レポート課題1（解答例） - 東京理科大学

レポート課題１（解答例）

科目： 数学演習IIA（f組）

担当： 相木 問題[1]

[1] 空でない集合Xに対してOがXの位相であることの定義を書け．

解答

空でない集合Xに対してOがXの位相であるとはOはXの部分集合からなる集合 系で以下の３つを満たすことである．

(O1) ∅, X ∈ O

(O2) O₁, O₂ ∈ O ⇒ O₁∩O₂ ∈ O

(O3) Λを任意の集合とし，Λの要素λによって添え数付けされたOの要素O_λからなる 任意の集合族{O_λ}λ∈Λに対して ∪

λ∈Λ

O_λ ∈ O．

□ 問題[2]

[2] (R²,Od⁽²⁾)をユークリッド距離から定まる距離位相を用いた位相空間とする．以   下で与えられる集合が開集合・閉集合・どちらでもないかを判定し，それを証明   せよ．

(i) {(x₁, x₂)∈R² | 0< x₁ <2, −1< x₂ <3} (ii) {(x1, x2)∈R² | x1 = 0またはx2 = 0}

距離関数から定まる距離位相の定義から

Od⁽²⁾ ={A ⊂R² | ∀x∈A, ∃ε >0, B⁽²⁾(x;ε)⊂A} ∪ {∅}

であることを思い出そう．ただし，d⁽ⁿ⁾は今までどおりのRⁿ におけるユークリッド距離 であり，

B⁽ⁿ⁾(x;ε) = {y ∈Rⁿ | d⁽ⁿ⁾(x,y)< ε}

であった．

解答 [2] (i)

A₁ ={(x₁, x₂)∈R² |0< x₁ <2, −1< x₂ <3}とおき，A₁が開集合であることを示 す．つまり，A₁ ∈ Od⁽²⁾を示す．

∀x ∈A₁をとる．x= (x₁, x₂)と表すと0< x₁ <2と−1< x₂ <3が成り立つ．そこ で，ε₁を以下のように定める．

ε₁ = min{x₁, 2−x₁, x₂+ 1, 3−x₂} (1)

するとε₁ >0であり，B⁽²⁾(x;ε₁)⊂A₁となる．

実際，∀y∈B⁽²⁾(x;ε1)をy= (y1, y2)と表すとy1 ∈(x1−ε1, x1+ε1)となるので x₁−ε₁ > x₁−x₁ = 0

x₁+ε₁ < x₁+ (2−x₁) = 2 よりy₁ ∈(0,2)である．同様にy₂ ∈(x₂−ε, x₂+ε)なので

x₂ −ε > x₂−(x₂+ 1) =−1 x₂+ε < x₂+ (3−x₂) = 3 よりy₂ ∈(−1,3)である．したがって，y∈A₁である．

以上からA₁ ∈ Od⁽²⁾． □

上の議論を図を用いて噛み砕いて解説する．集合A₁は以下で与えられるような長方 形の領域である．

y

x A₁

:x= (x₁, x₂) 3

−1

O 2

3−x₂

x₁

2−x₁

x2+ 1

解答の式(1)では長方形内の点xに対して，点xから長方形の４つの辺までの距離の 中で最短な距離をε₁と選ぶことによって開球B⁽²⁾(x;ε₁)がA₁ に含まれるようにしてい るのである．図では2−x₁が最小だった場合の例になっている．

[2] (ii)

A₂ = {(x₁, x₂) ∈ R² | x₁ = 0またはx₂ = 0}とおき，A₂が閉集合であることを示す．

そのためにA^c₂が開集合であることを示す．

∀x∈A^c₂をとり，x= (x₁, x₂)と表す．ε₂ >0を以下のように定める．

ε₂ = min{|x₁|, |x₂|}

(2)

すると，B⁽²⁾(x;ε₂)⊂A^c₂となる．実際，A^c₂ ={(x₁, x₂)∈R² | x₁ ̸= 0, x₂ ̸= 0}であるの で，∀x∈A^c₂に対して|x₁|>0かつ|x₂|>0であり，ε₂ >0となる．また，∀y ∈B⁽²⁾(x;ε₂) をy= (y1, y2)と表すと，yi ∈(xi−ε2, xi+ε2) (i= 1,2)より

x_i−ε₂ < y_i < x_i+ε₂

⇔ −ε₂ < y_i−x_i < ε₂

⇔ ε >|y −x|

を得る．さらに評価して

ε₂ >|y_i−x_i|=|x_i−y_i| ≥ |x_i| − |y_i|

が成り立つので，最左辺と最右辺を比較して|y_i| >|x_i| −ε₂ ≥ |x_i| − |x_i|= 0となるので y_i ̸= 0 (i= 1,2)なのでy∈A^c₂である．

以上からA^c₂が開集合であることが示されたのでA₂は閉集合である． □ 問題(i)のときと同様に式(2)によるε₂の定め方は図形的な解釈ができるので各自確 認してみよう．

問題[3]

[3] a, b∈ R，a < b，I = [a, b]とし，C(I)をI上定義された実数値連続関数全体の   集合とする．このとき，f, g ∈C(I)に対して

d(f, g) = sup

x∈I |f(x)−g(x)|

  で定義される関数dがC(I)上の距離関数になっていることを示せ．ただし，「有   界閉区間上で定義された実数値連続関数は最大値を持つ」ということを認めてよ   い．

解答

問題の関数dがC(I)上の距離関数になっていることを示すにはdは実数値であり，以 下の４つを満たすことを示せばよい（プリント４参照）．

(D1) ∀f, g∈C(I), d(f, g)≥0 (D2) ∀f, g∈C(I)に対して

d(f, g) = 0 ⇔ f =g (D3) ∀f, g∈C(I), d(f, g) = d(g, f)

(D4) dは三角不等式を満たす．つまり，∀f, g, h∈C(I)に対して d(f, h)≤d(f, g) +d(g, h)

dが実数値であること

∀f, g ∈C(I)に対して|f|,|g| ∈C(I)であり，有界閉区間であるI上で連続な関数は最 大値をもつので

sup

x∈I|f(x)|<∞, sup

x∈I|g(x)|<∞,

が成り立つ．特に，２つの上限は実数として存在する．それぞれをα₁ := sup

x∈I |f(x)|, α₂ :=

sup

x∈I|g(x)|とおくと， ∀x∈Iに対して

|f(x)−g(x)| ≤ |f(x)|+|g(x)| ≤(sup

x∈I |f(x)|) + (sup

x∈I |g(x)|) = α₁+α₂ が成り立つ．したがって，

d(f, g) = sup

x∈I|f(x)−g(x)| ≤α₁+α₂ <∞ となるのでdは実数値である．

(D1)を満たすこと

∀f, g ∈C(I)と∀x∈Iに対して

|f(x)−g(x)| ≥0 なのでI上の上限をとればd(f, g)≥0が従う．

(D2)を満たすこと

∀f, g ∈ C(I)に対して，f = gであれば∀x ∈ Iに対して|f(x)−g(x)| = 0なので d(f, g) = sup

x∈I

|f(x)−g(x)|= 0である．

逆にd(f, g) = 0を仮定し，f =gを示す．集合Aを A={|f(x)−g(x)| | x∈I} によって定めると，仮定からd(f, g) = sup

x∈I |f(x)−g(x)|= 0なので，言い換えればsupA= 0 である．上限の定義から

∀a∈A, a≤0

が成り立つが，集合Aの定義からこれは∀x∈ I, |f(x)−g(x)| ≤ 0と同値である．した がって∀x∈Iに対して

0≤ |f(x)−g(x)| ≤0 が成り立ち，f(x) =g(x) (∀x∈I)となり，f =gである．

(D3)を満たすこと

∀f, g ∈C(I)と∀x∈Iに対して

|f(x)−g(x)|=|g(x)−f(x)|

なので，集合として{|f(x)−g(x)| | x ∈I}と{|g(x)−f(x)| | x∈ I}は一致し，その上 限も同じになるのでd(f, g) = d(g, f)が成り立つ．

(D4)を満たすこと

∀f, g, h ∈C(I)をとる．このとき，∀x∈Iに対して

| − | | − − | ≤ | − | | − | ≤

が成り立つので，d(f, g) +d(g, h)は{|f(x)−h(x)| |x∈I} の上界の１つでる．したがっ て，上限は最小の上界なのでd(f, h)≤d(f, g) +d(g, h)が成り立つ．

以上からdがC(I)上の距離関数であることが示された． □ 問題[4]

[4] (X,O)を位相空間とする．∀O ∈ Oと∀M ⊂Xに対して O∩M ⊂O∩M

  が成り立つことを示せ．

解答

集合の包含関係を示したいので，∀O ∈ O, ∀M ⊂ Xをとり，∀x ∈ O ∩M に対して x∈O∩Mを示す．

まず，演習問題(4-7)の結果と類似の性質として位相空間(X,O)とA ⊂ Xに対して 以下の２つが同値であることを示す（位相空間における内部や閉包の定義はプリント７ 参照）．

(i) x∈A

(ii) x∈Xが

xを含む任意の開集合Oに対してO∩A̸=∅ を満たす．

A⊂Xのとき，X =A^◦∪A^f ∪A^eと互いに素な（i.e. 共通部分がない）３つの集合の和 としてXが表せたことを思い出そう．

(i)⇒ (ii)の証明

対偶を示す．つまり，xを含む開集合OでO∩A=∅となるものが存在したらx̸∈A を示す．

今，O ∈ O，x∈OでO∩A=∅とするとO ⊂A^cである．さらに，内部の定義より (A^c)^◦ = ∪

U∈O, U⊂A^c

U

である．右辺の和集合は「A^cに含まれる開集合全ての和集合」を表していたことを思い出そ う．すると，OはA^cに含まれる開集合なのでOは和集合をとっている開集合たちのうちの １つである．したがって，O ⊂(A^c)^◦．特に，x∈O ⊂(A^c)^◦ =A^eなのでx̸∈A^◦∪A^f =A．

(ii) ⇒ (i)の証明

対偶を示す．つまり，x ̸∈Aを仮定し，xを含む開集合OでO∩A=∅となるものが 存在することを示す．

x̸∈Aよりx∈A^e= (A^c)^◦である．特に，A^eはxを含む開集合である．また，内部の 性質から

A^e = (A^c)^◦ ⊂A^c なのでA^e∩A=∅となり，A^eが望みの開集合である．

この同値性を利用して問題[4]の包含関係を示す．∀x∈O∩Mをとり，xを含む任意 の開集合O^′に対してO^′∩(O∩M)̸=∅ であることを示す．

O^′∩(O∩M) = (O^′∩O)∩M

であり，O, O^′ ∈ Oなので位相の定義からO^′ ∩O ∈ Oである．また，x ∈O∩Mから特 にx∈Oなのでx∈O^′ ∩Oとなる．

さらに，x∈Mより，先に示した同値性からxを含む任意の開集合Uに対してU∩M ̸=

∅である．特にO^′ ∩O ∈ O, x ∈ O^′∩OなのでUとして特にO^′∩Oをとることができ，

(O^′∩O)∩M ̸=∅である．

以上からxを含む任意の開集合O^′に対してO^′∩(O∩M)̸=∅が示されたので，再び

同値性からx∈O∩Mが示された． □

問題[5]

[5] (R²,Od⁽²⁾)を問題[2]と同じ位相空間とする．以下の議論の間違いを指摘せよ．

  集合A ⊂R²を

A={(x1, x2)∈R² | −1≤x1}

  で定め，これが開集合であることを示す．∀x∈Aを(x₁, x₂)と表したとき，ε >0   を

ε =

















 1

2, x₁ = 0,

|x₁|

2 , x₁ >0, 1 +x₁

2 , x₁ <0,   によって定めると

B⁽²⁾(x;ε)⊂A   となるのでAは開集合である．

解答

εの定め方においてx₁ <0の範囲ではε = 1 +x₁

2 で定義しているが，今考えている集

− − ∈

うな点においてはε= 0 となるのでε >0でなく，問題の議論では開集合であることが示

せていない． □

補足 実際，この集合Aは開集合ではない．空でない集合B ⊂R²がB ∈ Od⁽²⁾ （つまり 開集合である）とは

∀x∈B, ∃ε >0, B⁽²⁾(x;ε)⊂B

を満たすことであった．「Aが開集合でない」ことは，上の命題の否定命題を満たすこと なので

∃x∈A, ∀ε >0, B⁽²⁾(x;ε)̸⊂A

となることである．B⁽²⁾(x;ε)̸⊂AとB⁽²⁾(x;ε)∩A^c ̸=∅は同値なので

∃x∈A, ∀ε >0, B⁽²⁾(x;ε)∩A^c̸=∅

であることを確認する．点x = (−1,0) ∈ Aにおいて上の命題が成り立つことを示す．

∀ε >0に対して(−1−ε

2,0)∈B⁽²⁾(x;ε) であるが，−1−ε

2 <−1なので(−1−ε

2,0)̸∈A，

つまり(−1−ε

2,0)∈A^cであるので，(−1−ε

2,0)∈B⁽²⁾(x;ε)∩A^cとなり，B⁽²⁾(x;ε)∩A^c ̸=∅ が示された．

問題[6]

[6] Rの部分集合系Mを

M={(a, b)⊂R | a, b∈R, a < b}

  によって定める．Mで生成される位相O(M) はユークリッド距離から定まる距   離位相Od⁽¹⁾であることを示せ．

解答

Rの部分集合系としてO(M) =Od⁽¹⁾であることを示せばよい．集合系から生成され る位相の定義についてはプリント８参照．特に，O(M)は

O(M) = ∩

O∈T(X),M⊂O

O

と定義したことを思い出そう．ただし，T(X)はXの位相全体の集合であり，上の共通部 分は「Mを含むXの位相全ての共通部分」を表していることに注意．

O(M)⊂ Od⁽¹⁾であること

定義より，∀O₁ ∈ Mに対して∃a₁, b₁ ∈R, a₁ < b₁, O₁ = (a₁, b₁)．このとき，∀x∈O₁ に対してε = min{x−a1, b1 −x}と定めれば，ε > 0でB⁽¹⁾(x;ε)⊂ (a1, b1)であるので O₁ ∈ Od⁽¹⁾．

以上からM ⊂ Od⁽¹⁾が示された．Od⁽¹⁾はRの位相なので，Od⁽¹⁾はO(M)の定義に表 れる共通部分をとる位相のうちの１つである．したがってO(M)⊂ Od⁽¹⁾．

Od⁽¹⁾ ⊂O(M)であること

∀O ∈ Od⁽¹⁾をとる．O ∈O(M) が示せればよい．

Oが∅またはRのときはO(M)が位相であることから∅,R∈O(M)は満たされるの でO ∈O(M)が成り立つ．

Oが∅でもRでもないときにO ∈O(M) を示す．O ∈ Od⁽¹⁾より，∀x ∈Oに対して

∃ε_x >0，

B⁽¹⁾(x;ε_x)⊂O.

(3)

ここで，開球の半径がxに依存することを強調するためにε_xと書いた．今の場合，B⁽¹⁾(x;ε_x) = (x−ε_x, x+ε_x) という開区間である．このようにしてx∈Oごとに得られる開区間をA_x とおく．つまり，Ax = (x−εx, x+εx)である．このとき，O = ∪

x∈O

Axである．

O ⊂ ∪

x∈O

A_x であること： ∀y∈Oに対してy∈A_y ⊂ ∪

x∈O

A_x．

∪

x∈O

A_x ⊂O であること： A_x の定め方と(3)から∀x ∈ O に対してA_x ⊂ Oなので

∪

x∈O

A_x ⊂Oである．

以上からO= ∪

x∈O

A_xである．

ここで，∀x∈Oに対してA_xは開区間なのでA_x ∈ Mであり，定義からM ⊂O(M) なので，特にAx∈O(M)である．したがって，{Ax}x∈OはO(M)の集合族であり，O(M) はRの位相なので位相の定義から ∪

x∈O

A_x ∈ O(M)となり，O = ∪

x∈O

A_xだったのでO ∈ O(M)．

以上により，O(M) =Od⁽¹⁾が示された． □