振子時計にみられる数学を題材とした授業研究

振子時計にみられる数学を題材とした授業研究 

― ホ イ ヘ ン ス の 数 学 に お け る 発 展 ―    

筑 波 大 学 大 学 院 修 士 課 程 教 育 研 究 科 能 登   誉 光

章 構 成 １ ． は じ め に

２ ． 研 究 目 的 ・ 研 究 方 法

３ ．「 ホ イ ヘ ン ス と 振 子 時 計 」 の 教 材 化 ４ ．「 ホ イ ヘ ン ス と 振 子 時 計 」 の

数 学 的 解 説

５ ．「 ホ イ ヘ ン ス と 振 子 時 計 」の 授 業 概 要 ６ ． 議 論

７ ． お わ り に

要 約

本 研 究 で は 、 ホ イ ヘ ン ス の 振 子 時 計 を 教 材 と し て ホ イ ヘ ン ス が 考 え た 伸 開 線 と 縮 閉 線 を 原 典 解 釈 す る こ と に よ っ て 、 生 徒 が 昔 の 人 の 考 え た 数 学 を 知 る 。 さ ら に 振 子 時 計 か ら 、 社 会 生 活 に お い て も 数 学 が さ ま ざ ま な と こ ろ に 関 わ り 発 展 し て き た こ と を 学 習 す る 。 そ し て 生 徒 が 身 近 な も の に 興 味 ・ 関 心 を 持 つ こ と が で き 、 数 学 を よ り 身 近 に 感 じ る こ と を 示 し た 。

キ ー ワ ー ド ： ホ イ ヘ ン ス 、 振 子 時 計 、 伸 開 線 、 縮 閉 線

１ ． は じ め に

高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 解 説(1999)で は 、「 数 学 基 礎 」 の 目 標 に お い て 「 数 学 と 人 間 と の か か わ り や 、社 会 生 活 に お い て 数 学 が 果 た し て い る 役 割 に つ い て 理 解 さ せ 、数 学 に 対 す る 興 味・関 心 を 高 め る と と も に 数 学 的 な 見 方 考 え 方 の 良 さ を 認 識 し 数 学 を 活 用 す る 態 度 を 育 て る 」で あ る 。さ ら に 数 学 の 良 さ 、数 学 を 学 ぶ 意 味 を 生 徒 に 伝 え た い と い う 考 え の 下 に 、「 他 者 の 認 め た 良 さ を 味 わ う た め に は 、 他 者 の 立 場 に な っ て 考 え て み る 必 要 が あ る 。」(礒 田 ・ 土 田 2001,p.8、9)つ ま り 、 数 学 を 生 み 出 す 活 動 は 人 に よ っ て 営 ま れ る た め 、数 学 の よ さ を 生 徒 に 伝 え る た め に は 生 徒 が 当 時 の 人 々 の 営 み を 追 体 験 す る 必 要 が あ る 。こ の こ と を 受 け て 数 学 史 を 取 り 入 れ た 授 業 の 必 要 性 を 述 べ る 。 こ の 数 学 史 の 導 入 に つ い て 礒 田(2002)は 、「 数 学 を 生 み 出 す 活 動 は 、人 に よ っ て 営 ま れ る 。他 者 の 立 場 に 心 情 を 重 ね つ つ 、自 ら の 教 訓 を 導 き 出 そ う と す る 共 感 に 支 え ら れ た 主 体 の 行 為 に 解 釈 学 的 営 み は 光 を 当 て る 。例 え ば 、数 学 の 考 え の 良 さ を 教 え る た め に は ど う し た ら よ い か 。ま ず は よ さ を 求 め て 教 材 に 対 す る 解 釈 学 的 営 み が な さ れ る 。」(礒 田,2002p.8:72-78)と 述 べ て い る 。そ し て「 共 感 と 教 訓 を 導 く 原 典 解 釈 機 会 を 取 り 入 れ る な ら ば 、解 釈 学 的 営 み を 通 じ て 、生 徒 は 自 ら そ の 数 学 内 容 と そ れ を 生 み 出 し た 人 間 と の か か わ り を 知 る 活 動 に 取 り 組 む こ と に な る 。」(礒 田 2002,p.8)そ の た め に も 昔 の 人 が ど の よ

う に 考 え た か を 理 解 す る た め に も 、原 典 解 釈 を す る こ と に よ っ て 共 感 す る こ と が で き る で あ ろ う 。

さ ら に ｢社 会 生 活 に お い て 数 学 が 果 た し て い る 役 割 に つ い て 理 解 さ せ る 。｣に 対 し て 、社 会 生 活 に お い て 物 理 な ど の 他 教 科 と 関 連 づ け る こ と に よ り 数 学 の 果 た し て い る 役 割 を 理 解 さ せ る 。ま た 物 理 と 数 学 史 を 扱 っ た 先 行 研 究 と し て 斉 藤(2001) が 挙 げ ら れ る 。斉 藤 は 研 究 の 意 図 と し て 、数 学 と 他 教 科 と の 関 連 性 、特 に 、数 学 史 を 利 用 し た 授 業 実 践 を 例 に 、数 学 と 物 理 と の 関 連 性 に 焦 点 を 当 て て 考 え 、そ の 結 果 、数 学 史 を 利 用 し た 授 業 は 生 徒 の 持 つ 数 学 の イ メ ー ジ を よ い 方 向 に 変 容 さ せ る と 共 に 、数 学 に 対 す る 興 味・関 心 、学 習 意 欲 を 高 め 、ま た 、物 理 を 取 り 入 れ た 数 学 の 授 業 は 生 徒 に 「 数 学 」「 物 理 」 は 個 別 の も の で は な く 、 お 互 い に 関 わ り の あ る も の で あ る と 認 識 さ せ る こ と が で き た 。

筆 者 は 本 研 究 に お い て 、ホ イ ヘ ン ス の 数 学 と 振 子 時 計 と い う 物 理 学 を 考 え る こ と に よ り「 文 化 や 社 会 生 活 に お い て 数 学 が 果 た し て い る 役 割 」に 気 づ く こ と が で き る の で は な い か と 考 え た 。そ し て 今 回 の 授 業 で は 、題 材 と し て 、ホ イ ヘ ン ス が 考 え た 振 子 時 計 に つ い て 取 り 上 げ 、そ れ を 用 い て 数 学 的 活 動 を 中 心 に 授 業 を 行 っ た 。

２ ． 研 究 目 的 ・ 研 究 方 法

（ １ ） 研 究 目 的

社 会 生 活 に お い て 数 学 が 果 た し て い る 役 割 に つ い て 理 解 さ せ 、数 学 に 対 す る 興 味・関 心 を 高 め る と と も に 数 学 的 な 見 方 考 え 方 の 良 さ を 認 識 し 数 学 を 活 用 す る 態 度 を 育 て る 。

目 的 達 成 の た め 、 以 下 を 課 題 と す る 。 課 題 1

時 代 が 変 わ っ て い く こ と に よ り ま わ り も 変 化 し て い く が 、 数 学 も ま た 変 化・発 展 し て い く の か 。現 代 の 数 学 と 昔 の 数 学 の 違 い に つ い て も 原 典 解 釈 か ら 定 義 や 命 題 の 証 明 な ど を 行 っ て み る 。

課 題 2

生 徒 の 数 学 に 対 す る 考 え 方 、特 に 身 近 な こ と に 関 し て 数 学 が 役 に 立 っ て い る か に つ い て 、 意 識 の 変 化 は 生 ま れ る か 。

（ ２ ） 研 究 方 法

数 学 史 と そ れ に ち な ん だ オ リ ジ ナ ル の 教 材 、授 業 の 事 前・事 後 に 行 っ た ア ン ケ ー ト 、各 授 業 で の 生 徒 の 感 想 、授 業 を 撮 影 し た ビ デ オ を 基 づ き 考 察 す る 。

３ ．「 ホ イ ヘ ン ス と 振 子 時 計 」 の 教 材 化

本 研 究 で は 、上 記 の 2 つ の 研 究 課 題 を 達 成 す る た め に ホ イ ヘ ン ス と 振 子 時 計 に つ い て の 教 材 化 を 行 っ た 。Die Pendeluhr Horologium oscillatorium,Christiaan  Huygens を 原 典 と し struik,A source book in mathematics の 英 訳 に 基 づ い て 授

業 を 進 め て い っ た 。

ま ず 基 と な る 数 学 を 何 に す る の か 決 め 、原 典 に 準 ず る も の が あ る も の を 探 し て く る 。こ こ で は 、 struik,A source book in mathematics を 英 訳 原 典 と し 調 べ て い っ た 。 ホ イ ヘ ン ス に お い て 彼 は 数 学 者 で も あ り 物 理 学 者 で も あ り ま た 天 文 学 者 で も あ っ た 。ホ イ ヘ ン ス と い え ば ホ イ ヘ ン ス の 原 理 が 一 番 有 名 で あ る と 思 わ れ 、物 理 の 波 動 に お い て は 、 と て も 重 要 な 役 割 を 果 た し て い る 。ホ イ ヘ ン ス に と っ て 次 に 有 名 な 業 績 が こ の 振 子 時 計 で あ る と 思 わ れ る 。そ の た め 振 子 時 計 を 教 材 と し て 考 え て い っ た 。振 子 時 計 を 解 明 す る に あ た っ て ま ず は 、ホ イ ヘ ン ス が 考 え た 伸 開 線 と 縮 閉 線 を 十 分 に 理 解 す る 必 要 が あ る 。そ し て そ れ ら の 性 質 を 証 明 し 、理 解 し て い く こ と に な る 。授 業 の 中 で も 生 徒 が 伸 開 線 を 書 い た り 、原 典 解 釈 な ど の 活 動 行 う こ と に よ り 受 身 の 授 業 に な ら な い よ う に 工 夫 す る 。基 本 と な る 伸 開 線 と 縮 閉 線 が 学 習 す る こ と が で き た な ら ば 、 振 子 時 計 の 解 明 に 移 る 。 そ こ で ガ リ レ オ・ガ リ レ イ の 発 見 し た 等 時 性（ 振 動 す る 振 子 の 振 幅 が 大 き く て も 小 さ く て も 、周 期 す な わ ち １ 往 復 に 要 す る 時 間 は 同 一 で あ る と い う こ と 。） の 説 明 を し 、 サ イ ク ロ イ ド に 着 目 し た ホ イ ヘ ン ス の 考 え に 注 目 す る 。サ イ ク ロ イ ド の 性 質 を 紹 介 し て い く な か で も 、伸 開 線 と 縮 閉 線 の 考 え を 使 い サ イ ク ロ イ ド の 伸 開 線 が サ イ ク ロ イ ド に な る と い う こ と を 学 ぶ 。こ こ で も 原 典 解 釈 や サ イ ク ロ イ ド の 伸 開 線 に つ い て も 生 徒 が 活 動 す る こ と 重 点 に お く 。そ し て サ イ ク ロ イ ド が 等 時 曲 線 で あ る こ と を 物 理 に 関 連 さ せ な が ら 教 え て い く 。 サ イ ク

Christiaan  Huygens

『 振 子 時 計 』初 版 本 の 表 紙

ロ イ ド 振 子 の 完 成 と な る 。し か し そ れ で も 振 子 時 計 は う ま く 機 能 し な い こ と 、等 時 性 の 問 題 で は な い の だ が 、 そ こ で 脱 進 機 （「 脱 進 機 」 は 時 計 に 使 わ れ て い る 振 子 な ど は 、そ の ま ま に し て お く と だ ん だ ん と そ の 動 き が 弱 く な っ て 、止 ま っ て し ま う 。だ か ら 、ほ ん の 少 し の 力 を 、振 子 な ど に あ た え つ づ け て 、そ の う え 正 し い

速 度 で 動 く よ う に す る 働 き を し て い る の が

「 脱 進 機 」 で あ る 。） の 紹 介 し 、 そ し て そ こ に も 歯 車 と し て ま た サ イ ク ロ イ ド や 伸 開 線 が 使 わ れ て い る こ と を 生 徒 に 教 え る 。さ ら に 時 間 が あ れ ば 歯 車 に つ い て 授 業 を 進 め て い く こ と が で き れ ば さ ら に 生 徒 の 理 解 が 深 ま る 。歯 車 に も 数 学 と 物 理 の 関 係 が あ り 、い っ そ う 、社 会 生 活 に お い て 数 学 が 果 た し て い る 役 割 に つ い て 生 徒 が 理 解 し 、数 学 に 対 す る 興 味・関 心 を 高 め る と と も に 数 学 的 な 見 方 考 え 方 の 良 さ を 認 識 し 数 学 を 活 用 す る 態 度 を 育 て る の に 役 に 立 つ で あ ろ う 。

４ ．「 ホ イ ヘ ン ス と 振 子 時 計 」 の 数 学 的 解 説

サ イ ク ロ イ ド 振 子 時 計

定 義 Ⅲ

我 々 は 、糸 や 曲 げ や す い 線 が 凹 の 曲 線 に 沿 っ て 一 つ の 辺 に 対 し て 置 か れ る こ と を 考 え 、曲 線 か ら 一 つ の 端 を 移 す 。一 方 、他 方 の 糸 の 端 は 曲 線 上 に と ど ま る 。展 開 さ れ た 部 分 が ぴ ん と 張 っ た ま ま で あ る と き 、そ の と き こ の 糸 の 端 は 、明 ら か に 別 の 曲 線 を 描 く で あ ろ う 。 そ し て 、 こ の 曲 線 は 伸 開 線 と 呼 ば れ る 。

定 義 Ⅳ

し か し な が ら 、 糸 が 置 か れ て い る そ の 曲 線 は 縮 閉 線 と 呼 ば れ る こ と が で き る 。 図 １ に お い て ABC は 縮 閉 線 で あ り 、ADE は ABC の 伸 開 線 で あ る 。と い う の は 、 も し 糸 の 端 が A か ら D に き た な ら ば 、 そ の と き 、 糸 の ま っ す ぐ な 部 分 DB は 、 ぴ ん と 張 っ た ま ま だ ろ う 。 一 方 、 他 の BC の 部 分 は 、 や は り 曲 線 に 沿 っ て い る 。 DB が 点 B で 縮 閉 線 に 接 す る の は 、 明 ら か で あ る 。

伸 開 線

E

縮 閉 線

C B D

A

図 １

命 題 Ⅰ

全 て の 縮 閉 線 の 接 線 は 、 伸 開 線 と 直 角 に 交 差 す る 。 証 明 の 一 部

H が A に 対 し て C よ り 遠 い 場 合 DF＋FG＞DG  E

CD＋DF＋FG＞CD＋DG

C

F

図 ２ G

D

CF＋FG＞CD＋DG・ ・ ・(ⅰ) H

CD＋DG＝HG    ・ ・ ・(ⅱ) (ⅰ)(ⅱ)よ り

CF+FG＞HG _A

CF＋FG−FG＞HF＋FG−FG よ っ て

CF>HF

こ れ で 曲 線 上 の 他 の 点 H は CE 上 で 交 わ ら な い 。

次 に

CF>HF・ ・ ・(ⅲ) FE＞FC・ ・ ・(ⅳ) B

(ⅲ)(ⅳ)よ り FE>HF

こ れ で 交 点 が １ つ で あ る 。

こ れ か ら 、 点 C の こ の 側 で の 糸 は も は や 線 CE と は 交 差 し な い と い う こ と に な る 。

命 題 Ⅴ

サ イ ク ロ イ ド AEF に 延 び て い る こ の 接 線 は サ イ ク ロ イ ド AEF と 直 角 に 交 わ る と 主 張 す る 。

証 明

AG//BH・ ・ ・ ①

HA//BK(サ イ ク ロ イ ド の １ か ら 接 線

点 を 引 く と 生 成 円

・ ・ ③

定 義

＝ 弧 AH… ④ の 頂 点 を 通 る

よ り)・ ・ ・ ②

① ② よ り AHBK は 、 平 行 四 辺 形 ・

③ と サ イ ク ロ イ ド の

D C

B H

A G

K

F E

M

N

よ り AK＝HB

③ よ り   BKE//AH

し た が っ て   ∠EKA=∠KAH

・ ・ ・ ⑤

に あ る 。

て い る こ の 接 線 は サ イ ク ロ イ ド AEF と 直 角 に 交 わ る

．「 ホ イ ヘ ン ス と 振 子 時 計 」 の 授 業 概 要

年 12 月 20 日 、22 日 （90×2）

wer Point、作 図 ツ ー ル（Cabri

（ ２ ） 授 業

の 数 学 的 考 え 方 を 理 解 し 、伸 開 線 と 縮 閉 線 の 定 義 を 原 点 か ら 読 み 取 り

て 本 研 究 と 関 係 の あ る

orologi

原 典 に 興 味 を 示 す 生 徒

こ の こ と か ら   弧 KE＝ 弧 AH

④ ⑤ よ り   AK＝ 弧 EK・ ・ ・ ⑥

⑥ と サ イ ク ロ イ ド の 定 義 よ り 点 E は 、 サ イ ク ロ イ ド AEF 上

サ イ ク ロ イ ド 上 の 点 E か ら 接 線 を 引 く と 性 質 １ よ り 接 線 は 生 成 円 の 頂 点 を 通 る 。・ ・ ・ ⑦

⑦ と 円 の 直 径 の 性 質 よ り サ イ ク ロ イ ド AEF に 延 び こ と が 証 明 で き た 。

５

（ １ ） 授 業 環 境 日 時 ： 平 成 16

対 象 ： 筑 波 大 学 附 属 高 等 学 校 ２ 年 生 （ ３ 名 ） 準 備 ： コ ン ピ ュ ー タ（Windows）、Microsoft Po

GeometryⅡ ）糸 、筒 、サ イ ク ロ イ ド の 木 材 、授 業 記 録 用 の デ ジ タ ル ビ デ オ カ メ ラ 、 事 前 ・ 事 後 ア ン ケ ー ト 、 授 業 テ キ ス ト

展 開

＜ １ 時 間 目 ＞

【 目 標 】 ホ イ ヘ ン ス

証 明 し て い く 。こ の こ と に よ り 昔 の 人 の 考 え 方 や 証 明 の 仕 方 を 学 習 す る こ と に よ っ て 、今 と 昔 で も 証 明 の 方 法 は 異 な る け れ ど 証 明 の 結 論 は 、同 じ で あ る こ と を 知 る 。そ し て 昔 の 人 の 考 え を 共 有 し 数 学 の よ さ を 理 解 す る 。そ の た め に 、ま ず 基 本 と な る こ と を 十 分 に 行 う 。 そ し て 次 の 授 業 へ 助 け と す る 。

【 授 業 概 要 】 ま ず 導 入 と し

身 近 な も の を 見 せ 何 か 感 じ た こ と や 思 っ た こ と を 何 で も い い の で 書 い て 発 表 す る 。次 に ホ イ ヘ ン ス の 人 物 紹 介 と と も に ホ イ ヘ ン ス の 業 績 に つ い て ふ れ 、有 名 な ホ イ ヘ ン ス の 原 理 や 振 子 時 計 な ど の 紹 介 を し 、伸 開 線 と 縮 閉 線 に つ い て も 紹 介 し て い く 。

Die Pendeluhr H um

oscillatorium,

Christiaan Huygens を 原 典 と し 伸 開 線

入

線 を 理 解

訳 を 載 せ 聞 い て

こ

学 習 し た 知 識 を 応 用 し て い き 振 子 時 計 に つ い て 解 明 し て い く 。そ の 中

伸 開 線 の 原 典 解 釈

と 縮 閉 線 の 定 義 を 理 解 す る こ と か ら 始 ま り 、言 葉 だ け で は 、分 か り に く い の で 、Microsoft Power Point や Cabri GeometryⅡ を 使 っ て 図 形 を 取 り れ 、 動 か し 、な る べ く 生 徒 に 分 か り や す く ゆ っ く り と 進 め て い っ た 。

そ し て 、生 徒 が 伸 開 線 と 縮 閉

す る た め に 、伸 開 線 を 実 際 に 書 く 。円 、 放 物 線 、双 曲 線 の 伸 開 線 を 書 き 、書 く に あ た っ て 何 か 気 付 い た こ と を 発 言 す る 。 例 え ば 書 き 始 め る 場 所 や 糸 の 長 さ の 違 い な ど に よ っ て 伸 開 線 は ど の よ う な 違 い が あ る の か 聞 い て み る 。伸 開 線 と 縮 閉 線 の 性 質 に つ い て 原 典 か ら 命 題 Ⅰ を 取 り 出 し 証 明 を し て い く 。こ こ で は 、幾 何 学 的 に 証 明 を 進 め て い く の で は じ め に ど の よ う に 証 明 を 進 め て い く の か 、方 針 を 立 て て 証 明 を し て い く 。そ し て 、場 合 分 け を し て 考 え て い き 、ま ず 証 明 す る べ き 問 題 の 図 の 紹 介 は 、生 徒 と 一 緒 に や っ て い く 。そ の 後 は 、 図 を 見 て 生 徒 に 証 明 を 説 か せ て み る 。ヒ ン ト と し て 原 典 の 英 訳 と 日 本 語

双 曲 線 の 伸 開 線 を 書 く 生 徒

て 置 く 。そ の 後 、答 え を

い く が な ぜ そ の よ う な 答 え に な る の か 答 え だ け で な く 、理 由 も 聞 い て い く こ と に す る 。そ う す る こ と に よ っ て 生 徒 の 理 解 を よ り 深 い も の に し て い く 。時 間 が あ っ た 場 合 は 、場 合 分 け の も う 一 つ の ほ う 解 く 。本 研 究 で は 、時 間 が あ っ た た め 生 徒 に も う 一 つ の ほ う も 問 題 を 解 き 前 問 と 同 じ よ う に 答 え 合 わ せ を し て い っ た 。 最 後 に １ 時 間 目 の ま と め を し 、で は 、い っ た い 伸 開 線 と 縮 閉 線 は ど の よ う な と ろ で 使 わ れ て い る の か ２ 時 間 目 に 考 え て い く こ と で １ 時 間 目 は 終 わ る 。  

＜ ２ 時 間 目 ＞

【 目 標 】 １ 時 間 目 に

で 振 子 時 計 の 問 題 を 解 決 し て い く に あ た っ て 数 学 が 使 わ れ て 発 展 し て い く こ と 知 る 。振 子 時 計 の 完 成 に 大 い に 数 学 が 役 に 立 っ て い る こ と を 学 習 す る 。そ し て 最 後 に は 、 日 常 の さ ま ざ ま な 場 所 に も 数 学 が 使 わ れ て い る こ と を 理 解 す る 。

【 授 業 概 要 】

目 の 復 習 か ら 入 り 、１ 時 間 目 に 学 習 し た こ と が ど の よ う な と こ ろ て 考 え て い く 。振 子 時 計 に 等 時 性 が 使 わ れ て い

、生 徒 が 未 既 習 の た め ど う い う も の な の か 定 義 か ら 教 え

ら 接 線 を 引 く と 生 成 円 の 頂 点 を 通 る 。

、

比 較 、 つ い て の

は 動 く に は 動 い た も の の 、設 計 の た

た サ は じ め に １ 時 間

に 使 わ れ て い る か 考 え て い く 。 2 時 間 目 は 、特 に 振 子 時 計 に つ い

る こ と を 紹 介 し 、ガ リ レ オ・ガ リ レ イ が 等 時 性 に つ い て 発 見 し た こ と を 学 習 す る 。 し か し 、ガ リ レ オ・ガ リ レ イ は 等 時 性 の 性 質 に 問 題 が 生 じ し か も 失 明 し た た め 振 子 時 計 を う ま く 作 る こ と が で き な く 、そ こ で ホ イ ヘ ン ス が サ イ ク ロ イ ド を 使 っ た 振 子 を 考 え は じ め る 。

サ イ ク ロ イ ド に つ い て は

る 。そ し て サ イ ク ロ イ ド の 性 質 を 調 べ て い く 。１ 時 間 目 に 学 習 し た 伸 開 線 と 縮 閉 線 を 利 用 し て サ イ ク ロ イ ド の 伸 開 線 を 書 い て 調 べ て み る 。次 に 縮 閉 線 に つ い て 考 え る こ と に よ っ て 伸 開 線 も 理 解 す る こ と が で き る 。よ っ て 縮 閉 線 を 考 え る 。さ ら に サ イ ク ロ イ ド の 性 質 と し て

性 質 １   サ イ ク ロ イ ド の １ 点 か

こ と を 証 明 し 、原 典 か ら 命 題 Ⅴ を 理 解 す る こ と に す る 。こ れ も 証 明 の 方 針 を 生 徒 と 一 緒 に 考 え て い き 、命 題 Ⅰ の と き 同 様 考 え て い く 。こ の 証 明 の 中 に サ イ ク ロ イ ド の 性 質 1 を 使 っ て 考 え る 。 そ し て 命 題 Ⅰ と 命 題 Ⅴ よ り サ イ ク ロ イ ド の 伸 開 線 が サ イ ク ロ イ ド に な る と い う こ と が 分 か る 。本 当 に サ イ ク ロ イ ド の 伸 開 線 が サ イ ク ロ イ ド に な る の か 生 徒 自 身 が 書 い て 確 か め る 。

次 に サ イ ク ロ イ ド の 等 時 性 に つ い て サ イ ク ロ イ ド の 伸 開 線 が サ イ ク ロ イ

利 用 し て サ イ ク ロ イ ド に

ド に な る の を 確 か め る 生 徒

考 え る 。 ホ イ ヘ ン ス は サ イ ク ロ イ ド と 円 運 動 の お 互 い の 垂 直 方 向 成 分 を 上 手 く

等 時 性 を 解 明 し て い く 。こ こ で は 、多 少 、物 理 の 知 識 が 必 要 と な る の で 分 か り や す く 丁 寧 に 教 え た 。こ こ で サ イ ク ロ イ ド の 等 時 性 が 証 明 さ れ た こ と に よ っ て ホ イ ヘ ン ス は サ イ ク ロ イ ド 振 子 の 完 成 と な る 。

し か し 、ホ イ ヘ ン ス の サ イ ク ロ イ ド 振 子 時 計

め に 採 用 し た 数 理 は 非 常 に 巧 妙 だ っ た が 、空 気 抵 抗 な ど を 無 視 す る こ と は で き ず 、 誤 差 が 蓄 積 す る の を 防 ぐ こ と は で き な か っ た 。最 終 的 に は 、振 子 の 非 等 時 性 の 問 題 は 、振 子 そ の も の を 改 良 す る の で は な く 、脱 進 機 に 一 定 の 往 復 運 動 を 与 え る 動 力 源 を 用 い る こ と に よ っ て 解 決 さ れ た 。安 定 し た 動 力 源 が 、振 子 が 一 定 の 振 幅 で 触 れ る よ う に す る こ と に よ っ て 、 振 動 の 周 期 を 一 定 に 保 つ こ と が で き た 。   そ し て 脱 進 機 の と こ ろ に 歯 車 が 使 わ れ て い る こ と の 紹 介 を し 、歯 車 の 歯 も ま イ ク ロ イ ド や 伸 開 線 が 使 わ れ て い る こ と 、な ぜ そ れ ら が そ の よ う な と こ ろ に 使 わ

れ て い る の か 、伸 開 線 の 性 質 や 歯 車 の 性 質 か ら 説 明 す る 。こ の よ う に し て 振 子 時 計 は 完 成 し 、振 子 時 計 の 製 造 過 程 に は た く さ ん の 科 学 の 研 究 や 数 学 の 発 展 が 知 る こ と が で き た 。  

   

後 に め に 導 入 と し て の 図 1、2、3)

． 議 論

１ に 対 す る 議 論

最 １ 時 間 目 の 授 業 の は じ 見 せ た も の (６ ．議 論

を も う 一 度 示 し ど の よ う な と こ ろ に ど ん な 数 学 が あ る の か 生 徒 に 聞 い て み る 。そ し て 他 に も 時 計 や 車 の 模 型 を 分 解 し て み せ る こ と に よ り 、よ り 身 近 な も の に 触 れ さ せ 数 学 は 身 近 な と こ ろ に 密 接 に 関 係 し て い る と い う こ と の 紹 介 で 授 業 を 終 わ り と す る 。  

６

（ １ ） 課 題 課 題 1

時 代 が 変 わ っ て い く こ と に よ り ま わ り も 変 化 し て い く が 、 数 学 も ま た 変 化・発 展 し て い く の か 。現 代 の 数 学 と 昔 の 数 学 の 違 い に つ い て も 原 典 解 釈 か ら 定 義 や 命 題 の 証 明 な ど を 行 っ て み る 。

ア

し て き た と 思 い ま す か ？ と い い う 質 問 に ン ケ ー ト の 結 果 よ り

数 学 は 今 ま で 発 展 ・ 進 歩 事 前 ： そ う 思 わ な い 。

理 由 ： あ る も の を 発 見 し て き た だ け で 発 展 し て き た わ け で は な い と 思 う 。 受 け て 、さ ら に 新 し い も の を 発 見 し て き た こ と も 一 種 上 の 回 答 受 け る 前 と 受 け た 後 で は 、変 容 が 見 ら れ る 。

事 後 ： そ う 思 う 。 理 由：先 人 の 考 え を

の 発 展 で あ る と 思 う 。 の よ う に 生 徒 は 、授 業 を

昔 の 数 学 を 知 る こ と は 、 必 要 だ と 思 い ま す か ？ と い い う 質 問 に 事 前 ： そ う 思 う 。

理 由：・今 の も の を 考 え る の に 昔 の も の を 知 っ て お く の は 不 可 欠 だ と 思 う 。

モ ー タ ー の 歯 車 の 説 明 実 際 に 確 か め る 生 徒

・ 今 も 昔 も 本 質 は そ こ ま で 変 化 し て な い と 思 う 。

・ 昔 を 知 れ ば 自 然 に 今 の こ と も 分 か る と 思 う 。 事 後 ：

が 多 く の 研 究 を 受 け て 完 成 し て き た の だ と 知 る こ と が

・ 現 在 で も 使 う も の に も ホ イ ヘ ン ス が 考 え た こ と が 事 前 で は 、昔 の 数 学 を 知 る こ と の 大 切 さ を 理 解 は し て は い る が 、事 後 の ほ う

質 を 使 っ た だ け で は な い と 分 か っ た し 、と わ か っ そ う 思 う 。

理 由：・身 近 な も の で き る か ら 。  歯 車 な ど の 、

使 わ れ て い る か ら 。

が さ ら に 具 体 的 に 身 近 な も の な ど に 対 す る 考 え の 理 解 が 生 徒 た ち に 授 業 を 受 け る 前 よ り い っ そ う 深 ま っ た と い え る 。

授 業 に 対 す る 生 徒 の 感 想

＜ 事 後 ア ン ケ − ト よ り ＞

・振 子 時 計 は た だ 振 子 の 性 た こ と が お お か っ た 。

・学 校 の 授 業 で は な か な か 知 ら な い よ うな こ と も 知 る こ と が で き 、日 常 生 活 と の 関 わ り も わ か る 。

・昔 の 人 は 、今 の よ う に 多く の 定 理 が な く て も 多 く 工 夫 を こ ら し て 証 明 し て い っ た 。

・ 自 分 の 知 ら な い こ と に 興 味 が 持 て た 。

ア ン ケ ー ト か ら も 分 か る よ う に 授 業 を 通 し て 生 徒 自 身 は 、数 学 が 発 展 し て い

（ ２

る も の だ と わ か り 、 さ ら に 数 学 は 昔 と 今 を 結 び つ け て 考 え る こ と が で き た 。 現 代 の い た る と こ ろ に 数 学 が 使 わ れ て い る こ と が 授 業 を 受 け る 前 よ り 理 解 し て い る こ と が わ か っ た 。

） 課 題 ２ に 対 す る 議 論 課 題 2

生 徒 の 数 学 に 対 す る 考 え 方 、特 に 身 近 な こ と に 関 し て 数 学 が 役 に 立 っ て い る か に つ い て 、 意 識 の 変 化 は 生 ま れ る か 。

授 業

の 図 は ど の よ う な 数 学 が あ る か ？

S1

い よ 。

れ ら に は 、ど の よ う な は じ め に 右 の 図 見 せ そ れ ら に つ い て

図 １

聞 い て み る 。

【 対 話 】 T：こ れ ら

何 か 共 通 の も の は な い か な ？

： ち ょ っ と 分 か り ま せ ん 。 T： 何 か 気 が つ い た こ と で も い S2： 分 か り ま せ ん 。

T：じ ゃ ー こ れ か ら こ

数 学 が あ る の か 勉 強 し て 授 業 の 最 後 に は

ど れ に ど ん な 数 学 が 関 係 し て い る の か 分 か る よ う に な ろ う 。

授 業 の 最 後

【 対 話 】

T：(授 業 の は じ め に 見 せ た 図 を 見 せ て)

じ ゃ ー 最 後 に こ れ ら の 数 学 は ど う い う と こ ろ         に 使 わ れ て い る の か は じ め は 分 か ら な か っ た

け ど … こ れ は な に ？(図 １)

S1： 歯 車 で 歯 の と こ ろ に 使 わ れ て い る 。 T： こ れ は ？(図 ２)

S2： 振 子 時 計 の     振 子

T： こ れ は ？ (図 3) S3：円 の 伸 開 線 と い う ふ う に 授 業 の は じ め と 終 わ り で は 生 徒 が 持 つ 身 近 な 数 学 に 対 す る

考 え 方 が 変 わ っ て き た _{図 ３}

こ と が わ か る 。 _{図 ２}

７ ． お わ り に

本 研 究 で は 、「 文 化 や 社 会 生 活 に お い て 数 学 が 果 た し て い る 役 割 」 に つ い て 生 徒 に 十 分 伝 え る こ と が で き た と 思 う 。文 化 に お い て は 、数 学 史 や 原 典 解 釈 を す る こ と に よ っ て 昔 の 人 の 考 え を 共 有 す る こ と が で き 数 学 の よ さ を 分 か ち 合 い 、社 会 生 活 に お い て も 数 学 が さ ま ざ ま な と こ ろ に 関 わ っ て い て 発 展 し て き た こ と を 生 徒 は 理 解 し た 。そ し て 身 近 な も の に な る べ く 興 味 を 持 た せ る こ と が で き 、数 学 を よ り 身 近 に 感 じ て い た だ け た の で は な い か と 思 う 。

ま た 数 学 と 振 子 時 計 の よ う に 他 教 科 を 取 り 入 れ た 数 学 の 授 業 は 生 徒 に 、数 学 は さ ま ざ ま な も の に 関 係 し て い る と い う こ と 認 識 さ せ る こ と も で き た 。

し か し な が ら 数 学 を た だ 単 に 教 え る の で は な く こ う い っ た 他 教 科 と の 関 わ り 合 い を も っ と 持 っ て 数 学 だ け で は な く 他 教 科 と 連 携 し て い く こ と が 今 後 の 課 題 で も あ る 。

謝 辞

研 究 授 業 の 実 施 に 際 し て 、筑 波 大 学 附 属 高 等 学 校 の 川 崎 宣 昭 先 生 に は 、多 大 な る ご 協 力 と 御 指 導 を い た だ き ま し た 。 こ こ に 厚 く 御 礼 申 し 上 げ ま す 。

注)

本 研 究 は 、平 成 1６ 年 度 科 学 研 究 費 、特 定 領 域 研 究(2)課 題 番 号 15020214「 数 学 用 機 械 と.JAVAに よ る 移 動・変 換 と 関 数・微 積 ハ ン ズ オ ン 教 材 の WEB 化 研 究 」 (研 究 代 表 者 礒 田 正 美)に お い て 開 発 さ れ た 歴 史 的 道 具 を 前 提 に し て 、 平 成 1６ 年 度 科 学 研 究 費 、 基 盤 研 究(B)(2)課 題 番 号 14380055「 数 学 の 文 化 的 視 野 覚 醒 と 新 文 化 創 出 の た め の 教 材・指 導 法 開 発 研 究 」(研 究 代 表 者 礒 田 正 美)の 一 環 と し て 行 わ れ た 。

引 用 ・ 参 考 文 献

１ ）   文 部 省(1999).高 等 学 校 指 導 要 領 解 説 数 学 編 理 数 編_.東 京.実 教 出 版.

２ ）   礒 田 正 美(2002).解 釈 学 か ら 見 た 数 学 的 活 動 の 展 開 ― 人 間 の 営 み を 構 想 す る 数 学 教 育 学 へ の パ ー ス ペ ク テ ィ ブ −.筑 波 数 学 教 育 研 究.21.pp.1-10

３ ）   礒 田 正 美 ･土 田 知 之(2001).異 文 化 体 験 を 通 し て の 数 学 の 文 化 的 視 野 の 覚 醒; 数 学 的 活 動 の 新 た な パ ー ス ペ ク テ ィ ブ,第 25 回 日 本 科 学 教 育 学 会 年 会 論 文 集.497-498

４ ）   齋 藤 康 則 (2002).他 教 科 と の 関 連 を 踏 ま え た 数 学 史 の 授 業 実 践 − BrachistochroneProb1em を 題 材 に −.筑 波 大 学 数 学 教 育 研 究 室,中 学 校・高 等 学 校 数 学 科 教 育 課 程 開 発 に 関 す る 研 究(9),pp262-275

５ ）  Die Pendeluhr Horologium oscillatorium(1913)

６ ）  struik,A source book in mathematics.pp263-269

７ ）  Simon G.Gindikin(1996).ガ リ レ オ の １ ７ 世 紀  ガ リ レ オ 、 ホ イ ヘ ン ス 、 パ ス カ ル の 物 語 (三 浦 信 夫  訳 ).pp90-121.シ ュ プ リ ン ガ ー ・ フ ェ ア ラ ー ク 東 京 株 式 会 社

８ ）   原 亨 吉 (1978).ク リ ス チ ャ ン ･ホ イ ゲ ン ス  誕 生 350 周 年 に 寄 せ て ;科 学 の 実 験 .第 29 巻 ,8,9,10 号 .共 立 出 版

９ ）   Ernest Zebrowski,jr(1999).円 の 歴 史 ― 数 と 自 然 の 不 思 議 な 関 係 ― (松 浦 俊 輔 ).pp173-194.株 式 会 社 河 出 書 房 新 社

１ ０ ）  原 亨 吉 (1989).科 学 の 名 著  第 Ⅱ 期 10(20)ホ イ ヘ ン ス .朝 日 出 版 社

１ １ ）  マ イ ケ ル ･ S ･ マ ホ ー ニ ィ (1982). 歴 史 お け る 数 学 ( 佐 々 木 力   訳 ).pp183-246.株 式 会 社 勁 草 書 房

１ ２ ）  林 憲 二 (1995). 等 時 性 、 最 速 降 下 線 、 サ イ ク ロ イ ド 振 り 子 ; 数 理 科 学 NO.387,SWPTEMBER1995.pp79-83０