代数学II演習 1

代数学 II 演習 1

松本 眞 以下、環Rといったら単位的環を指し、R加群と言ったら左R加群を指す。

[1-1]M を加法群（加群とも言う）として、

End(M) ={f :M →M |f は加法群の準同型} とおく。

(1) f, g∈End(M) にたいし、写像f +g, f ·g : M →M を

(f +g)(m) =f(m) +g(m), (f·g)(m) =f(g(m)) (m∈M) で定義する。この定義により、End(M) が環になることを示せ。

(2) R を環として、RのMへの作用

R×M →M ; (r, m)→r•m

が与えられているとする。r∈R にたいし、写像r_M : M →M を rM(m) =r•m (m∈M)

で定義する。r_M ∈Map(M, M) (M からMへの写像の集合)となる。

さて、講義ではrM ∈End(M)となり、

R→End(M) ; r→r_M

が環の準同型となることを、左R加群の定義とした。これらの条件が、

r•(m₁+m₂) =r•m₁+r•m₂ (r1+r2)•m=r1•m+r2•m

(r₁r₂)•m=r₁•(r₂•m) 1•m=m

の4条件と同値であることを示せ。

[1-2]M を左R加群,N を加群（すなわち加法群）とする。

1. Hom(M, N) ={f :M →N |f は加法群の準同型}とすると、この集合には右 R加群の自然な構造が入ることを示せ。

2. さらにNも左R加群とする。HomR(M, N) ={f :M →N |f はR加群の準同型} とおく。Rが可換環であれば、この集合は自然にR加群となることを示せ。

[1-3]Kを体とし、R:=Mn(K)とする。M =Kⁿを縦ベクトルの空間とし、行列と 縦ベクトルの積により左R加群とみる。[1-2]の記法でいう

1. Hom_R(M, M)を決定せよ。

2. K =Q^でn≥2のとき、Hom_R(M, M)は左R加群にならないことを示せ。

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[1-4]Rを単項イデアル整域とする。Rのイデアルは全てR自由加群であることを示せ。

[1-5]QはZ加群としてねじれがないが、自由加群ではないことを示せ。

[1-6]Rを可換環とする。多項式環R[X]は自由R加群であることを示せ。

[1-7]Rを可換環とする。べき級数環R[[X]]はRの可算個の直積とR加群として同形 であることを示せ。

[1-8]M をR加群とし、M1, M2をMの部分R加群とする。

1. R加群の準同形ϕ:M₁⊕M₂ →Mをϕ(x₁, x₂) :=x₁+x₂で定義する。ϕの像 は和M₁+M₂と等しく、核はM₁∩M₂と同形であることを示せ。

2. MがM1とM2の直和であるためには、M1+M2 =MかつM1∩M2={0}^で あることが必要十分であることを示せ。

[1-9]M をR加群、M_λ (λ∈Λ)をR加群の族とする。以下の自然な同形を与えよ。

1. HomR(⊕

λ∈ΛMλ, M)∼=∏

λ∈ΛHomR(Mλ, M).

2. Hom_R(M,∏

λ∈ΛM_λ)∼=∏

λ∈ΛHom_R(M, M_λ).

[1-10] F をbλ (λ∈ Λ)を基底とする自由R加群とする。任意のR加群M とその元 mλ (λ∈Λ)が与えられたとき、bλをmλに送るR加群準同形f :F →M がただ一 つ存在することを示せ。

[1-11] Z^{加群の準同形}Z² →Z^2を、f(1,0) = (4,8), f(0,1) = (6,12)で定める。

1. fの核の基底を求めよ。fの像の基底を求めよ。

2. fに準同形定理を適用して得られる同型を求めよ。

3. fの余核(cokernel)の構造を決定せよ。

[1-12] 0 → M₁ →^f M₂ →^g M₃ → 0 をR-加群の完全系列とする。R-加群N に対し、

f_∗ : Hom_R(N, M₁) → Hom_R(N, M₂)をf_∗(h) := f ◦hで、f^∗ : Hom_R(M₂, N) → HomR(M1, N) をf^∗(h) :=h◦f で定義する。gについても同様の定義をする。

(1) 次が完全系列であることを示せ。

0→HomR(N, M1)→^f∗ HomR(N, M2)→^g∗ HomR(N, M3), 0→Hom_R(M3, N)→^g∗ Hom_R(M2, N)→^f∗ Hom_R(M1, N).

(2) 上のg_∗ とf^∗ が全射でない例を与えよ。

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