PDF 素粒子物理学と宇宙論 - Seikyou

放送大学平成 26 年度 (2014 年度) 第 2 学期 面接授業 ( 山口学習センター ( 35A )  ) 専門科目：自然と環境 科目コード 2404214  K クラス

素粒子物理学と宇宙論

第 3 回 素粒子物理における対称性

白石 清

（山口大学・教授）

対称性と変換群・保存則 連続群・SU(N)

局所対称性・ゲージ理論 ヤン・ミルズ理論

大統一理論 Ｃ，Ｐ，Ｔ

対称性とは？

なにか「変換」を施しても変わらない，と言う性質

「雪の結晶は，６０°，１２０°，１８０°，２４０°，３０ ０°，３６０°(＝０°) 回転しても同じように見える。」

という不変性＝対称性

回転操作は

群

^をなす

   例 1：６０°回転＋１２０°回転＝１８０°回転    例 2：２４０°回転＋３００°回転＝１８０°回転    例 3：１２０°回転＋３６０°回転＝１２０°回転    例 4：１２０°回転＋２４０°回転＝０°回転

操作が閉じている，単位元の存在，逆元の存在

円の対称性

角度θ回転させても不変 回転操作＝連続群を成す。

(Abelian，可換群)

球の対称性

x,y,z 各軸まわりの回転 (Non-Abelian，非可換群)

連続群に関する対称性

時間座標の平行移動→エネルギー保存 空間座標の平行移動→運動量保存   空間座標回転不変性→角運動量保存 

対称性と保存則

ネーターの定理 (エミー・ネーター) 

位相変換  ψ→ e ψ  

^の下で

シュレディンガー方程式

Eψ＝−

/

h 2

2m ∇

2 ψ＋V(x)ψ

_{は不変 (共変)}

シュレディンガー方程式より

∇・j＝0, 

j

＝ /

h

2mi(

ψ *

∇ψ−ψ∇

ψ *

) 電流は湧き出しも吸い込みもない

↓

電荷保存

局所位相変換  ψ→ e iθ(x) ψ  

^の下で

先ほどのシュレディンガー方程式は不変 (共変) ではない ベクトルポテンシャル

A

を導入し，

新たに 

Eψ＝−

/

h 2

2m (∇−iqA)

2 ψ＋V(x)ψ

，

局所位相変換と共に

A→A＋q −1 ∇θ

と変換するものとする。

このとき変換に対し方程式は不変 (共変) となる

ゲージ場 (A )

＝電磁気力を媒介する場→量子化→光子

U(1) 局所対称性 (局所位相変換に対する共変性)

＝U(1) ゲージ対称性 を持つ場の理論である。

(くりこみ理論においてはゲージ対称性は重要な役割を演じる)

一般に，ゲージ対称性を持つ理論を

ゲージ理論

とよぶ。

保存則

素粒子物理で最重要

さまざまな'電荷'保存

バリオン数保存，レプトン数保存 パリティ保存

⁝

保存，非保存をもとに対称性を推測し 理論を構築する→予言，検証

ハドロン

[バリオン (＝核子の仲間) および中間子 ^(メソン) の総称]

２０世紀半ば，宇宙線の中に十数種発見,もはや素粒子とは言えない？

例えば，メソン (の一部を) を並べてみると

       

Ｋ 0 Ｋ +

π + π - π 0

Ｋ 0 Ｋ -

η η 0

  (スピン０)

対称性が見えてくる。

(電荷，質量差を無視すれば，強い力の下で同等，

近似的対称性)

バリオン

 

スピン 1/2    スピン 3/2

クォーク

 バリオン (陽子，中性子など)

陽子や中性子，その仲間（バリオン）はクォーク３つで構成されている

中間子 (メソン) は，クォーク・反クォークの束縛状態

前ページの対称性は，u,d,s を取り替える変換に対する対称性

クォークモデル ゲルマン 1964 年 Nobel Prize 1969 実験的検証 フリードマン，ケンドール，テイラー 1972 年 

Nobel Prize 1990

クォーク

名前 記号 電荷 質量（単位：MeV）

up u +2/3 1.5〜3.0 down d -1/3 3〜7

charm c +2/3 1160〜1340 strange s -1/3 70〜120

top t +2/3 170900〜177500 bottom b -1/3 4130〜4270

バリオンはクォーク３つで構成されている。   

メソンはクォークと反クォークで構成されている。

陽子        中性子

u u

d



u

d d

π

＋

中間子

u d

クォーク (及び反クォーク) からできている

バリオン，メソンを合わせて，ハドロンとよぶ。

クォークの組み替え

(cf. 化学は原子の組み替え)

p → n ＋π ＋

      

d

d u

u u

d d u

n

p

π +

color (色)

クォークはフェルミオン，排他律に従う

     Δ

＋＋

粒子 ？ 「新たな自由度を導入」

u u u

   

u u u

クォークは３つの

色

^{の自由度を持つ}

(反クォークは３つの「反」色の自由度を持つ)

   

色だけ取り替える操作は SU(3) 群を成す。

ハドロンはこの操作で不変な状態

局所対称性に「拡張」→ 

ＱＣＤ (量子色力学)

SU(3) ゲージ理論

クォーク間に働く力を媒介する粒子＝グルーオン

電磁相互作用 電荷 １種類 

場の量子＝光子 1 種類，光子は電荷を持たない (Abelian gauge theory)

Non-Abelian gauge theory^{・・・弱い相互作用，強い相互作用を記述} (ヤン・ミルズ理論)

「電荷」 Ｎ種類

多数のゲージ粒子 (N

2

-1)，ゲージ粒子は「電荷」を持つ トフーフト，フェルトマン 1971 年

Non-Abelian gauge theory が くりこみ可能であることを証明 Nobel Prize1999

強い相互作用の理論 (QCD)

N=3 ３つの色荷（カラー）

強い相互作用の理論における漸近自由性

グロス，ポリツァー，ウィルチェク Nobel Prize 2004 高エネルギーで力が弱くなる

くりこみ群方程式による解析

Non-Abelian gauge theory では，ゲージ粒子同士が相互作用する

   

このため，くりこみ群方程式に，新しい寄与

短距離で力が弱くなる＝長距離で力が強くなる

  反遮蔽

メソンを引き伸ばすと・・・

 →   →   

エネルギーが質量に転換，クォークは単独で取り出せない (「ＱＣＤ真空」の性質により，力線が絞られている)

クォークの閉じこめ

相互作用が大きい場合は摂動展開が使えない  

格子ＱＣＤ

(格子ゲージ理論 Lattice Gauge Theory)

スパコンなどで

数値計算→ハドロンの質量

弱い相互作用の理論

中性子→陽子＋電子＋反電子ニュートリノ

弱い相互作用とニュートリノ

β崩壊

電子

ニュートリノ

中性子

中性子は陽子に転換

n → p ＋e - ＋ν e 

弱い相互作用とニュートリノ

β崩壊

d

u e

-

ν

e

d → u ＋ W

⁻

， W

⁻

→ e - ＋ν e 

弱い相互作用の理論

N=２

電子と電子ニュートリノは対を成す (２重項)

電子を 0

1 ，電子ニュートリノを 1 0 で表せば，行列による変換

0 1 1 0

0

1 ＝ 1 0

は，電子を電子ニュートリノに換える変換

数学的形式は，スピン１／２の２状態と同等

ニュートリノ関連の研究

パウリ 1930 年（排他律 Nobel Prize 1945）

エネルギー保存の考察から，未知の電気的に中性な粒子を導入 フェルミ 1932 年（中性子核反応 Nobel Prize 1938）

β崩壊（弱い相互作用）の理論（ニュートリノの命名）

ライネス，コーワン 1953 年 Nobel Prize 1995 原子炉からのニュートリノの検出

レーダーマン，シュワルツ，シュタインバーガー 1962 年  Nobel Prize 1988 ミューニュートリノの発見

狭い意味の力・・・運動量の変化をもたらす 運動状態の変化をもたらす

広い意味の力・・・ 状態の変化をもたらす 粒子の種類の変化をも含む

（たいてい運動量も変化するが・・・）

自然界では４つの力が働いている

強い力はクォーク以外の物質粒子 (レプトン) には働かない

×

重力は素粒子の世界では無視できるのでおいておいて

強い力，弱い力，電磁気力の対称性は SU(3)×SU(2)×U(1) ゲージ対称性

(質量差を無視すれば，力の働き方が粒子の分類になっていることに注意)

なぜ SU(3)×SU(2)×U(1)？

SU(3)×SU(2)×U(1) を含む大きな対称性を 考えられないか？

大統一理論

大きな対称性が破れて

SU(3)×SU(2)×U(1) になった。

クォークとレプトンに区別が付く。

くりこみ群方程式による

３つの力の強さのエネルギー変化

くりこみ群方程式による

３つの力の強さのエネルギー変化

?

SU(2) U(1)

SU(3)

エネルギー 力

の 強 さ の 逆 数

力の統一

Kamioka Nucleon-Decay Experiment

→Kamioka Neutrino Detection Experiment

陽子崩壊

（クォークがレプトンに転換する）

⇧

大統一理論の予言

の統一理論

(陽子崩壊はまだ見つかっていません)

大統一理論

      

強い相互作用の対称性       弱い相互作用の対称性

                  

              

大統一理論

                

大統一理論の対称性

(いかにして対称性は破れる？・・・ヒッグス機構)

離散的対称性

P : 空間反転       C : 荷電共役 (粒子と反粒子の入れ替え) T : 時間反転      

β崩壊などでは 空間反転

荷電共役

個々については，対称性が破れている CPT 定理：場の量子論は CPT 不変

空間反転

(x,y,z)→(−x,−y,−z)

スピンは空間反転で不変 運動量は向きが反転 

(注:鏡は３枚)

6 0 Co のβ崩壊   

ν

_e

e

60

Co

パリティ対称性の破れ←弱い力の特徴

リー，ヤン 1956 年 Nobel Prize 1957,   実験： ウー

CP は保存

小林-益川理論

Nobel Prize 2008

小林 誠    益川敏英

 

(1944-)       (1940-)

クォークの３世代は混ざっている

混ざり具合を与える・・・ 小林-益川行列 ３世代以上では

ＣＰ対称性を破る（純虚数の）係数

⇩

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物質と反物質の非対称性

⁝

われわれの存在！

類推 (林青司氏による)

   

２世代      ３世代

  回転すれば元通り   回転しても元に戻らない

Ｋ中間子と反Ｋ中間子の崩壊の違い 1964 年 クローニン，フィッチ Nobel Prize 1980

小林益川理論の正しさは「B-factory」によって実験的に証明された。

Ｂ中間子と反Ｂ中間子の崩壊の違い 2002 年

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