プレ高数学科（LaTeX Beamer で汎用PDFプレゼンを作る）

サイクロイド

円が直線上を転がっていくとき、円周上の点が描 く軌跡をサイクロイドといいます。

半径が

1

^{の円の場合は、}

θ

^{を媒介変数として}

x = θ − sin θ, y = 1 − cos θ

と表されます。描かれる図形は次のようになり ます。

サイクロイド

円が直線上を転がっていくとき、円周上の点が描 く軌跡をサイクロイドといいます。

半径が

1

^{の円の場合は、}

θ

^{を媒介変数として}

x = θ − sin θ, y = 1 − cos θ

と表されます。描かれる図形は次のようになり ます。

gbb60166 プレ高数学科

サイクロイド

π 2

π 3π

2

2π 5π

2 1

2

x

y

サイクロイド

半径が

a

^{の円の場合は、}

θ

^{を媒介変数として}

x = a (θ − sin θ ), y = a (1 − cos θ )

と表されます。

gbb60166 プレ高数学科

歯車の設計に利用されます

サイクロイドを利用した歯車が作られています。

かみ合いが滑らかなので時計の歯車などに使われ ますが、大きな力が加わる場合には不向きなの で、そうした場合はインボリュートという曲線を 利用した歯車を使用します。

最速降下曲線

サイクロイドを上下逆さまにしたものを最速降下 曲線といいます。

この曲線でボールを転がしたときが、一番早く ゴールすることが証明されています。

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最速降下曲線

π 2

Goal

3π

2

2π 1

2

直線

円弧

最速降下曲線

（サイクロイド）

x

y

最速降下曲線

最速降下曲線は、ジェットコースターの加速部分

（最初の落下部分）やスキーやスケートボード競 技のハーフパイプの曲面部分として使われてい ます。

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最速降下曲線

また最速降下曲線は、どの高さからボールを転が しても同時にゴールするという性質もあります。

大科学実験 実験

74

坂の下で会いましょう！ ^web

最速降下曲線はサイクロイドのどの部分？

しかし、この

PDF

^{を作るため}

Web

^{サイトを調} べていて疑問が生じました。

最速降下曲線として、次のページのような曲線が 紹介されているサイトもありました。

gbb60166 プレ高数学科

最速降下曲線はサイクロイドのどの部分？

π 2

Goal

3π

2

2π

− 1 1 2

x

y

最速降下曲線はサイクロイドのどの部分？

さらに調べると同じ疑問をもって考察した論文が あったので読み込んでみようと思います。

http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/

math/lecture/misc/misc.html

^{web の「最速} 降下線について」

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