数学序論演習問題
2014年11月12日(水)
1
A⊂Rを部分集合,l, m, M ∈Rとする.1. mがAの上界ではないことを論理式を使って書け. 2. lがAの下界ではないことを論理式を使って書け. 3. M がAの最大数ではないことを論理式を使って書け.
4. Aに最大数が存在することを論理式を使って書け. (できればコロンが１つだけの式にせよ.) 5. Aに最大数が存在しないことを論理式を使って書け. (できればコロンが１つだけの式にせよ.) 6. 5の論理式を日本語にせよ.
解答例
1. ∃x∈A:m < x.
2. ∃x∈A:x < l.
3. (M 6∈A)∨(∃x∈A:x > M).
4. ∃y∈A,∀x∈A:x≤y.
あるいは
∃y: (y∈A)∧(∀x∈A:x≤y).
5. ∀y∈A,∃x∈A:x > y.
あるいは
∀y: (y6∈A)∨(∃x∈A:x > y) . あるいは
∀y: (y∈A)⇒(∃x∈A:x > y) .
6. Aの任意の元yに対し,Aのある元xが存在して,x > yとなる. Aの任意の元yに対し,yより大きいAの元xが存在する.
2
a, b∈R, a < bとする.1. max[a, b] =b, min[a, b] =aを示せ. 2. max(a, b)は存在しないことを示せ.
解答例
1. どちらも同様だから, max[a, b] =bのみ示す. i. a < b≤bだから, b∈[a, b].
ii. 任意のx∈[a, b]に対し,a≤x≤bであるから,x≤b よって, b= max[a, b]
2. 1 5,6より,任意のy∈(a, b)に対し,あるx∈(a, b)が存在して,y < xとなることを示せばよい. 後は省略.
3
A⊂Rを空でない有限部分集合とする. このとき, maxA, minAが存在することを, Aの元の個数に 関する帰納法を用いて示せ.解答例
|A|でAの元の個数を表すことにする.
|A|= 1のとき.
A={a}とすると,明らかに, maxA=a.
k∈Nとし,|A|=kのときmaxAが存在すると仮定する.
|A|=k+ 1のとき.
a∈Aをひとつ選び, B =A\ {a}とおく. このとき, |B|=kであるから, 帰納法の仮定より, maxB が存在する. b:= maxBとおく.
1. a≤bのとき.
このとき, maxA=bである. （何故か？）
2. a > bのとき.
このとき, maxA=aである. （何故か？）
よってmaxAが存在する.
数学的帰納法により,任意の空でない有限集合A⊂Rに対し, maxAが存在する. 最小数についても同様.
4
A⊂Rとする. Aが有界であるための必要十分条件は∃M ∈R,∀x∈A:|x| ≤M.解答例
Aが有界であるとする. このとき, あるl, m∈Rが存在して, 任意のx∈ Aに対し, l ≤x≤ mが 成り立つ. M = max{|l|,|m|}とおくと, |l| ≤ M であるから−M ≤ l ≤M, |m| ≤M であるから
−M ≤m≤M. とくに,−M ≤lかつm≤M である. よって, 任意のx∈Aに対し,−M ≤x≤M となり,|x| ≤M が成り立つ.
逆に, ある M ∈ R が存在して, 任意の x ∈ A に対し, |x| ≤ M が成り立つとする. このとき
−M ≤x≤M であるから, Aは有界.
