯾا رد و
ﻪﺑ ار يﺪﻨﺑ سﺎﯿﻘﻣ يﻮﺤﻧ هراﺬﮔ ﻪﮐ دﺮﮐ
يﺎﻫ
هراﺬﮔ ﻪﺒﺗﺮﻣ نﺎﻤﻫ زا ﮏﯾﺮﺤﺗ و ﯽﯾاﺮﯿﻣ ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ ﺮﯿﻏ يﺎﻫ
]ﺪﻨﺷﺎﺑ ﯽﻄﺧ 23
رد .[
) ﻪﻄﺑار ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ ،ﺎﺠﻨﯾا 22
مﺮﺗ ( ﺮﯿﻏ يﺎﻫ ﻪﺒﺗﺮﻣ رد ﯽﻄﺧ ﯽﻣ ﺮﻫﺎﻇ
.ﺪﻧﻮﺷ
ضﺮﻓ ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ﺮﯿﻏ يﺎﻫ
يروﺮﺿ ﯽﻄﺧ ، =
و =
ﺮﻈﻧرد =
ﯽﻣ ﻪﺘﻓﺮﮔ .دﻮﺷ هزاﺪﻧا رد ﯽﺳﺎﯿﻘﻣ ياراد و ﺖﺳا شﺎﺸﺘﻏا ﺪﻌﺑ نوﺪﺑ ﺮﺘﻣارﺎﭘ
ﯽﻣ باﻮﺟ ﻪﻨﻣاد ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺪﺷﺎﺑ
.ﺖﺳا ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﯽﻄﺧ دازآ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﺲﻧﺎﮐﺮﻓ
ﺎﺑ ضﺮﻓ ﻦﯾا زا هدﺎﻔﺘﺳا ) ﻪﻄﺑار ،ﺎﻫ
20 ﻪﺑ ( ) ﻪﻄﺑار ﻞﮑﺷ 23
ﯽﻣ رد ( :ﺪﯾآ
) 23 (
̈+ + + + ̇= cos
يﺪﻨﺑ سﺎﯿﻘﻣ نﺂﻣز
ﯽﻣ ار ﻪﻧﺎﮔﺪﻨﭼ يﺎﻫ ) ﻪﻄﺑار زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ناﻮﺗ
24 (
:داد مﺎﺠﻧا ) 24 (
= , = 0,1,2,3, …
سﺎﯿﻘﻣ ﻦﯾا زا ﮏﯾ ﺮﻫ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ تﺎﻘﺘﺸﻣ ﻪﺑ ،ﯽﻧﺎﻣز يﺎﻫ
) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ 25
(
ﻪﺑ ﯽﻣ ﺖﺳد :ﺪﻨﯾآ
) 25 (
= + +⋯, = ∂
= + 2 + + 2 +⋯
يﺎﺟ ﺎﺑ ) ﻂﺑاور يراﺬﮔ 22
) و ( 25 ) ﻪﻄﺑار رد ( 23
ﺐﯾاﺮﺿ نداد راﺮﻗ ﺎﺑ و (
نآﻮﺗ ﻒﻠﺘﺨﻣ يﺎﻫ ) ﻂﺑاور ،ﺮﻔﺻ ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ
26 ﯽﻣ ﻞﺻﺎﺣ ( :ﺪﻧﻮﺷ
) 26 - (ﻒﻟا + = 0
) 26 - (ب
+ =−2( )−
) 26 - (ج
+ =1
2 +1
−2( )− −22( )
−2 − −( )
) ﻪﻄﺑار باﻮﺟ 26
- ﻪﺑ (ﻒﻟا ) ﻪﻄﺑار ﻞﮑﺷ 27
ﺪﻫاﻮﺧ ( :ﺪﺷ
) 27 ( , , ) = ( , ) exp( ) (
+ ̅( , )exp(− ) ) ﻪﻄﺑار رد
27 ،(
و ﺖﺳا ﻂﻠﺘﺨﻣ ﻊﺑﺎﺗ ﮏﯾ
̅ﺎﯿﺑ ياﺮﺑ .ﺖﺳا نآ جودﺰﻣ ﺮﮕﻧ
ﯽﻣ ضﺮﻓ ،ﻪﯿﻟوا ﮏﯾﺮﺤﺗ ﯽﺳرﺮﺑ ﻪﺑ ﮏﯾدﺰﻧ رﺎﯿﺴﺑ ﮏﯾﺮﺤﺗ ﺲﻧﺎﮐﺮﻓ ﻪﮐ دﻮﺷ
ﯽﻨﻌﯾ ،ﺪﺷﺎﺑ ﻢﺘﺴﯿﺳ ﯽﻄﺧ ﯽﻌﯿﺒﻃ ﺲﻧﺎﮐﺮﻓ
Ω= + ε
. ﺮﺘﻣارﺎﭘ مﺎﻧ ﻪﺑ
ﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ ﺪﯾﺪﺸﺗ زا فاﺮﺤﻧا و ﮏﯾﺮﺤﺗ ﺲﻧﺎﮐﺮﻓ ﻦﯿﺑ فﻼﺘﺧا راﺪﻘﻣ و دﻮﺷ
ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ار ﻪﻃﻮﺑﺮﻣ ﻢﺘﺴﯿﺳ ﯽﻄﺧ ﯽﻌﯿﺒﻃ ﺲﻧﺎﮐﺮﻓ يﺎﺟ ﺎﺑ .ﺪﻫد
يراﺬﮔ
Ω= + ε
) ﻪﻄﺑار رد 26 - ) ﻪﻄﺑار ،(ب 28
ﻪﺑ ( :ﺪﻣآ ﺪﻫاﻮﺧ ﺖﺳد
) 28 (
+ = 2 ( ̅)−2 ̅
+ _ − _ −2 ( ) + −
ﻞﺣ طﺮﺷ ﻞﮑﺷ زا ﺖﻌﻧﺎﻤﻣ ﻻﺎﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ يﺮﯾﺬﭘ گرﺰﺑ رﺎﯿﺴﺑ تﻼﻤﺟ يﺮﯿﮔ
ﯽﻣ ﯽﻧﺎﻣز ﺦﺳﺎﭘ رد ﻪﻠﻤﺟ ﺐﯾﺮﺿ فﺬﺣ ياﺮﺑ .ﺪﺷﺎﺑ
) ﻪﻄﺑار ﺪﯾﺎﺑ ، 29
(
ﺮﺑ :ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗ
) 29 (
−2 d ( , )
d = 0 →A = A( )
رد ﺎﺑ ﺮﻈﻧ ) ﻪﻄﺑار ﻦﺘﻓﺮﮔ 29
) ﻪﻄﺑار رد ( 28
) ﻪﻄﺑار ،(
30 ﯽﻣ ﻞﺻﺎﺣ ( :دﻮﺷ
) 30
+ =− −2 ̅ (
− ̅
) ﻪﻄﺑار ﯽﺻﻮﺼﺧ باﻮﺟ 30
ﻪﺑ ،(
) ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ 31
:ﺖﺳا (
) 31
= 3 −2 ̅ (
+ ̅
327) ﻂﺑاور يراﺬﮔيﺎﺟ ﺎﺑ ) و (
31 ) ﻪﻄﺑار رد ( 26
- راﺮﻗ ﺮﻔﺻ ﺮﺑاﺮﺑ و (ج
) ﻪﻄﺑار ،گرﺰﺑ تﻼﻤﺟ نداد 32
ﯽﻣ ﻖﻘﺤﻣ ( :دﻮﺷ
) 32 (
−2 ( ) + ̅ −3 ̅ − =0
) ﻪﻄﺑار 32 نآ ﻞﺣ ياﺮﺑ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻂﻠﺘﺨﻣ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﮏﯾ (
A( )
ﻪﺑ ار ﯽﺒﻄﻗ ﻊﺑﺎﺗ ترﻮﺻ
= ( ) exp iϕ( )
ﺎﺑ و هدﺮﮐ ضﺮﻓ
يﺎﺟ ) ﻪﻄﺑار رد نآ يراﺬﮔ 32
ود ،ﯽﻘﯿﻘﺣ و ﻂﻠﺘﺨﻣ تﻼﻤﺟ ندﺮﮐ اﺪﺟ و ،(
ﺮﺑ ﻢﮐﺎﺣ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ و
ﻪﺑϕ
) ﻂﺑاور ترﻮﺻ 33
ﻪﺑ ( ﯽﻣ ﺖﺳد مزﻻ .ﺪﻨﯾآ
ﻪﮐ ﺖﺳا ﺮﮐذ ﻪﺑ و
ﯽﻣ ﯽﻘﯿﻘﺣ ﻊﺑاﻮﺗϕ
.ﺪﻨﺷﺎﺑ
) 33 - d (ﻒﻟا
d = 2 sin σ −ϕ − 2
) 33 - d∅ (ب
d =−2 cos σ −ϕ −8
) ﻂﺑاور رد 33
،(
= −3
ﻞﮑﺷ ﻪﺑ ﺪﯾﺪﺟ ﺮﯿﻐﺘﻣ ﮏﯾ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺎﺑ .
γ = σ − ϕ
فﺬﺣ و ) ﻂﺑاور زاϕ
33 ) ﻂﺑاور ،(
34 ﯽﻣ ﻪﺠﯿﺘﻧ ( :ﺪﻧﻮﺷ
) 34 - d (ﻒﻟا
d = 2 sinγ −2
) 34 - dγ (ب
d = σ+ 2 cosγ+ 8
،راﺪﯾﺎﭘ ﺖﻟﺎﺣ ضﺮﻓ ﺎﺑ
= = 0
) ﻂﺑاور زا ، 34
) ﻪﻄﺑار ،(
35 ﻞﺻﺎﺣ (
:ﺪﺷ ﺪﻫاﻮﺧ ) 35 2 + 8 + σ = 2 (
4 - ﺎﻣد ﻊﯾزﻮﺗ
ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﻪﺼﺨﺸﻣ ياراد ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ داﻮﻣ زا هﺪﺷ ﻪﺘﺧﺎﺳ رد ﯽﺗوﺎﻔﺘﻣ ﯽﺗراﺮﺣ يﺎﻫ
ﻼﻣﺎﮐ نآ رد ﺖﺧاﻮﻨﮑﯾ يﺎﻣد ﻊﯾزﻮﺗ ضﺮﻓ ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ .ﺖﺳا ﺖﻣﺎﺨﺿ يﺎﺘﺳار ﯽﻣ ﺖﺳردﺎﻧ ﻪﺑ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺪﺷﺎﺑ
يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ ،ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ حﻮﻄﺳ ندﻮﺒﻧ نﺎﺴﮑﯾ ﻞﯿﻟد
ﯽﻣ توﺎﻔﺘﻣ نآ رد ﺎﻣد زا ﺪﻨﺗرﺎﺒﻋ يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ ﻦﯾا .ﺪﺷﺎﺑ
و =
− =
ﯽﻣ ﯽﮑﯿﻣاﺮﺳ و يﺰﻠﻓ حﻮﻄﺳ ياﺮﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑ ﻪﮐ ﻊﯾزﻮﺗ .ﺪﻨﺷﺎﺑ
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2023-12-27 ]
ﯽﻣ ار ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ داﻮﻣ زا هﺪﺷ ﻪﺘﺧﺎﺳ ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ رد ﺎﻣد لﺎﻘﺘﻧا ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﺣ ﺎﺑ ناﻮﺗ
) ﻪﻄﺑار ،ﺖﯾاﺪﻫ تراﺮﺣ 36
ﻪﺑ ،(
:دروآ ﺖﺳد
) 36
= 0 (
) ﻪﻄﺑار رد ﯽﺗراﺮﺣ يزﺮﻣ ﻂﯾاﺮﺷ لﺎﻤﻋا ﺎﺑ 36
) ﯽﻄﺧ يﺎﻣد ﻊﯾزﻮﺗ ، ( 37
(
ﻪﺑ ﯽﻣ ﺖﺳد :ﺪﯾآ
) 37
= + (
2 + ( − )ℎ
5 - نآ ﯽﺳرﺮﺑ و ﺮﯿﺴﻔﺗ ،ﺞﯾﺎﺘﻧ ﺎﻫ
ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ ﻪﺘﺷاداو تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﺮﺑ ﺮﺛﻮﻣ يﺎﻫﺮﺘﻣارﺎﭘ ﯽﺳرﺮﺑ رﻮﻈﻨﻣ ﻪﺑ ﺶﺨﺑ ﻦﯾا رد ﺦﺳﺎﭘ يﺎﻫرادﻮﻤﻧ ،ﯽﺗراﺮﺣ ﻂﯿﺤﻣ رد ﺪﻨﻤﻓﺪﻫ داﻮﻣ زا هﺪﺷ ﻪﺘﺧﺎﺳ ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ هﺪﺷ ﻪﺋارا ﯽﺴﻧﺎﮐﺮﻓ ﻮﻧﺎﻧ هﺪﻨﻫد ﻞﯿﮑﺸﺗ داﻮﻣ ﯽﮑﯿﻧﺎﮑﻣ صاﻮﺧ .ﺖﺳا
رد ﺮﯿﺗ
لوﺪﺟ 2 . ﺖﺳا هﺪﺷ هدروآ
ﻞﮑﺷ ﯽﻣﺎﻤﺗ رد ﻪﺑ ،ﺎﻫ
ﺮﺘﻣارﺎﭘ زا ﺮﯿﻏ ﺮﺘﻣارﺎﭘ ﺮﯾﺎﺳ ،ﻞﮑﺷ رد ﺮﯿﻐﺘﻣ يﺎﻫ
ﺎﻫ
ﻪﺑ لدﺎﻌﻣ ﮏﯾﺮﺤﺗ يوﺮﯿﻧ ﻪﻨﻣاد ترﻮﺻ 01
/0 لدﺎﻌﻣ لﻮﻃ ﻪﺑ ﺖﻣﺎﺨﺿ ﺖﺒﺴﻧ ،
20 لدﺎﻌﻣ ﯽﯾاﺮﯿﻣ ﺐﯾﺮﺿ ، 05
/0 ﺮﺑاﺮﺑ ﺎﻣد فﻼﺘﺧا ، 100
ﯽﺑ ﺐﯾﺮﺿ ،ﻪﺟرد ﺪﻌﺑ
ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﯽﻌﺿﻮﻣﺮﯿﻏ 1/
0 ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﺮﯿﺗ ﺖﻣﺎﺨﺿ ، 2
ﺮﺑاﺮﺑ ﯽﺴﻧﺎﮐﺮﻓ ﺖﺒﺴﻧ و ﺮﺘﻣﻮﻧﺎﻧ
ﺎﺑ 1/
0 هﺪﺷ ضﺮﻓ ﻢﻫ .ﺪﻧا ﻞﮑﺷ ﯽﻣﺎﻤﺗ رد ﻦﯿﻨﭼ ﻞﮑﺷ يﺎﻨﺜﺘﺳا ﻪﺑ ﺎﻫ
يﺎﻫ 2 و
3 ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ناﻮﺗ نﻮﻧﺎﻗ ﺺﺧﺎﺷ راﺪﻘﻣ ، 1
هﺪﺷ ضﺮﻓ ﺖﺳا ﯽﺑ و ﺮﻔﺻ ﺮﯾدﺎﻘﻣ.
ﺖﯾﺎﻬﻧ
ياﺮﺑ ﻪﺑ ﻟﺎﺣ ﺮﮕﻧﺎﯿﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ .ﺪﻨﺘﺴﻫ ﺺﻟﺎﺧ ﮏﯿﻣاﺮﺳ و ﺺﻟﺎﺧ ﺰﻠﻓ ﺖ
ﻞﮑﺷ رد 2 ﻢﺘﺴﯿﺳ ﯽﺴﻧﺎﮐﺮﻓ ﺦﺳﺎﭘ رادﻮﻤﻧ ﺮﺑ ﯽﻧاﻮﺗ نﻮﻧﺎﻗ ﺺﺧﺎﺷ ﺮﯿﺛﺎﺗ
هﺪﺷ ﻢﺳر نﺎﻤﻫ .ﺖﺳا نﻮﻧﺎﻗ ﺺﺧﺎﺷ ﺶﯾاﺰﻓا ﺎﺑ ،ﺖﺳا هﺪﻫﺎﺸﻣ ﻞﺑﺎﻗ ﻪﮐ ﻪﻧﻮﮔ
ﻞﻘﺘﻨﻣ ﺮﺘﮔرﺰﺑ ﮏﯾﺮﺤﺗ ﺲﻧﺎﮐﺮﻓ ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﻪﺑ راﺪﯾﺎﭘ ﺦﺳﺎﭘ ﻪﻨﻣاد ﻪﻨﯿﺸﯿﺑ ،ﯽﻧاﻮﺗ ﯽﻣ رﺎﺘﻓر زوﺮﺑ زا نﺎﺸﻧ ﻦﯾا .دﻮﺷ ﯽﮔﺪﻧﻮﺷ ﺖﺨﺳ
ﺺﺧﺎﺷ ناﺰﯿﻣ ﺶﯾاﺰﻓا ﺎﺑ ﺮﯿﺗ1
ﻪﺑ ﺎﯾ ناﻮﺗ نﻮﻧﺎﻗ ﺺﺧﺎﺷ ﺶﯾاﺰﻓا ﺎﺑ .دراد ﯽﻧاﻮﺗ نﻮﻧﺎﻗ زﺎﻓ ﺮﯿﯿﻐﺗ ،ﺮﮕﯾد ترﺎﺒﻋ
ﯽﺘﻔﺳ ،ﺺﻟﺎﺧ ﮏﯿﻣاﺮﺳ ﻪﺑ ﺺﻟﺎﺧ ﺰﻠﻓ زا ﻢﺘﺴﯿﺳ ﯽﻣ ﺶﯾاﺰﻓا ﻢﺘﺴﯿﺳ2
ﻪﮐ ﺪﺑﺎﯾ
ﯽﻣ ﺰﯿﻧ ﻦﯾا ﻪﺑ ﺮﺠﻨﻣ ﻢﺘﺴﯿﺳ ﯽﻌﯿﺒﻃ ﺲﻧﺎﮐﺮﻓ ﺶﯾاﺰﻓا ﺮﺑ هوﻼﻋ دﻮﺧ ﻦﯾا دﻮﺷ
ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ تاﺮﺛا ﻪﮐ .ﺪﻨﺷﺎﺑ راﺬﮔﺮﯿﺛﺎﺗ ﯽﺴﻧﺎﮐﺮﻓ ﺦﺳﺎﭘ رد ﺮﺘﺸﯿﺑ ﻢﺘﺴﯿﺳ ﻪﺳﺪﻨﻫ
ﯽﻣ هﺪﻫﺎﺸﻣ رادﻮﻤﻧ ﯽﻧاﻮﺗ نﻮﻧﺎﻗ ﺺﺧﺎﺷ ناﺰﯿﻣ رد كﺪﻧا ﺶﻫﺎﮐ ﺎﺑ ﻪﮐ دﻮﺷ
ﯽﻣ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻪﻨﻣاد رد يدﺎﯾز شﺮﭘ رﺎﭼد ﻪﺑ شﺮﭘ ﻦﯾا .دﻮﺷ
ﻢﺘﺴﯿﺳ رﺎﺘﻓر ﻞﯿﻟد
ﯽﻣ راﺪﯾﺎﭘ ﺦﺳﺎﭘ ﻪﺑ نﺪﯿﺳر ياﺮﺑ ﺪﺷﺎﺑ
.
لوﺪﺟ 2 ﮑﯿﻠﯿﺳ و مﻮﯿﻨﯿﻣﻮﻟآ ﯽﮑﯿﻧﺎﮑﻣ صاﻮﺧ نﻮ
1. Hardening behavior
2. Stiffness
يراﺪﯾﺎﭘ نداد ﺖﺳد زا ﺎﺑ و ﻢﺘﺴﯿﺳ ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ رﺎﺘﻓر زا ﯽﺷﺎﻧ شﺮﭘ هﺪﯾﺪﭘ ﺐﺟﻮﻣ ،ﮏﯾﺮﺤﺗ ﺲﻧﺎﮐﺮﻓ رد كﺪﻧا تاﺮﯿﯿﻐﺗ ،هﺪﯾﺪﭘ ﻦﯾا رد .ﺖﺳا هاﺮﻤﻫ ﻢﺘﺴﯿﺳ
ﯽﻣ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻪﻨﻣاد رد دﺎﯾز تاﺮﯿﯿﻐﺗ دﻮﺷ
،تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻪﻨﻣاد ﻪﻨﯿﺸﯿﺑ رد ﻊﻗاو رد .
ﺮﯿﯿﻐﺗ ﯽﮐﺪﻧا ﺎﺑ راﺪﯾﺎﭘﺎﻧ ﺖﻟﺎﺣ ﻪﺑ راﺪﯾﺎﭘ ﺖﻟﺎﺣ زا ﻢﺘﺴﯿﺳ ﮏﯾﺮﺤﺗ ﺲﻧﺎﮐﺮﻓ رد
ﯽﻣ شﺮﭘ هﺪﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﻞﮑﺷ رد ﻢﻫ راﺪﯾﺎﭘﺎﻧ و راﺪﯾﺎﭘ ﺦﺳﺎﭘ هدوﺪﺤﻣ .ﺪﻨﮐ
ﻢﻫ .ﺖﺳا ود هﺎﮔ ﻪﯿﮑﺗ ﺎﺑ ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ ﻪﮐ ﺖﺳا ﺺﺨﺸﻣ ﻦﯿﻨﭼ ياراد رادﺮﯿﮔ ﺮﺳ
ﻪﯿﮑﺗ ﺮﯾﺎﺳ نﺎﯿﻣ رد ﯽﺘﻔﺳ ﻦﯾﺮﺘﺸﯿﺑ هﺎﮔ
ﯽﻣ ﺎﻫ .ﺪﺷﺎﺑ
ﻞﮑﺷ 3 ﻨﻣاد ﻪﻨﯿﺸﯿﺑ تاﺮﯿﯿﻐﺗ يازا ﻪﺑ ﻢﻫ زﺎﺑ ار ﮏﯾﺮﺤﺗ ﻪﻨﻣاد ﺎﺑ شﺎﻌﺗرا ﻪ
ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ﯽﻧاﻮﺗ نﻮﻧﺎﻗ ﺺﺧﺎﺷ ﻒﻠﺘﺨﻣ ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﻞﻣﺎﻋ ﮏﯾﺮﺤﺗ ﻪﻨﻣاد .ﺪﻫد
لﺮﺘﻨﮐ
.ﺖﺳا تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻪﻨﻣاد هﺪﻨﻨﮐ ﯽﻣ هﺪﯾد ﻢﻫ رادﻮﻤﻧ ﻦﯾا رد شﺮﭘ هﺪﯾﺪﭘ ﻒﻟا ﻪﻄﻘﻧ رادﻮﻤﻧ ﻦﯾا رد .دﻮﺷ
ﺪﻌﺑ نوﺪﺑ ﺲﻧﺎﮐﺮﻓ يازا ﻪﺑ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻪﻨﻣاد ﻪﻨﯿﺸﯿﺑ ﺎﺑ ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ ﻞﮑﺷ رد ﮏﯾﺮﺤﺗ
2 ﯽﻣ هﺪﻫﺎﺸﻣ .ﺖﺳا ،ﺺﻟﺎﺧ ﮏﯿﻣاﺮﺳ ﻪﺑ ﺺﻟﺎﺧ ﺰﻠﻓ زا زﺎﻓ ﺮﯿﯿﻐﺗ ﺎﺑ ﻪﮐ دﻮﺷ
ﯽﻣ ﻢﮐ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻪﻨﻣاد ﻪﻨﯿﺸﯿﺑ ﻢﻫ .دﻮﺷ
ناﺰﯿﻣ ﻪﮐ ﺖﺳا هﺪﻫﺎﺸﻣ ﻞﺑﺎﻗ ﻦﯿﻨﭼ
ود ﯽﯾﺎﻬﺘﻧا ﻂﯾاﺮﺷ ﺎﺑ ﺮﯿﺗ رد شﺮﭘ عﺎﻔﺗرا هﺎﮔ ﻪﯿﮑﺗ ﺮﯾﺎﺳ زا ﻞﺼﻔﻣ ﺮﺳ
ﺮﺘﺸﯿﺑ ﺎﻫ
.ﺖﺳا ﻞﮑﺷ يﺎﻫ 4 و 5 ﻪﺑ ، ﺦﺳﺎﭘ رادﻮﻤﻧ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﻨﯿﺸﯿﺑ تاﺮﯿﯿﻐﺗ و ﯽﺴﻧﺎﮐﺮﻓ
يرﻮﺌﺗ ياﺮﺑ ﮏﯾﺮﺤﺗ ﻪﻨﻣاد ﺎﺑ شﺎﻌﺗرا ﻪﻨﻣاد ﯽﻣ ﻒﻠﺘﺨﻣ يﺎﻫ
.ﺪﻨﺷﺎﺑ
راﺮﻗ ﺮﻔﺻ ﺮﺑاﺮﺑ ﺎﺑ رﻮﻈﻨﻣ ﻦﯾﺪﺑ ﺮﯿﻏ ﺐﯾﺮﺿ نداد
ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ ﺞﯾﺎﺘﻧ ﯽﻌﺿﻮﻣ
ﺮﺘﻣارﺎﭘ ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ ﺐﯾاﺮﺿ نداد راﺮﻗ ﺮﻔﺻ ﺮﺑاﺮﺑ ﺎﺑ و ﯽﺤﻄﺳ ﺶﻨﺗ يرﻮﺌﺗ يﺎﻫ
ﺮﯿﻏ يرﻮﺌﺗ ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ ﺞﯾﺎﺘﻧ ،ﺢﻄﺳ ﻢﺳر ﯽﻌﺿﻮﻣ
نآ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﻪﺑ و هﺪﺷ ﺞﯾﺎﺘﻧ ﺎﺑ ﺎﻫ
هﺪﺷ ﻪﺘﺧادﺮﭘ ﮏﯿﺳﻼﮐ يرﻮﺌﺗ زا ﻞﺻﺎﺣ .ﺖﺳا
ﻞﮑﺷ رد 4 نﺎﻤﻫ ، ﺮﯿﻏ يرﻮﺌﺗ ،ﺖﺳا ﺺﺨﺸﻣ ﻪﮐ ﻪﻧﻮﮔ رﺎﺘﻓر ﯽﻌﺿﻮﻣ
ﺖﺨﺳ يرﻮﺌﺗ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ يﺮﺘﺸﯿﺑ ﯽﮔﺪﻧﻮﺷ دﻮﺧ زا ﯽﺤﻄﺳ ﺶﻨﺗ و ﮏﯿﺳﻼﮐ يﺎﻫ
ﯽﻣ نﺎﺸﻧ .ﺪﻫد
ﻞﮑﺷ 2 ﯽﻧاﻮﺗ ﺺﺧﺎﺷ ﺮﯿﺛﺎﺗ ﻪﺘﺷاداو ﺪﻌﺑ نوﺪﺑ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻪﻨﻣاد ﻪﻨﯿﺸﯿﺑ تاﺮﯿﯿﻐﺗ ﺮﺑ
ﯽﺴﻧﺎﮐﺮﻓ ﺖﺒﺴﻧ تاﺮﯿﯿﻐﺗ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ﺮﯿﺗﻮﻧﺎﻧ
هدﺎﻣ ﺖﯿﺻﻮﺼﺧ نﻮﮑﯿﻠﯿﺳ
مﻮﯿﻨﯿﻣﻮﻟآ
ﻪﺘﯿﺴﯿﺘﺳﻻا لوﺪﻣ
(GPa)
210 5/
68
نﻮﺳآﻮﭘ ﺐﯾﺮﺿ 24
/0 35
/0
ﯽﻟﺎﮕﭼ
(kgm-3)
2331 3000
ﯽﺗراﺮﺣ طﺎﺴﺒﻧا ﺐﯾﺮﺿ
(K-1) 6
10-
×
6 5 10-
× 6/
23
ﺢﻄﺳ ﻪﻣﻻ ﺖﺑاﻮﺛ
(Nm-1)
774 /2 - 376 /0 -
488 /4 - 842 /6
ﺢﻄﺳ ﺪﻧﺎﻤﺴﭘ ﺶﻨﺗ
(Nm-1)
6048 /0 9108 /0
ﯽﺤﻄﺳ ﯽﻟﺎﮕﭼ
(kgm-2) 7
10-
× 17
7 /3 10-
× 46 /5
-0.2 -0.10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.2
0.4 0.6 0.8 1
-0.20 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
-0.20 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.020.04 01
ﺪﻌﺑ نوﺪﺑ ﯽﺴﻧﺎﮐﺮﻓ ﺖﺒﺴﻧ
ﮏﯾ رادﺮﯿﮔ ﺮﺳ - ﮏﯾ
ﻞﺼﻔﻣ ﺮﺳ ﺪﻌﺑ نوﺪﺑ ﯽﺴﻧﺎﮐﺮﻓ ﺖﺒﺴﻧ
ﺪﻌﺑ نوﺪﺑ ﯽﺴﻧﺎﮐﺮﻓ ﺖﺒﺴﻧ
ﺪﻌﺑنوﺪﺑتﺎﺷﺎﻌﺗراﻪﻨﻣادﻪﻨﯿﺸﯿﺑ
ﺪﻌﺑنوﺪﺑتﺎﺷﺎﻌﺗراﻪﻨﻣادﻪﻨﯿﺸﯿﺑ
ود
ﻞﺼﻔﻣ ﺮﺳ رادﺮﯿﮔﺮﺳود
ﮏﯿﻣاﺮﺳ k=1 k=2 ﺰﻠﻓ
ﺪﻌﺑنوﺪﺑتﺎﺷﺎﻌﺗراﻪﻨﻣادﻪﻨﯿﺸﯿﺑ
راﺪﯾﺎﭘ
راﺪﯾﺎﭘ ﺎﻧ راﺪﯾﺎﭘ
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2023-12-27 ]
