ベジエ曲線の導関数

(1)

ベジエ曲線の導関数

ベジエ曲線bⁿ₀(t)の導関数は，制御点の差分を用いて計算できる．

制御点の前進差分演算子∆^kb_j を帰納的に

∆⁰b_j =b_j, ∆^kb_j = ∆^k⁻¹(b_j₊₁−b_j)で定義する.

例．∆b_j =b_j₊₁−b_j, ∆²b_j =b_j₊₂−2b_j₊₁+b_j,

∆³b_j =b_j+3−3b_j+2+3b_j+1−b_j.

d

dtbⁿ₀(t)=

∑n j=0

b_jd

dtBⁿ_j(t)= n

∑n j=0

(Bⁿ⁻¹_j−1(t)−Bⁿ⁻¹_j (t))b_j

=n

∑n−1 j=0

(b_j₊₁−b_j)Bⁿ_j⁻¹(t)=n

∑n−1 j=0

∆b_jBⁿ_j⁻¹(t)となる．

坂根由昌大阪大学現代数学の基礎形状設計のための数学入門

(2)

特に，ベジエ曲線bⁿ₀(t)は端点b₀, b_nでそれぞれ，ベジエ多角形の辺b₀b₁, b_n₋₁b_nに接することがわかる．

上述の細分割とあわせると，ベジエ曲線bⁿ₀(t)は点bⁿ₀(t₀)で線分bⁿ₀⁻¹(t₀)bⁿ₁⁻¹(t₀)に接していることもわかる．

また，高階の導関数に対しても，

d^k

dt^kbⁿ₀(t)= n!

(n−k)!

n−k

∑

j=0

∆^kb_jB^n−k_j (t) (9) が成り立つ．

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(3)

ベジエ曲線の高階の導関数の応用例

高階の導関数に関する式(9)を用いて，細分割に関する補題2 を示す．

c₁(t)=bⁿ₀(t₀t)のベジエ点を求めるために，まずつぎのことに注意する．

多項式 p(t)=a0tⁿ+a1tⁿ⁻¹+· · ·+an−1t+anに対して，原点 t=0でのn階までの微係数が定まると多項式 p(t)は定まる．

すなわち，n次の多項式p(t)とq(t)に対して，

d^k

dt^kp(t)|t=0 = d^k

dt^kq(t)|t=0 (k=0,1,· · · ,n) ならば，p(t)= q(t)となる．

また，

d^k

dt^kbⁿ₀(t₀t)|t=0= n!

(n−k)!t₀^k∆^kb₀ (k =0,1,· · · ,n) (10) で，右辺はt₀とb₀,b₁,· · · ,b_k で定まることに注意する．

(4)

c1(t)=bⁿ₀(t0t)のベジエ点をc₀,c₁,· · · ,c_nとすると，

c₁(t)=

∑n j=0

c_jBⁿ_j(t)で，

d^k

dt^kc₁(t)|t=0 = n!

(n−k)!∆^kc₀ (k= 0,1,· · · ,n) (11) となる．また，c^r₀(t)=

∑r j=0

c_jB^r_j(t), b^r₀(t)=∑_r

j=0b_jB^r_j(t)( r=0,1,· · · ,n)とおくと，b^r₀(t₀t)=

∑r j=0

b_jB^r_j(t₀t)で，(10), (11) より，

d^k

dt^kb^r₀(t₀t)|t=0 = d^k

dt^kc^r₀(t)|t=0 (k= 0,1,· · · ,r) (12) となる．

(5)

ベジエ曲線の高階の導関数の応用例

c^r₀(t),b^r₀(t₀t)の各成分はr次の多項式であるから，

c^r₀(t)=b^r₀(t₀t)となる．特に，c^r₀(1)=b^r₀(t₀)(r=0,1,· · · ,n)を得る．従って，c_r =c^r₀(1)=b^r₀(t₀)(r= 0,1,· · · ,n)を得る．

従って，c₁(t)= bⁿ₀(t₀t)のベジエ点は

b₀,b¹₀(t₀),b²₀(t₀), . . . ,bⁿ₀(t₀),

で与えられる．

同様に，c₂(t)=bⁿ₀(t₀+(1−t₀)t)のベジエ点を求めると bⁿ₀(t₀),bⁿ⁻¹₁ (t₀),bⁿ⁻²₂ (t₀), . . . ,b_n

となる．

(6)

平行移動，拡大や縮小，回転移動などにより，ベジエ曲線はどのように変化するかなどを調べる．

平面R²あるいは空間R³のn+1個の点b₀,b₁,· · · ,b_nを考える．

b=c₀b₀+c₁b₁+· · ·+c_nb_n, c₀+c₁+· · ·+c_n =1 と表わされるとき，bをb₀,b₁,· · · ,b_nの重心結合という．

例えば３点b₀,b₁,b₂の作る三角形の重心g= 1 3b₀+ 1

3b₁+ 1 3b₂ は，重心結合の一例である．

(7)

重心結合と制御多角形

集合P= 



∑n j=0

c_jb_j

∑n j=0

c_j = 1, 0≤ c_j ≤ 1

をb₀,b₁,· · · ,b_nで生成 される凸包とよぶ．

例1. ２点b₀,b₁のとき，Pは線分である．

例2. 3点b₀,b₁,b₂のとき，Pは三角形の内部と境界である．

図11

(8)

例3. 空間R³の4点b₀,b₁,b₂,b₃ を考えると，一般にはPは四面体の内部と境界である(図12a)．

図12a

例4. 4点b₀,b₁,b₂,b₃が同一平面上にあるとき，Pは四辺形の内部と境界である

(図12b)．図12b

ベジエ曲線とその制御多角形との関係をみよう．

(9)

重心結合と制御多角形

ベジエ曲線bⁿ₀(t)は0≤ t≤1のとき，制御多角形内にある．

これをベジエ曲線の凸包性という．

このことは次のようにしてわかる：ベルンシュタイン多項式Bⁿ_j(t) は

Bⁿ_j(t)≥0 (0 ≤t≤ 1),

∑n j=0

Bⁿ_j(t)= 1 をみたす．ベジエ曲線bⁿ₀(t)=∑n

j=0b_jBⁿ_j(t)は集合 P={∑n

j=0c_jb_j ∑_n

j=0c_j =1, 0≤c_j ≤1

}に含まれる．

(10)

別証

b0

b₁

b2

b3

b¹₀HtL

b¹₁HtL

b¹₂HtL b²₀HtL b²₁HtL

b³₀HtL

ド・カステリョのアルゴリズムにおいて， b^r_i(t) は１つ前の段階である b^r−1_i (t) と b^r_i+1⁻¹(t)とをt : 1− t に内分する点として得られ，これを繰り返すことによりb^r_i(t)は得られる．

従って，b^r_i(t)はb₀,b₁,· · ·,b_n から生成される制御多角形内にあ

る．特に，ベジエ曲線bⁿ₀(t)は制御多角形内にあることがわかる．