３ . 全称・存在命題について追記 および集合
科目： 基礎数学A及び演習（演習）（２‐１組）
担当： 相木
全称・存在命題に関する追記
前回のプリントで全称命題と存在命題を解説したが，応用上は
∀x∈X, P(x)
など，１つの集合に関する命題関数を用いた表現だけでは不十分である．そこで，このプ リントではまず最初に命題関数を「多変数」にしたものを考える．
命題関数（多変数版）
X, Y を集合とする．Xの要素xとY の要素yを１つ決めるごとに，xとyに依存し た主張P(x, y)が命題になっているとき，P(x, y)をXとY に関する命題関数という．
XとY が同じ集合の場合は単にXに関する命題関数とも言う．
基本的には変数の数が増えても命題関数自体には大差ない．しかし，命題関数を用いて具 体的な命題を作る際には大きく状況が異なる．特に，全称・存在と組み合わせた場合には 注意が必要である．例をみてみよう．
X =Y =Rとし，x∈Rとy ∈Rに対してP(x, y)を P(x, y) : x > y
によって定めると，P(x, y)はRに関する命題関数である．実際，実数を２つ選んだとき，
大小関係が成り立つかどうかははっきりと決まる．そこで，以下のような命題を考えて みる．
∀x∈R, ∃y∈R, P(x, y).
(1)
ここで，１つ注意をする．このように，様々な主張が組み合わさった命題は原則として
実際，任意の実数xに対してx−1は実数であり，
x > x−1
であるので，yとしてx−1が条件を満たす実数として存在するので命題(1)は真である．
ここで，もう１つ重要な注意がある．それは，上の議論でyはxに応じて決めている ことである．存在命題は，命題関数の主張を満たすような集合の要素が少なくとも１つあ れば真となるが，その「１つ」とは，それ以前に現れている変数などに依存して取れれば よい．言葉で説明しても分かりづらいので，例をいくつか挙げる：
∀x∈R, ∃y ∈N, y > x.
(2)
この命題は真である．実際，自然数全体の集合Nは上に有界でない（アルキメデスの原 理）のでどのような実数xに対しても，それより大きい自然数yは存在するので，命題 (2)は真である．
∃y∈N, ∀x∈R, y > x.
(3)
この命題は偽である．実際，全ての実数よりも大きい自然数は存在しないので，命題(3) は偽である．
ここで，命題(2)と命題(3)の違いに注目しよう．命題(2)においては任意に取ってき た実数xに応じて自然数yが少なくとも１つあればよいのに対し，命題(3)においては
∃y∈Nが先にあるので，実数xに無関係にy∈Nを選べなければいけないのである．
これまでのことをまとめよう．
全称・存在命題が複数組み合わさる際の原則
• 命題は左から読む
• 後に現れる変数は，先に現れている変数に依存してよい（依存「してよい」だ けで，依存しないといけないわけではない）
集合に関する記号
前回のプリントで少し触れたように，集合とはものの集まりである．数学的な対象で も，そうでないものでも，「ものの集まり」としてとらえることが出来れば，それは集合 である．以下に，集合に関連した記号とその意味，用法を列挙する．
集合に関する基本的記法
• x∈XまたはX ∋x：xは集合Xに属する．このとき，xをXの元，あるいは 要素という．
• x̸∈XまたはX ̸∋x：xは集合Xに属さない．
• X ⊂Y またはY ⊃X：XはY の部分集合
• {x∈X|Q(x)}：命題Q(x)が真となるようなXの要素x全体の集合．（{x|Q(x)} とも書く）
• X∩Y ={x | (x∈X)∧(x∈Y)}：集合XとY の共通部分．
• X∪Y ={x | (x∈X)∨(x∈Y)}：集合XとY の和集合．
• X\Y ={x | (x∈X)∧(x̸∈Y)} ：集合XとY の差集合．
• ∅：空集合
講義の方では上に挙げた記号等は１つ１つ丁寧に解説していると思われ，まだ授業では 扱ってないものもあるかもしれないので，以下で詳しく解説する．
集合の表し方
これまで扱った集合は「全ての実数の集合」など比較的，言葉で表現しやすいものの みであった（というよりわざとそうしていた）．しかし，より複雑な集合を用いて議論す る際には詳細に集合の要素を指定しなくてはならない．そのために，集合を定義する際の
記法がいくつか決まっている．
外延的記法
集合の外延的記法とは，集合の要素を陽に書き下す記法で，例えば「5以下の自然数 の集合」は
{1,2,3,4,5}
と表す．集合を外延的記法によって書き表す場合は，要素をカンマで区切る．また，
この記法にならって空集合を
{}
と表すときもある．
容易に想像できるように，集合の要素が多くなると外延的記法で表すのは難しくなる．そ のようなときは次に解説する内包的記法を用いるとよい．
内包的記法
集合の内包的記法とは，以下のように集合を表す方法である．
Xを集合とし，P(x)をXに関する命題関数とする．このとき，Xの要素xのうち，
P(x)が真となるようなものを集めた集合を {x∈X | P(x)} と表す．
集合を定義する，ということを主観におけば，内包的記法とはP(x)をうまく定め，選 びたい要素を抽出して集める，という集合の記法である．例えば，「絶対値が２以下の 実数を集めた集合」を内包的記法を用いると
{x∈R | |x| ≤2} などとなる．
また，xとしてどのような対象物を扱っているかが明らかなときは{x∈X |P(x)}を 省略して{x | P(x)}と書いたりもする．
要素の数が少ないときは外延的記法，多いときや全て書き下すのが不可能な場合は内包的 記法，のように使い分けるとよい．
どちらの記法を用いた場合でも，定めた集合にアルファベットをあてるときには A ={1,2,3,4,5} とおく
あるいは
B ={x∈R | |x| ≤2} とおく などと書いて，集合に名前を付ける．
空集合
これまで，集合といえばなにか要素が入っているものを扱ってきたが，集合に関する 議論を進めていく上で「要素がなにもない」というものも集合として定義することが 必要になる．このような集合を空集合（くうしゅうごう）と呼び，
∅ で表す．
例えば，内包的記法を用いて
{x∈R| x2 <−1} で定まる集合は空集合である．
部分集合
XとY を集合とする．全称命題
∀x∈X, x∈Y
が真であるとき，XはY の部分集合であるといい，
X ⊂Y
と表す．X ⊂Y のとき，XはY に含まれるなどという．
感覚的にいうと，XがY の部分集合であるとは「Xの全ての要素はY の要素でもある」，
ということである．
ここで，空集合∅は「どんな集合にも含まれる」と約束する．つまり，どのような集 合Xに対しても
∅ ⊂X が成り立つものとする．
共通部分と和集合
共通部分
X, Y を集合とする．このとき，
{x | (x∈X)∧(x∈Y)}
で定まる集合をXとY の共通部分といい，
X∩Y と表す．
XとY の共通部分とは，両方の集合に属す要素を全て集めた集合である．
和集合
X, Y を集合とする．このとき，
{x | (x∈X)∨(x∈Y)}
で定まる集合をXとY の和集合といい，
X∪Y と表す．
差集合
差集合
X, Y を集合とする．このとき，
{x | (x∈X)∧(x̸∈Y)} で定まる集合をXとY の差集合といい，
X\Y と表す．
定義から分かるようにX\Y はXの要素のうちY に属さないものを集めた集合なので {x∈X | x̸∈Y}
と表現することもできる．
集合の等号
集合には外延的記法と内包的記法の２種類あり，同じ集合であってもそれが見かけ上，
違ったものに見える場合がある．例えば，
{1,2,3,4,5} (4)
と
{x∈N| x <6} (5)
は，同じ集合を表すが，表記の違いから見かけ上違って見える（これだけ単純な集合だと すぐに中身は同じであることが分かってしまうが．．．）．また，差集合のときに挙げたよう に，同じ記法を用いたとしても集合の表し方は様々だったりするので，同じ集合を表して いても，それを見た目で判断するのは必ずしも容易ではない．そもそも数学的立場で考え れば「見た目」で集合が同じかどうかを判定するのは違和感さえある．
そこで，ここでは「２つの集合が等しい」ということを改めて考えてみよう．２つの
風に思えるのである．
この感覚を数学的に厳密に定式化したのが以下の定義である．
集合の等号
X, Y を集合とする．
(X ⊂Y)∧(Y ⊂X)
が真であるとき，２つの集合XとY は等しいといい，
X =Y と書く．
X ⊂Y とは
∀x∈X, x∈Y
が真であることだったので，集合としてX =Y を証明するためには
∀x∈X, x∈Y
と
∀x∈Y, x∈X
の両方が成り立つことを示せばよいことになる．この定義は
「全てのXの要素はY の要素でもあり，全てのY の要素はXの要素にもなっているなら ば，２つの集合の要素は完全に一致している他にありえない」
ということを厳密に表現したものになっている．
予約制問題
(3-1) 以下の命題の意味を説明し，その真偽を証明せよ．
∀x∈R, ∃y ∈N, x > y.
(3-2) 以下の命題の意味を説明し，その否定命題を書け．
∀x∈Z, ∃y∈N, x=y.
(3-3) A, B, C を集合とするときに次を示せ．
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
(3-4) A, B, Cを集合とするときに次を示せ．
(A\B)\C =A\(B ∪C)
(3-5) 以下の集合を指定された方法で表わせ．
(i) 「−1以上かつ3以下の実数の集合」を内包的記法を用いて表わせ．
(ii) 「２未満の自然数全体の集合」を外延的記法を用いて表わせ．
早いもの勝ち制問題
(3-6) 以下の命題の意味を説明し，その真偽を証明せよ．
∀x∈C, ∃y∈R, |x|< y
ここで，a, b∈Rを用いてx∈Cをx=a+ibと表したとき，|x|は
|x|=√
a2 +b2
(3-8) A, B, C を集合とするときに次を示せ．
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
(3-9) A, B, Cを集合とするときに次を示せ．
A\(B\C) = (A\B)∪(A∩C)
(3-10) 以下の集合を指定された方法で表わせ．
(i) 「3未満の実数全体の集合」を内包的記法を用いて表せ．
(ii) 「−3以上かつ2未満の整数全体の集合」を外延的記法を用いて表せ．
