演習 解析 I (Analysis I) 1
R= (−∞,∞) = (−∞,+∞)を実数(real numbers)とする. すなわち次の性質をみたすものとする:
(A)四則演算 和・差・積・商について閉じていて,和・積に関して交換律,結合律,分配律が成り立つ.
(B)大小関係 a, b∈Rに対してa=b, a < b, a > bのいずれか一つのみが成り立ち,次をみたす：
(1)a < b,b < c⇒a < c. (2)a < b⇒a+c < b+c (∀c∈R). (3)a < b⇒ac < bc(∀c >0).
(C)実数の連続性 上に（下に）有界な集合は,必ず上限（下限）を持つ:
S⊂R;∃M ∈R;x≤M(∀x∈S)⇒∃supS ∈R (S⊂R;∃L∈R;x≥L(∀x∈S)⇒∃infS∈R).
上限：α= supS ∈R ⇐⇒ ∀x∈S, x≤α, ∀² >0,∃x0=x0(²)∈S;α−² < x0(≤α).
下限：β= infS∈R ⇐⇒ ∀x∈S, x≥β, ∀² >0,∃x1=x1(²)∈S;β+² > x1(≥β).
上の実数の性質から, 次が導かれる.
(D)アルキメデスの原理 N は上に有界ではない, i.e.,∀K >0,∃N =N(M)∈N;N > K. (背理法と自然数の定義: 1∈N,n∈N⇒n+ 1∈N による).
(E)有理数の稠密性 任意の異なる実数の間には有理数が存在する;∀α, β∈R;α < β,∃r∈Q;α < r < β.
((D)より∃N ∈N; 1/(β−α)< N,さらに∃k∈Z;k−1≤N α < k. よってr=k/N).
注意. 集合S⊂Rが上に（下に）有界でないとき, supS=∞(infS=−∞)とかく.
{an}∞n=1 を実数列,α∈Rとする. {an} がαに収束するとは an→α (n→ ∞) または lim
n→∞an =α ⇐⇒def ∀² >0,∃N =N(²)∈N;∀n≥N,|an−α|< ².
また{an} が発散するとは収束しないときをいうが,特に{an}が無限大に発散するとは an→ ∞ (n→ ∞) または lim
n→∞an=∞ ⇐⇒def ∀M >0,∃N =N(M)∈N;∀n≥N, an> M.
さらに{−an} が無限大に発散するとき,{an}は負の無限大に発散するという;
an→ −∞ (n→ ∞) または lim
n→∞an =−∞ ⇐⇒def ∀L <0,∃N =N(L)∈N;∀n≥N, an < L.
例１. 1/n→0 (n→ ∞)を厳密に上の定義に従って証明せよ. (アルキメデスの原理を用いる).
1.三角不等式||x| − |y|| ≤ |x±y| ≤ |x|+|y|を示せ.
2.an→αなら|an| → |α|. (α=±∞も許す,ただし| ± ∞|=∞とする).
例２. √n
n→1 (n→ ∞).
証. √n
n = 1 +hn とおくと, hn ≥ 0 で, ここで二項展開により, x≥ 0 なら, 各 n ∈ N に対して (1 +x)n≥1 +nx+n(n−1)
2 x2が成り立つことからx=hn として,h2n<2/(n−1)→0 (n→ ∞).
例３. an→α(∈R)のとき, (a1+· · ·+an)/n→α.
証. ∀² >0,∃N;|ak−α|< ²/2 (∀k > N),さらに∃N1≥N; 1 N1
∑N k=1
|ak−α|< ² 2 より,
∀n≥N1 に対し,和をN で分けて考えれば,
¯¯¯¯
¯ 1 n
∑n
k=1
ak−α
¯¯¯¯
¯≤ 1 n
∑n
k=1
|ak−α| ≤².
3.上でαが±∞のときも同様な結果が成り立つことを示せ.
演習 解析 I (Analysis I) 2
1.次の集合はどのような集合か.
(1)
∪∞ n=1
[ 1,2−1
n ]
(2)
∩∞ n=1
[ 1,1 + 1
n ]
(3)
∩∞ n=1
( 1,1 + 1
n )
(4)
∩∞ n=1
[ 1 + 1
n,2 + 1 n ]
2.極限を求めよ.
(1) lim
x→∞
√x(√
x+ 1−√
x) (2) lim
x→∞[√ x]/√
[x] (3) lim
x→±∞(1 +a/x)x (4) lim
x→0(1 + sinx)1/x (5) lim
n→∞n(√n a−1) 3.ロピタルの定理を用いて極限を求めよ.
(1) lim
x→∞ex/xα(α定数) (2) lim
x→∞logx/xα(α >0) (3) lim
x→∞x1/x (4) lim
x→0
x−sinx
x3 (5) lim
x→0
ax−bx
x (a, b >0) 4.次の関数を微分せよ.
(1)xlog|x| −x (2) log|cosx| (3) log|x+√
x2+ 1| (4)log|(x−1)/(x+ 1)| (5) tan−1x (6) sin−1x 5.上の結果を用いて不定積分を求めよ（a6= 0とする,積分定数は略してよい）.
(1)
∫
log|x|dx (2)
∫
tan(ax+b)dx (3)
∫ dx
√x2+a (4)
∫ dx
x2−a2 (5)
∫ dx
a2+x2 (6)
∫ dx
√a2−x2 6.次の定義を述べよ. ただしS はRの部分集合,I は区間を表すものとする.
(1) supS=α (2) infS=β (3)f(x): I 上の連続関数
7.Rの集合S に対して, supS =α⇒∃{an} ⊂S;an≤α, an ↑αを示せ.
8.閉区間上の連続関数について(1)中間値定理 (2)最大最小定理を述べよ.
9.関数f(x)が区間[a, b]で一様連続であることの定義と,その否定命題を述べよ.
10.区間I 上の連続関数f(x)に対して,Iが閉区間であればf(x)はIで一様連続となることを背理法を 用いて示せ.
11.f(x) = sin(1/x)が (0,1)で一様連続でないことを示せ.
2. [x] : xの整数部分 (ガウス記号) → x−1 <[x] ≤ x, lim
x→±∞(1 + 1/x)x=e, lim
h→0h−1log(1 +h) = 1, lim
h→0h−1(eh−1) = 1. 3. ロピタルの定理： 適当な条件のもと lim
x→af(x)/g(x) = lim
x→af0(x)/g0(x).
(条件: f, g が a のある近傍 U で a を除いて可微分かつ g0 6= 0, [共に a で連続, f(a) = g(a) = 0]
または[ lim
x→ag(x) =∞] をみたし, しかも∃lim
x→af0(x)/g0(x)∈[−∞,∞] なら成立. また a を a±0, ±∞
にかえても成立. 例えば [ f, g は十分大きい x について可微分かつ g0 6= 0, f(∞) = g(∞) = 0, i.e.,
xlim→∞f(x) = lim
x→∞g(x) = 0] とする. ) 11. 1/x= 2nπ,(1/2 + 2n)π.
1. [1,2),{1},∅,{2}. 2. 1/2,1, ea, e,loga. 3. ∞,0,1,1/6,log(a/b).
演習 解析 I (Analysis I) 3
1.定積分を用いて(1)∑
n≥1
1
np (2)∑
n≥2
1
n(logn)p はp >1なら収束,p≤1 なら発散を示せ.
2.正項級数についての判定法を駆使して収束・発散を調べよ(ただし, 0≤a <1,b,pは定数).
(1)∑logn
n2 (2)∑ ( 1− 1
n )n2
(3)∑
npan (4)∑ (
1−cosb n
)
(5)∑bn n!
3.交代級数∑
(−1)n/np (p >0) の絶対収束,条件収束を調べよ.
4.関数列{fn(x)}が区間 Iで関数f(x)に一様収束することの定義とその否定命題を述べよ.
5.連続関数列の一様収束極限関数も連続となることを示せ. 即ち,
区間I上の連続関数列{fn}に対して,fn→f;Iで一様⇒f も Iで連続.
6.次の関数列は与えられた区間の上で一様収束するか. ただし, 0< δ <1,pは定数.
(1)fn(x) =nxn, [0, δ] (2)fn(x) =x2n(1 +x2n), [0,1] (3)fn(x) =npxe−nx2, (−∞,∞) 7.整級数の収束半径を求めよ.
(1)∑
n≥1
nn
n!xn (2)∑
n≥1
(1 + 1/n)n2xn (3)∑
n≥0
n2x2n (4)∑
n≥1
(1 + 1/n)n2x2n 8.定積分の定義を用いて,次の極限値を求めよ.
(1) lim
n→∞
1 n√ n
∑n
k=1
√k (2) lim
n→∞
∑n
k=1
1
n+k (3) lim
n→∞
∑n
k=1
√ 1 n2+k2 9.次の積分の値を求めよ.
(1)
∫ 1 0
logxdx (2)
∫ 1
−1
√ dx
1−x2 (3)
∫ ∞
0
x2e−xdx (4)
∫ ∞
−∞
dx 1 +x2 (5)
∫ ∞
0
dx ex+e−x 10.次の広義積分が絶対収束することを確かめよ.
(1)
∫ π 0
√dx
sinx (2)
∫ π/2 0
log(sinx)dx (3)
∫ ∞
0
e−x2dx 11. (1)
∫ ∞
0
sinx
x dxは収束することを示せ. (2)
∫ ∞
0
¯¯¯sinx x
¯¯¯dx は発散することを示せ.
ライプニッツの定理: an↓0なら交代級数∑
(−1)n−1an は収束.
正項級数∑
an の収束・発散の判定法
［比較: an≤Kbn (nÀ1)なら∑
bn 収束⇒∑
an もそう. コーシー: ∃lim√n
an=r; 0≤r <1なら 収束, 1< r≤ ∞なら発散. ダランベール: ∃liman+1/an =r;コーシーと同じ. ］
整級数 ∑
anxn の収束半径: R= 1/r ifr= lim√n
|an|or lim|an+1/an|exist.
広義積分: 区間I 上g(x)は有界(bdd),h(x)が可積分ならf(x) =g(x)h(x)も可積分.
コーシーの判定条件: a→ ∞のときF(a)が収束 ⇐⇒ ∀² >0,∃K >0;|F(a)−F(a0)|< ²(∀a, a0 > K).
3. p >1⇒絶対, 0< p≤1⇒条件. 6. fn(x)≤nδn→0,fn(x)→f(x) = 1/2 (x= 1), = 0 (x∈[0,1)), p >1/2⇒一様,p≤1/2⇒一様でない. 7. 1/e, 1/e, 1, 1/√
e. 8. 2/3, log 2, log(1 +√ 2).
9. −1,π, 2,π, π/4. 10. 有界関数(1) √
x/sinxon (0, π/2] (2)xαlog(sinx) (0< α <1) on (0, π/2) (3)xαe−x2 (α >1) on [0,∞)
11. (1)部分積分を用いて¯¯¯
∫ a0 a
sinx
x dx¯¯¯→0 (a, a0→ ∞)を示す. (2)
∫ nπ 0
¯¯¯sinx x
¯¯¯dx≥ 2 π
∑n
k=1
1
k を示す.
演習 解析 I (Analysis I) 4
1.次の極限値を求めよ.
(1) lim
x→0
e2x−1
e3x−1 (2) lim
x→0(1 +x+x2)1/x (3) lim
x→1x1/(1−x) (4) lim
x→0
1−cosx
x2 (5) lim
x→0
sinx−tanx
x3 (6) lim
x→0
√|x|sin1
2.関数f(x), g(x)がともに連続なら, (f∨g)(x)≡max{f(x), g(x)x },(f∧g)(x)≡min{f(x), g(x)} も連 続であることを確かめよ.
3.区間I 上で関数f(x), g(x)がともに連続で, 各 x∈Q∩I に対してf(x) = g(x)ならば I 上 f =g となることを示せ.
4.原点に関して対称な区間で定義された関数 f(x)は f(x) =g(x) +h(x), g(x)偶関数, h(x)奇関数の 形に一意的に表されることを示せ.
更に[−π, π]で定義された関数f(x) = 2 sinx(0≤x≤π),= 0 (−π≤x≤0)に対して上のg, hを 求め,なるべく簡単な式で表せ.
5.次の極限値を求めよ.
(1) lim
x→0
tanx−x
x3 (2) lim
x→0
(1 x2 − 1
sin2x )
(3) lim
x→0
ex−esinx
x3 (4) lim
x→π/2
esinx−e log sinx (5) lim
x→1
xx−x
1−x+ logx (6) lim
x→0
(1 +x)1/x−e
x (7) lim
x→0
(ax+bx 2
)1/x
(a, b >0) (8) lim
x→∞
{
x−x2log (
1 + 1 x
)}
(9) lim
x→∞logxlog (
1 + 1 x
)
6.f(x)がx=aで微分可能なら lim
h,k→0+
f(a+h)−f(a−k)
h+k =f0(a) 7.f(x)がx=aの近くでC2級なら
lim
h→0
f(a+h) +f(a−h)−2f(a)
h2 =f00(a)
8.f(x)が区間I でCn 級のとき, 任意のx, a∈I に対して,
f(x) =
n−1
∑
k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k+ 1 (n−1)!
∫ x a
f(n)(t)(x−t)n−1dt.
9. [a, b]でf(x), g(x)は連続,g(x)≥0とすると,次をみたす定数cが存在することを示せ:
∫ b a
f(x)g(x)dx=f(c)
∫ b a
g(x)dx(a≤c≤b).
10.次の広義積分が収束することを確かめよ.
(1)
∫ 1 0
logx
1−xdx (2)
∫ 2 0
√dx
|logx| (3)
∫ π/2 0
dθ
(cosθ)p (p <1) (4)
∫ ∞
0
xαe−x2dx(α >0)
1. 2/3, e,1/e,1/2,−1/2,0. 2. a∨b, a∧bを和と差,絶対値を用いて表す. 4. g(x), h(x)はf(x), f(−x)の 和と差を用いて表される. 5. 1/3,−1/3,1/6, e,−2,−e/2,√
ab,1/2,0.
7. テイラーの定理. 8. 部分積分. 9. 中間値の定理
