10.1 有理関数の極と特異点

物理数学II演習 37

10.1 有理関数の極と特異点

次の関数f(z)の特異点z₀ を求め,それが極であるならばその位数kと極限値

zlim→z0

(z−z₀)^kf(z) を求めよ.

(1) f(z) =z+ 1 z (2) f(z) = z

z²+ 1 (3) f(z) = z³−z²

z²+ 1 (4) f(z) = 1

z²+z+ 1 (5) f(z) = z²

z³−z²−z+ 1 (6) f(z) = 2z−1

z²+ 3z+ 2 (7) f(z) = 1−zⁿ

1−z (nは 正の整数) (8) f(z) =c₀+

∑n

k=1

c_k

z^k (kは正の整数)

2017年12月5日(小高正嗣)

物理数学II演習 38

10.2 指数関数

複素数z =x+iy(x, y は実数)を独立変数とする指数関数e^z は

e^z =e^x(cosy+isiny) と定義される.

(1) 以下の指数関数の公式が成り立つことを示せ. ただしz1, z2 は複素数とする.

(a) e^z1e^z2 =e^z1+z2 (b) (e^z)⁻¹ =e^−z (c) |e^z|=e^x

(d) e^z+2kπi=e^z (k = 0,±1,±2,· · ·) (2) de^z

dz =e^zとなることを示せ.

(3) e^iz の実部と虚部を求め, de^iz

dz =ie^iz となることを示せ.

2017年12月5日(小高正嗣)

物理数学II演習 39

10.3 三角関数と双曲線関数

z を複素数,iを虚数単位とする. このとき以下の問いに答えよ.

(1) 次の複素三角関数の基本公式を証明せよ.

i) sin(z₁ ±z₂) = sinz₁cosz₂±cosz₁sinz₂ ii) cos(z₁ ±z₂) = cosz₁cosz₂∓sinz₁sinz₂ iii) cos²z+ sin²z = 1

iv) cos(−z) = cosz, sin(−z) = −sinz (2) cosz,sinz の実部と虚部を求めよ.

(3) 次の複素双曲線関数の基本公式を証明せよ.

i) sinh(z₁±z₂) = sinhz₁coshz₂±coshz₁sinhz₂ ii) cosh(z₁±z₂) = coshz₁coshz₂±sinhz₁sinhz₂ iii) cosh²z−sinh²z= 1

iv) cosh(−z) = coshz, sinh(−z) = −sinhz (4) 次の等式を証明せよ.

i) sin(iz) = isinhz ii) cos(iz) = coshz iii) sinh(iz) =isinz

iv) cosh(iz) = cosz

(5) |cosi|>1となることを証明せよ.

2017年12月5日(小高正嗣)

物理数学II演習 40

10.4 ド・ロピタルの公式

z を複素数とする. このとき以下の極限値を求めよ.

(1) lim

z→i

z² + 1 z−i (2) lim

z→i

z−i z² + 1 (3) lim

z→0

sinz z (4) lim

z→π/2

cosz z−π/2 (5) lim

z→0

1−cosz z² (6) lim

z→0

z−sinz z³ (7) lim

z→0

1−e^z z (8) lim

z→3πi

z−3πi sinhz

2017年12月5日(小高正嗣)