υ υ υ υ υ + α θ θ

KINOUSOUZOU 2011, 4/27, 0915-1045, 3-321

ラグランジアンとオイラーラグランジュ方程式の復習 イ） 記号と微分公式

・変数の上の点は、時間微分：

dt

x&=dx

・∂（ラウンドディー）は偏微分：

( )

dx y x f ,

∂ は、yを定数だと思って、xについてのみ微分

・全微分の公式：

( ) ( ) ( )

dz dy y

y x g dz dx x

y x g dz

y x dg

∂ +∂

∂

=∂ , ,

,

例）g

( )

x,y =xyで、x

( )

z =z²、y

( )

z =z+1なら、 y z x z z z z z dz

dg = ⋅2 + ⋅1=2( +1) + ² =3 ² +2

・微分公式：

( ( ) ) ( )

dz dg dg

g df dz

z g

df = 積の微分：

( ) ( )

g f g dz f

z g z

df = ′ + ′

ロ） ラグランジアンの定義 L=T−U

但し、T は運動エネルギー、Uはポテンシャルエネルギー 例）一次元運動する質点 ^{L=m 2 −U}

( )

^x

2υ 例）二次元運動する質点なら、 ²

2 υ^r

T =m 及びU =U

( )

x,y に注意。

ハ）オイラー・ラグランジュ方程式 =0

∂

− ∂

∂

∂

x L dt

d x L

&

例）上の場合だと、 − =0

∂

−∂

=

∂ −

−∂

∂ =

− ∂

∂

∂ ma

x m U

dt d x U x

L dt

d x

L υ

&

ニ） 二次元のオイラーラグランジュ方程式

=0

∂

− ∂

∂

∂

x L dt

d x L

& 及び、 =0

∂

− ∂

∂

∂

y L dt

d y L

& のように連立方程式となる。

【ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式から、運動方程式を求めよう】

1. 練習問題１ バネ定数kのばねにつながれた質量mの質点（一次元運動、変数はx）。

ヒント ² 2 x

T =m & 及び ²

2x U =k

2. 練習問題２ ポテンシャルが全くない空間に置かれた質量mの質点 ヒント、前問よりやさしいはずだ。

3. 練習問題３ x方向に坂になっている坂道を転がる質点（二次元運動、変数はxとy ）。

ヒント

(

^{2 2}

)

2 x y

T =m & + & 、及び、^U

( )

^x,^y =−^bx、但しbは定数。

4. 練習問題４ 重力場中で二次元面内を運動する質点（二次元運動、変数はxとy ） ヒント、

(

^{2 2}

)

2 ^{x y}

T =m υ +υ 、

2

2 y

x

U +

= −α

ただし、αは定数。

5. 上の問題を極座標x=rcosθ, y=rsinθで書いてみよう（二次元運動、変数はrとθ^）。

ヒント、たとえば、x&=rcosθ =r&cosθ −rθ&sinθ となる。

これの意味は、

「関数 U は、x とy の二 つの変数に依存してい ますよ」ということ。

KINOUSOUZOU 2011, 4/27, 0915-1045, 3-321

ラグランジアンとオイラーラグランジュ方程式の復習〔略解〕

6. 練習問題１ バネ定数kのばねにつながれた質量mの質点（一次元運動、変数はx）。

2 2

2

2 k x

mx U T

L= − = & − , = − =0

∂

− ∂

∂

∂ kx mx

x L dt

d x

L &&

&

7. 練習問題２ ポテンシャルが全くない空間に置かれた質量mの質点

2

2 x U m T

L= − = & , = =0

∂

− ∂

∂

∂ mx

x L dt

d x

L &&

&

8. 練習問題３ x方向に坂になっている坂道を転がる質点（二次元運動、変数はxとy ）。

(

^{x y}

) (

^mbx

)

U m T

L= − = ² + ² − −

2 & & ,

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−

∂ =

− ∂

∂

∂

=

−

∂ =

− ∂

∂

∂

0 0 y

y m L dt

d y L

x m x mb

L dt

d x L

&&

&

&&

&

注）ポテンシャルU を、位置エネルギ×質量＝mUのように分けて書いてある。同じように、静電ポテン シャルも、

r q 4 0

1

φ =− πε のように電荷を入れて書くこともある一方、

r 1 4

1 πε0

φ=− のように分けて書くこと もある。次の問題9, 10もポテンシャルエネルギー＝mUのように、分けて書いてある。

9. 練習問題４ 重力場中で二次元面内を運動する質点（二次元運動、変数はxとy ）

( )

_⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

− − +

=

−

= 2 2

2 2

2 x y

m U m

T

L υ_x υ_y α ,

( )

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

= + −

= −

∂

− ∂

∂

∂

= + −

= −

∂

− ∂

∂

∂

0 0

2 2 3 2

2 2 3 2

y m y

x my y

L dt

d y L

x m y

x mx x

L dt

d x L

&&

&

&&

&

α α

10. 上の問題を極座標x=rcosθ, y=rsinθで書いてみよう（二次元運動、変数はrとθ）。

ヒント、たとえば、x&=rcosθ =r&cosθ −rθ&sinθ となる。

( )

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛ − +

=

−

= r

r m m r

U T

L ^{2 2}θ² α

2 & & ,

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

∂ =

− ∂

∂

∂

=

−

−

∂ =

− ∂

∂

∂

0 0

2 2 2

θ θ θ

θ α

&

&

&&

&

&

dt mr d L dt

d L

r r m mr m

r L dt

d r L

※二つ目の式は、mr²θ^&=M（一定値）という、角運動量保存則。

実際、mr²θ&=mrυ =rpであり、お互いの方向rr⊥ prを考えると、

p rr× r

= であり、確かに角運動量になっている。

r p