2021年 6月広島大模試・文系数学 解答・解説・採点基準

1

２０２１年 ６月広島大模試・文系数学 解答・解説・採点基準

全４問 １２０分 ２００点満点 １ (５０点)

【解答・採点基準】

(1) (1) 20 点

実数 を用いて とおくと,

であり, 与えられた式 と比較すると,

となる。よって, である。

(答)

次式を文字で表 し , 等 式 を 書 き 直す‥5 点

答‥15 点 (2)

であるから, (1)の結果より

となる。 より であるから, 数列

(2) 30 点

与 え ら れ た 漸 化 式を を用いて 表す‥15 点 ,

p q ^{f n}

( )

^{= pn q p+}

(

^¹0

)

( ) { ( ) }

( )

1 1 1

1 2 2

1 2 2 2 2

2 2

n

n n

n

n n

n

n n

a f n a f n

a p n q a pn q

a a pn p q

+ + +

- + = - +

Û - + - = - - +

Û = + - + -

1 2 2ⁿ 1

n n

a ₊ = a + - -n

( ) ( )

1 , 1, 2

1

p p q

p q - =-

ì Û =

í - =- î

( )

²

f n = +n

( )

²

f n = +n

1

( )

2

( )

2

n

n n

n

n n

a f n b

a b f n

= -

Û = +

( ) { ( ) }

( ) ( ) { ( ) ( ) }

1 1

1

1

1 2 2

2 1 1 2 2 2

1 2

n

n n

n n n

n n

n n

a f n a f n

b f n f n b f n f n

b b

+ +

+

+

- + = - +

Û + + - + = + - +

Û = +

( )

1 3, 1 1

f = a = 1

( )

1

1 1

2

a f

b -

= =-

{ }

bn

bn

2 は初項 , 公差 の等差数列である。よって,

であるから,

である。

の一般項を求 める‥5 点

(答) 答‥10 点

-1 ¹

2

( )

1 3

1 1

2 2

n

b =- + n- = n-

( )

3 1

2 2 2 3 2

2

n n

n

a = ×n- + + =n ^- n- + +n

bn

( )

2ⁿ 1 3 2

an = ^- n- + +n

3

２ (５０点)

【解答・採点基準】

(1) (1) 10 点

の方程式から を消去すると,

となる。 の共有点は, この 次方程式の解と対応するから, 共 有点を持たない条件は, この方程式が実数解を持たないことであ る。よって 次方程式の判別式が負になることと同値であるから, 判別式を として

が求める条件である。

(答) 答‥10 点

(2)

であるから, の における接線の方程式は

・・・①

である。また であるから, の

における接線の方程式は

・・・② である。 にともに接する直線は特に, それぞれの接線で あるから, ①, ②が一致するときに求めたい直線となる。よって

(2) 25 点

の あ る 点 に お ける接線の方程式

‥5 点

の あ る 点 に お ける接線の方程式

‥5 点

1, 2

C C y

2 2

2 2

2 2

2 2 2 0

1 0

x x ax

x ax

x ax

=- + - Û - + = Û - + =

1, 2

C C 2

2 D

2

0 4 0

2 2

D a

a

<

Û - <

Û - < <

2 a 2 - < <

( )

^{x2 ¢=2x} C1

( )

^{t t, 2}

( )

2 2 2 2

y t- = t x t- Ûy= tx t-

(

^-x2+2ax-2

)

^¢=-2x+2a C2

(

^s,-s2+2as-2

)

(

^{2 2 2}

)

²

^{( )( )}

y- -s + as- =- s a x s- -

( )

²

2 2

y a s x s Û = - + -

1, 2

C C C C₁, ₂

C1

C2

4

となるとき, ①および②が にともに接する直線の方程式とな る。よって

(複号同順) が求める答えである。

(答) (複号同順)

接線が一致する条 件‥5 点

答‥10 点

(2)[別解]

であるから, の における接線の方程式は

・・・① である。これが の接線にもなっているときを考える。この条件 は①と の方程式を連立した

から を消去した 次方程式

が重解をもつことである。よって判別式を として

が条件である。よって求めるべき直線の方程式は

(2) 25 点

の あ る 点 に お ける接線の方程式

‥5 点

接線の方程式と の方程式の連 立‥5 点

の接線が に

( )

( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 0

2 2 2 0

1 1

, 4 , 4

2 2

t a s t s

t a s s a s t a s

s as a

t s a a a a

ì = -

ïí

- = -

ïî

= - Û íìï

+ - - =

ïî

= -

Û íìî - + - =

æ ö

Û =çè ± - ! - ÷ø

1, 2

C C

(

^{4 2}

) (

¹₂ ^{2 4 2}

)

y= a± -a x- ±a -a

(

^{4 2}

) (

¹₂ ^{2 4 2}

)

y= a± -a x- ±a -a

( )

^{x2 ¢=2x} C1

( )

^{t t, 2}

( )

2 2 2 2

y t- = t x t- Ûy= tx t-

C2

C2

2 2

2 2

2

y x ax

y tx t

ì =- + -

ïí

= -

ïî

y 2

( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2 0

x ax tx t

x t a x t

- + - = -

Û + - + - =

D

( ) ( )

( )

2 2

2 2

2

4 0

2 0

2 2 2 0

1 4

2 D

t a t

t at a

t a a

=

Û - - - = Û - + - =

\ = ± -

C1

C2

C1 C₂ (複号同順)

5

(複号同順) である。

(答) (複号同順)

も接する条件

‥5 点

答‥10 点 (3)

直線 をそれぞれ, とする。ま

た点 をそれぞれ, と , と , と の共有点とす る。ここで を図示すると以下のようになる。この とき斜線部が求めたい面積である。

, 求める面積を とすると,

の 座標が であることに気を付けて,

(3) 15 点

(

^{4 2}

)

¹₂

(

^{4 2}

)

²

y= a± -a x-ìí a± -a üý

î þ

(

^{4 2}

) (

¹₂ ^{2 4 2}

)

y a a x a a

\ = ± - - ± -

(

^{4 2}

) (

¹₂ ^{2 4 2}

)

y= a± -a x- ±a -a

(

^{4 2}

) (

¹₂ ^{2 4 2}

)

y= a± -a x- ±a -a l_±

X, Y, Z l₊ l_- C₁ l₊ C₁ l_-

1, 2, , X, Y, Z C C l_±

x y

O

( ) (

^{4 2}

) (

¹₂ ^{2 4 2}

)

f x_± = a± -a x- ±a -a S

X

x

2 a

1 C

2 C

l₊

l_- X

Y

Z

6

となる。

(答)

2 乗の形にするな どの工夫‥5 点

答‥10 点

(3)[別解1]

を解答(3)と同様に定める。求めたい領域は,

△ から線分 と放物線 で囲まれた図形を引いた形であ ることに注意する。ここで線分 の中点を として

となるから

△ △ △

となる。よって直線 を表す方程式が であることに

(3)[別解 1] 15 点

三角形から 1/6 公 式を使える形を引 いた形とみるなど の工夫‥5 点

{ ( ) }

( ) ^{( )} { ( ) }

( )

( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

2

2

2 2

2

2

1 4

2 2

2 2

1 4

2 2

2 2 2

1 4

2

1 4 2 2

2 2

12 4 2 0 2

0 1 4

2

12 4 2

1 4 2

1 4 2

2 0

1 4 3 2

0 2 23

1 4

2

1 4

2

2

2 3

1 4 12

a a a

a a a

a

a a

a a

a

a

a a

a a

a

S x f x dx x f x dx

x a a dx

x a a dx

x dx x dx

x dx

x dx x

a

+ -

- +

- -

- -

+ -

-

- -

-

- -

-

-

= - + -

ì ü

= í - - - ý

î þ

ì ü

+ í - + - ý

î þ

= +

=

=

= é ùê ú ë û

= -

ò ò

ò ò

ò ò

ò ò

(

^{2 2}

)

³

1 4 12 -a

1, 2, , X, Y, Z C C l_±

XYZ YZ C₁

YZ W

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

2 2

X= , 1

2 2

1 1

Y 4 , 2 4

2 2

1 1

Z 4 , 2 4

2 2

W , 1

2 a a

a a a a

a a a a

a

æ ö

ç - ÷

è ø

æ ö

=çè + - + - ÷ø

æ ö

=ç - - - - ÷

è ø

æ ö

=çè ÷ø

XYZ= XWY+ XWZ

( )

2 2

2 2

2 3

1 2 1 4 1 2 1 4

2 2 2 2 2 2

1 4 4

a a a a

a

æ ö æ ö

= ×ç - ÷× - + ×ç - ÷× -

è ø è ø

= -

YZ 1 ²

2 y ax= + -a

7 注意して, 求める面積を とすると

となる。

(答)

答‥10 点

(3)[別解2]

求めたい領域の面積は 公式を用いて

となる。

(答)

(3)[別解 2] 15 点

公 式 を 用 い る

などの工夫‥5 点

答‥10 点

(3)[別解3]

解答(3)と同様にすると, 求める面積を として,

(3)[別解 3] 15 点 S

( ) ₍ ⁽ ₎ ⁾

( )

( ) ( )

( ( ) )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2

1 2

3 4

2 2 2

1 4

2 2 3

1 4 2 2

12 4 2

3 3

2 2 2

3 3

2 2

2 3

1 4 1

4 2

1 4 4

1 1

4 4

2 2

1 4 1 1 4 1 4

4 6 2 2

1 1

4 4

4 6

1 4

12

a a

a a

a a

a a

S a ax a x dx

a

x a a x a a dx

a a a a a

a a

a

+ - - -

+ - - -

æ ö

= - - ç + - - ÷

è ø

= -

ì üì ü

+ í - - - ýí - + - ý

î þî þ

ì ü

= - - í + - - - - ý

î þ

= - - -

= -

ò ò

(

^{2 2}

)

³

1 4 12 -a

1 12

(

²

) (

²

)

³

(

²

)

³

1 1 1 1

4 4 4

12 2ìí a+ -a -2 a- -a üý =12 -a

î þ

(

^{2 2}

)

³

1 4 12 -a

1 12

S

8

(答) 答‥15 点

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) _{( )}

( ) ( ) ^{( )}

( )

2

2

2

2

2 2 2

12 4 2

1 4 2 2 2

2 2

3 2 2 2 2

1 4

2

1 4

3 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

4 1 2 4

2

4 1 2 4

2

1 1 4 1 2 4

3 2 2

1 1 1

4 2 4

3 2 2

1 4 1 4

4 2

1 1 4

3 2

a

a a

a a

a

a

a a

a a

a

S x a a x a a dx

x a a x a a dx

x a a x a a x

x a a x a a x

a a a a

a a

- - + -

- - + -

ì ü

= í - - - + - - ý

î þ

ì ü

+ í - + - + + - ý

î þ

é ù

=êë - - - + - - úû

é ù

+êë - + - + + - úû

= - - -

ì ü

- í - -

î

ò ò

( )

( )

( )

3 3

2

2 2 2 2 2 3

2 3

1 1 4

3 2

1 4 1 4 1 4

4 4 12

1 4 12

a a

a a a a a

a

ì ü

+ + -

ý í ý

þ î þ

=- - + - + -

= -

23

1 4 12 -a

9

３ (５０点)

【解答・採点基準】

(1) (1) 5 点

である。また, △ について とおくと, 余弦定理より

である。よって,

となる。

(答)

答‥5 点 (1)[別解]

であるから,

となる。

(答)

(1)[別解] 5 点

答‥5 点

(2) (2) 20 点

5, 8

b! = c! =

ABC ÐBAC=q

2 2 2

5 8 7 1

cosq= 2 5 8^{+ -} =2

× ×

cos 8 1 20 b c× = b c q= 5× ×2=

! ! ! !

20 b c! !× =

=5, =8, BC 7

b! c! = c b! !- =

2

2 2

49

2 49

64 2 25 49 20

c b

c b c b b c b c - =

Û - × + = Û - × + =

\ × =

! !

! ! ! !

! !

! !

20 b c! !× =

10

上図のように と内接円 の接点をそれぞれ と おき, とする。円の接線の性質より,

であるから,

となる。よって, である。内接円

の性質より が成り立ち, 内心 は△ の内部

にあるから, を満たす実数 を用

いて, とおける。(1)の結果を利用すると

・・・①

接点で区切られた 各線分の長さを求 める‥5 点

をパラメータを 用いて表し, 直交 条件に関する 2 式 を立てる‥5 点

AB, BC, CA I S, T, U

( )

AS=x 0< <x 5

AU=x, BT=BS 5= -x, CT=CU 8= -x BT CT BC

5 8 7

3

x x

x

+ =

Û - + - = Û =

AS 3 AU 3

AS , AU

ABb 5b ACc 8c

= = = =

!!!" " " !!!" " "

IS^AB, IU^AC I ABC

0< <p 1, 0< <q 1, 0< + <p q 1 p q, AI!!"=pb qc"+ "

( )

2

SI AB

AI AS AB 0

3 0

5

3 0

5

25 3 20 0

5

p b qc b p b qb c

p q

^

Û - × =

ìæ ö ü

Ûíîçè - ÷ø + ýþ× =

æ ö

Ûç - ÷ + × =

è ø

æ ö

Û ç - ÷+ =

è ø

!!" !!!"

!!" !!!" !!!"

" " "

" " "

5p 4q 3 Û + =

AI!!"

A

B C

S

U

I

T

11

・・・② となる。①, ②を解くと であるから,

となる。これは を満たす。

(答)

答‥10 点

(2)[別解]

直線 と辺 の交点を とする。角の二等分線の性質より,

であるから, である。同様に,

であるから,

(2)[別解] 20 点

角の二等分線の性

質より を求め

る‥10 点

( )

2

UI AC

AI AU AC 0

3 0

8

3 0

8 20 64 3 0

8

pb q c c

pb c q c

p q

^

Û - × =

ì æ ö ü

Ûíî +çè - ÷ø ýþ× =

æ ö

Û × +ç - ÷ =

è ø

æ ö

Û + ç - ÷=

è ø

!!" !!!"

!!" !!!" !!!"

" " "

" " "

5p 16q 6 Û + =

(

^,

)

^{2 1,}

p q =æçè5 4ö÷ø

2 1

AI=5b+4c

!!" " "

0< <p 1, 0< <q 1, 0< + <p q 1

2 1

AI=5b+4c

!!" " "

AI BC P

BP : PC AB : AC 5 : 8= =

5 35 8 5

BP 7 , AP

13 13 13b 13c

= × = !!!"= "+ "

AI : IP BA : BP 5 :35 13 : 7

= = 13 =

AP!!!"

A

B C

I

P

12 となる。

(答)

答‥10 点 (3)

を実数として, とおく。 の中点をそれぞ れ とすると, が成り立ち,

である。よって, (1)の結果を利用すると

・・・③

(3) 20 点

をパラメータ を用いて表し, 直 交条件に関する 2 式を立てる‥10 点

13 2 1

AI AP

20 5b 4c

= = +

!!" !!!" " "

2 1

AI=5b+4c

!!" " "

,

k l AO!!!"=kb lc"+ "

AB, AC M, N OM^AB, ON^AC

1 1

AM , AN 2b 2c

= =

!!!!" " !!!" "

( )

2

MO AB

AO AM AB 0

1 0

2

1 0

2

25 1 20 0 2

k b lc b

k b lb c

k l

^

Û - × =

ìæ ö ü

Ûíîçè - ÷ø + ýþ× =

æ ö

Ûç - ÷ + × =

è ø

æ ö

Û ç - ÷+ =

è ø

!!!!" !!!"

!!!" !!!!" !!!"

" " "

" " "

10k 8l 5 Û + =

AO!!!"

A

B C

M N

O

13

・・・④

となる。③, ④を解くと であるから,

となる。

(答)

答‥10 点 (4)

(2), (3)の結果より

であるから, (1)より

となる。 より, である。

(4) 5 点

(答) 答‥5 点

( )

2

NO AC

AO AN AC 0

1 0

2

1 0

2 20 64 1 0

2

kb l c c

kb c l c

k l

^

Û - × =

ì æ ö ü

Ûíî +çè - ÷ø ýþ× =

æ ö

Û × +ç - ÷ =

è ø

æ ö

Û + ç - ÷=

è ø

!!!" !!!"

!!!" !!!" !!!"

" " "

" " "

5k 16l 8 Û + =

( )

^{, 2 11,}

15 24 k l =æçè ö÷ø

2 11 AO=15b+24c

!!!" " "

2 11 AO!!!"=15b"+24c"

OI AI AO

2 1 2 11

5 4 15 24

4 5

15 24

b c b c

b c

= -

æ ö æ ö

=çè + ÷ çø è- + ÷ø

= -

!!" !!" !!!"

" " " "

" "

2 16 2 1 25 2

OI 225 9 576

16 20 25

9 9 9

7 3

b b c c

= - × +

= - +

=

!!" " " " "

OI 0> OI ^{7 21}

3 3

= =

OI 21

= 3

14

４ (５０点)

【解答・採点基準】

(1) (1) 20 点

取り出した つの球の数字を のように表現する。 回の球の 取り出し方は 通りあり, これらは同様に確からしい。得点が 点となるのは, 及びこれらの並び替えの場合であ り, その取り出し方は

(通り)

ある。よって, である。

(答)

5 点になる球の組 み合わせを過不足 なく列挙‥15 点

答‥5 点 (2)

得点が得られる場合について, 球の取り出し方と得点をまとめると 以下のようになる。

のとき, 点

及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点

及びその並び替えのとき, 点 のとき, 点

及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点 のとき, 点

(2) 30 点

3

(

^{1, 2, 3}

)

³

43=64

5

(

1, 1, 3 , 1, 2, 2

) ( )

3! 3!

2!1! 2!1!+ =6

5

6 3

64 32 P = =

5

3 P =32

(

^{1, 1, 1}

)

³

(

^{1, 1, 2}

)

4

(

^{1, 1, 3}

)

⁵

(

^{1, 1, 4}

)

⁶

(

^{1, 2, 2}

)

⁵

(

^{1, 3, 3}

)

⁷

(

^{1, 4, 4}

)

⁹

(

^{2, 2, 2}

)

⁶

(

^{2, 2, 3}

)

⁷

(

^{2, 2, 4}

)

⁸

(

^{2, 3, 3}

)

⁸

(

^{2, 4, 4}

)

¹⁰

(

^{3, 3, 3}

)

⁹

15 及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点 及びその並び替えのとき, 点

よって, 得点が 点となる球の取り出し方 は, それぞれ 通りある。ゆえに, は

のとき最大値 をとる。

点をとる 確率または場合の 数をそれぞれ列挙

‥20 点(2 点×10)

(答) のとき最大値

答‥10 点

(

^{3, 3, 4}

)

¹⁰

(

^{3, 4, 4}

)

¹¹

(

^{4, 4, 4}

)

¹²

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

1, 3, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 3, 1 P_n

5, 7, 8, 10

n= ^{6 3}

64 =32

3, 4,...,12

5, 7, 8, 10

n= ³

32