第 1 回レポート問題 解答
幾何学 AI/ 幾何学 I ( 担当 : 新國 )
2013
年5
月8
日(水)
出題問題
.
以下の大問1 , 2 , 3
の全てに解答せよ.1 n
次元Euclid
空間R n
の部分集合R n + = { (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n | x n ≥ 0 }
はR n
の閉集合であることを示せ.2 n
次元Euclid
空間R n
の閉集合系U = U ( R n )
に対し, 以下の(1), (2), (3)
が成 り立つことをそれぞれ示せ.(1) R n , ∅ ∈ U ,
(2) U 1 , U 2 , . . . , U k ∈ U
ならばU 1 ∪ U 2 ∪ · · · ∪ U k ∈ U , (3) U
の任意の閉集合族{ U λ } λ ∈ Λ
に対し,∩
λ ∈ Λ
U λ ∈ U .
3
実数R
の区間(1, ∞ )
からR
への写像f : (1, ∞ ) → R
を,x ∈ (1, ∞ )
に対しf(x) = 1/x
で定義する. このとき,f
は連続であることを示せ.以上
解答 .
1
示すべきことを確認しよう. まず, 補題1.3.2 (2)
より,R n +
がR n
の閉集合であ ることを示すには, そのR n
における補集合( R n + ) c
= { (x 1 , . . . , x n − 1 , x n ) ∈ R n | x n < 0 }
が
R n
の開集合であることを示せば良い. そのためには, 定義1.3.1 (1)
及び定義1.2.1 (1)
から, 任意のa ∈ (
R n +
) c
に対し,ある
ε > 0
が存在して, 中心a,
半径ε
のR n
の開球体B(a; ε) = { x ∈ R n | d(x, a) < ε }
が( R n +
) c
に含まれることを示せば 良い. ここで
d(x, a)
はR n
におけるx
とa
の距離を表す.そこでいま, 任意の
a = (a 1 , a 2 , . . . , a n ) ∈ ( R n + ) c
に対し
(即ち, a n < 0
であるこ とに注意しよう),ε = | a n |
とおく. このとき,x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ B(a; ε)
に対 し,d(x, a) < ε
から,∑ n i=1
(x i − a i ) 2 < ε 2 = a 2 n
(x n − a n ) 2 +
n − 1
∑
i=1
(x i − a i ) 2 < a 2 n
x 2 n − 2a n x n +
n − 1
∑
i=1
(x i − a i ) 2 < 0 (i)
となる. ここで
− 2a n
は正であるので, もしx n ≥ 0
なら(i)
の左辺≥ 0
となって矛 盾が生じる. 従ってx n < 0
であるから,x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ (
R n +
) c
となる. 即ち
B (a; ε) ⊂ (
R n +
) c
となり,
( R n +
) c
は
R n
の開集合であることがこれで示された(図 1
は,以上の議論の特にn = 2
の場合の略図である).以上により,
R n +
はR n
の閉集合である.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x x x x x x x
ε
( ) a ,a 1 2
+ 2
( ) c
x 1 x 2
x 2
x 1
R
+ 2
R
図
1: R n + , ( R n +
) c
(n = 2
の場合)2 n
次元Euclid
空間R n
の開集合系O = O ( R n )
は以下の(O1), (O2), (O3)
をみ たすことを,定理1.3.4
で示した.(O1) R n , ∅ ∈ O ,
(O2) O 1 , O 2 , . . . , O k ∈ O
ならばO 1 ∩ O 2 ∩ · · · ∩ O k ∈ O , (O3) O
の任意の開集合族{ O λ } λ ∈ Λ
に対し,∪
λ ∈ Λ
O λ ∈ O .
この事実は勿論用いて良い. 更に閉集合の補集合は開集合であること
(補題 1.3.2
(2)),
及び, 補集合に関するde Morgan
の法則を用いれば, 以下のように(1), (2),
(3)
を示すことができる.(1) ( R n ) c = ∅ , ∅ c = R n
であり, (O1)より∅ , R n ∈ O
であるから,R n , ∅ ∈ U
と なる.(2) U 1 , U 2 , . . . , U k ∈ U
に対し, de Morganの法則から(U 1 ∪ U 2 ∪ · · · ∪ U k ) c = U 1 c ∩ U 2 c ∩ · · · ∩ U k c (ii)
である. ここでU 1 c , U 2 c , . . . , U k c ∈ O
であるから, (O2)によりU 1 c ∩ U 2 c ∩ · · · ∩ U k c ∈ O (iii)
となる. (ii), (iii)により(U 1 ∪ U 2 ∪ · · · ∪ U k ) c ∈ O
であり, 従ってU 1 ∪ U 2 ∪ · · · ∪ U k ∈ U
となる.(3) U
の任意の閉集合族{ U λ } λ ∈ Λ
に対し, de Morganの法則から( ∩
λ ∈ Λ
U λ ) c
= ∪
λ ∈ Λ
U λ c (iv)
である. ここで任意の
λ ∈ Λ
に対しU λ c ∈ O
であるから, (O3)により∪
λ∈Λ
U λ c ∈ O (v)
となる. (iv), (v)により
( ∩
λ ∈ Λ
U λ ) c
∈ O
であり, 従って
∩
λ ∈ Λ
U λ ∈ U
となる.
3
示すべきことを確認しよう. 与えられた写像f : (1, ∞ ) → R
が連続であること を示すには, 定義1.4.1 (2)
から, 任意のa ∈ (1, ∞ )
でf
が連続であることを示せ ば良い. そのためには, 定義1.4.1 (1)
から, 任意のε > 0
に対し, あるδ > 0
が存 在して,| x − a | < δ = ⇒ | f(x) − f(a) | < ε
が成り立つことを示せば良い.そこでいま, 任意の
a ∈ (1, ∞ )
及び任意のε > 0
に対し,0 < δ < a − 1
1 a + ε
なる
δ > 0
を取ろう(その意味については図 2
を見よ. 閉区間[ 1
1 a +ε , a
]
の長さより 小さい正の
δ
を取るのである. ここでε
は十分小さく取っているとして構わない).ここで
a − 1
1
a + ε = a − a
1 + aε = a 2 ε 1 + aε
に注意すれば,δ
は0 < δ < a 2 ε
1 + aε (vi)
をみたす正数である. この
δ
に対し,| x − a | < δ (vii)
と仮定しよう. このとき,
− δ <x − a< δ a − δ < x < a + δ a 2 − aδ < ax < a 2 + aδ
1
a 2 + aδ < 1
ax < 1
a 2 − aδ (viii)
であることに注意すれば, (vii), (viii)から
| f (x) − f (a) | = 1
x − 1 a
= | x − a |
ax < δ
a 2 − aδ (ix)
となる. そこで
(vi)
より− aδ > − a 3 ε 1 + aε a 2 − aδ > a 2 + − a 3 ε
1 + aε = a 2 1 + aε 1
a 2 − aδ < 1 + aε
a 2 (x)
であるから, (vi), (x)によって
δ
a 2 − aδ < a 2 ε
1 + aε · 1 + aε
a 2 = ε (xi)
となる. 従って
(ix), (xi)
より| f (x) − f (a) | < ε
であるので,
f
は任意のa ∈ (1, ∞ )
で連続である. 即ちf
は連続である.x 2
x 1 ε
ε a
1
a δ δ
a
1 + ε
1 1 1
図
2: f (x) = 1/x
の連続性