هﺪ ﺸاد مﻮﻋ
ﯽ زﻮ آ هو د رﺎﮐ و تﺎﯿ ﺎﯾر
نﺎﯾﺎﭘ
ﮫﺟرد تﻓﺎﯾرد یارﺑ ﮫﻣﺎﻧ ﺳﺎﻧﺷرﺎﮐ
ﯽ دﺷرا
رد ﮫﺗﺷر ضﺣﻣ ﯽﺿﺎﯾر شﯾارﮔ
رﺑﺟ
لوﺪﻣﺮﯾز يﺎﻫ
- 2 لوﺪﻣ زا ﮏﯿﺳﻼﮐ بذﺎﺟ ﻪﻘﻠﺣ يور هاﻮﺨﻟد يﺎﻫ
ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ يﺎﻫ
رﮕﺷھوژﭘ :
ﯽﻣﺎظﺗﻧا دﻧوﯾﻠﻋ ﺎﯾور ﺎﻣﻧھار دﺎﺗﺳا :
رﺗﮐد روﭘ نﻣﮭﺑ لﺎﻣﮐ
روﺎﺷﻣ دﺎﺗﺳا :
ﯽﻣﺳﺎﻗ ردﺎﻗ رﺗﮐد دادرﻣ 97
ناوﻧﻋ :روآدﯾدﭘ مﺎﻧ و لوﺪﻣﺮﯾز
يﺎﻫ - 2 لوﺪﻣ زا ﮏﯿﺳﻼﮐ بذﺎﺟ ﻪﻘﻠﺣ يور هاﻮﺨﻟد يﺎﻫ
ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ يﺎﻫ ﯽﻣﺎﻈﺘﻧا ﺪﻧﻮﯿﻠﻋ ﺎﯾور–
دﺎﺗﺳا ﺎﻣﻧھار : رﺗﮐد
روﭘ نﻣﮭﺑ لﺎﻣﮐ
دﺎﺗﺳا :روﺎﺷﻣ رﺗﮐد
ﯽﻣﺳﺎﻗ ردﺎﻗ
ﺦﯾرﺎﺗ :عﺎﻓد 23
/ 05 / 97
دادﻌﺗ ﺣﻔﺻ :تﺎ 51
.ص
نﺎﯾﺎﭘ هرﺎﻣﺷ :ﮫﻣﺎﻧ
ﺎﭘ هرﺎﻣﺷ / هورﮔ مﺎﻧ
ﯾ نﺎ ﮫﻣﺎﻧ
:هدﯾﮑﭼ نﺎﯾﺎﭘ ﻦﯾا رد ،ﻪﻣﺎﻧ
ﻪﻘﻠﺣ ﯽﻣﺎﻤﺗ هﺪﺷ ضﺮﻓ ﺮﻔﺻ ﺮﯿﻏ ﯽﻧﺎﻤﻫ ﺎﺑ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺎﻫ
ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .ﺪﻧا ﮏﯾ
- .ﺪﺷﺎﺑ لوﺪﻣ ﺾﺤﻣ لوﺪﻣﺮﯾز
زا
ﺮﻫ ياﺮﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﺪﻨﯾﻮﮔ ﮏﯿﺳ ﻼﮐ لوا لوﺪﻣﺮﯾز ار ﺮﺻ ﺎﻨﻋ و ∈
, ∈ زا ﻪﮐ دﻮﺷ ﻪﺠﯿﺘﻧ ∈
ﺎﯾ ∈ ﺎﻣ . ∈
لوﺪﻣﺮﯾز مﻮﻬﻔﻣ يﺎﻫ
- 2 لوﺪﻣﺮﯾز زا ﯽﻤﯿﻤﻌﺗ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ ار ﮏﯿﺳﻼﮐ بذﺎﺟ ﯽﻣ ﯽﻓﺮﻌﻣ ﮏﯿﺳﻼﮐ لوا يﺎﻫ
.ﻢﯿﻨﮐ ﻢﯿﺋﻮﮔ ﺾﺤﻣ لوﺪﻣﺮﯾز زا
لوﺪﻣﺮﯾز ﮏﯾ - 2
ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﺖـــﺳا ﮏﯿـــﺳﻼﮐ بذﺎﺟ , , ∈
و زا ∈
دﻮـــﺷ ﻪﺠﯿﺘﻧ ∈ ﺎﯾ ∈
ﺎﯾ ∈ . ∈
هژاو :یدﯾﻠﮐ یﺎھ لوﺪﻣﺮﯾز ،ﮏﯿﺳﻼﮐ لوا لوﺪﻣﺮﯾز
- 2 ﮏﯿﺳﻼﮐ بذﺎﺟ
بﻟﺎطﻣ تﺳرﮭﻓ
-1
ﻢــــــــﯿــــــــﻫﺎــــــــﻔــــــــﻣ و ﻒــــــــﯾرﺎــــــــﻌــــــــﺗ
...ﯽﺗﺎﻣﺪﻘﻣ ...
....
...
...
1
-1 - 1 يرادﺮﺑ يﺎﻀﻓ ...
..
...
...
...
...
...
...
...
2
-1 -2
ﻪــــــــــــــــــﻘــــــــــــــــــﻠــــــــــــــــــﺣ و هوﺮــــــــــــــــــﮔ
...
..
...
...
. ...
...
...
...
...
...
5
- 2 لوﺪﻣ لوﺪﻣ و ﺎﻫ يﺎﻫ
- 2 بذﺎﺟ ...
..
...
...
...
...
...
...
...
15
-2 -1 لوﺪـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻣ
...
..
...
...
...
...
...
...
. ...
...
16
-2 -2 لوﺪــــــــــــــــﻣﺮــــــــــــــــﯾز
يﺎــــــــــــــــﻫ -2
بذﺎــــــــــــــــﺟ
...
..
...
..
...
...
....
...
...
...
...
21
- 3 ﺮﯾز لوﺪﻣ يﺎﻫ - 2 بذﺎﺟ ﻪﻘﻠﺣ يور ﮏﯿﺳﻼﮐ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ يﺎﻫ
...
...
...
..
...
...
...
24
-3 -1 لوﺪـــــــــﻣﺮـــــــــﯾز يﺎـــــــــﻫ
-2 ﮏـــــــــﯿــــــــــــﺳﻼـــــــــﮐ بذﺎـــــــــﺟ
...
..
...
...
...
...
...
25
-3 -2 تﺎــــﯿـــــــﺻﻮـــــــﺼﺧ ﯽـــــــﺳرﺮــــﺑ لوﺪــــﻣﺮــــﯾز
يﺎــــﻫ -2
بذﺎــــﺟ ﮏــــﯿـــــــﺳﻼــــﮐ
...
..
...
...
...
....
...
...
...
27
-4 ﻊﺑﺎﻨﻣ ...
...
...
...
...
. ...
50
ب
ﻪﻣﺪﻘﻣ
نﺎﯾﺎﭘ ﻦﯾا ﺮﺳﺎﺗﺮﺳ رد هدﺮﮐ ضﺮﻓ ،ﻪﻣﺎﻧ
ﻪﻘﻠﺣ ﯽﻣﺎﻤﺗ ﻪﮐ ﻢﯾا ﻒﻟﺎﺨﻣ ﺎﻬﻧآ ﯽﻧﺎﻤﻫ ﺮﺼﻨﻋ و هدﻮﺑ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺎﻫ
ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .ﺪﺷﺎﺑ ﺮﻔﺻ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ
و هدﻮﺑ ﯽﯾﺎﺠﯾﺎﺟ ي ﮏﯾ
- ﺾﺤﻣ لوﺪﻣﺮﯾز .ﺪﺷﺎﺑ لوﺪﻣ زا
ار
ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﺋﻮﮔ ﮏﯿﺳﻼﮐ لوا لوﺪﻣﺮﯾز و ∈
زا , ∈
دﻮﺷ ﻪﺠﯿﺘﻧ ∈
∈
ﺎﯾ لوﺪﻣﺮﯾز مﻮﻬﻔﻣ . ∈
ﻊﺟاﺮﻣ رد يدﻮﺒﻬﺑ ﻂﺳﻮﺗ ﻊﻣﺎﺟ ترﻮﺼﺑ ﮏﯿﺳﻼﮐ لوا يﺎﻫ )
Behboodi,
(
2007
و )
Behboodi,
2006
( لوﺪﻣﺮﯾز مﻮﻬﻔﻣ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ياﺮﺑ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺪﺷ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ رﻮﻄﺑ يﺎﻫ
ﻒﯿﻌﺿ
ﯽﻣ ﺰﯿﻧ لوا ﻊﺟاﺮﻣ ﻪﺑ ﺪﯿﻧاﻮﺗ
)
Behboodi and Kohi,
2004
( ، )
Behboodi and Shojaei,
2010
( ،
)
Azizi,
2008
( و )
Azizi,
2006
( .ﺪﯿﻨﮐ ﻪﻌﺟاﺮﻣ
لﺎﺳ رد هﺪﯾا مﻮﻬﻔﻣ زا ﯽﻤﯿﻤﻌﺗ يواﺪﺑ ،2007
لآ هﺪﯾا ﻦﯿﻨﭼ و داد ﻪﺋارا ار لوا يﺎﻫ لآ
هﺪﯾا ار ﯽﯾﺎﻫ لآ
يﺎﻫ
-2 ﺪﯿﻣﺎﻧ بذﺎﺟ )
Badawi,
2007
( ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ياﺮﺑ . ﯽﻣ ﻪﻨﯿﻣز ﻦﯾا رد ﺮﺘﺸﯿﺑ ي
ﻊﺟاﺮﻣ ﻪﺑ ﺪﯿﻧاﻮﺗ
)
Badawi et al,
2014
( ، )
Badawi et al,
2015
( و،
)
Badawi and Darani,
2013
( .ﺪﯿﻨﮐ ﻪﻌﺟاﺮﻣ
لﺎﺳ رد ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ ﻞﯿﻬﺳ و نﺎﯿﻔﺳﻮﯾ ،2011
هﺪﯾا مﻮﻬﻔﻣ ﺎﯿﻧ لآ
يﺎﻫ - 2 لوﺪﻣﺮﯾز ﻪﺑ ار بذﺎﺟ يﺎﻫ
- 2 ذﺎﺟ ب
ﺪﻧداد شﺮﺘﺴﮔ )
Darani and Soheilnia,
2011
.(
نﺎﯾﺎﭘ ﻦﯾا .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻢﯿﻈﻨﺗ و ﻪﯿﻬﺗ ﺮﯾز راﺮﻗ ﻪﺑ ﻞﺼﻓ ﻪﺳ رد ﻪﻣﺎﻧ
ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ﻪﺑ لوا ﻞﺼﻓ رد .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺘﺧادﺮﭘ ﻪﯾﺎﭘ يﺎﯾﺎﻀﻗ و ﻢﯿﻫﺎﻔﻣ ي
لوﺪﻣ مود ﻞﺼﻓ رد لوﺪﻣ و ﺎﻫ
يﺎﻫ - 2 .ﺖﺳا ﻪﺘﻓﺮﮔ راﺮﻗ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ درﻮﻣ بذﺎﺟ
لوﺪﻣﺮﯾز مﻮﻬﻔﻣ ﺰﯿﻧ مﻮﺳ ﻞﺼﻓ رد يﺎﻫ
- 2 رد .ﺖﺳا هﺪﺷ ﯽﻓﺮﻌﻣ ﺎﻬﻧآ تﺎﯿﺻﻮﺼﺧ و ﮏﯿﺳﻼﮐ بذﺎﺟ
ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ﻞﺼﻓ ﻦﯾا ﺮﻫ ﻪﮐ ﻢﯿﻫد
- يﺮﺗﻮﻧ لوﺪﻣ لوﺪﻣﺮﯾز زا ﯽﻫﺎﻨﺘﻣ داﺪﻌﺗ ﻞﻣﺎﺷ
يﺎﻫ - 2 ﮏﯿﺳﻼﮐ بذﺎﺟ
ﯽﻣ ﻪﻄﺑار ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳا لﺎﻤﯿﻧ لوﺪﻣﺮﯾز ﻦﯿﺑ ي
يﺎﻫ -2 ﯿﺳﻼﮐ بذﺎﺟ لوﺪﻣﺮﯾز ،ﮏ
و ﮏﯿﺳﻼﮐ لوا يﺎﻫ
لوﺪﻣﺮﯾز يﺎﻫ
-2 ﯽﻣ ﯽﺳرﺮﺑ ار بذﺎﺟ لوﺪﻣﺮﯾز زا ﯽﻫﺎﻨﺘﻣ ﻢﯿﻘﺘﺴﻣ بﺮﺿ ﺮﺧآ رد .ﻢﯿﻨﮐ
يﺎﻫ -2 بذﺎﺟ
ﯽﻣ ﺺﺨﺸﻣ ار ﮏﯿﺳﻼﮐ .ﻢﯿﻨﮐ
لوا ﻞﺼﻓ
ﯽﺗﺎﻣﺪﻘﻣ ﻢﯿﻫﺎﻔﻣ و ﻒﯾرﺎﻌﺗ
.ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺘﺧادﺮﭘ ﺪﻌﺑ لﻮﺼﻓ رد زﺎﯿﻧ درﻮﻣ ﯽﺗﺎﻣﺪﻘﻣ ﻢﯿﻫﺎﻔﻣ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ﻪﺑ ﻞﺼﻓ ﻦﯾا رد
- 1 1 يرادﺮﺑ يﺎﻀﻓ
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-1 :1 ﺪﻨﻧﺎﻣ ﯽﯾﺎﺗود ﻞﻤﻋ ﮏﯾ ﺪﻨﻧﺎﻣ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﮏﯾ يور
:ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ﯽﻌﺑﺎﺗ زا ﺖﺳا ترﺎﺒﻋ
: × → .
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-1 :2 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ي ﯽﯾﺎﺗود ﻞﻤﻋ ود ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ ار و +
هﺪﺷ ﻒﯾﺮﻌﺗ نآ ﺮﺑ ﻪﮐ .
ﺪﻧا ناﺪﯿﻣ ﮏﯾ
1
ﯽﻣ ﻢﯿﻣﺎﻧ :ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑ ﺮﯾز صاﻮﺧ هﺎﮔﺮﻫ
(1 ﻞﻤﻋ ﺖﮐﺮﺷ ﺖﯿﺻﺎﺧ ياراد+
يﺮﯾﺬﭘ :ﯽﻨﻌﯾ ﺪﺷﺎﺑ
+ ( + ) = ( + ) +
(2 ﻞﻤﻋ رد ﺮﺼﻨﻋ ﮏﯾ ﯽﻨﻌﯾ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﺜﻨﺧ ﻮﻀﻋ ياراد+
ﺎﺑ ﻪﮐ ﯽﻣ هداد نﺎﺸﻧ0
ﻪﮐ ﺖﺳا دﻮﺟﻮﻣ دﻮﺷ
∀ ∈ ; + 0 = 0 + =
(3 رد ﻮﻀﻋ ﺮﻫ ﻞﻤﻋ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ
:ﯽﻨﻌﯾ ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد (ﻪﻨﯾﺮﻗ) سﻮﮑﻌﻣ ﻮﻀﻋ+
∀ ∈ , ∃ ∈ ; + = + = 0
(4 ﻞﻤﻋ :ﯽﻨﻌﯾ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺖﯿﺻﺎﺧ ياراد+
∀ , ∈ ; + = +
(5 ﻞﻤﻋ :ﯽﻨﻌﯾ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺖﯿﺻﺎﺧ ياراد.
∀ , ∈ ; . = .
(6 ﻞﻤﻋ رد ﺮﺼﻨﻋ ﮏﯾ ﯽﻨﻌﯾ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻧﺎﻤﻫ ﻮﻀﻋ ياراد.
ﺎﺑ ﻪﮐ ﯽﻣ هداد نﺎﺸﻧ1
ﻪﮐ ﺖﺳا دﻮﺟﻮﻣ دﻮﺷ
∀ ∈ ; 1. = . 1 =
(7 ﻮﻀﻋ ﺮﻫ
− {0}
:ﯽﻨﻌﯾ ﺪﺷﺎﺑ سﻮﮑﻌﻣ ﻮﻀﻋ ياراد
∀ ∈ − {0}, ∃ ∈ ; = = 1
(8 ﻞﻤﻋ يور.
:ﯽﻨﻌﯾ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﺸﺨﭘ ﺖﯿﺻﺎﺧ ياراد+
∀ , , ∈ ; ( + ) = . + .
ﯽﻣ ﺮﻟﺎﮑﺳا ﮏﯾ ار ناﺪﯿﻣ ﻮﻀﻋ ﺮﻫ .ﺪﻨﻣﺎﻧ
1 Field
لﺎﺜﻣ -1 -1 :3 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ي .ﺖﺳا ناﺪﯿﻣ ﮏﯾ ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ ﺎﺑ ﯽﻘﯿﻘﺣ داﺪﻋا
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-1 :4 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ي ﻞﻤﻋ ود ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ ار يرادﺮﺑ يﺎﻀﻓ ﮏﯾ ،ﺮﻟﺎﮑﺳا بﺮﺿ و+
ناﺪﯿﻣ يور2
ﯽﻣ ﻢﯿﻣﺎﻧ :هﺎﮔﺮﻫ
(1 ﻞﻤﻋ ﻂﯾاﺮﺷ+
ﺎﺗ1 ﻒﯾﺮﻌﺗ4 -1 -1 .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ار2
(2 ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﺮﻟﺎﮑﺳا بﺮﺿ ﻞﻤﻋ
, ∈
ﺮﻫ يازا ﻪﺑ و ﯽﮔﮋﯾو , ∈
:ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ار ﺮﯾز يﺎﻫ
1 =
زا رﻮﻈﻨﻣ) ﯽﻧﺎﻤﻫ ﻮﻀﻋ نﺎﻤﻫ1
(ﺖﺳا
( ) = ( )
( + ) = +
( + ) = +
لﺎﺜﻣ -1 -1 :5 هﺎﮔﺮﻫ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ،ﺪﺷﺎﺑ ناﺪﯿﻣ ﮏﯾ
ي ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ يﺎﻫ ﻪﯾارد ﺎﺑ ×
زا ﯽﯾﺎﻫ يﺎﻀﻓ ﮏﯾ
يور يرادﺮﺑ .ﺖﺳا
لﺎﺜﻣ -1 -1 :6 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ي ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ﻊﺑاﻮﺗ مﺎﻤﺗ يا
ناﺪﯿﻣ ﮏﯾ يور يور يرادﺮﺑ يﺎﻀﻓ ﮏﯾ ،
ﻞﯿﮑﺸﺗ
ﯽﻣ ﺪﻨﻫد ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ﺐﯾاﺮﺿ ﻪﮐ دﻮﺷ ﻪﺟﻮﺗ . يا
ناﺪﯿﻣ زا ﺎﻫ ﯽﻣ بﺎﺨﺘﻧا
.ﺪﻧﻮﺷ
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-1 :7 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ و يرادﺮﺑ يﺎﻀﻓ ﮏﯾ
= { , … , }
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ يا يﺎﻀﻋا زا ﯽﻫﺎﻨﺘﻣ
.ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ار
ي يﺎﻫﺮﻟﺎﮑﺳا هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﯾﻮﮔ ﯽﻄﺧ
, … , ε
زا ﻪﺑ ﺪﻨﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ ﺪﻨﺘﺴﯿﻧ ﺮﻔﺻ ﯽﮕﻤﻫ ﻪﮐ
:ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ﻪﮐ يرﻮﻃ
+ ⋯ + = 0.
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-1 :8 هﺎﮔﺮﻫ ﻒﯾﺮﻌﺗ رد
-1 -1 ﻪﺘﺴﺑاو7 ي ﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ ﯽﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣ ،ﺪﺷﺎﺒﻧ ﯽﻄﺧ دﻮﺷ
.
لﺎﺜﻣ -1 -1 :9
{ , , }
ﯽﻘﯿﻘﺣ ﻊﺑاﻮﺗ يﺎﻀﻓ رد .ﺖﺳا ﯽﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣℝ
لﺎﺜﻣ -1 -1 :10 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ي ﻪﺘﺴﺑاو {0}
ي .ﺖﺳا ﯽﻄﺧ
2 Vector space
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-1 :11 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ناﺪﯿﻣ يور يرادﺮﺑ يﺎﻀﻓ ﮏﯾ
،ﺪﺷﺎﺑ ياﺮﺑ ﻪﯾﺎﭘ ﮏﯾ ار ⊆
:هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﯾﻮﮔ
(1 .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣ
(2 يﺎﻀﻓ ﺮﻫ ﯽﻨﻌﯾ ﺪﻨﮐ ﺪﯿﻟﻮﺗ ار
يﺎﻀﻋا زا ﯽﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ ترﻮﺻ ﻪﺑ ناﻮﺘﺑ ار ∈
.ﺖﺷﻮﻧ
لﺎﺜﻣ -1 -1 :12 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ نآ رد ﻪﮐ ، =
و ناﺪﯿﻣ ﮏﯾ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ
ي مﺎﻤﺗ - ﯽﯾﺎﺗ ﺐﺗﺮﻣ يﺎﻫ
ﻪﻔﻟﻮﻣ ﺎﺑ زا ﯽﯾﺎﻫ ﯽﻣ
ﺪﺷﺎﺑ ترﻮﺻ ﻦﯾا رد .
= { , … , }
نآ رد ﻪﮐ ار
= (1,0,0, … ,0), … , = (0,0, … ,1),
ﻪﯾﺎﭘ ي ﻪﯾﺎﭘ) دراﺪﻧﺎﺘﺳا ي
(فرﺎﻌﺘﻣ .ﺪﻨﯾﻮﮔ
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-1 :13 ﻢﯾﺮﯿﮔ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﮏﯾΣ
ﻪﻄﺑار .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻬﺗﺎﻧ ي ي
يور ار ≤
ﻪﻄﺑار ﮏﯾΣ
ﯽﺋﺰﺟ ﺐﯿﺗﺮﺗ ي
ﯽﻣ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ
, , ∈ Σ
ﺮﮔا ًﻻوا ، و ≤
نآ ≤
هﺎﮔ ﺮﮔا ًﺎﯿﻧﺎﺛ ، =
و ≤
نآ ≤
هﺎﮔ
ﺮﻫ ياﺮﺑ ًﺎﺜﻟﺎﺛ و ≤
ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ، ∈ Σ
. ≤
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-1 :14 ﻪﻄﺑار ﺎﺑ ارΣ
ﯽﺋﺰﺟ ﺐﯿﺗﺮﺗ ي ﯽﻣ ﺮﻈﻧ رد≤
زا يﻮﻀﻋ .ﻢﯾﺮﯿﮔ ﻞﺜﻣΣ
لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣ ﻮﻀﻋ ار
ﯽﻣΣ
زا ﻮﻀﻋ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ ﻞﺜﻣΣ
ﺮﮔا ، نآ ، ≤
هﺎﮔ زا يﻮﻀﻋ . =
ﻞﺜﻣΣ
ﻻﺎﺑ ناﺮﮐ ﮏﯾ ار
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز ياﺮﺑ ﯽﻬﺗﺎﻧ ي
زاΛ
ﯽﻣΣ
زا ﻮﻀﻋ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ ﻞﺜﻣΛ
:ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد . ≤
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-1 :15 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز ﻞﺜﻣ يا
زاΛ
ﯽﻣ ﺮﯿﺠﻧز ﮏﯾ ار Σ
زا ﻮﻀﻋ ود ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ ﻞﺜﻣΛ
و ، ﺎﯾ ≤
. ≤
ﻢﻟ -1 -1 :(نرُز ﻢﻟ)16 ﺮﮔا
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ Σ
ﻪﻄﺑار ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ ﯽﻬﺗﺎﻧ يا ﯽﺋﺰﺟ ﺐﯿﺗﺮﺗ ي
ﻪﮐ ﯽﮔﮋﯾو ﻦﯾا ﺎﺑ ﺪﺷﺎﺑ≤
رد ﯽﯾﻻﺎﺑ ناﺮﮐ نآ زا ﯽﻬﺗﺎﻧ ﺮﯿﺠﻧز ﺮﻫ هﺎﮕﻧآ ،ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷادΣ
.دراد لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣ ﻮﻀﻋ ﮏﯾ ﻢﮐ ﺖﺳد Σ
:نﺎﻫﺮﺑ ﻊﺟﺮﻣ ﻪﺑ تﺎﺒﺛا ياﺮﺑ )
Lewin,
1991
( .ﺪﯿﻨﮐ ﻪﻌﺟاﺮﻣ ∎
- 1 2 ﻪﻘﻠﺣ و هوﺮﮔ
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :1 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ،
و و هدﻮﺑ ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا
> 0
ترﻮﺼﻨﯾارد . ﺎﺑ ﺖﺸﻬﻨﻤﻫ
ﻪﺑ
ﻪﻧﺎﻤﯿﭘ ي ﯽﻣ ﻪﺘﺷﻮﻧ ) ﺖﺳا دﻮﺷ
ﻪﻧﺎﻤﯿﭘ ﻪﺑ ≡
ي ﻪﮑﻨﯾا ﻪﺑ طوﺮﺸﻣ ،(
ﻞﺿﺎﻔﺗ .درﺎﻤﺸﺑ ار −
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :2 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ و
و ﺪﻨﺷﺎﺑ ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا
> 0
ﯽﺘﺸﻬﻨﻤﻫ سﻼﮐ . ﻪﻧﺎﻤﯿﭘ ﻪﺑ
ي ﻪﮐ )
ﺎﺑ ﯽﻣ هداد ﺶﯾﺎﻤﻧ[ ]
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ زا ترﺎﺒﻋ ( دﻮﺷ ﻪﻤﻫ ي
ﺎﺑ ﺖﺸﻬﻨﻤﻫ ﻪﮐ ﺖﺳا ﯽﺤﯿﺤﺻ داﺪﻋا ي ﻪﻧﺎﻤﯿﭘ ﻪﺑ
ي
ﯽﻣ ﯽﻨﻌﯾ ،ﺪﺷﺎﺑ
[ ] = { | ∈ ℤ, ﻪﻧﺎﻤﯿﭘﻪﺑ ≡ }.
ﻪﮑﻨﯾا نﺎﯿﺑ ﻪﻧﺎﻤﯿﭘ ﻪﺑ ≡
ي ، ﻦﯾﺪﺑ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ﯽﺧﺮﺑ ياﺮﺑ ﻪﮐ ﺖﺳا ﯽﻨﻌﻣ ،
− =
رﻮﻄﺑ ﺎﯾ
لدﺎﻌﻣ
= +
.
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :3 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻪﻤﻫ ي سﻼﮐ ي ﻪﺑ ﯽﺘﺸﻬﻨﻤﻫ يﺎﻫ
ﻪﻧﺎﻤﯿﭘ ي ﺎﺑ ار ﯽﻣ نﺎﺸﻧℤ
ﺢﺿاو .ﻢﯿﻫد
ﺮﺻﺎﻨﻋ ﻪﮐ ﺖﺳا هراﺰﮔ ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ .فﺮﺻ ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ﻪﻧ و ﺪﻨﺘﺴﻫ سﻼﮐℤ
ي
[5] ∈ ℤ
هراﺰﮔ ﺎّﻣا ﺖﺳا ﺖﺳرد ي
5 ∈ ℤ
لﺎﺜﻣ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ .ﺖﺴﯿﻧ ﺖﺳرد ﺮﺼﻨﻋ ﻪﺳ زا ﻞﮑﺸﺘﻣℤ
،[0]
و[1]
.ﺖﺳا[2]
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :4 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﯽﻟﺎﺧﺮﯿﻏ ي ﯽﯾﺎﺗود ﻞﻤﻋ ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ
هوﺮﮔ ﮏﯾ ار∗
هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﺋﻮﮔ3
(1 يور∗
ﺖﮐﺮﺷ ﺖﯿﺻﺎﺧ .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد يﺮﯾﺬﭘ
(2 ﺪﻨﻧﺎﻣ ﯽﻧﺎﻤﻫ ﺎﯾ ﯽﺜﻨﺧ ﻮﻀﻋ رد
ﻮﻀﻋ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻪﮐ يرﻮﻃ ﻪﺑ ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ رد
ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد
∗ = ∗ =
.
(3 ﻮﻀﻋ ﺮﻫ ﻮﻀﻋ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﯽﻨﻌﯾ ﺪﺷﺎﺑ نوراو ياراد
رد ﺪﻨﻧﺎﻣ يﻮﻀﻋ ، رد
ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد دﻮﺟو
ﻪﮐ يرﻮﻃ ﻪﺑ
∗ = ∗ =
.
لﺎﺜﻣ -1 -2 :5
(ℕ, +)
ﻪﮐ ﯽﺗرﻮﺻ رد ﺖﺴﯿﻧ هوﺮﮔ ﮏﯾ
(ℤ, +)
.ﺖﺳا هوﺮﮔ ﮏﯾ
3 Group
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :6 هوﺮﮔ
( ,∗)
ﯽﻣ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺎﯾ ﯽﻠﺑآ هوﺮﮔ ﮏﯾ ار ﻮﻀﻋ ود ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ
و زا
ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد
∗ = ∗
.
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :7 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز ﯽﻬﺗﺮﯿﻏ ي
هوﺮﮔ زا هوﺮﮔﺮﯾز ار
ﯽﻣ هﺎﮔﺮﻫ ،ﻢﯿﻣﺎﻧ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻞﻤﻋ ﺖﺤﺗ
هوﺮﮔ يور هﺪﺷ ﺮﮔا .ﺪﻫد هوﺮﮔ ﮏﯾ ﻞﯿﮑﺸﺗ دﻮﺧ
= { }
هوﺮﮔﺮﯾز .دراد هوﺮﮔﺮﯾز ﮏﯾ ﻂﻘﻓ هﺎﮕﻧآ يﺎﻫ
و
{ }
زا هوﺮﮔﺮﯾز ار ﯽﻬﯾﺪﺑ يﺎﻫ
ﯽﻣ .ﺪﻨﻣﺎﻧ
لﺎﺜﻣ -1 -2 :8 ﯽﻣ ﻢﯿﻧاد
ℤ ⊂ ℝ
ﯽﻓﺮﻃزا . و ℝ
ﯽﻣ هوﺮﮔ ﻞﯿﮑﺸﺗ ﻊﻤﺟ ﻞﻤﻋ ﺖﺤﺗ ℤ
ﯽﻣ ﺲﭘ .ﺪﻨﻫد ناﻮﺗ
ﺖﻔﮔ
(ℤ, +)
زا ﯽﻫوﺮﮔﺮﯾز
(ℝ , +)
ﯽﻣ .ﺪﺷﺎﺑ
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :9 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ زا ﯽﻫوﺮﮔﺮﯾز
و هدﻮﺑ زا يﻮﻀﻋ
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ترﻮﺻ ﻦﯾا رد .ﺪﺷﺎﺑ ي
= { ℎ|ℎ ∈ }
ﻢﻫ ار ﻪﺘﺳد ﭗﭼ ي رد
ﯽﻣ ﻢﻫ ﻪﺑﺎﺸﻣ رﻮﻃ ﻪﺑ .ﻢﯿﻣﺎﻧ ﻪﺘﺳد
ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻢﻫ ﺖﺳار ي ﯽﻣ
.دﻮﺷ
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :10 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ،ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ زا رﻮﻈﻨﻣ ﯽﻬﺗﺮﯿﻏ ي
) ﯽﯾﺎﺗود ﻞﻤﻋ ود ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ ﻪﮐ ﺖﺳا
ﯽﻣ ﻪﺘﺷﻮﻧ ﻊﻤﺟ و بﺮﺿ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ ًﻻﻮﻤﻌﻣ ﺮﻫ ياﺮﺑ ( دﻮﺷ
, , ∈
ﯽﻣ قﺪﺻ ﺮﯾز لﻮﺻا رد :ﺪﻨﮐ
(1
+ ∈
( ﻊﻤﺟ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ندﻮﺑ ﻪﺘﺴﺑ ) .
(2
+ ( + ) = ( + ) +
ﺖﮐﺮﺷ ) . يﺮﯾﺬﭘ
( ﻊﻤﺟ
(3
+ = +
( ﻊﻤﺟ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ) .
(4 ﺮﺼﻨﻋ رد0
ﺮﻫ ياﺮﺑ ﻪﮐ ﺖﺳا دﻮﺟﻮﻣ نﺎﻨﭼ
، ∈
+ 0 = = 0 + .
(5 ﺮﻫ ياﺮﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ، ∈
ي
+ = 0
رد باﻮﺟ ﮏﯾ ياراد .ﺖﺳا
(6 ﺮﮔا
, ∈
ترﻮﺼﻨﯾا رد (بﺮﺿ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ندﻮﺑ ﻪﺘﺴﺑ ) . ∈
(7
( ) = ( )
ﺖﮐﺮﺷ ) . ( بﺮﺿ يﺮﯾﺬﭘ
(8
( + ) = +
و
( + ) = +
ﻊﯾزﻮﺗ ﻦﯿﻧاﻮﻗ ) . ( يﺮﯾﺬﭘ
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :11 ﻪﻘﻠﺣ ي ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﺪﻨﯾﻮﮔ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ار ، , ∈
.ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑ =
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :12 ﻪﻘﻠﺣ ي ﻮﻀﻋ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﺋﻮﮔ راﺪﮑﯾ ار ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ1
، ∈
1 = = 1
.ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑ
ﺎﺜﻣ ل -1 -2 : 13 ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ
ﯽﻣ راﺪﮑﯾ و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي .ﺪﺷﺎﺑ
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ ي
ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ﺎﻫ سﻼﮐ بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ ﺎﺑ هاﺮﻤﻫℤ
.ﺖﺳا راﺪﮑﯾ و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي
لﺎﺜﻣ -1 -2 :14 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ
نﻮﭼ .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ جوز ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ي
) ندﻮﺑ ﻪﺘﺴﺑ لﻮﺻا ،ﺖﺳا جوز ﺰﯿﻧ جوز ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ود بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ و1
نﻮﭼ .ﺖﺳا راﺮﻗﺮﺑ (6 ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ﮏﯾ0
،ﺖﺳا جوز ﻞﺻا ) ﺖﺳا ﯽﻌﻤﺟ ﯽﻧﺎﻤﻫ ﻮﻀﻋ ﮏﯾ ياراد
ﺮﮔا .( 4 ﻪﻟدﺎﻌﻣ باﻮﺟ ترﻮﺼﻨﯾا رد ﺪﺷﺎﺑ جوز
ي
+ = 0
ﯽﻨﻌﯾ ) ﻞﺻا ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ و ﺖﺳا جوز ﺰﯿﻧ (−
ﺖﮐﺮﺷ ) ﺮﮕﯾد لﻮﺻا .ﺖﺳا راﺮﻗﺮﺑ 5 ،يﺮﯾﺬﭘ
ﻊﯾزﻮﺗ ،ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺮﻫ ياﺮﺑ ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ و ﺖﺳا راﺮﻗﺮﺑ ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ﻪﻤﻫ ياﺮﺑ ( يﺮﯾﺬﭘ
، و ﯽﻣ راﺮﻗﺮﺑ ﺰﯿﻧ جوز .ﺪﺷﺎﺑ
ﻪﺠﯿﺘﻧ رد ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ
لﺎﺣ ﻦﯾا ﺎﺑ .ﺖﺳا ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ
،ﺖﺴﯿﻧ راﺪﮑﯾ ي جوز دﺪﻋ ﭻﯿﻫ اﺮﯾز
دﻮﺟو
جوز دﺪﻋ ﺮﻫ ياﺮﺑ ﻪﮐ ﯽﻤﺴﻘﺑ دراﺪﻧ ،
= =
.
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﯽﻟو ﻞﺻا لﺎﺜﻣ ياﺮﺑ اﺮﯾز ،ﺖﺴﯿﻧ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ ﺎﺑ دﺮﻓ ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ي
راﺮﻗﺮﺑ1
.ﺖﺴﯿﻧ ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :15 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز
ﻪﻘﻠﺣ زا ﯽﻬﺗﺎﻧ يا ي
.ﺪﺷﺎﺑ زا ﻪﻘﻠﺣﺮﯾز ﮏﯾ ار ﻢﯿﺋﻮﮔ
رد بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ ﺖﺤﺗ هﺎﮔﺮﻫ لﻮﺻا .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ دﻮﺧ ،
،2 ،3 و7 ﻪﻤﻫ ياﺮﺑ8 ﻪﻘﻠﺣ يﺎﻀﻋا ي
ي راﺮﻗﺮﺑ
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز ﺮﻫ ياﺮﺑ ًﺎﻣوﺰﻟ اﺬﻟ و ﺖﺳا ي
زا ﯽﻣ راﺮﻗﺮﺑ ﺰﯿﻧ ندﻮﺑ ﻪﻘﻠﺣﺮﯾز ﯽﺳرﺮﺑ ياﺮﺑ ﻪﺠﯿﺘﻧ رد .ﺪﺷﺎﺑ
ﺎﻬﻨﺗ
:ﻪﮐ دﻮﺷ ﯽﺳرﺮﺑ ﺖﺳا مزﻻ
(1 ﻪﺘﺴﺑ ﻊﻤﺟ و بﺮﺿ ﺖﺤﺗ .ﺖﺳا
(2 .0 ∈
(3 ﺮﻫ ياﺮﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ، ∈
ي
+ = 0
رد باﻮﺟ ﮏﯾ ياراد .ﺖﺳا
لﺎﺜﻣ -1 -2 :16 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ (ℤ)
ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ي يﺎﻫ
2 × 2
ﻪﯾارد ﺎﺑ رد ﯽﯾﺎﻫ و ﻊﻤﺟ .ﺪﺷﺎﺑ ℤ
يازا ﻪﺑ ار ﺮﯾز بﺮﺿ
, , , , , ∈ ℤ
ﯽﻣ ﺮﻈﻧ رد ﻢﯾﺮﯿﮔ
+ = + +
+ + ,
= + +
+ + .
.ﺖﺴﯿﻧ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﯽﻟو هدﻮﺑ راﺪﮑﯾ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ﻻﺎﺑ رد هﺪﺷ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻊﻤﺟ و بﺮﺿ ﺎﺑ (ℤ)
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :17 هزﻮﺣ ﮏﯾ زا رﻮﻈﻨﻣ ﻪﻘﻠﺣ ،ﺢﯿﺤﺻ ي
ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي ﯽﻧﺎﻤﻫ ﺎﺑ ﺖﺳا
0 ≠ 1
يازا ﻪﺑ ﻪﮐ
ﺮﻫ
, ∈
، ﺪﻫد ﻪﺠﯿﺘﻧ = 0
ﺎﯾ = 0
. = 0
لﺎﺜﻣ -1 -2 : 18 ﻪﻘﻠﺣ ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ي ﺮﮔا .ﺖﺳا ﺢﯿﺤﺻ ﻪﻨﻣاد ﮏﯾℤ
ترﻮﺼﻨﯾارد ،ﺪﺷﺎﺑ لوا ﮏﯾ ﺰﯿﻧℤ
هزﻮﺣ .ﺖﺳا ﺢﯿﺤﺻ ي
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :19 ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ زا رﻮﻈﻨﻣ ﻪﻘﻠﺣ ،ﻢﯿﺴﻘﺗ ي
ي ﯽﻧﺎﻤﻫ ﺎﺑ
0 ≠ 1
ﺮﻫ ياﺮﺑ ﻪﮐ ﺖﺳا
0 ≠
رد تﻻدﺎﻌﻣ ، و = 1
رد ﯽﺑاﻮﺟ ياراد = 1
ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ناﺪﯿﻣ ﮏﯾ .ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻢﯿﺴﻘﺗ ي
.ﺖﺳا ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ بﺮﺿ ﻞﻤﻋ نآ رد
لﺎﺜﻣ -1 -2 :20 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﯽﻘﯿﻘﺣ داﺪﻋا ي ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز نﻮﭼ .ﺖﺳا ناﺪﯿﻣ ﮏﯾ ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ ﺎﺑℝ
ي
ﺎﯾﻮﮔ داﺪﻋا لﺎﻤﻋا نﺎﻤﻫ ﺎﺑℚ
،ﺖﺳا ناﺪﯿﻣ ﮏﯾℝ
ناﺪﯿﻣﺮﯾز ﮏﯾ ارℚ
ﯽﻣℝ
.ﻢﯿﻣﺎﻧ
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :21 ﺮﺼﻨﻋ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ رد
راﺪﮑﯾ ي ﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ ﻪﮑﯾ
ﺮﮔا دﻮﺷ ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ ∈
= 1 =
ﺮﺼﻨﻋ ترﻮﺼﻨﯾارد . ( ﯽﺑﺮﺿ ) سﻮﮑﻌﻣ ﺎﯾ نوراو
ﺎﺑ و هﺪﺷ هﺪﯿﻣﺎﻧ ﯽﻣ هداد نﺎﺸﻧ
.دﻮﺷ
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :22 ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ و
ﻪﻘﻠﺣ ود ﻪﻘﻠﺣ ﻢﯿﺋﻮﮔ .ﺪﻨﺷﺎﺑ هاﻮﺨﻟد ي ي
ﻪﻘﻠﺣ ﺎﺑ ﺖﺨﯾﺮﮑﯾ ي
ﻦﯾدﺎﻤﻧ ترﻮﺻ ﻪﺑ ) ﺖﺳا ﻊﺑﺎﺗ ﺮﮔا ( ≅
: →
ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ نﺎﻨﭼ
(1
؛ﺪﺷﺎﺑ ﮏﯾ ﻪﺑ ﮏﯾ (2
؛ﺪﺷﺎﺑ ﺎﺷﻮﭘ (3 ﺮﻫ ياﺮﺑ
, ∈
ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد
( + ) = ( ) + ( ), ( ) = ( ). ( ).
) طﺮﺷ رد ﻪﮐ ﯽﻌﺑﺎﺗ ﺪﻨﮐ قﺪﺻ (3
ﻢﻫ ﮏﯾ ﺪﺷﺎﺒﻧ ﺎﺷﻮﭘ ﺎﯾ ﮏﯾ ﻪﺑ ﮏﯾ ًﺎﻣوﺰﻟ ﺎّﻣا ﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ ﯽﺘﺨﯾر
.دﻮﺷ
لﺎﺜﻣ -1 -2 :23 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ
: ℂ → ℂ
ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺖﺷﺎﮕﻧ
( + ) = −
ﻊﺑﺎﺗ .ﺪﺷﺎﺑ
ﻢﻫ ﮏﯾ اﺮﯾز .ﺖﺳا ﯽﺘﺨﯾر
[( + ) + ( + )] = [( + ) + ( + ) ] = ( + ) − ( + ) = ( − ) + ( − )
= ( + ) + ( + ).
[( + ) + ( + )] = [( − ) + ( + ) ] = ( − ) − ( + )
= ( − )( − )
= ( + ) ( + ).
ﯽﻣ ﯽﺳرﺮﺑ ﯽﮔدﺎﺳ ﻪﺑ ﻪﮐ دﻮﺷ
ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ .ﺖﺳﺎﺷﻮﭘ و ﮏﯾ ﻪﺑ ﮏﯾ .ﺖﺳا ﯽﺘﺨﯾﺮﮑﯾ
ﻪﯿﻀﻗ -1
-2 )24
Hungerford,
1974
:( ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ
: →
ﻢﻫ ﮏﯾ ﻪﻘﻠﺣ ﯽﺘﺨﯾر رد .ﺪﺷﺎﺑ يا
ترﻮﺼﻨﯾا
(1
(0 ) = 0
.
(2 ﺮﻫ ياﺮﺑ ، ∈
(− ) = − ( )
.
ﺮﮔا و و ﺪﻨﺷﺎﺑ راﺪﮑﯾ ود ﺮﻫ ترﻮﺻ ﻦﯾا رد ،ﺪﺷﺎﺑ ﯽﺘﺨﯾﺮﮑﯾ ﮏﯾ
(3
(1 ) = 1
.
:نﺎﻫﺮﺑ ﻊﺟﺮﻣ ﻪﺑ تﺎﺒﺛا ياﺮﺑ )
Hungerford,
1974
( .دﻮﺷ ﻪﻌﺟاﺮﻣ ∎
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :25 ﻪﻘﻠﺣﺮﯾز ي ﻪﻘﻠﺣ زا ي هﺪﯾا ﮏﯾ ﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ لآ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ دﻮﺷ
و ∈
∈
ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد و ∈
بﺬﺟ طﺮﺷ ود ﺮﻫ ندﺮﮐ ظﺎﺤﻟ . ∈
و ∈
ﻪﻘﻠﺣ ياﺮﺑ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻦﯾا رد ∈
يﺎﻫ
ﯽﺘﻗو .ﺖﺳا يروﺮﺿ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟﺎﻧ ﻪﺑ طﺮﺷ ﻦﯾا ،ﺪﺷﺎﺑ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ
ﯽﻣ ﺶﻫﺎﮐ ∈
.ﺪﺑﺎﯾ
لﺎﺜﻣ -1 -2 : 26 هﺪﯾا ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ رد ﺮﻔﺻ لآ ي
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ زا ﺖﺴﺗرﺎﺒﻋ يﻮﻀﻋ ﮏﺗ ي
هﺪﯾا .{0 }
ﺮﻔﺻ لآ
ﻪﻤﻫ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ بﺮﺿ ﻞﺻﺎﺣ ي
ﯽﻣ بﺬﺟ ار ﺎﻫ ﺮﻫ ياﺮﺑ اﺮﯾز .ﺪﻨﮐ
، ∈ 0 = 0 = 0
دﻮﺧ .
ﻪﻘﻠﺣ ي هﺪﯾا ﮏﯾ ﺰﯿﻧ .ﺖﺳا لآ
ﻪﻘﻠﺣﺮﯾز ي ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ردℤ
داﺪﻋا ي هﺪﯾا ﮏﯾ ،ﺎﯾﻮﮔ
رد لآ اﺮﯾز ﺖﺴﯿﻧℚ
ياﺮﺑ .ﺖﺴﯿﻧ اراد ار بﺬﺟ ﺖﯿﺻﺎﺧℤ
لﺎﺜﻣ و ∈ ℚ
5 ∈ ℤ
ﺎّﻣا ،
5 2
رد .ﺖﺴﯿﻧℤ
ﻪﯿﻀﻗ -1 -2 )27
Hungerford,
1974
:( ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز ﯽﻬﺗﺮﯿﻏ ي
ﻪﻘﻠﺣ زا ي هﺪﯾا ﮏﯾ و ﺮﮔا ﺖﺳا لآ
:ﺪﺷﺎﺑ ﺮﯾز صاﻮﺧ ياراد ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ
(1 ﺮﮔا
, ∈
ترﻮﺼﻨﯾا رد ،
− ∈
.
(2 ﺮﮔا و ∈
ترﻮﺼﻨﯾارد ∈
و ∈
. ∈
:نﺎﻫﺮﺑ ﻊﺟﺮﻣ ﻪﺑ تﺎﺒﺛا ياﺮﺑ )
Hungerford,
1974
( .دﻮﺷ ﻪﻌﺟاﺮﻣ ∎
ﯽﻣ ﻪﺟﻮﺗ هﺎﮔﺮﻫ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ
هﺪﯾا ﻪﻘﻠﺣ زا ﯽﻟآ ي
نآ ﺪﺷﺎﺑ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﺮﺻﺎﻨﻋ هﺎﮔ ي
ﻪﻤﻫ ، ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ي ﻪﺑ ﯽﯾﺎﻫ
ترﻮﺻ
+ = { + | ∈ }
ﯽﻣ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﺮﯾز ﻊﻤﺟ و بﺮﺿ ﺎﺑ ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ
, ∈
:ﺖﺳا ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ
( + ) + ( + ) = ( + ) + , ( + )( + ) = + .
ﻪﻘﻠﺣ ﻪﺑ ﻪﻘﻠﺣ ﻦﯾا ﯽﺘﻤﺴﻗ جرﺎﺧ ي
ﺮﺑ .ﺖﺳا مﻮﺳﻮﻣ
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :28 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ
: →
ﻢﻫ ﮏﯾ ﻪﻘﻠﺣ ﯽﺘﺨﯾر ﻪﺘﺴﻫ ترﻮﺼﻨﯾارد .ﺪﺷﺎﺑ يا
ﻢﻫ ي ﯽﺘﺨﯾر
هﺪﯾا ﮏﯾ ﻪﮐ لآ
ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ ﺖﺳا :دﻮﺷ
ker = { ∈ | ( ) = 0 }.
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :29 هﺪﯾا لآ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ رد ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي
ﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ لوا هﺎﮔﺮﻫ دﻮﺷ
ﺮﻫ يازا ﻪﺑ و ≠
، , ∈
ﺪﻫد ﻪﺠﯿﺘﻧ ∈
ﺎﯾ ∈
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ . ∈
هﺪﯾا مﺎﻤﺗ ي لآ
ﻪﻘﻠﺣ لوا يﺎﻫ ي
ﺎﺑ ار
( )
ﯽﻣ نﺎﺸﻧ .ﺪﻨﻫد
لﺎﺜﻣ -1 -2 :30 هﺪﯾا ﺢﯿﺤﺻ هزﻮﺣ ﺮﻫ رد ﺮﻔﺻ لآ اﺮﯾز ﺖﺳا لوا
ﻪﺠﯿﺘﻧ = 0
ﯽﻣ ﻪﮐ ﺪﻫد
= 0
ﺎﯾ هﺪﯾا ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ . = 0
لآ
= (6)
رد اﺮﯾز ،ﺖﺴﯿﻧ لوا
2 × 3 ∈
ﺎّﻣا و2 ∉
. 3 ∉
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :31 هﺪﯾا لآ ﻪﻘﻠﺣ رد ي ﺮﮔا ﻢﯿﺋﻮﮔ لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣ ار هﺎﮔﺮﻫ و ≠
هﺪﯾا ﮏﯾ ﺪﺷﺎﺑ لآ
ﻪﮐ ﯽﻤﺴﻘﺑ ترﻮﺼﻨﯾا رد ، ⊆ ⊆
ﺎﯾ =
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ . =
هﺪﯾا مﺎﻤﺗ ي لآ
ﻪﻘﻠﺣ لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣ يﺎﻫ ي
ار
ﺎﺑ ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ( )
.ﺪﻨﻫد
هﺪﯾا ،لﺎﺜﻣ ياﺮﺑ لآ
= (3)
رد ﮏﯾ زا ﺶﯿﺑ ﺖﺳا ﻦﮑﻤﻣ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ﻪﺟﻮﺗ .ﺖﺳا لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣℤ
هﺪﯾا ﺮﻫ .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣ لآ هﺪﯾا ود
لآ
{0,2,4}
و
{0,3}
رد .ﺪﻨﺘﺴﻫ لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣℤ
ﻪﯿﻀﻗ -1
-2 )32
Hungerford,
1974
:( ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ هﺪﯾا ﮏﯾ
ﻪﻘﻠﺣ رد لآ راﺪﮑﯾ و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي
ترﻮﺼﻨﯾا رد .ﺪﺷﺎﺑ هﺪﯾا ﮏﯾ
ﻪﻘﻠﺣ ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا ﺖﺳا لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣ لآ ﯽﺘﻤﺴﻗ جرﺎﺧ ي
.ﺪﺷﺎﺑ ناﺪﯿﻣ
:نﺎﻫﺮﺑ ﻊﺟﺮﻣ ﻪﺑ تﺎﺒﺛا ياﺮﺑ )
Hungerford,
1974
( .دﻮﺷ ﻪﻌﺟاﺮﻣ ∎
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :33 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ و ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ
و هﺪﯾا لآ زا ﯽﯾﺎﻫ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ .ﺪﻨﺷﺎﺑ
ي
{ ∈ | ⊆ }
ﺪﯾا ار ه ﯽﺘﻤﺴﻗ جرﺎﺧ لآ ﯽﻣ
دﺎﻤﻧ ﺎﺑ ًﻻﻮﻤﻌﻣ و ﻢﯿﻣﺎﻧ
( : )
ﯽﻣ ﺶﯾﺎﻤﻧ نآ رد ﻪﮐ ﻢﯿﻫد
⊆
( : )
. ﻢﻟ -1 -2 )34
Hungerford,
1974
:( ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ،
و هﺪﯾا لآ ﻪﻘﻠﺣ زا ﯽﯾﺎﻫ ي
ترﻮﺼﻨﯾا رد ﺪﻨﺷﺎﺑ
(1 ﺮﮔا هﺎﮕﻧآ ⊆
( : ) ⊆ ( : )
.
(2 ﺮﮔا هﺎﮕﻧآ ⊆
( : ) ⊆ ( : )
.
:نﺎﻫﺮﺑ ﻊﺟﺮﻣ ﻪﺑ تﺎﺒﺛا ياﺮﺑ )
Hungerford,
1974
( .ﺪﯿﻨﮐ ﻪﻌﺟاﺮﻣ ∎
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :35 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ و ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ
هﺪﯾا زا ﯽﻟآ ترﻮﺼﻨﯾا رد .ﺪﺷﺎﺑ
(0: ) = { ∈ | = 0}
زﺎﺴﭼﻮﭘ ار ﯽﻣ
ﺎﺑ و ﻢﯿﻣﺎﻧ ﺎﯾ
ﯽﻣ نﺎﺸﻧ .ﻢﯿﻫد
زﺎﺴﭼﻮﭘ ﺪﯾا
ه زا ﯽﻟآ ﯽﻣ ﻪﺟﻮﺗ .ﺖﺳا
هﺪﯾا يازا ﻪﺑ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ لآ
يﺎﻫ و زا ﻪﮐ ﻢﯾراد ⊆
⊆ .
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز ﯽﻬﺗﺮﯿﻏ ي
ﻪﻘﻠﺣ زا ي ﯽﻣ ﺮﻈﻧ رد ار ﯽﻣ راﺮﻗ .ﻢﯾﺮﯿﮔ
ﻢﯿﻫد
〈 〉 = { | ⊆ ,ﺖﺳالآهﺪﯾا }.
هﺪﯾا ﮏﯾ ﻪﮐ ار〈 〉
زا لآ هﺪﯾا ،ﺖﺳا
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ ﺪﯿﻟﻮﺗ لآ ي
ﯽﻣ هﺎﮔﺮﻫ .ﻢﯿﻣﺎﻧ و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ
و ﺪﺷﺎﺑ راﺪﮑﯾ هﺎﮕﻧآ ∈
〈 〉 = { | ∈ }
.
ﯽﻣ ﻪﺟﻮﺗ ﺮﮔا ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ
= { }
هﺪﯾا هﺎﮕﻧآ ، ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ ﺪﯿﻟﻮﺗ لآ
هﺪﯾا ﮏﯾ ار ﯽﻣ يرود لآ
.ﺪﻨﯾﻮﮔ
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :36 ﻪﻘﻠﺣ ي هﺪﯾا مﺎﻤﺗ ﻪﮐ ار لآ
ﻪﻘﻠﺣ ار ﺪﺷﺎﺑ يرود نآ يﺎﻫ ﯽﻠﺻا ي
( )
و ﺪﻨﯾﻮﮔ
هزﻮﺣ ﺮﻫ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ هﺪﯾا ﺮﻫ ﻪﮐ ار ﯽﺤﯿﺤﺻ ي
هﺪﯾا هزﻮﺣ ﮏﯾ ﺖﺳا يرود نآ لآ ﯽﻠﺻا لآ
( )
.ﺪﻨﯾﻮﮔ
لﺎﺜﻣ -1 -2 :37 ﺮﮔا هﺪﯾا ﻪﻘﻠﺣ لآ ي هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑℤ
∃ ∈ ℤ ; = 〈 〉.
ﻪﻘﻠﺣ ﺲﭘ ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ي
(ℤ, +,0)
ﮏﯾ ﻪﻘﻠﺣ .ﺖﺳا
ﻢﯿﺴﻘﺗ يﺎﻫ ﻪﻘﻠﺣ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺪﻨﺘﺴﻫ
ي
ℤ
نآ رد ﻪﮐ ﮏﯾ ﺖﺳا لوا دﺪﻋ
ﯽﻣ .ﺪﺷﺎﺑ
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :38 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ
و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي هﺪﯾا
زا ﯽﻟآ هﺪﯾا لﺎﮑﯾدار .ﺪﺷﺎﺑ
لآ ترﻮﺼﺑ ار
ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز :ﻢﯿﻨﮐ
√ = { ∈ | ∈ ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑدراددﻮﺟو ﺖﺒﺜﻣﺢﯿﺤﺻدﺪﻋ }.
هراﻮﻤﻫ اﺬﻟ ، ⊆ √
ﯽﻣ ﻪﺟﻮﺗ .ﺖﺳا ﯽﻬﺗﺎﻧ√
ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ هﺪﯾا√
ﻪﻘﻠﺣ زا ﯽﻟآ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي
.ﺖﺳا
هﺪﯾا يازا ﻪﺑ ﺮﯾز ﻂﺑاور هراﻮﻤﻫ لآ
يﺎﻫ و ﻪﻘﻠﺣ زا ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي :ﺪﻨﺘﺴﻫ راﺮﻗﺮﺑ
(1
= ∩ = √ ∩
(2 ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا√ =
. =
(3
√ = √
.
(4 ﺖﺒﺜﻣ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ يازا ﻪﺑ ﺮﮔا ،
هﺎﮕﻧآ ⊆
.√ ⊆
(5 ﺮﮔا
√ + =
هﺎﮕﻧآ . + =
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :39 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ
.ﺪﺷﺎﺑ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي چﻮﭘ ار ∈
ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﺋﻮﮔ ناﻮﺗ
ﺖﺒﺜﻣ ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ
ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ . = 0
چﻮﭘ يﺎﻀﻋا مﺎﻤﺗ ي ﻪﻘﻠﺣ ناﻮﺗ
ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ
ﯽﻣ :دﻮﺷ
( ) = { ∈ | = 0; ∃ ∈ ℕ}.
ﯽﻣ ﻪﺟﻮﺗ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ
زا ﯽﺻﺎﺧ ﺖﻟﺎﺣ ( )
ﻪﮐ ﯽﺘﻗو ﺖﺳا√ . = 0
هﺪﯾا لآ چﻮﭘ ار هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﺋﻮﮔ ناﻮﺗ
ﺖﺒﺜﻣ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ
= 〈0〉
.
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :40 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ
هﺪﯾا مﺎﻤﺗ كاﺮﺘﺷا .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي لآ
ﻪﻘﻠﺣ لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣ يﺎﻫ
ﻪﻘﻠﺣ ﻦﺴﺑﻮﮑﯿﺟ لﺎﮑﯾدار ار ي
ﯽﻣ ﺎﺑ و ﻢﯿﻣﺎﻧ ﺎﺑ ﺎﯾ ( )
ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ( )
ﻊﻗاو رد .ﻢﯿﻫد
( ) =
∈ ( )
.
ﻒﯾﺮﻌﺗ -1
-2 :41 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ
هﺎﮔﺮﻫ .ﺪﺷﺎﺑ هاﻮﺨﻟد ي
( ) = 0
ﻪﻘﻠﺣ هﺎﮕﻧآ ي
ﻪﻘﻠﺣ ار ي
ﻢﯿﻧ ﯽﻣ هدﺎﺳ .ﻢﯿﻣﺎﻧ
لﺎﺜﻣ -1 -2 :42
(ℤ) = 0
و
(ℚ) = 0
اﺬﻟ . وℤ
ﻢﯿﻧℚ
.ﺪﻨﺘﺴﻫ هدﺎﺳ
. : × → ,
Title and Author: Classical 2-Absorbing Submodules Of Modules Over Commutative Rings– Roya Alivand Entezami
Supervisor: Dr. Kamal Bahman Pur Graduation date: 14 Aug 2018
Number of pages: 51
Abstract
In this thesis, all rings are commutative with nonzero identity. Let be an -module. A proper submodule of is called a classical prime submodule, if for each ∈ and elements , ∈ , ∈ implies that ∈ or ∈ . We introduce the concept of "classical 2-absorbing submodules" as a generalization of "classical prime submodules". We say that a proper submodule of is a classical 2-absorbing submodule if whenever , , ∈ and ∈ with ∈ , then
∈ or ∈ or ∈ .
Keywords: Classical prime submodule, Classical 2-absorbing submodule.
University of Mohaghegh Ardabili Faculty of Sciences Department of Mathematics
Thesis submitted in partial fulfillment for the degree of M.Sc. in Pure Mathematics
Classical 2-Absorbing Submodules Of Modules Over Commutative Rings
By:
Roya Alivand Entezami
Supervisor:
Dr. Kamal Bahman Pur
Advisor:
Dr. Ghader Ghasemi
(Aug 2018)
